Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba - DAMAT MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto LISTA 1 - Matrizes e Sistemas Lineares Desenvolvidas juntamente com os professores Adriano Verdério e Nara Bobko a partir das referências que constam no plano de ensino. Questão 1: Considere as seguintes matrizes: [ ] 0 6 7 [ ] 0 4 B = 8 [ ] 6 9 7 C = 7 3 6 4 0 D = 1 1 4 6 0 6 6 9 9 E = 1 0 4 6 0 1 Se for possível, calcule: a) AB BA b) C D c) (D 3E ) d) D DE e) Suas inversas. f) O elemento g 3 de G = ED. Questão : Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, como podemos calcular A(B+C), B A, C A e (ABA)C? Questão 3: Sejam A, B e C matrizes n n. a) (A + B) = A + AB + B? Justique. b) (AB)C = C(AB)? Justique. Questão 4: Verique se é verdadeira ou falsa cada uma das armações abaixo. Se for verdadeira, justique porque, se for falsa, dê um exemplo em que a armação não é válida. a) Se A e B são duas matrizes tais que AB = 0, então 0 ou B = 0. b) Se AB = 0 então B 0. c) Se A é uma matriz tal que A = 0, então 0. 1
Questão 5: Construa as matrizes: a) A 1 3, tal que a ij = i j { i+j, se i > j b) D 3 3, tal que d ij = i j, se i j 1 3 1 x Questão 6: A matriz x y z admite a transposta A = x y 1. Nestas 1 z 3y 6 y z condições, calcule x, y e z. 3 8 x Questão 7: Determine os valores de a e b para que a matriz M = a 1 b seja x 11 0 simétrica. Questão 8: Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos de sua diagonal principal, denotamos o traço de uma matriz A por tr(a). Determine x e y 1 3 na matriz 0 x 4 para que tr(a) = 9 e x seja o triplo de y. 0 0 y Questão 9: Sejam A e B matrizes quadradas n n e α um escalar qualquer. Mostre que: a) tr(a + B) = tr(a) + tr(b); b) tr(αa) = αtr(a); c) tr(ab) = tr(ba); d) Se B é invertível, então tr(b 1 AB) = tr(a). Questão 10: Considere as matrizes 0 [ ] M = 1 1 1 3 e. 0 1 0 3 4 Calcule (M + A )(M A). Questão 11: Considere as matrizes [ a b ] 1 1 1 a e B = [ ] 1 1 0. 0 1 0 Determine a e b para que AB = [ ] 3 4. 1
Questão 1: Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os sistemas: x 1 + x + x 3 = 8 a) x 1 x + 3x 3 = 1 3x 1 7x + 4x 3 = 10 x 1 + x + x 3 = 0 b) x 1 + 5x + x 3 = 1 8x 1 + x + 4x 3 = 1 x + 3x 3 = 1 c) 3x 1 + 6x 3x 3 = 6x 1 + 6x + 3x 3 = 5 Questão 13: Encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem innitas soluções: x + y 3z = 4 3x y + 5z = 4x + y + (a 14)z = a + Questão 14: Prove que: a) Se X 1 e X são soluções do sistema linear homogêneo AX = 0, então αx 1 + βx também é solução, para quaisquer escalares α e β. b) Se X 1 e X são soluções do sistema linear AX = B e se αx 1 + βx também é solução deste sistema para quaisquer escalares α e β, então B = 0. Questão 15: Resolva gracamente os sistemas de equações lineares. { { x 1 4x = x 1 + x = 1 a) b) 4x 1 6x = 1 3x 1 4x = 1 0 5 1 0 0 x 0 Questão 16: Sejam 1 1 1, I = 0 1 0, X = y e 0 = 0. Encontre a 0 1 4 0 0 1 z 0 solução geral do sistema de equações lineares (A + 4I)X = 0. Questão 17: Resolva os sistemas de equações lineares. x 1 + x + x 3 = 8 a) x 1 x + 3x 3 = 1 b) 3x 1 7x + 4x 3 = 10 x 1 + x + x 3 = 0 x 1 + 5x + x 3 = 1 8x 1 + x + 4x 3 = 1 3
Questão 18: Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguinte sistema de equações x 1 + x 3x 4 + x 5 = x 1 + x + x 3 3x 4 + x 5 + x 6 = 3 lineares. x 1 + x 3x 4 + x 5 + x 6 = 4 3x 1 + 6x + x 3 9x 4 + 4x 5 + 3x 6 = 9 Questão 19: Considere as matrizes [ ] 1 1, B = 1 1, 0001 [ ] 0, 0001 1, C = 1 1 [ ] [, D =, 0001 ] e X = [ x1 x ]. Resolva os sistemas de equações lineares: a) AX = C, b) AX = D, c) BX = C, d) BX = D. Qual é o motivo da solução dos sistemas a) e b) serem distantes e as soluções dos sistemas (c) e (d) serem próximas? Questão 0: Calcule det(a) onde 3 1 5 0 3 0 0 0 0 a) 0 0 1 19 18 0 0 0 0 1 3 b) 6 π 5 0 0 1 1 0 4 3 0 0 8 3 5 6 1 Questão 1: Se det(a) = 3, encontre a) det(a 3 ) b) det(a ) c) det(a 1 ) d) det(a ) Questão : Se A e B são matrizes n n tais que det(a) = e det(b) = 3, calcule det(a B 1 ). Questão 3: Determine todos os valores de λ para os quais det(a λi n ) = 0, onde 0 0 3 0 1 3 4 a) 3 1 0 b) 0 1 0 c) 0 1 3 0 4 3 0 0 0 0 3 3 0 0 0 Questão 4: Considere as matrizes do exercício (3). Determine os valores de λ R tais que existe X = [x 1 x x 3 ] 0 que satisfaz AX = λx. Em seguida, considerando os valores de λ encontrados, encontre a solução geral do sistema AX = λx. 4
