ANÁLISE MATEMÁTICA II 2007/2008. Cursos de EACI e EB

ANÁLISE MATEMÁTICA II 2007/2008 (com Laboratórios) Cursos de EACI e EB Acetatos de Ana Matos 1ª Parte Sucessões Séries Numéricas Fórmula de Taylor Séries de Potências Série de Taylor DMAT Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 1

Sucessões Definição: Uma sucessão de números reais é uma qualquer aplicação u do conjunto dos números inteiros positivos,, no conjunto dos números reais,. Representa-se por u n n, u n n, ou, simplesmente, u n ou u n. u n termo geral da sucessão Nota: Os brasileiros usam o termo sequência em vez de sucessão. Exemplos: 1. Progressão aritmética de razão r e primeiro termo a: - os seus termos são a, a r, a 2r, - o seu termo geral é u n a n 1r. 2. Progressão geométrica de razão r e primeiro termo a: - os seus termos são a, ar, ar 2, - o seu termo geral é u n ar n1. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 2

Outro processo de definir uma sucessão é por recorrência. Uma sucessão está definida por recorrência quando é indicado o valor do primeiro termo (ou dos primeiros termos) e o valor dos outros termos é definido a partir do valor de um, ou mais, dos seus termos anteriores. Exemplos: 1. 2. u 1 1 u n1 n 2 u n, n ; v 1 1, v 2 2 v n2 2v n1 3v n, n ; 3. u 1 a u n1 u n r, n define a progressão aritmética de razão r e primeiro termo a; 4. u 1 a u n1 u n. r, n. define a progressão geomética de razão r e primeiro termo a. Método de Indução O Método de Indução Finita, é fundamental para provar muitas propriedades dos naturais ou em que intervêm naturais. É especialmente indicado para provar propriedades de sucessões definidas por recorrência. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 3

Teorema: (Princípio de Indução Finita) Seja Pn uma condição na variável (natural) n tal que: - P1 é verdadeira, - para qualquer n, Pn Pn 1. Então Pn é verdadeira, para qualquer n. Método de Indução Finita: prova-se que P1 é verdadeira; Passo de Indução: Para n (arbitrário), assume-se que Pn é verdadeira (chama-se-lhe Hipótese de Indução) e prova-se que Pn 1 é verdadeira (chama-se-lhe Tese de Indução) (uma propriedade Pn nestas condições diz-se hereditária); conclui-se, pelo Princípio de Indução Finita, que Pn é verdadeira para qualquer n. Por indução, é fácil provar que: a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, u n, de razão r e primeiro termo a, é dada por S n aa n 2 n; a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, u n, de razão r 1 e primeiro termo a, é dada por S n a 1rn 1r. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 4

Limite de uma Sucessão Definição: O número real L é limite da sucessão u n se, para qualquer 0, existe M 0 tal que se n M então u n L ; isto é, 0 M 0 : n M u n L. Diz-se também que u n converge para L ou que u n tende para L. Notações: lim u n L, limu n L ou u n L. n Observação: Esta definição é equivalente a: u n L sse para qualquer 0 existe uma ordem a partir da qual todos os termos da sucessão pertencem ao intervalo L, L. Definição: Uma sucessão u n diz-se convergente se existir um número real L tal que u n L; diz-se divergente caso contrário. Proposição: O limite de uma sucessão quando existe é único. Definição: Uma sucessão diz-se um infinitésimo se converge para zero. Nota: Da definição de limite resulta imediatamente que u n converge para L sse u n L é um infinitésimo. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 5

Teorema: Sejam L um número real e f uma função real de variável real tal que lim x fx L. Sendo a n a sucessão cujo termo geral é a n fn, então lim a n n L. Propriedades dos Limites Da definição, é imediato que a convergência (e o valor do limite) ou divergência de uma sucessão não é alterada se suprimirmos ou modificarmos um número finito dos seus termos. É também imediato que uma sucessão com todos os termos iguais a uma certa constante converge para essa constante. Proposição: Se u n e v n são sucessões convergentes, tais que u n v n, então limu n limv n. Proposição (propriedades das operações) Sejama n e b n sucessões tais que a n L e b n K, com L, K. Tem-se que: 1. a n b n L K; 2. ca n cl, sendo c ; 3. a n b n LK; 4. a n b n L K, se b n 0, nn e K 0; 5. se p, então an p L p ; 6. se p e a n 0, n, então p a n p L ; 7. se p e p é ímpar, então p a n p L. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 6

