PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br
Aula 7 11/2014 Variáveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias Probabilidade e Estatística 3/41
Variáveis Aleatórias Colete dados amostrais e, então, obtenha estatísticas e gráficos x f 1 8 2 10 3 9 4 12 5 11 6 10 x = 3, 6 s =1, 7 Lance um dado Encontre a probabilidade para cada resultado P(1) = 1/6 P(2) = 1/6! P(1) = 1/6 Probabilidade e Estatística 4/41
Variáveis Aleatórias Lance um dado Criar um modelo teórico que descreva como se espera que o experimento se comporte e, então obtenha parâmetros x P(x) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 µ = 3, 5 σ =1, 7 Probabilidade e Estatística 5/41
Variáveis Aleatórias Uma é uma variável (normalmente representada por x) que assume um único valor numérico, determinado pelo acaso, para cada resultado de um experimento. Probabilidade e Estatística 6/41
Distribuição de Probabilidade Uma é uma descrição que dá a probabilidade para cada valor da variável aleatória. Ela é frequentemente expressa na forma de um gráfico, de uma tabela ou de uma fórmula. Probabilidade e Estatística 7/41
EXEMPLO 1 Considere a prole de ervilhas de pais que têm, ambos, a combinação verde/amarelo de genes de vagem. Sob essas condições, a probabilidade de uma prole ter uma vagem verde é 3/4 ou 0,75. Isto é, P (vagem verde) = 0,75. Se obtemos cinco dessas proles e fazemos: x = número de ervilhas com vagens verdes entre 5 proles de ervilhas Então, x é uma variável aleatória, pois seu valor depende do acaso. Probabilidade e Estatística 8/41
EXEMPLO 1 A tabela abaixo, é uma distribuição de probabilidade, porque ela dá a probabilidade para cada valor da variável aleatória x. x (Número de ervilhas com vagens verdes) P(x) 0 0,01 1 0,015 2 0,088 3 0,264 4 0,396 5 0,237 Probabilidade e Estatística 9/41
Variáveis Aleatórias Variável Aleatória Discreta É uma variável aleatória com uma faixa finita (ou infinita contável). Variável Aleatória Contínua É uma variável aleatória com um intervalo (tanto finito como infinito) de números reais para sua faixa. Probabilidade e Estatística 10/41
Variáveis Aleatórias Variável Aleatória Discreta Ø Número de arranhões em uma superfície; Ø Proporção de partes defeituosas entre 1.000 testadas; Ø Número de bits transmitidos que foram recebidos com erro. Variável Aleatória Contínua Ø Corrente Elétrica; Ø Comprimento; Ø Pressão; Ø Temperatura, Ø Tempo, Ø Voltagem. Probabilidade e Estatística 11/41
Gráficos Podemos representar uma distribuição de frequências através de um histograma: o Área do retângulo: 1 0,396 As áreas dos retângulos são iguais às probabilidades da Tabela do Exemplo 1 Probabilidade e Estatística 12/41
Distribuição de Probabilidades Toda distribuição de probabilidades deve satisfazer cada um dos seguintes requisitos: P( x) =1 Valores como 0,999 ou 1,001 são aceitáveis quando resultam de erros de arredondamento. 0 P( x) 1 Probabilidade e Estatística 13/41
EXEMPLO 1 Analisando a tabela do Exemplo 1: x (Número de ervilhas com vagens verdes) P(x) 0 0,001 1 0,015 2 0,088 3 0,264 4 0,396 5 0,237 P( x) =1, 001 Cada P (x) está entre 0 e 1 Probabilidade e Estatística 14/41
Média, Variância e Desvio-Padrão Podemos descrever distribuições de probabilidades utilizando a média, a variância e o desvio-padrão. : Valor central da variável aleatória. aleatória. : Medem a variação da variável Probabilidade e Estatística 15/41
Média, Variância e Desvio-Padrão A média de uma distribuição de frequências é dada por: µ = f x N f i = frequência da i-ésima classe k = número de classes N = tamanho da população µ = " f x% " $ ' = x f % $ ' = " # x P( x) % & # N & # N & Probabilidade e Estatística 16/41
Média, Variância e Desvio-Padrão Média de uma distribuição de probabilidade Variância (de mais fácil entendimento) µ = " # x P( x) $ % σ 2 = # ( x µ ) 2 P( x) % $ & Variância (cálculos mais fáceis) σ 2 = " # ( ) x 2 P x $ % µ 2 Desvio-padrão σ = σ 2 Probabilidade e Estatística 17/41
EXEMPLO 2 A tabela abaixo descreve a distribuição de probabilidade para o número de ervilhas com vagens verdes entre 5 proles obtidas de pais que tinham, ambos, pares de genes verde/ amarelo. Ache a média, a variância e o desvio-padrão para esta distribuição de probabilidade. Probabilidade e Estatística 18/41
