INEDI Cursos Profissionalizantes Técnico em Transações Imobiliárias Noções de Matemática Financeira MÓDULO 02 BRASÍLIA 2011
Os textos do presente Módulo não podem ser reproduzidos sem autorização do INEDI Instituto Nacional de Ensino a Distância SCS Qd. 08 Ed. Venâncio 2000, Bloco B 60 Sala 245 Brasília - DF Telefax: (0XX61) 3321-6614 CURSO DE FORMAÇÃO DE TÉCNICOS EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS TTI COORDENAÇÃO NACIONAL André Luiz Bravim Diretor Administrativo Antônio Armando Cavalcante Soares Diretor Secretário COORDENAÇÃO PEDAGÓGICA Maria Alzira Dalla Bernardina Corassa Pedagoga COORDENAÇÃO DIDÁTICA COM ADAPTAÇÃO PARA EAD Tibério Cesar Bravim MBA em Ciências da Educação COORDENAÇÃO DE CONTEÚDO Ricardo José Vieira de Magalhães Pinto EQUIPE DE APOIO TÉCNICO: INEDI/DF André Luiz Bravim Robson dos Santos Souza PRODUÇÃO EDITORIAL Luiz Góes EDITORAÇÃO ELETRÔNICA E CAPA Alessandro dos Santos IMPRESSÃO GRÁFICA Gráfica e Editora Equipe Ltda, Matemática Financeira, módulo II, INEDI, Curso de Formação de Técnicos em Transações Imobiliárias, 3 Unidades. Brasília. Disponível em: www.inedidf.com.br. 2011. Conteúdo: Unidade I: números proporcionais; operações sobre mercadorias Unidade II: taxa de juros; inflação Unidade III: capitalização simples e composta; montante Exercícios 347.46:111 C490m
Caro Aluno O início de qualquer curso é uma oportunidade repleta de expectativas. Mas um curso a distância, além disso, impõe ao aluno um comportamento diferente, ensejando mudanças no seu hábito de estudo e na sua rotina diária, porque estará envolvido com uma metodologia de ensino moderna e diferenciada, proporcionando absorção de conhecimentos e preparação para um mercado de trabalho competitivo e dinâmico. O curso Técnico em Transações Imobiliárias ora iniciado está dividido em nove módulos. Este módulo 02 traz para você a básica disciplina Matemática Financeira que, dividida em três grandes unidades de estudo, apresenta, dentre outros itens essenciais, noções sobre proporções, operações sobre mercadorias, juros simples e compostos, descontos simples e compostos, além de exercícios de fixação, testes para avaliar seu aprendizado e lista de vocabulário técnico que, com certeza, será indispensável no seu desempenho profissional.trata-se, como você pode perceber, de uma completa, embora sintética, habilitação no âmbito desse conhecimento tão decisivo para o futuro profissional do mercado imobiliário. Se o ensino a distância garante maior flexibilidade na rotina de estudos, também é verdade que exige do aluno mais responsabilidade. Nós, do INEDI, proporcionamos as condições didáticas necessárias para que você obtenha êxito em seus estudos, mas o sucesso completo e definitivo depende do seu esforço pessoal. Colocamos à sua disposição, além dos módulos impressos, um completo site (www.inedidf.com.br) com salas de aula virtuais, fórum com alunos, tutores e professores, biblioteca virtual e salas para debates específicos e orientação de estudos. Em síntese, caro aluno, o estudo dedicado do conteúdo deste módulo lhe permitirá o domínio dos conceitos mais elementares de Matemática Financeira, além do conhecimento dos instrumentos básicos para que o futuro profissional possa atingir os seus objetivos no mercado de imóveis. Enfim, ao concluir seus estudos neste módulo você terá vencido uma importante etapa para atuar com destaque neste segmento da economia nacional. Boa sorte!
SUMÁRIO INTRODUÇÃO... 07 UNIDADE I 1. NÚMEROS PROPORCIONAIS...12 2. OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS...17 2.1 Preços de custo e venda...17 2.2 Lucros e prejuízos...17 3. TAXA DE JUROS...19 3.1 Homogeneidade entre tempo e taxa...19 3.2 Juro exato e juro comercial...21 4. INFLAÇÃO...21 UNIDADE II 5. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES...25 5.1 Juros simples...25 5.2 Montante simples...27 5.3 Desconto simples...27 6. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA...30 6.1 Juros compostos...30 6.2 Montante composto...30 6.3 Desconto composto...32 TESTE SEU CONHECIMENTO...35 BIBLIOGRAFIA...39 GABARITO......40 TABELAS FINANCEIRAS (Tabela Price)......41
INTRODUÇÃO O serviço prestado ao cliente, pelo corretor, pode ser classificado como parte das relações humanas, no processo de venda. Nesta etapa, o Corretor necessita de diferentes conhecimentos e habilidades específicas para que possa informar, orientar e oferecer segurança ao comprador. Dentre esses conhecimentos e habilidades, inclui-se a linguagem da Matemática Financeira. Nesse sentido, o presente trabalho foi elaborado e começa com uma matemática básica e fundamental, necessária à realização de um bom negócio, incluindo operações sobre mercadorias, taxas de juros, inflação, regimes de capitalização. O estudo do regime de Capitalização Simples é o cenário principal desta apostila. Nele é abordada a conceituação de juros simples, montante simples, desconto simples, cálculo de taxa acumulada, sempre com a utilização de vários exemplos. Todas as negociações financeiras têm como suporte um dos regimes de capitalização. Assim, procurou-se dar ênfase a esses tópicos, estando os seus respectivos exemplos de aprendizagem digitados no estilo passo a passo. O livro utilizado, Concursos Públicos - Matemática Geral e Financeira, de Benjamin Cesar de Azevedo Costa, serviu de base para a formatação das etapas finais dos estudos. A matemática foi, gradativamente, aplicada ao comércio e às finanças devido a necessidade de melhor entendimento entre as relações de troca, para a utilização das melhores taxas em empréstimos e investimentos, para se fazer previsões de movimentação de capital no mercado, para cálculo de juros, montante, descontos. Dessas aplicações, originou-se o ramo específico, chamado Matemática Financeira. A Matemática Financeira deve ser bem entendida, pois o conhecimento e a informação representam um grande poder para a execução de serviços, especialmente em um mercado econômico que não é estático. O estudo deve ser uma constante na vida do aluno, pois aquele que conseguir aliar a fundamentação teórica à prática, terá um poderoso instrumento de trabalho nas mãos, além, é claro, de clientes para efetuar negócios.