Observação: Outra propriedade útil (e que resulta imediatamente da definição de limite) é a seguinte: u n 0 sse u n 0. Teorema do encaixe (ou das sucessões enquadradas): Se a n, c n e b n são sucessões tais que lima n limb n e existe um inteiro N tal que a n c n b n, para todo n N, então c n a. Sucessões Monótonas Definição: Sendo a n uma sucessão, diz-se que a n é crescente (em sentido lato) se a n1 a n, n ; a n é decrescente (em sentido lato) se a n1 a n, n. Uma sucessão diz-se monótona se for crescente ou decrescente. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 7

Sucessões Limitadas Definição: Uma sucessão a n diz-se limitada superiormente (ou majorada) se existe um número real M tal que a n M, para todo o n. Uma sucessão a n diz-se limitada inferiormente (ou minorada) se existe um número real N tal que N a n, para todo o n. Uma sucessão a n diz-se limitada se for majorada e minorada, ou seja, se N,M n : N a n M. Observação: Para provar que uma sucessão é limitada por vezes é mais prático mostrar que L 0 n : a n L, condição que é equivalente à anterior. Proposição: Toda a sucessão convergente é limitada. Atenção: O recíproco desta proposição não se verifica. Teorema: Toda a sucessão monótona e limitada é convergente. Proposição: Se a n é um infinitésimo e b n é uma sucessão limitada, então a n. b n é um infinitésimo. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 8

Limites Infinitos Definição: Diz-se que uma sucessão u n tem limite mais infinito (ou que tende para mais infinito), e escreve-se lim u n, limu n ou u n, n se, para qualquer L 0, existe M 0 tal que u n L, para todo n M. Isto é, se L0 M0 : n M u n L. A definição de uma sucessão u n ter limite menos infinito (ou tender para menos infinito) é análoga, bem como as notações usadas. Diz-se que u n tem limite infinito (ou que tende para infinito) se u n ; escreve-se lim u n, limu n ou u n. As sucessões podem ser: n Classificação de uma sucessão convergentes (com limite finito) propriamente divergentes com limite ou divergentes oscilantes (nos restantes casos) com limite infinito sem sinal determinado ou sem limite Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 9

Propriedades dos Limites Infinitos Proposição: Sendo u n e v n duas sucessões tem-se que: 1. se u n e, a partir de certa ordem, u n v n, então v n ; 2. se u n e, a partir de certa ordem, v n u n, então v n. Proposição (Propriedades operatórias): Sendo u n e v n duas sucessões tem-se que: 1. se u n e v n então u n v n ; 2. se u n e v n então u n v n ; 3. se u n e v n a, com a, então u n v n ; 4. se u n e v n a, com a, então u n v n ; 5. se u n e v n b, com b, então u n. v n ; 6. se u n e v n b, com b, então u n. v n ; 7. se u n e v n c, com c, então u n. v n ; 8. se u n e v n c, com c, então u n. v n ; 9. se u n e v n, então u n. v n (caso u n e v n tendam para ou para podemos mesmo dizer se u n. v n tende para ou para. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 10

Notação abreviada (exemplos): Estas propriedades são frequentemente escritas na forma a.. Esta é uma mera notação abreviada, que deve ser interpretada exactamente no sentido das propriedades correspondentes da proposição anterior e não como se estivessemos realmente a "somar infinitos" ou a "multiplicar infinitos". Os símbolos Símbolos de Indeterminação 0. 0. 0. são designados por símbolos de indeterminação. Isto quer apenas dizer que, nas situações correspondentes, o facto de existir ou não limite, bem como o seu valor, depende das sucessões envolvidas; não resulta imediatamente de uma propriedade das operações. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 11