EXEMPLO 2 x (Número de ervilhas com vagens verdes) P(x) 0 0,01 1 0,015 2 0,088 3 0,264 4 0,396 5 0,237 Total x. P(x) (x-µ) 2. P(x) 0,000 0,014078 0,015 0,113603 0,176 0,270116 0,792 0,149293 1,584 0,024356 1,185 0,369128 3,752 0,940574 Probabilidade e Estatística 19/41
EXEMPLO 2 O número médio de ervilhas com vagens verdes é 3,8 ervilhas; A variância é 0,9 ervilhas ao quadrado ; O desvio-padrão é 1,0 ervilha. Probabilidade e Estatística 20/41
VALORES NÃO USUAIS Se, sob uma dada hipótese, a probabilidade de um evento particular observado é extremamente pequena, concluímos que a hipótese provavelmente não é correta. Como no caso da hipótese de uma moeda ser honesta. Se tivermos observado 992 caras em 1000 lançamentos. Concluímos que a hipótese não é correta, já que a probabilidade deste evento é extremamente baixa. Probabilidade e Estatística 21/41
VALORES NÃO USUAIS Probabilidades podem ser usadas para se aplicar a regra do evento raro. Número de sucessos não usualmente alto: x sucessos em n tentativas é um número de sucessos se a probabilidade de x ou mais sucessos for improvável, com uma probabilidade de 0,05 ou menos. Esse critério pode ser expresso como. Probabilidade e Estatística 22/41
VALORES NÃO USUAIS Número de sucessos não usualmente baixo: x sucessos em n tentativas é um número de sucessos se a probabilidade de x ou menos sucessos for improvável, com uma probabilidade de 0,05 ou menos. Esse critério pode ser expresso como. O valor 0,05 não é absolutamente rígido. Outros valores, tais como 0,01 também são frequentemente usados. Probabilidade e Estatística 23/41
EXEMPLO 3 Para determinarmos se 1 é um valor não usualmente baixo de ervilhas com vagens verdes (entre 5 proles), precisamos encontrar a probabilidade de se obter 1 ou menos ervilhas com vagens verdes. x (n o de ervilhas com vagens verdes) P(x) 0 0,001 1 0,015 2 0,088 3 0,264 4 0,396 5 0,237 P 1 ou menos ( ) = P 1 ou 0 ( ) = 0, 015+ 0, 001 = 0,16 Como 0,16 > 0,05, 1 não é um valor não usualmente baixo. Probabilidade e Estatística 24/41
Distribuição Binomial Probabilidade e Estatística 25/41
Distribuição Binomial A nos permite lidar com circunstâncias nas quais os resultados pertencem a categorias, tais como aceitável/defeituoso ou sobreviveu/morreu. Probabilidade e Estatística 26/41
Distribuição Binomial Uma distribuição binomial resulta de um experimento que satisfaz os seguintes requisitos: 1. O experimento tem um ; 2. As tentativas devem ser ; 3. Cada tentativa deve ter todos os resultados classificados em (em geral, chamadas de e ); 4. A probabilidade de sucesso permanece em todas as tentativas. Probabilidade e Estatística 27/41
Distribuição Binomial Se um experimento satisfaz os requisitos anteriores, a distribuição da variável aleatória x (número de sucessos) é chamada de. Probabilidade e Estatística 28/41
Notação para Distribuição Binomial S e F (sucesso e fracasso): Representam as duas categorias possíveis de resultados. P(S) = p: probabilidade de sucesso. P(F) = 1 p = q: probabilidade de fracasso. n: número fixo de tentativas. Probabilidade e Estatística 29/41
Notação para Distribuição Binomial x: número específico de em n tentativas, de modo que x pode ser qualquer número inteiro entre 0 e n, inclusive. p: Probabilidade de em uma de n tentativas. q: Probabilidade de fracasso em uma de n tentativas. P(x): Probabilidade de se obterem exatamente x sucessos entre as n tentativas. Probabilidade e Estatística 30/41
A palavra sucesso é arbitrária e não representa, necessariamente, algo bom. Qualquer uma das duas categorias pode ser chamada de sucesso S, desde que sua probabilidade seja identificada como p. Ao usar a Distribuição Binomial, certifique-se de que p e x se referem à mesma categoria. Probabilidade e Estatística 31/41
EXEMPLO 4 Considere um experimento no qual 5 proles de ervilhas são geradas de 2 pais, tendo cada um a combinação de genes verde/amarelo para a cor da vagem. A probabilidade de uma prole de ervilha ter uma vagem verde é 0,75, ou seja, P (vagem verde) = 0,75. Suponha que desejemos encontrar a probabilidade de que exatamente 3 das 5 proles de ervilhas tenham vagem verde. Esse procedimento resulta em uma Distribuição Binomial? Se sim, identifique os valores de n, x, p e q. Probabilidade e Estatística 32/41