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MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade I Unidade I Conceituar os termos Proporção, Juros, Inflação, Taxa de juros; Realizar operações com números proporcionais, operações sobre mercadorias, taxas de juros, inflação; Refletir sobre a importância da Matemática Financeira na atualidade. 9
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MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade I INTRODUÇÃO O Capitalismo começou após o enfraquecimento do Feudalismo, por volta do décimo segundo século depois de Cristo, constituindo-se um novo sistema econômico, social e político. Capitalismo é o sistema econômico baseado na legitimidade dos bens privados e na irrestrita liberdade do comércio e da indústria, com o objetivo principal de conseguir lucro. Como importantes características do Capitalismo, podemos citar: a combinação de três centros econômicos (produção, oferta e consumo) formatando a economia de mercado; o surgimento das grandes empresas; as relações de trocas monetárias; a preocupação com os rendimentos; e, principalmente, o trabalho assalariado. a) Capitalismo selvagem é expressão comum, especialmente partindo dos simpatizantes do socialismo. E você, o que entende por capitalismo? b) Nossa apostila traz breves noções de economia. Relendo o texto, responda: como pode ser definido o capitalismo financeiro? Durante o seu desenvolvimento, o Capitalismo passou por quatro fases, sendo, atualmente, chamado de Capitalismo Financeiro. Nesta fase, as grandes empresas financeiras são as detentoras do maior volume do capital em circulação. As etapas do Capitalismo são, assim, enumeradas: 1ª Pré-Capitalismo: fase de implantação desse sistema (séculos XII ao XV); 2ª Capitalismo Comercial: os comerciantes administravam a maior parte dos lucros (séculos XV ao XVIII); 3ª Capitalismo Industrial: o capital é investido nas indústrias, transformando os industriais em grandes capitalistas (séculos XVIII, XIX, XX). É bom lembrar que esta terceira fase ainda acontece; 4ª Capitalismo Financeiro: o maior volume de capital em circulação é administrado pelas empresas financeiras. 11
TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS 1. NÚMEROS PROPORCIONAIS João precisava calcular a altura de um poste, muito alto. Ele não podia medi-lo diretamente. João fez o seguinte: colocou uma pessoa que mede 1,80 m ao lado do poste e marcou as duas sombras a do poste e a da pessoa. Ele verificou e anotou: a sombra da pessoa media 1,20 m. a sombra do poste media 20 m. A partir dessas medidas, João encontrou a altura do poste. Ele fez as seguintes operações: Comparou o comprimento da sombra da pessoa com a altura dela. Ele escreveu as medi- 120 das em centímetros, assim,. Depois ele sim- 180 120 2 plificou a fração e encontrou =. 180 3 Portanto, a razão entre o comprimento da sombra e a da altura da pessoa foi de: 3 2 ou 2:3, ou seja de 2 para 3. Como as medidas foram feitas no mesmo local e na mesma hora, João pôde concluir que a razão entre o comprimento da sombra do poste e a altura do mesmo era de 3 2. 12 Assim, João montou a operação 20m 2 = e pôde concluir que a altura do poste? 3 20 2 é igual a 30 m, porque a razão é igual a. 30 3 Essa igualdade é uma proporção e os números usados nas medidas são denominados números proporcionais. Para um corretor de imóveis, é muito importante saber trabalhar com números proporcionais porque ele, muitas vezes, terá que determinar a relação entre medidas de um desenho, de uma planta, de um mapa geográfico e as medidas reais correspondentes. Veja o exemplo: Um corretor tinha a planta de um apartamento. Ele precisava saber qual era a área da sala, examinou a planta e verificou o seguinte: de acordo com a escala apresentada, cada centímetro desenhado no mapa correspondia a 100 centímetros da realidade, portanto 1:100; se a razão entre as medidas que apareceram na planta da sala e as medidas reais 1 era de 1 : 100 ou (lê-se 1 para 100), 100 isto significa que as medidas reais eram 100 vezes maiores do que as medidas assinaladas na planta; um dos lados da sala media 6 cm e o outro 8 cm; que para conhecer as medidas reais da sala, ele deveria multiplicar as medidas da planta por 100; 6 cm. 100 = 600 cm = 6 m 8 cm. 100 = 800 cm = 8 m Portanto, as medidas reais da sala são 6m e 8m. A área da sala é de 48m². O corretor pode adotar o mesmo procedimento para verificar outras medidas, tais como área, largura e altura de outras partes desenhadas na planta. Uma razão compara dois números pela divisão. Quando encontramos uma igualdade entre duas razões, a essa relação damos o nome de proporção, porque as quantidades medidas são proporcionais.
MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade I Mais um exemplo: O corretor foi mostrar uma fazenda que está à venda. Ele viajou 120 km e levou 2 horas e pretende visitar outra que fica a 180 km dali. Se ele viajar na mesma velocidade, quanto tempo vai precisar para chegar até a outra fazenda? 120 180 Veja: = 2? Os números que medem as distâncias e o tempo são proporcionais. Quanto maior a distância, maior será o tempo que ele vai gastar na viagem. Como ele pode conhecer o número da proporção desse exemplo? O corretor já conhece algumas proporções, tais como: a) 2 6 = b) 3 9 3 = 4 24 32 Ele sabe que se multiplicar os denominadores pelos numeradores vai poder verificar se as frações são iguais, se são proporcionais. Veja: 2.9 = 18 3.6 = 18, logo 2.9 = 3.6 120 180 = e aplicou a propriedade utilizada, anteriormente, e X 2 encontrou: 120. X = 2. 180 120. X = 360 X = 360 : 120 X = 3 O corretor levará 3 horas para chegar à outra fazenda. Verifique e faça o que se segue: Sendo a e b, duas grandezas conhecidas, definimos a razão entre a e b, nesta ordenação, como o quociente entre a e b. Então, escrevemos: b a ou a : b. Observação: a grandeza que se encontra no denominador deve possuir o seu valor diferente de zero. a b (a é o numerador e b é o denominador). 3.32 = 96 4.24 = 96, logo 3.32 = 4.24 Essa frações são iguais, existe uma proporção entre elas, porque numa proporção os produtos do numerador de uma fração pelo denominador da outra fração são iguais. O corretor que já conhecia essa importante propriedade usada em Matemática fez o seguinte: substituiu o ponto de interrogação pela letra x que fica no lugar do termo desconhecido. a) Pense um pouco e responda: por que é importante para o corretor de imóveis conhecer noções de razão e proporção? b) Calcule a razão entre a e b, sabendo-se que a = 32 e b = 28. 13
TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS A igualdade de duas razões equivalentes é chamada Proporção. Essa igualdade é uma proporção e os números usados nas medidas são proporcionais. Essas três frações são Razões Equivalentes pois dividindo-se o numerador pelo denominador, em cada uma das três frações, obteremos o mesmo resultado. 16 8 Exemplo 1: =, 16 e 7 são os extremos 14 7 da proporção e 14 e 8 são os meios da proporção. Propriedade Fundamental: Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.. 7 8 = b a Resposta: Exemplo 2: As razões 12 16 e são iguais, logo: 3 4 7 8 = 14 16 = 28 32, então 28 32 = b a Solução: 12 16 =, então: 3 x 16 = 4 x 12. 3 4 48 = 48. Vamos trabalhar com a Divisão em Partes Proporcionais, através da análise do exemplo a seguir: EXEMPLO Dividir o número 850 em partes proporcionais aos números 1, 4 e 5. Observação: como a divisão é proporcional a três números, o número 850 será dividido em três partes. Solução: vamos supor que as três partes do número 850 sejam representadas, respectivamente, pelas letras X, Y e Z. 850 X= *1 = 85. 1 + 4 + 5 850 Y= * 4 = 340. 1 + 4 + 5 850 Z= * 5 = 425. 1 + 4 + 5 Somando-se os números 85, 340 e 425 obteremos o número 850, provando, assim, que a divisão em partes proporcionais está correta. 14
MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade I No cálculo de cada uma das letras (X, Y e Z), devemos sempre dividir o número principal (neste caso o número 850), pelo somatório das partes proporcionais (no exemplo foram os números 1, 4 e 5), e em seguida, multiplicar o resultado desta divisão por cada uma das partes proporcionais. Divisão em Partes Inversamente Proporcionais, utilizando uma exemplificação: Exemplo: Dividir o número 1.200 em partes inversamente proporcionais aos números 2 e 4. 1º passo: Deve-se inverter os números, tornando-os 2 1 e 4 1. 2º passo: Deve-se, agora, colocar as frações em um mesmo denominador (denominador comum). Vamos fazer o mínimo múltiplo comum e depois dividir o mínimo múltiplo encontrado pelo denominador. Em seguida multiplicaremos o resultado desta divisão pelo numerador, lembrando que estes cálculos estão acontecendo com as frações 2 1 e 1.200 2ª parte: *1 = 400. 2 + 1 4º passo: Somando-se os números 800 e 400 obteremos o número 1.200, provando assim que a divisão em partes inversamente proporcionais está correta. a) dividir o n 450 em partes proporcionais aos números 2, 3 e 5. b) dividir o número 600 em partes proporcionais aos números 1 e 3. a) Resposta: 90, 135 e 225. b) Resposta: 450 e 150. 1. Como o valor do mínimo múltiplo comum 4 será 4, as frações se modificarão para 4 2 e 4 1. 3º passo: Um novo problema aparecerá, pois agora serão utilizados apenas os numeradores das novas frações encontradas no 2º passo. A partir daqui teremos uma resolução semelhante à divisão em partes proporcionais, pois o número principal ( neste caso o número 1.200 ) será dividido pelo somatório das partes ( números 2 e 1 ), sendo o resultado desta divisão multiplicado por cada uma das partes. 1.200 1ª parte: * 2 = 800. 2 + 1 15
TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS ATENÇÃO: nesta parte, vamos estudar noções básicas que serão de grande valia no trabalho com porcentagens (percentagens). Exemplo 1: Escreva a taxa de 14,45% na forma unitária. Solução: devemos dividir a taxa por 100. 14,45 14,45% = = 0,1445. 0,1445 é a 100 forma unitária. a) qual a forma unitária dos seguintes percentuais: 1) 5 % = 2) 3,8 % = 3) 0,25 % = Exemplo 2: Colocar a fração 4 3 na forma percentual. Solução: devemos utilizar as Razões Equivalentes e a propriedade fundamental das Proporções que estão citadas no início deste tópico. b) qual a forma percentual dos seguintes números: 1) 0,025 = 2) 0,0025 = 3),25 = 3 x = 4 100 4. x = 3. 100 4x = 300 3 75 x = 75, então = = 75%. 4 100 Exemplo 3: Calcular 27% de 270. Solução: transformar 27% na forma unitária e depois multiplicar o número encontrado por 270. 27% = 27 = 0,27. 100 Assim: 0,27 x 270 = 72,9. 72,9 corresponde a 27% de 270. 16
MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade I 2. OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS 2.1 PREÇOS DE CUSTO E VENDA Vamos trabalhar com problemas de porcentagens relacionados às operações de compra e venda. Ao se efetuar a venda de uma mercadoria pode-se ter lucro ou prejuízo, sendo que os mesmos podem ser calculados sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda da mercadoria em questão. FÓRMULA BÁSICA PRV = PRC + LC Onde: PRV = Preço de Venda; PRC = Preço de Custo ou Preço de Compra; LC = Lucro obtido na Venda. 2.2 LUCROS E PREJUÍZOS O estudo será feito com base nos exemplos a seguir: Exemplo 1: Lucro sobre o custo. Uma mercadoria foi comprada por R$3.000,00 e vendida por R$ 3.850,00. Calcule o lucro, na forma percentual, sobre o preço de compra. Solução: PRC = 3.000 PRV = 3.850 3.000 100% PRV = PRC + LC 850 X LC = PRV - PRC LC = 3.850 3.000 3.000. X = 100. 850 LC = 850 X = 28,333% Obs.: O lucro sobre o custo foi de 28,333%. Exemplo 2: Lucro sobre a venda. Uma mesa de escritório foi comprada por R$550,00 e vendida por R$705,00. Calcule o lucro, na forma percentual, sobre o preço de venda. Solução: PRC = 550 PRV = 705 705 100% PRV = PRC + LC 155 X LC = PRV PRC 705. X = 100. 155 LC = 705 550 X = 21,986% LC = 155 Obs: O lucro sobre o custo foi de 21,986%. Exemplo 3: Uma mercadoria foi vendida por R$430,00. Sabendo-se que o lucro foi de 15% sobre o preço da venda, calcule esse lucro. Solução: 430 100% X 15% 100. X = 430. 15 X = 64,5 O lucro foi de R$64,50. Sendo o lucro calculado sobre o preço da venda, este terá o valor de 100%. Exemplo 4: Um monitor foi vendido por R$670,00, dando um lucro de R$152,00. Calcule o lucro, em porcentagem, sobre o preço de custo. Solução: PRV = PRC + LC PRC = PRV LC PRC = 670 152 PRC = 518 518 100% 152 X 518. X = 100. 152 X = 29,344%. 17
TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS Sendo o lucro calculado sobre o preço de custo, este terá o valor de 100%. Exemplo 5: Uma mercadoria que foi comprada por R$1.050,00 foi vendida, com um prejuízo de 42%, sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda. Solução: 142% 1.050 100% X 142. X = 100. 1050 X = 739,44. O preço de venda é R$739,44. Como o prejuízo é de 42% sobre o preço de venda, este corresponderá a 100%. O preço de custo corresponderá então a 142%. Exemplo 6: para 8. Determine o preço de venda sabendose que o preço de custo foi de R$2.500,00. Solução: Custo Prejuízo Venda 2.500 12 P 4 2.500 PRV = 12 8 12. PRV = 2500. 8 PRV = 1666,67. O preço de venda é R$1.666,67. PRV 8 A relação de proporcionalidade entre o prejuízo e o preço de venda é estabelecida pela taxa 4 para 8. Temos assim 8 unidades de preço de venda para 4 unidades de prejuízo e, consequentemente, para cada 12 unidades de custo, neste exercício. Uns móveis de escritório foram vendidos com prejuízo de 15% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda sabendo-se que o preço de custo foi de R$445,00. Solução: 115% 445 100% X 18 115. X = 100. 445 X = 386,96 O preço venda de é R$386,96. Como o prejuízo é de 15% sobre o preço de venda, este corresponderá a 100%. O preço de custo corresponderá a 115%. Exemplo 7: Utilização de índices. Em uma operação de compra e venda, a taxa de prejuízo para o preço de venda foi de 4 a) Um imóvel foi comprado por R$ 100.000,00 e vendido por R$ 156.000,00. Calcule o lucro da operação, na forma percentual. b) Na venda de um apartamento, o proprietário obteve um lucro de 20%. Se o preço pago pelo comprador foi de R$ 600.000,00, qual foi o preço pago inicialmente pelo proprietário?
MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade I 3. TAXA DE JUROS a) O lucro corresponde a 56% do valor inicial do imóvel. b) R$ 500.000,00 Quando pedimos emprestado uma certa quantia a uma pessoa ou a uma instituição financeira é normal, pelo transcurso do tempo, pagarmos o valor que nos foi emprestado, acrescido de outra quantia que representa o aluguel pago pelo empréstimo. Essa outra quantia representa o juro, ou seja, representa o bônus que se paga por um capital emprestado. O juro que é produzido em uma determinada unidade de tempo ( ao ano, ao mês, ao dia), representa uma certa porcentagem do capital ou do montante, cuja taxa se chama Taxa de Juros. 3.1 HOMOGENEIDADE ENTRE TEMPO E TAXA O prazo de aplicação (representado pela letra n) deve estar, sempre, na mesma unidade de tempo (anos, meses, dias) em que está a taxa de juros (representada pela letra i ). CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES 1º) - O mês comercial possui 30 dias; - O ano comercial possui 360 dias; - O ano civil possui 365 dias. 2º) Normalmente, a taxa de juros i está expressa na forma percentual. Assim, para usála em qualquer fórmula de matemática financeira deve-se, antes, transformá-la para a forma unitária. Ex.: i = 25,8% forma unitária i = 0,258. Exemplo 1: A taxa de juros de 18% ao ano, considerando-se o ano comercial, equivale a quanto % (por cento) ao dia? Solução: ano comercial = 360 dias. 18% i = = 0,05% ao dia. 360 resposta: 0,05% ao dia. 19
TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS Exemplo 2: A taxa de juros de 12% ao ano equivale a quanto % (por cento) ao mês? Solução: i = 12% ao ano. 12% i = = 1% ao mês. 12 resposta: 1% ao mês. a) 1% a.m. b) 21,6% a.m. Exemplo 3: A taxa de juros de 3% ao mês, considerando-se o mês comercial, equivale a quanto % (por cento) ao dia? Solução: mês comercial = 30 dias. 3% i = = 0,1 % ao dia. 30 resposta: 0,1% ao dia. Exemplo 4: A taxa de juros de 4,5% ao mês equivale a quanto % ( por cento) ao ano? Solução: ( 4,5% ao mês) x 12 = 54% ao ano. i = 54% ao ano. resposta: 54% ao ano. Exemplo 5: A taxa de juros de 0,03% ao dia equivale a quanto % ( por cento) ao ano, levando-se em consideração o ano civil? Solução: ( 0,03% ao dia ) x 365 = 10,95% ao ano. i = 10,95% ao ano. resposta: 10,95% ao ano. a) A taxa de juros de 12,0 % ao ano equivale a quanto % ( por cento) ao mês? b) A taxa de 1,8 % ao mês equivale a quanto % (por cento) ao ano? 20
MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade I 3.2 JURO EXATO E JURO COMERCIAL Geralmente, nas operações correntes, a curto prazo, os bancos comerciais utilizam o prazo n ( tempo ) expresso em dias. Assim, no cálculo do juro exato, teremos a taxa de juros i dividida por 365 dias, pois o ano utilizado é o ano civil. No cálculo do juro comercial, teremos a taxa de juros i dividida por 360 dias, pois o ano utilizado é o ano comercial. i Juro Exato J = C x 365 i Juro Comercial J = C x 360 x n. x n. Obs.: As fórmulas do juro exato e do juro comercial serão abordadas no tópico capitalização simples. Por enquanto, basta compreender que as divisões feitas nas duas fórmulas foram necessárias para que a unidade de tempo entre n e i fossem iguais. 4. INFLAÇÃO A inflação é caracterizada por um aumento geral e cumulativo dos preços. Esse aumento não atinge apenas alguns setores, mas o bloco econômico como um todo. O aumento cumulativo dos preços acontece de forma contínua, prolongando-se, ainda, por um tempo indeterminado. O Estado, em associação com a rede bancária, aumenta o volume do montante dos meios de pagamento para atender a uma necessidade de demanda por moeda legal. Associado a esse aumento do montante de pagamento acontece, também, o aumento dos preços. O aumento dos preços gera a elevação do custo de vida, popularmente chamado de carestia. O custo de vida apresenta-se com peso variado nas diferentes classes econômicas. Uma família pobre tende a utilizar o pouco dinheiro conseguido para comprar gêneros alimentícios. O restante do dinheiro geralmente é utilizado para o pagamento de serviços de água, luz e esgoto. Em uma família abastada, além dos gastos com alimentos, água tratada e eletricidade, costuma-se também gastar com roupas, carros, viagens, clínicas de beleza e estética, entre outras coisas. Assim, um aumento nos preços dos produtos de beleza e rejuvenescimento terá peso zero no custo de vida da família pobre e um acréscimo no orçamento da família rica. Em suma, o custo de vida aumenta quando um produto que possui um determinado peso nas contas mensais sofre também um aumento. EXEMPLO DE AUMENTO DO CUSTO DE VIDA Um casal gasta de seu orçamento mensal 12% com alimentação, 10% com vestuário, 8% com plano de saúde e 5% com o lazer. Acontece, então, uma elevação geral nos preços, acrescentando um aumento de 3% nos gastos com alimento, 5% nos gastos com vestuário, 4% nos gastos com plano de saúde e 2% nos gastos com o lazer. Calcule o aumento do custo de vida no mês. Solução: Para o cálculo do aumento, proporcionado por cada produto, deve-se multiplicar o gasto no orçamento na forma unitária com o aumento dos produtos na forma unitária. Alimentos: 0,12 x 0,03 = 0,0036. Vestuário: 0,10 x 0,05 = 0,005. Plano de Saúde: 0,08 x 0,04 = 0,0032. Lazer: 0,05 x 0,02 = 0,001. 21
TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS Produtos Gasto no Orçamento Gasto no Orçamento na Forma Unitária Aumento dos Produtos Aumento dos Produtos na Forma Unitária Alimentos Vestuário Plano de Saúde Lazer 12% 10% 8% 5% 0,12 0,10 0,08 0,05 3% 5% 4% 2% 0,03 0,05 0,04 0,02 Produtos Alimentos Vestuário Plano de Saúde Lazer Aumento do Custo do Produto na Forma Unitária 0,0036 0,005 0,0032 0,001 Aumento do Custo do Produto na Forma Percentual 0,36% 0,50% 0,32% 0,10% Com o somatório dos aumentos de cada produto na forma percentual obtemos o aumento do custo de vida no mês em questão: 0,36% + 0,50% + 0,32% + 0,10% = 1,28%. Nesse mês, o aumento no custo de vida para a família do exemplo foi de 1,28%, devido a elevação dos preços de quatro produtos utilizados pelo casal. a) Decorar não é bom. Tente entender cada incógnita e escreva abaixo a fórmula para cálculo de juros simples. b) Relendo as noções de inflação, defina, com suas palavras, o que vem a ser aumento do custo de vida. 22
MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade II Unidade II Conceituar os termos Capitalização, Juros simples e compostos, Montante, Desconto; Realizar operações sobre taxas de juros, regimes de capitalização; Refletir sobre a importância desses conhecimentos e operações na atualidade. 23
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MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade II 5. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Capitalização é a formação ou acumulação de bens de capital, de bem econômico. Em um processo de capitalização, a pessoa aplica determinada quantia por um certo período e ao final recebe o capital empregado, mais os juros relativos a esse tempo. A soma, o ajuntamento dos juros obtidos com o capital empregado, é o que se chama capitalização. Existem dois tipos de capitalização: simples e composta. No regime de capitalização simples, temos a taxa ( i ) incidindo somente sobre o capital inicial ( C ), proporcionando, assim, a obtenção de juros simples, ao final do período de tempo ( n ). No regime de capitalização composta, temos o capital principal acrescido de juros obtidos em mais de um período de aplicação. Assim, a cada nova aplicação, por outros períodos, tem-se um novo capital. 5.1 JUROS SIMPLES * Juro produzido pelo capital C ao final de um período de tempo: J = C x i. * Juro produzido pelo capital C ao final de n ( vários ) períodos de tempo: J = C x i x n. FÓRMULA BÁSICA J = C x i x n Onde: J = juros simples; C = capital inicial ou principal; i = taxa de juros; n = tempo de aplicação ou prazo de tempo. Exemplo 1: Se um capital de R$8.825,00 for aplicado durante 2 meses, à taxa de 2% ao mês, qual será o valor dos juros simples? Solução: J = C x i x n C = 8825 J = 8825 x 0,02 x 2 i = 2% ao mês = 0,02 J = 353 n = 2 meses J = R$353,00 Obs.: i e n estão na mesma unidade de tempo. Exemplo 2: Se um capital de R$550,00 for aplicado durante 4 meses, à taxa de 9% ao ano, qual será o valor dos juros simples? Solução: J = C x i x n. C = 550. 9% i = 9% ao ano = 0,75% ao 12 mês = 0,0075. n = 4 meses. J = 550 x 0,0075 x 4. J = 16,50. J = R$16,50. Exemplo 3: Calcule o capital necessário para que haja um rendimento de R$650,00, sabendo-se que a taxa utilizada é de 5% ao mês e o período de tempo igual a 6 meses. Solução: J = C x i x n, mas isolando-se C temos, C = J i. n J = 650. i = 5% ao mês = 0,05. 650 C = 0,05 * 6 n = 6 meses. C = 2166,67 C = R$2.166,67 Exemplo 4: Um capital de R$425,00 foi aplicado durante 6 meses, rendendo R$105,00 de juros simples. Calcule a taxa mensal i. Solução: J = C x i x n, mas isolando-se i J temos, i =. C.n J = 105 C = 425. 105 i = 425 * 6 n = 6 meses. i = 0,04117 25
TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS i = 0,04117 está na forma unitária. Para colocarmos o resultado na forma percentual devemos multiplicar i por 100, ficando então como resposta, i = 4,117% ao mês. Na taxa i a unidade de tempo utilizada foi o mês porque o período de aplicação estava em meses. a) Calcule os juros simples de um capital de R$ 35.400,00, aplicado durante 15 meses à taxa de 2,6 % ao mês. b) Calcule a taxa aplicada a um capital de R$ 12.600,00, durante 3 meses, e que rendeu juros simples de R$ 680,40. a) R$ 13.650,00. b) i = 1,80% a.m. 26
MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade II 5.2 MONTANTE SIMPLES À soma dos juros simples (relativo ao período de aplicação) com o capital inicial ou principal dá-se o nome de montante simples. FÓRMULAS S = J + C ou S = C x i x n + C S = C x ( i x n + 1) Onde: S = Montante Simples; J = Juros Simples; i = Taxa de Juros; n = Período de Aplicação. Exemplo 1: Um capital de R$1.550,00 foi aplicado durante um período de 8 meses, à taxa de 24% ao ano, no regime de capitalização simples. Calcule o montante. Solução: S = J + C C = 1550. 24% i = 24% ao ano = 2% ao 12 mês = 0,02. n = 8 meses. J = C x i x n. J = 1550 x 0,02 x 8. J = 248. S = J + C. S = 248 + 1550. S = 1798. S = R$1.798,00. Exemplo 2: Calcule o tempo no qual devese aplicar uma quantia de R$ 200.000,00, para obter um montante simples de R$360.000,00, à taxa de 16% ao mês. Solução: C = 200.000. S = C x (i x n + 1) S = 360.000. ( i x n + 1 ) = C S i = 16% ao mês = 0,16. 360.000 (i x n + 1) = 200.000 (i x n + 1) = 1,8. i x n = 1,8 1. i x n = 0,8. 0,16 x n = 0,8. n = 5 meses. A unidade utilizada para n foi meses, devido ao fato de i também estar em meses. 5.3 DESCONTO SIMPLES Toda vez que se paga um título, antes da data de seu vencimento, obtemos um desconto (abatimento). Algumas considerações: Valor Nominal (VN) é o valor indicado no título, na data de seu vencimento. Valor Atual (VA) é o valor do título no dia do seu pagamento antecipado, ou seja, antes da data de vencimento. D =VN VA Onde: D = Desconto. Desconto Racional ou Por Dentro : Equivale aos juros simples produzidos pelo valor atual, à taxa utilizada e ao período de tempo correspondente. FÓRMULA VA DR VN = = 1 i. n 1 + i. n Onde: DR = Desconto Racional; VA = Valor Atual; VN = Valor Nominal; i = taxa; n = Período de Tempo. 27
TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS Exemplo 1: Calcule o desconto racional para um título com valor atual de R$16.000,00, à taxa de 2,6% ao mês e com prazo de 3 meses para o vencimento. VA DR Solução: 1 = VA = 16.000 i. n i = 2,6% ao mês = 0,026 n = 3 meses. DR = VA x i x n DR = 16.000 x 0,026 x 3 DR = 1.248 DR = R$1.248,00 Exemplo 2: De um empréstimo com valor atual de R$ 750,00, calcule o desconto racional, sabendo-se que a taxa de juros é de 12% ao ano e o prazo é de 5 meses para o vencimento. Solução: 28 VA DR 1 = VA = 750. i. n 12% i = 12% ao ano = 1% ao mês = 0,01. 12 DR = VA x i x n DR = 750 x 0,01 x 5 DR = 37,5 DR = R$37,5. Desconto Bancário ou Comercial ou Por Fora : Equivale aos juros simples produzidos pelo valor nominal, à taxa utilizada e ao período de tempo correspondente. VA 1 i. n FÓRMULA DB = i. n Onde: DB = Desconto Bancário; VA = Valor Atual; VN = Valor Nominal; i = Taxa; n = Período de Tempo. VN = 1 Exemplo 1: Calcule o desconto bancário para um compromisso de valor nominal igual à R$ 2.700,00, à taxa de 18% ao ano, e prazo de 33 dias antes do vencimento. (Considerar o ano comercial). Solução: DB VN = VN= 2.700. i. n 1 18% i = 18% ao ano = 0,05% 360 ao dia = 0,0005. DB = VN x i x n DB = 2700 x 0,0005 x 33 DB = 44,55 DB = R$44,55. Exemplo 2: Calcule o desconto por fora para um pagamento antecipado, à taxa de 5,8% ao mês e prazo de 5 meses, sabendo-se que o valor nominal é de R$ 42.000,00. Solução: 0,058. DB VN = VN = 42.000 i. n 1 i = 5,8% ao mês = DB = VN x i x n DB = 42.000 x 0,058 x 5 DB = 12.180 DB = R$12.180,00. Considerações finais dentro da capitalização simples: - Como calcular uma taxa acumulada (ao ano) que é aplicada pelo período de n meses: Exemplo: No regime de capitalização simples, calcular a taxa acumulada a 36% ao ano, aplicada durante 8 meses. Solução: 1º) Verifica-se a taxa, neste caso i =36% ao ano;
MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade II 2º) Verifica-se o número de meses de aplicação, neste exemplo são 8 meses; 3º) Calcula-se o valor da taxa i no mês; 36% ex.: = 3% ao mês. 12 4º) Multiplica-se a taxa encontrada pelo número de meses; ex.: 3% x 8 = 24%. 5º) Resultado Final: 24%. a) Calcule o tempo necessário para aplicar uma quantia de R$ 100.000,00, e obter um montante simples de R$ 180.000,00, à taxa de 8 % ao mês. b) Se um empréstimo foi feito com valor atual de R$ 1.500,00, calcule o desconto racional, sabendo-se que a taxa de juros é de 6% ao ano e o prazo é de 10 meses para o vencimento. a) t = 10 meses. b) R$ 900,00. 29
TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS 6. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Como foi visto anteriormente, no início de uma aplicação temos o capital principal; após um período, esse capital sofre uma remuneração (juros), sendo então, capital e juros somados para, assim, formarem um novo capital (1º montante). Esse novo capital, após um segundo período, sofre uma outra remuneração (juros), sendo então, novo capital e juros somados para, assim, formarem um segundo montante. (e assim por diante). Então as remunerações acontecerão sempre em cima do montante do período anterior, caracterizando o que chamamos de capitalização composta. 6.1 JUROS COMPOSTOS 30 FÓRMULA [ 1 + 1] n j = C x ( i) Onde: j = Juros Compostos; C = Capital Inicial; ( 1+i ) n = Fator de Capitalização; i = Taxa de Juros; n = Período de Tempo. Exemplo 1: Ao se aplicar um capital de R$829,30, no regime de capitalização composta, por um período de 3 meses, à taxa de 2,4% ao mês, qual será o juro obtido? Solução: C = 829,30. [ 1+ 1] n j = C x ( i) i = 2,4% ao mês = 0,024. [ 1] 3 j = 829,30 x ( 1 + 0,024) n = 3 meses. [ 1] 3 j = 829,30 x ( 1,024) j = 829,30 x [ 1,073742 1] j = 61,15 j = R$ 61,15. Exemplo 2: Calcule o valor dos juros compostos para um capital de R$777,56, aplicado à taxa de 6% ao ano, durante um período de 2 meses. Solução: C = 777,56. i = 6% ao ano = 0,5% [ 1 + 1] n ao mês = 0,005. j = C x ( i) n = 2 meses. [ 1] 2 [ 1,005 1] 2 j = 777,56 x ( 1 + 0,005) j = 777,56 x ( ) j = 777,56 x [ 1,010025 1] j = 7,80 j = R$7,80. 6.2 MONTANTE COMPOSTO FÓRMULA s = C x ( 1+i ) n Onde: s = Montante Composto; C = Capital Principal; ( 1+i ) n = Fator de Capitalização; i = Taxa de Juros; n = Período de Tempo. Exemplo 1: Calcule o montante composto para um capital de R$627,43, aplicado à taxa de 2% ao bimestre, durante um período de 6 meses. Solução: C = 627,43. i = 2% ao bimestre = 0,02. n = 6 meses Como 6 meses correspondem a três bimestres, o n será igual a 3, pois o período de capitalização é bimestral.
MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade II s = C x ( 1+i ) n s = 627,43 x (1+0,02) 3 s = 627,43 x (1,02) 3 s = 627,43 x (1,061202) s = 665,83 s = R$665,83. Exemplo 2: Calcule o montante produzido por um capital de R$15.600,70, aplicado à taxa de 7,2% ao mês, durante 4 meses. Solução: C = 15.600,70. s = C x ( 1+i ) n i = 7,2% ao mês = 0,072. s = 15.600,70 x (1+0,072) 4 n = 4 meses. s = 15.600,70 x (1,072) 4 s = 15.600,70 x (1,320623) s = 20.602,64. s = R$20.602,64. Exemplo 3: Calcule o capital que gera um montante composto de R$7.656,70, à taxa de 18% ao ano, durante um período de aplicação de 4 meses. Solução: s = 7.656,70. 18% i = 18% ao ano = 1,5 % 12 ao mês = 0,015. n = 4 meses. s = C x ( 1+i ) n s C = ( 1+ i) 7.656,70 C = 4 (1 + 0,015) n 7.656,70 C = 4 (1,015) 7.656,70 C = 1,061363 C = 7.214,03. C = R$ 7.214,03. Exemplo 4: Calcule a taxa composta para que um capital de R$300,00 consiga gerar um montante de R$ 4.800,00, em um período de 2 meses. Solução: C = 300. s = C x (1+i ) n (1+i ) n = C s (1+i ) 2 4.800 = 300 (1+i ) 2 = 16. (1+i ) = 16 1+ i = 4 i = 4 1 i = 3 s = 4.800 n = 2 meses i = 3 representa a taxa na forma unitária; Ao multiplicarmos por 100 obteremos a taxa i na forma percentual: i = 300%; Para se descobrir a unidade de tempo da taxa, é só lembrar que o período de tempo n está sendo usado em meses. Resposta: i = 300% ao mês. a) Ao se aplicar um capital de R$ 5.000,00, no regime de capitalização composta, por um período de 4 meses, à taxa de 3,0% ao mês, qual será o juro obtido? b) Calcule a taxa mensal que, aplicada a um capital de R$ 7.300,00 durante quatro meses, rendeu juros compostos de R$ 601,75. 31
TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS 6.3 DESCONTO COMPOSTO No desconto composto, a taxa incide sobre uma determinada quantia que equivale ao capital. Essa determinada quantia é chamada de valor atual. Nos cálculos deste tipo de desconto, o montante equivale ao valor nominal. 32 FÓRMULA: VN = VA x ( 1 + i) n D = VN - VA Onde: VN = Valor Nominal; VA = Valor Atual; D = Desconto Composto. Exemplo 1: Determine o desconto composto de um capital de R$1.250,52, à taxa de 1,7% ao mês, 2 meses antes do vencimento. Solução : VN = 1.250,52. i = 1,7% ao mês = 0,017. n = 2 meses. VN = VA x ( 1+ i VN VA = ( 1+ i ) n 1.250,52 ) n VA = ( ) 2 1+ 0,017 1.250,52 VA = ( 1,017) 2 1.250,52 VA = 1,034289 VA = 1.209,06. D = VN VA D = 1.250,52 1.209,06 D = 41,46 D = R$41,46. Exemplo 2: Calcular o valor atual de um título de R$753,53, à taxa de 18% ao ano, 3 meses antes do vencimento. Solução: VN = 753,53. 18% i = 18% ao ano = 1,5 % 12 ao mês = 0,015. n = 3 meses. VN = VA x ( 1 + i) n VN VA = ( 1 + i ) n 753,53 VA = ( ) 3 1 + 0,015 753,53 VA = 1,045678 VA = 720,61 VA = R$ 720,61. Considerações finais dentro da capitalização composta: - Cálculo do montante a partir de uma série de vários depósitos: M = Montante; Dep = Depósitos. FÓRMULA: M = Dep x ( 1 + i ) n 1 i Onde: Exemplo: Calcule o montante de uma série de 4 depósitos de R$ 230,00 cada um, efetuados no fim de cada mês, à taxa de 2% ao mês, após o quarto depósito. Solução: Dep = 230. i = 2% ao mês = 0,02.
MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade II M = Dep x ( + ) 1 i n 1 i ( 1 + 0,02 ) M = 230 x 1,02 0,02 ( ) M = 230 x 0, 02 4 4 1 (,082432 ) M = 230 x 1 1 1 0,02 0,082432 M = 230 x 0,02 M = 230 x 4,1216 M = 947,96 M = R$947,96. a) Um título bancário no valor de R$ 18.500,00 foi descontado 4 meses antes de seu vencimento, gerando um valor líquido para o credor de R$ 12.500,00. Qual a taxa de desconto percentual mensal usada na operação? 1. i = 12% a.m. Equivalência entre taxa anual composta e taxa mensal composta: FÓRMULA: ( + i ) = ( 1 + i ) 12 1 a m ( + i ) = ( 1 + i ) 12 1 a m Onde: i a = Taxa anual composta; i m = Taxa mensal composta. Exemplo: Determine a taxa anual composta equivalente à taxa mensal de 3%. Solução: ( + i ) = ( 1 + i ) 12 1 a m ( 1 i ) = ( 1 + 0,03 ) 12 + a ( 1 + i ) ( ) 12 a = 1,03 ( 1 i ) = ( 1,425760 ) + a i a = 1,425760-1 i a = 0,425760 Ao se multiplicar a taxa anual composta por 100, obtém-se o valor da referida taxa na forma percentual, ficando o valor igual a 42,5760%. 33
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 16 1. Escreva a fração na forma percentual: 18 a) 88,889% b) 86,800% c) 80,600% d) 90,889% e) 92,800% 2. A taxa de juros de 23,5% na forma unitária é: a) 235,0 b) 0,023 c) 023,5 d) 02,35 e) 0,235 3. Calcule o valor do somatório de: 42% de 350 com 16% de 102: a) 160,40 b) 163,32 c) 165,45 d) 167,32 e) 161,23 4. Divida o número 540 em partes proporcionais aos números 4, 5 e 6: a) 148, 180, 212. b) 180, 212, 148. c) 100, 200, 240. d) 144, 180, 216. e) 200, 216, 124. 5. Divida o número 325 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4: a) 200, 100, 25. b) 50, 75, 200. c) 150, 100, 75. d) 300, 10, 15. e) 20, 85, 220. 6. Uma mesa de escritório foi comprada por R$ 275,00 e vendida por R$ 345,00. Calcule o lucro, na forma percentual, sobre o preço de compra: a) 25,45% b) 25,75% c) 22,40% d) 23,45% e) 26,40% 7. Uma mercadoria foi comprada por R$ 150,00 e vendida por R$ 205,00. Calcule o lucro, na forma percentual, sobre o preço de venda: a) 25,20% b) 26,75% c) 25,89% d) 26,50% e) 26,83% 8. Um monitor de computador foi vendido com um prejuízo de 9% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda sabendo-se que o preço de custo foi de R$ 327,00: a) R$ 300,00 b) R$ 305,00 c) R$ 310,00 d) R$ 295,00 e) R$ 290,00 9. Em uma determinada operação imobiliária (compra e venda), a taxa de prejuízo para o preço de venda foi de 2 para 6. Determine o preço de venda sabendo-se que o preço de custo foi de R$ 705,00: a) R$ 515,45 b) R$ 522,75 c) R$ 538,75 d) R$ 532,75 e) R$ 528,75 10. A taxa de juros de 24% ao ano, considerandose o ano comercial, equivale a quanto % ao dia? a) 0,050% ao dia. b) 0,056% ao dia. c) 0,067% ao dia. d) 0,072% ao dia. e) 0,035% ao dia. 35
TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS 11. A taxa de juros de 18% ao ano equivale a quanto % ao mês? a) 1,50% ao mês. b) 1,30% ao mês. c) 1,25% ao mês. d) 1,35% ao mês. e) 1,55% ao mês. 12. A taxa de juros de 3,75% ao mês equivale a quanto % ao ano? a) 40% ao ano. b) 45% ao ano. c) 35% ao ano. d) 30% ao ano. e) 42% ao ano. 13. Calcule os juros simples para um capital de R$ 823,00, aplicado à taxa de 24% ao ano, durante um período de 6 meses: a) R$ 101,00. b) R$ 99,40. c) R$ 98,76. d) R$ 95,20. e) R$ 97,40. 14. Calcule a taxa necessária para transformar R$ 15.000,00 em R$ 25.000,00 no prazo de 3 meses no regime de capitalização simples (juros simples): a) 22,22% ao mês. b) 22,23% ao ano. c) 2,22% ao ano. d) 2,22% ao mês. e) 88,22% ao mês. 15. Aplicando-se a juros simples a quantia de R$ 30.000,00, durante 8 meses, à taxa de 5% ao mês, qual será o montante obtido no final do período? a) R$ 34.000,00 b) R$ 36.000,00 c) R$ 38.000,00 d) R$ 40.000,00 e) R$ 42.000,00 36 16. Calcule o montante de uma série de 3 depósitos de R$ 150,00 cada um, efetuados no fim de cada mês, à taxa de 1% ao mês, após o terceiro depósito: a) R$ 450,47 b) R$ 454,51 c) R$ 460,51 d) R$ 458,87 e) R$ 465,00 17. Calcule o montante da aplicação de um capital de R$ 35.000,00, durante um período de 4 meses, a juros compostos de 7% ao mês: a) R$ 50.887,86 b) R$ 48.787,90 c) R$ 46.560,86 d) R$ 45.877,86 e) R$ 42.900,86 18. No regime de capitalização simples, a taxa acumulada a 18% ao ano, aplicada durante 4 meses, é de: a) 7% b) 4% c) 6% d) 8% e) 10% 19. No regime de capitalização composta, determine a taxa anual equivalente à taxa mensal de 1,5%: a) 19,56% b) 20,06% c) 22,07% d) 18,40% e) 18,56% 20. Um capital C foi aplicado em um sistema de capitalização que pagou juros compostos, à taxa de 10% ao mês. Após um bimestre, o montante era de R$ 1.050,00. Calcule o valor do capital C: a) R$ 850,50 b) R$ 855,46 c) R$ 867,76 d) R$ 870,40 e) R$ 872,76
MATEMÁTICA FINANCEIRA 21. Um capital de R$ 2.330,00 eleva-se para R$ 2.790,00, em 1 ano, no regime de capitalização simples. Calcule a taxa de aplicação ao ano. a) 19,50% ao ano b) 19,74% ao ano c) 18,56% ao ano d) 13,74% ao ano e) 15,64% ao ano 22. Calcule o montante simples para um capital de R$11.111,00, aplicado por um período de 72 dias, à taxa de 18% ao ano: a) R$ 11.350,60 b) R$ 11.430,23 c) R$ 12.400,00 d) R$ 11.510,99 e) R$ 10.540,99 23. Uma Letra de R$ 555,55 reduziu-se a R$ 490,00 quando foi paga um mês antes do vencimento. Calcule a taxa de desconto comercial simples: a) 12,33% ao mês b) 11,55% ao mês c) 13,55% ao mês d) 12,40% ao mês e) 11,80% ao mês 24. Sabendo-se que a taxa semestral é de 3,24%, calcule o valor da taxa nominal anual: a) 6,40% ao ano b) 6,48% ao ano c) 5,72% ao ano d) 6,58% ao ano e) 6,48% ao mês 25. Calcule os juros compostos de um capital de R$ 14.401,00, à taxa de 8,6% ao ano, durante um período de 3 anos: a) R$ 4.300,00 b) R$ 3.390,15 c) R$ 4.100,15 d) R$ 4.044,15 e) R$ 4.032,00 26. Calcule o montante produzido pelo capital de R$ 7.702,00, a juros compostos de 6,2% ao ano, em um período de 3 anos: a) R$ 8.340,00 b) R$ 8.400,65 c) R$ 8.686,65 d) R$ 8.540,70 e) R$ 7.680,00 27. Calcule o valor do desconto composto para uma dívida de R$ 6.000,00 que foi descontada 1 ano antes do vencimento, à taxa de 15% ao ano: a) R$ 640,00 b) R$ 690,61 c) R$ 794,61 d) R$ 760,60 e) R$ 782,61 28. Um produto obteve dois aumentos consecutivos de 5% e 9%. No regime de capitalização composta, calcule o aumento final do produto: a) 12,45% b) 13,00% c) 13,45% d) 14,00% e) 14,45% 29. Calcule a taxa semestral proporcional a 47,42% ao ano: a) 4,74% b) 20,42% c) 25,00% d) 23,71% e) 23,00% 30. Calcule os juros simples para um capital de R$ 57,57, à taxa de 9% ao mês, durante um período de 23 dias: a) R$ 4,50 b) R$ 5,97 c) R$ 3,97 d) R$ 2,62 e) R$ 3,45 37
TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS 38
BIBLIOGRAFIA MATEMÁTICA FINANCEIRA ARRUDA, J. J. A História Moderna e Contemporânea. 3. ed. São Paulo: Editora Ática, 1988. 263p. COSTA, B. C. A Concursos Públicos - matemática geral e financeira. 2. Ed. Rio de Janeiro: Oficina do Autor, 1996. 206 p. CRESPO, A. A. Matemática comercial e financeira. 6 ed. São Paulo: Editora Saraiva, 1991. D AMBRÓSIO, N. & D AMBRÓSIO, U. Matemática comercial e financeira com complementos de matemática e introdução ao cálculo. 25. ed. São Paulo: Companhia Editora Nacional, 1977. 287 p. FARIA, R. G. Matemática comercial e financeira. Belo Horizonte: Editora Mc Graw-Hill do Brasil, 1979. 219 p. MARZAGÃO, L. J. Matemática financeira: noções básicas. Belo Horizonte: Edição do Autor, 1996, 173 p. SANTOS, C. A. M.; GENTIL, N. & GRECO, S. E. Matemática. Série Novo Ensino Médio volume único. São Paulo: Editora Ática, 2003. 424 p. SINGER, P. Guia da inflação para o povo. 9. ed. Petrópolis: Vozes, 1983. 80 p. 39
TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS GABARITO 1-A 2-E 3-B 4-D 5-C 6-A 7-E 8-A 9-E 10-C 11-A 12-B 13-C 14-A 15-E 16-B 17-D 18-C 19-A 20-C 21-B 22-D 23-E 24-B 25-D 26-C 27-E 28-E 29-D 30-C 40
MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade I TABELAS FINANCEIRAS Apresentamos, a seguir, algumas tabelas finaceiras (Tabela Price) para algumas taxas de juros mais usuais. Por exemplo: 0,01%, 0,10%, 0,50%, 1%, 2%, 3%, 4%, 5%, 6%, 7%, 8%, 9% e 10%. Para outras taxas deve-se consultar tabelas mais amplas ou calculadoras financeiras mais complexas. TAXA DE JURO: 0,01% 41
TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS TAXA DE JURO: 0,10% 42
MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade I TAXA DE JURO: 0,50% 43
TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS TAXA DE JURO: 1,00% 44
MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade I TAXA DE JURO: 2,00% 45
TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS TAXA DE JURO: 3,00% 46
MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade I TAXA DE JURO: 4,00% 47
TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS TAXA DE JURO: 5,00% 48
MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade I TAXA DE JURO: 6,00% 49
TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS TAXA DE JURO: 7,00% 50
MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade I TAXA DE JURO: 8,00% 51
TÉCNICO EM TRANSAÇÕES IMOBILIÁRIAS TAXA DE JURO: 9,00% 52
MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade I TAXA DE JURO: 10,00% 53