Proposição: Seja u n uma sucessão de termos diferentes de zero: 1. se u n, então 1 u n 0; 2. se u n 0, então u 1 n 1 (se os termos de u n forem positivos, un 1 negativos, un. ; se forem Proposição: Sejamu n e v n sucessões, v n com os termos diferentes de zero. 1. Se v n e u n tem limite finito, então u n v n 0; 2. se v n 0 e u n tem limite infinito ou finito e diferente de zero, então u n v n. Notação abreviada: a 0 a 0 0, se a 0 São também símbolos de indeterminação 0 0 pois o facto de existir ou não limite, bem como o seu valor, depende das sucessões envolvidas; não resulta imediatamente de uma propriedade das operações. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 12

Séries Numéricas Definições básicas Chama-se série numérica a uma expressão do tipo representada em geral por a 1 a 2 a n, n1 a n, n1 onde a n é uma sucessão de reais. a 1, a 2, termos da série a n termo geral da série. a n ou a n, Designam-se por somas parciais da série S 1 a 1, S 2 a 1 a 2, S 3 a 1 a 2 a 3, Chama-se soma parcial de ordem n a S n a 1 a 2 a n A S n chama-se a sucessão das somas parciais da série. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 13

Definição: Uma série n1 a n diz-se convergente se a sucessão das somas parciais, S n, converge para um número real S, que se designa por soma da série, e escreve-se n1 a n S. Uma série que não é convergente diz-se divergente. Diz-se que duas séries têm a mesma natureza se forem ambas convergentes ou ambas divergentes. Observação: A uma série n1 a n temos associadas duas sucessões: a n, a partir da qual definimos a série; S n, a sucessão das suas somas parciais. A natureza da série é determinada pela convergência ou não da sucessão das suas somas parciais. O facto de a n ser convergente não garante que n1 a n seja convergente. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 14

Exemplos: 1. Para a série n1 n, S n 1 2 n n. 1 n 2 Como lims n, a série é divergente.. 2. Para a série n1 1 n, S n 1 se n é ímpar 0 se n é par Como S n não tem limite, a série é divergente.. 3. Para a série n1 1 2 n1, S n 1 1 2 1 1 2 n 2 1 1 2 n pelo que a série é convergente e a sua soma é 2. Nota: Podemos também considerar séries indexadas em 0 ou p, com p. As definições e propriedades são análogas às das séries indexadas em. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 15

Séries Geométricas Séries Importantes Chama-se série geométrica de razão r e primeiro termo a à série n1 ar n1 a ar ar 2 ar n1, em que r e a são números reais não nulos. Tem-se que S n a. 1rn 1r, se r 1 a. n, se r 1, pelo que se r 1, a série geométrica é convergente e a sua soma é S a 1r ; se r 1, a série geométrica é divergente. Então, a série geométrica é convergente sse r 1 e, neste caso, a sua soma é S a 1r. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 16

Séries Redutíveis ou de Mengoli Chamam-se séries redutíveis, séries de Mengoli ou séries telescópicas às séries que se podem escrever na forma u n u nk, n1 em que k é um número natural fixo. Exemplos: 1. n1 1 nn 1 é uma série de Mengoli, com k 1; 2. n1 n n 2 é uma série de Mengoli, com k 2. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 17

Convergência duma série de Mengoli: Quando k 1, e a série é da forma u n u n1 n1 S n u 1 u 2 u 2 u 3 u n u n1 u 1 u n1 pelo que se u n é convergente, a série n1 u n u n1 é convergente e a sua soma é S u 1 limu n ; se u n é divergente, a série n1 u n u n1 é divergente. Quando k 1, pelo que S n u 1 u 2 u k u n1 u n2 u nk se u n é convergente, a série n1 u n u nk é convergente e a sua soma é S u 1 u 2 u k k limu n (pois limu n1 limu nk limu n ; se u n é divergente, nada se pode concluir sem estudar directamente a sucessão S n. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 18

Propriedades gerais das Séries Comecemos por observar que a natureza de uma série não é alterada se suprimirmos ou modificarmos um número finito dos seus termos (no entanto a sua soma é, em geral, alterada). Proposição: Se a n e b n são duas séries convergentes e c, então: 1.ca n é convergente e ca n ca n ; 2.a n b n é convergente ea n b n a n b n ; 3.a n b n é convergente ea n b n a n b n. Observação: Da alínea 1 resulta que não se altera a natureza de uma série multiplicando o seu termo geral por uma constante diferente de zero. Proposição (condição necessária de convergência): Se a n é uma série convergente então a n 0. Na forma contra-recíproca, se a n não tende para zero, então a n é divergente. Nota: A afirmação recíproca é falsa: a n 0 não implica que a n é convergente. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 19