EXEMPLO 4 1. O número de tentativas (5) é fixo; 2. As 5 tentativas são independentes, porque a probabilidade de qualquer prole de ervilha ter vagem verde não é afetada pelo resultado de qualquer outra prole de ervilha. 3. Cada uma das 5 tentativas tem duas categorias de resultados: a ervilha tem vagem verde ou não; 4. Para cada prole de ervilha, a probabilidade de que tenha vagem verde é 0,75, e essa probabilidade permanece a mesma para cada uma das cinco ervilhas. Probabilidade e Estatística 33/41
EXEMPLO 4 Podemos, então, concluir que o procedimento dado resulta em uma Distribuição Binomial. n = 5; x = 3; p = 0,75; q = 0,25. x e p devem se referir ao mesmo conceito de sucesso. Aqui, usamos x para contar o número de ervilhas com vagem verde, de modo que p deve ser a probabilidade de que uma ervilha tenha vagem verde. Probabilidade e Estatística 34/41
Determinação das probabilidades correspondentes à variável aleatória x em uma distribuição binomial: P ( x) = n! ( n x)! x! p x q n x para x = 0, 1, 2,..., n. em que: n = número de tentativas; x = número de sucessos entre n tentativas; p = probabilidade de sucesso em qualquer tentativa; q = probabilidade de fracasso em qualquer tentativa. Probabilidade e Estatística 35/41
Exemplo 5 Supondo que a probabilidade de uma ervilha ter vagem verde seja 0,75, use a fórmula da probabilidade binomial para encontrar a probabilidade de se obterem exatamente 3 ervilhas com vagens verdes quando são geradas 5 proles. Probabilidade e Estatística 36/41
Média, Variância e Desvio-Padrão Vamos analisar como fica a média, a variância e o desviopadrão para a Distribuição Binomial. Distribuição Qualquer Distribuição Binomial µ = " # x P( x) $ % µ = np σ 2 = " # ( ) x 2 P x $ % µ 2 2 σ = npq σ = σ 2 σ = npq Probabilidade e Estatística 37/41
EXEMPLO 6 Use as fórmulas para o cálculo da média e do desvio-padrão para uma Distribuição Binomial para os números de ervilhas com vagens verdes, quando são gerados grupos de 5 ervilhas. Suponha que haja uma probabilidade 0,75 de que uma ervilha gerada tenha vagem verde. Probabilidade e Estatística 38/41
EXEMPLO A fórmula para a média tem sentido, intuitivamente. Se 75% das ervilhas têm vagens verdes e são geradas 5 ervilhas, esperamos obter cerca de 5 0,75 = 3,8 ervilhas com vagens verdes. Este resultado pode ser facilmente generalizado como µ = np. A variância e o desvio-padrão não se justificam tão facilmente, então apenas verificamos que usando ambas as fórmulas para desvio-padrão, obtivemos o mesmo resultado. Probabilidade e Estatística 39/41
Distribuição de Poisson Probabilidade e Estatística 40/41
Distribuição de Poisson A é uma distribuição de probabilidade discreta que se aplica a ocorrências de eventos ao longo de intervalos especificados. A variável aleatória x é o número de ocorrências do evento no intervalo. O intervalo pode ser de tempo, distância, área, volume ou alguma unidade similar. Probabilidade e Estatística 41/41
Distribuição de Poisson A probabilidade de ocorrência do evento, x vezes em um intervalo é dada por: P x ( ) = µ x e µ x! Probabilidade e Estatística 42/41
Distribuição de Poisson Uma distribuição de Poisson resulta de um experimento que satisfaz os seguintes requisitos: 1. A variável aleatória x é o número de ocorrências de um evento ; 2. As ocorrências devem ser ; 3. As ocorrências devem ser umas das outras. Probabilidade e Estatística 43/41
Média, Variância e Desvio-Padrão A média e o desvio-padrão para a distribuição de Poisson são: µ σ = µ Probabilidade e Estatística 44/41
1. A Distribuição Binomial é afetada pelo tamanho n da amostra e pela probabilidade p, enquanto a Distribuição de Poisson é afetada apenas pela média µ. 2. Na Distribuição Binomial, os valores possíveis da variável aleatória x são 0, 1,..., n, mas uma Distribuição de Poisson tem, para valores possíveis de x; 0, 1, 2,..., sem nenhum limite superior. Probabilidade e Estatística 45/41
EXEMPLO 7 Para um período recente de 100 anos, houve 93 terremotos maiores (de, pelo menos, 6,0 na escala Richter) no mundo. Suponha que a Distribuição de Poisson seja um modelo adequado. a) Ache o número médio de terremotos maiores por ano; b) Se P (x) é a probabilidade de x terremotos em um ano selecionado aleatoriamente, ache P (0), P(1), P (2), P(3), P (4), P(5), P (6) e P(7). Probabilidade e Estatística 46/41