Questão 5: Mostre que a) Se det(ab) = 0, então ou A é singular ou B é singular. b) Se A = A 1, então det(a) = ±1. c) Se α é um escalar e A é uma matriz n n, então det(αa) = α n det(a). d) A n n é invertível se, e somente se, A A é invertível. e) Se A n n é invertível, então det(a 1 ) = 1/det(A). Questão 6: Se possível, encontre a inversa das seguintes matrizes: [ ] [ ] 1 1 a) b) B = 4 0 1 Questão 7: Seja A n n uma matriz diagonal tal que a ii 0 para i = 1,..., n. Prove que A é invertível e que A 1 também é uma matriz diagonal cujos elementos são dados por d ii = a 1 ii. Questão 8: Dadas as matrizes a matriz inversa de A. [ ] 9 5 e B = 7 4 Questão 9: Encontre todos os valores de a para os quais a matriz 1 1 0 1 0 0 1 a tenha inversa. [ ] 4 n, calcular m e n para que B seja m 9 Questão 30: Considere as matrizes: [ ] 1 4 1 0 5 B = 3 3 1 0 3 4 4 D = 0 1 3 4 0 F = 1 3 1 5 9 6 3 1 6 8 6 1 Calcule os determinantes: a) Por uma das linhas. b) Por uma das colunas. c) Por triangulação. 5
Calcule, se possível, suas inversas. Questão 31: Uma empresa, que possui duas confeitarias, chamadas A e B, fabrica três tipos de bolo: 1, e 3, os quais são feitos de farinha, açúcar, leite, manteiga e ovos. Em cada semana, as vendas dessas duas confeitarias são estimados conforme a matriz M de venda semanal abaixo: Confeitaria Bolo tipo 1 Bolo tipo Bolo tipo 3 A 50 unidades 30 unidades 5 unidades B 0 unidades 0 unidades 40 unidades Para a fabricação desses bolos, o material é usado de acordo com a matriz N seguinte: Bolo farinha açúcar leite manteiga ovos tipo 1 500 g 00 g 500 ml 150 g 4 tipo 400 g 100 g 300 ml 50 g 5 tipo 3 450 g 150 g 600 ml 0 6 A direção da empresa, a m de atender à demanda semanal, quer saber a quantidade de cada uma das cinco matérias primas que deve alocar às suas duas confeitarias. Calcule também o total de cada ingrediente utilizado pela empresa semanalmente. Questão 3: Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg de X são utilizados gramas do insumo A e 1 grama do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 3 gramas de insumo B e, para cada kg de Z, 3 gramas de A e 5 gramas de B. O preço de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$ 3,00, R$,00 e R$ 4,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1,9 kg de A e,4 kg de B, essa indústria arrecadou R$ 900,00. Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos. Questão 33: O bronze é uma liga de cobre e zinco, na qual a porcentagem de cobre varia geralmente entre 60% e 70%. Usando dois tipos de bronze, um com 6% e outro com 70% de cobre, deseja-se obter uma tonelada de bronze com exatamente 65% de cobre. Quantos quilos do primeiro tipo de bronze e quantos quilos do segundo devem ser usados? 6
Respostas 1. a) [ 4 ] 0 58 4 b) Não é possível. c) 30 19 7 5 0 d) 80 34 10 4 45 6 0 15 7 30 1. A(B + C) = AB + AC, B A = (AB), C A = (AC), (ABA)C = (AB)(AC) 3. a) Não. Só será verdade se AB = BA. b) Não. Só será verdade se AC = CA e BC = CB. 1. a) X = [3 1 ] c) não tem solução b) X = [ 1/7 (3/7)a 1/7 (4/7)a a] 13. Se a 16 = 0 e a 4 = 0, então o sistema tem innitas soluções. Neste caso, a = 4; Se a 16 = 0 e a 4 0, então o sistema não tem solução. Neste caso, a = 4; Se a 16 0, então o sistema tem solução única. Neste caso, a ±4. 0. a) 1 b) 0 1. a) 7 b)9 c) 1/3 d) 3. /3 3. a)λ =, 1 ou 3 b)λ =, ou 1 c)λ = 1,, 1 ou 3 4. a) Para λ = tem-se X = [ α, α, 4α], α R. Para λ = 1 tem-se X = [0, α, α], α R. Para λ = 3 tem-se X = [0, 0, α], α R. b) Para λ = tem-se X = [α, 0, β], α, β R. Para λ = 1 tem-se X = [ 3α, α, 0], α R. c) Para λ = 1 tem-se X = [α, 0, 0, 0], α R. Para λ = tem-se X = [ 9α, 7α, 9α, 3α], α R. Para λ = 1 tem-se X = [ α, α, 0, 0], α R. Para λ = 3 tem-se X = [9α, 3α, 4α, 0], α R. [ ] 1 6. a) A não é invertível pois det(a) = 0 b) B 1 = 0 1 3. Foram vendidos 500 kg do produto X, 300 kg do produto Y e 00 kg do produto Z. 7