Testes (ou critérios) de convergência Para o primeiro critério necessitamos da definição que se segue. Definição (integral impróprio de 1ª espécie): Seja f uma função contínua no intervalo a,. Chama-se integral impróprio da função f em a, a fxdx lim a fxdx. a Caso o limite exista e seja finito, diz-se que o integral impróprio a fxdx é convergente, sendo esse o seu valor. Caso contrário (isto é, se o limite não existir ou não for finito) diz-se que o integral impróprio é divergente. Proposição: (teste do integral) Seja f : 1, uma função positiva, contínua e decrescente. Sendo a n fn, então a série n1 a n sse é convergente o integral impróprio 1 fxdx é convergente. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 20

Séries de Dirichlet Chama-se série de Dirichlet ou p-série a qualquer série da forma 1n p n1 com p um número real positivo fixo. Chama-se série harmónica à série de Dirichlet para p 1: 1n. n1 Convergência da série de Dirichlet: se p 1, 1 n1 n p é convergente; se 0 p 1, 1 n1 n p é divergente. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 21

Testes de convergência para séries de termos não negativos Definição: Uma série n1 a n diz-se de termos não negativos se a n 0, para qualquer n. Nota: Neste caso a sucessão S n é crescente. Proposição: (cond. necessária e suficiente de convergência) Uma série de termos não negativos é convergente se e só se a sucessão das suas somas parciais é majorada. Proposição: (teste da comparação directa ou 1º critério de comparação) Sejam 0 a n b n, para todo n. Se n1 b n é convergente, n1 a n é convergente; se n1 a n é divergente, n1 b n é divergente. Observação: No primeiro caso, da demonstração resulta ainda que n1 a n n1 b n. Proposição: (teste da comparação no limite ou 2º critério de comparação) Sejam a n 0 e b n 0, para todo n, tais que a n b n L, com L 0, (finito e positivo). Então as séries n1 a n e n1 b n têm a mesma natureza. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 22

Resto de uma série Definição: Seja n1 a n uma série convergente com soma S. Sendo N, chama-se resto de ordem N da série n1 a n, e representa-se por R N, à soma da série a N1 a N2 a n nn a n, que resulta da anterior suprimindo os termos de ordem menor ou igual a N. Observação: Assim, R N S S N, ou seja, este valor é precisamente o erro que se comete quando se toma como soma da série n1 a n o valor da sua soma parcial S N. Séries alternadas Definição: Uma série diz-se de termos sem sinal fixo se possui infinitos termos positivos e infinitos termos negativos. Em particular, sendo a n 0, n, a série 1 n1 a n a 1 a 2 a 3...1 n1 a n.... n1 diz-se uma série alternada Exemplo: n1 1 n1 1 n série harmónica alternada. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 23

Proposição: (teste da série alternada ou critério de Leibniz) Se a n é uma sucessão decrescente e com limite nulo (portanto a n 0), então as séries n1 1 n a n convergentes. e n1 1 n1 a n Exemplo: A série harmónica alternada, n1 1 n1 1 n, é convergente. Proposição: Se n1 1 n1 a n é uma série alternada nas condições do critério de Leibniz, então o valor absoluto do resto de ordem N é menor ou igual ao valor absoluto do primeiro termo desprezado, isto é, R N S S N a N1. Séries Absolutamente Convergentes Proposição: Se a série n1 a n é convergente, então a série a n também é convergente. n1 são Definição: Uma série n1 a n diz-se: absolutamente convergente, se a série n1 a n é convergente; simplesmente convergente (ou condicionalmente convergente), se é convergente mas não é absolutamente convergente. Exemplo: 1. A série n1 1 n1 1 2.A série n1 1 n1 1 n n 2 é absolutamente convergente é simplesmente convergente. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 24

Reordenação dos termos de uma série Uma série absolutamente convergente verifica propriedades que não são válidas para séries simplesmente convergentes. É o caso da reordenação dos seus termos. Qualquer soma finita pode ser reordenada sem que o seu valor seja alterado. Esta propriedade não é válida para somas infinitas (séries). Reordenando os termos de uma séries simplesmente convergente podemos alterar a sua soma. Exemplo: Veremos à frente que 1 n1 1 n 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 n1 Consideremos a seguinte reordenação desta série: 1 1 1 2 1 4 1 3 1 6 1 8 1 5 10 1 12 1 1 1 1 2 1 4 1 3 1 6 1 2 1 4 1 6 1 2 1 8 1 5 1 10 ln 2. 1 12 1 1 1 2 1 3 1 4 1 2 Obtivemos uma série cuja soma é metade da soma da série original. ln 2. Pode mesmo provar-se que, dada uma série simplesmente convergente e um valor real qualquer, esta pode ser reordenada de modo a ter como soma esse valor! No entanto: Proposição: A soma de uma série absolutamente convergente não é alterada por reordenações dos seus termos. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 25

Testes da razão e da raíz Proposição: (teste da razão ou critério de D Alembert) Seja n1 a n uma série de termos não nulos tal que lim n a n1 a n L (com L finito ou infinito). Então: se L 1, n1 a n é convergente; se L 1, n1 a n é divergente; se L 1, nada se pode concluir. Proposição: (teste da raiz ou critério de Cauchy) Seja n1 a n uma série tal que Então: lim n a n L n (com L finito ou infinito). se L 1, n1 a n é convergente; se L 1, n1 a n é divergente; se L 1, nada se pode concluir. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 26

Estratégias para testar séries Façamos um apanhado dos testes apresentados. Procedimentos para testar a natureza de uma série: O termo geral da série converge para zero? Se não, é divergente; se sim, nada se pode concluir. A série é de tipo particular - geométrica, de Dirichlet, de Mengoli? Se sim, aplicar o teste de convergência específico. A série é de termos não negativos e pode ser comparada com alguma série de tipo especial? A série é de termos positivos e pode ser aplicado o teste do integral? Pode ser aplicado o teste da razão ou o teste da raiz? Se L 1, nada se pode concluir. Se a série é de termos sem sinal fixo, será absolutamente convergente? Se sim, é convergente; se não, nada se pode concluir. A série é alternada e está nas condições do teste para séries alternadas? Se sim, é convergente; se não, nada se pode concluir. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 27

Polinómio de Taylor e Fórmula de Taylor O objectivo é proximar uma função, à volta dum ponto, por funções polinomiais. Definição: Seja f uma função n vezes diferenciável no ponto c. Ao polinómio P n x fc f cx c f c 2! x c 2 f n c n! chama-se polinómio de Taylor de grau n de f em c. Se c 0, ao polinómio P n x f0 f 0x f 0 2! x 2 f n 0 n! chama-se também polinómio de Mac-Laurin de grau n de f. Proposição: Sendo f uma função nas condições da definição, o polinómio de Taylor de grau n de f em c é o único polinómio, de grau não superior a n, que satisfaz as seguintes condições: x n x c n Pc fc, P c f c, P c f c,, P n c f n c. Exemplos: 1. O polinómio de Mac-Laurin da função e x é P n x 1 x x2 2! xn n!. 2. O polinómio de Mac-Laurin da função sen x é P n x x x3 3! x5 5! x7 7! 1n x2n1 2n 1!. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 28

Definição: Nas condições da definição anterior, chama-se resto de ordem n à função R n x fx P n x. Chama-se erro associado à aproximação de fx por P n x a R n x fx P n x. Teorema (fórmula de Taylor com resto de Lagrange): Seja f uma função n 1 vezes diferenciável num intervalo aberto I contendo o ponto c. Então, para qualquer x I, existe z entre x e c tal que fx fc f cx c f c 2! x c 2 f n c n! x c n R n x com R n x fn1 z n 1! x cn1. A esta expressão chama-se resto de Lagrange de ordem n do polinómio de Taylor. Observação: Há várias expressões para o resto do polinómio de Taylor de grau n. Exemplo: A fórmula de Mac-Laurin de ordem n de e x, com resto de Lagrange, é e x 1 x x2 2! xn n! e z n 1! xn1, para algum z entre 0 e x. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 29

Séries de Potências As séries de potências de x c são uma generalização da noção de polinómio. Definição: Sendo x uma variável, chama-se série de potências de x a qualquer série da forma a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n ou seja n0 a n x n. Mais geralmente, sendo c uma constante real, chama-se série de potências centrada em c a qualquer série da forma ou seja n0 a n x c n. a 0 a 1 x c a n x c n Observação: Uma série de potências é uma função de x, cujo domínio é o conjunto dos valores reais que, substituídos em x, originam uma série numérica convergente. Exemplo Importante (série de potências geométrica): O domínio de convergência de é 1, 1. n0 Mais, para qualquer x 1, 1, x n 1 x x 2 x n n0 x n 1. 1x A série n0 x n 1 define a função apenas em 1, 1, 1x apesar da função estar definida em\0. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 30

Raio de convergência e intervalo de convergência O domínio de uma série de potências centrada em c nunca é vazio, pois n0 a n c c n a 0 0 0 0 a 0 pelo que c pertence ao domínio e fc a 0. O domínio desta função é sempre um intervalo centrado em c. Teorema: Para uma série de potências centrada em c, é satisfeita exactamente uma das seguintes alternativas: 1. A série de potências é convergente apenas em c. 2. Existe um número real R 0 tal que a série de potências é absolutamente convergente nos valores de x tais que x c R e diverge para x c R. 3. A série converge absolutamente para todo o x. O número R é o raio de convergência da série de potências. Se a série convergir apenas em c, o raio de convergência é R 0; se convergir para todo o x, é R. Ao conjunto dos valores nos quais a série de potências é convergente chama-se intervalo de convergência da série de potências. Nota 1: A proposição nada afirma sobre a convergência da série nos extremos do intervalo de convergência. Nota 2: Atenção, frequentemente o conjunto acima é designado por domínio de convergência e o intervalo de convergência é, por definição, o intervalo c R, c R (sem os extremos). Não é esta a convenção que fazemos. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 31

Exemplo (série exponencial): A série de potências x n n! n0 1 x x2 2! x3 3! xn n! é absolutamente convergente em. (Veremos que a soma desta série é e x, para qualquer x. Derivação e integração de séries de potências Proposição: Se a função definida por fx n0 a n x c n tem raio de convergência R 0, então f é diferenciável no intervalo c R, c R e tem-se que: 1. f x n1 a n nx c n1, 2. fxdx C xc n0 a n1 n n1, com C constante real, sendo o raio de convergência destas duas séries igual ao da série inicial, ou seja, R. Nota: Os intervalos de convergência das duas séries podem ser diferentes, em virtude do comportamento nos extremos. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 32

Exemplo: No intervalo 1, 1, lnx 1 1 n x n1 n 1. n0 Repare-se que, para x 1, a série é simplesmente convergente. Tem-se mesmo que a sua soma é ln 2 n1 1 n1 1 n 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7, como se referiu no exemplo sobre reordenação de séries. Operações com séries de potência Proposição: Sejam fx n0 a n x n e gx 0 b n x n duas séries de potência de x, com raios de convergência não nulos, e R o raio de convergência da primeira série. Sendo k é um número real e N um natural, então: 1. fkx n0 a n k n x n, para kx R; 2. fx N n0 a n x nn, para x N R; 3. fx gx n0 a n b n x n, na intersecção dos intervalos de convergência; 4. fx gx n0 a n b n x n, na intersecção dos intervalos de convergência. Observação 1: Saliente-se que as operações acima podem mudar o intervalo de convergência e que nos extremos a convergência terá que ser estudada directamente. Observação 2: Resultados análogos aos anteriores são válidos para séries de potências de x c. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 33

Série de Taylor e série de Mac-Laurin Definição: Seja f uma função com derivadas de qualquer ordem em c. Chama-se série de Taylor de f no ponto c à série de potências f n c n! n0 x c n fc f cx c f c 2! x c 2 fn c x c n n! Se c 0 também se lhe chama série de Mac-Laurin de f. Exemplos: 1. A série de Mac-Laurin de e x é x n n! n0 1 x x2 2! 2. A série de Mac-Laurin de sen x é x x3 3! x3 3! xn n! x5 5! 1n x 2n1 2n 1! 3. A série de Mac-Laurin de cos x é 1 x2 2! x4 4! 1n x 2n 2n! Teorema (unicidade do desenvolv. em série de potências): Se f x n0 a n x c n, para todo o x num intervalo aberto I centrado em c, então e, portanto, a n fn c n!, para todo n 0, fx fc f cx c f n c n! x c n. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 34

Observação 1: O Teorema anterior garante que, caso uma função seja soma de uma série de potências (num intevalo), então essa série coincide com a sua série de Taylor. Observação 2: O facto de podermos escrever a série de Taylor de uma função num ponto não garante que a função seja soma dessa série, mesmo no intervalo de convergência desta. A função fx e 1 x 2 se x 0 0 se x 0. é indefinidamente diferenciável em\0. Pode-se provar que as suas derivadas, de qualquer ordem, em x 0, existem e são 0. A função f apenas se anula em 0, pelo que não é igual à soma da sua série de Mac-Laurin nalgum intervalo centrado em 0. Definição: Diz-se que f é desenvolvível em série de Taylor num ponto c se f é a soma da sua série de Taylor nalgum intervalo centrado em c. Proposição: Seja f uma função com derivadas de qualquer ordem num intervalo aberto I, centrado em c, e R N x o resto de ordem n do seu polinómio de Taylor em c. Se lim R N x 0, para todo o x em I, então a série de Taylor n converge em I e fx f n c x c n, x I. n! n0 Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 35

Exemplos: Para qualquer x, sen x x x3 3! cos x 1 x2 2! x5 5! 1n x 2n1 2n 1! x4 4! 1n x 2n 2n! e x 1 x x2 2! x3 3! xn n! x n n!. n0 Para cada uma das funções anteriores, determinou-se a série de Taylor da função e provou-se que, pela proposição anterior, que a função é igual à soma da série; este processo, em geral, é trabalhoso. O Teorema da unicidade do desenvolvimento em série de potências permite muitas vezes garantir que uma certa série é a série de Taylor duma função num ponto, e que a função é soma dessa série, recorrendo a desenvolvimentos conhecidos e/ou aos resultados sobre derivação e integração de séries de potências. Exemplos: 1. O desenvolvimento em série de Mac-Laurin de 1 1x 1 x x 2 x n n0 é x n, x 1, 1. 2. O desenvolvimento em série de Mac-Laurin de logx 1 é n0 1 n x n1 n 1, x 1, 1. Note-se, ainda, que em x 1 a série é simplesmente convergente. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 36

Séries de potências para algumas funções elementares 1 1x n1 x n1 1 x x 2 x 3, para x 1; ln x n1 1 n1 x1 n n x 1 x12 2 x13 3 x14 4, para 0 x 2; e x x n n0 1 x x2 x3, em; n! 2! 3! sen x n0 1 n x 2n1 2n1! x x3 3! x5 5! x7 7!, em; cos x n0 1 n x 2n 2n! 1 x2 2! x4 4! x6 6!, em; arctg x n0 1 n x 2n1 2n1 x x3 3 x5 5 x7 7, para x 1; arcsen x n0 2n!x 2n1 2 n n!2n1 x x3 2.3 1.3x5 2.4.5 1.3.5x7 2.4.6.7, para x 1; 1 x k kk1kn1 1 n1 x n n! 1 kx kk1 2! x 2 kk1kn1 n! x n, para x 1, k (desenvolvimento binomial). *A convergência em x 1 depende do valor de k. Quando k é um natural esta série tem só um número finito de termos não nulos e reduz-se portanto a um polinómio, precisamente o que se obtém pela fórmula do binómio de Newton. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 37

Aplicação das séries de potências à primitivação Muitas funções são primitiváveis mas não podem ser primitivadas recorrendo só ao que se deu em AMII, isto é: primitivas imediatas, primitivação por partes e primitivação por substituição. Diz-se que f é uma função elementar se pode ser obtida por um número finito de operações de adição, multiplicação, divisão e composição, a partir de funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, directas ou inversas. A função é uma função elementar. e x2 Pode-se provar que a sua primitiva não é elementar, pelo que não pode ser obtida, pelos métodos referidos, a partir de funções elementares. Recorrendo à primitivação de séries de potências e a conclui-se que e x x n n!, n0 Pe x2 1 n x 2n1 n!2n 1 n0 C, sendo C uma constante real. Ana Matos - AMII0807 - EACI, EB (versão de 1 Mar 08) 1ª Parte - 38