Problemas de pontos Canguru de Matemática Brasil 06 Nível S - Soluções. A soma das idades de Tom e João é, a soma das idades de João e Ale é 4 e a soma das idades de Tom e Ale é 5. Qual é a idade do mais velho dos três? (A) 0 (B) (C) (D) (E) 4. Alternativa D TJ J A 4 A J T 7 A J T 6. TA5 Subtraindo a soma das idades dos dois mais novos, resta a idade do mais velho: 6.. A soma é igual a 0 00 000 (A) (B) 0 (C) 000 (D) 000 (E) 0. Alternativa C 00 0. 0 00 000 000 000. Maria planeja construir uma ponte sobre um trecho de um rio no qual é indiferente o local da construção, pois o comprimento da ponte mais curta é sempre o mesmo em qualquer ponto desse trecho. Qual das figuras abaio não pode representar esse trecho do rio? (A) (B) (C) (D) (E). Alternativa E Na figura (E) a distância entre pontos opostos da margem não é a mesma, conforme mostrado na figura ao lado (em vermelho e em verde). Na figura (A) as margens são paralelas e nas demais as margens são compostas de arcos de circunferências concêntricas, garantindo a constância da distância entre essas margens. Canguru de Matemática Brasil 06 Nível S Soluções Página
4. Quantos números inteiros são maiores do que 05 07 e são menores do que 06 06? (A) 0 (B) (C) 05 (D) 06 (E) 07 4. Alternativa A 05 07 06 06 06. Logo, 05 07 e 06 06 são números consecutivos, ou seja, não eistem números inteiros entre eles. 5. Qual é o menor número de planos necessários para fechar uma região do espaço tridimensional? (A) (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 5. Alternativa B sólido com o menor número de faces planas tem quatro faces, contidas em quatro planos diferentes. menor número de planos necessários para fechar uma região do espaço é 4. 6. Na figura há oito triângulos, menores que os demais, cujos vértices estão em três dos nove círculos. Diana quer escrever um número inteiro em cada um dos nove círculos da figura, de forma que a soma dos números escritos nos vértices de todos esses triângulos menores sejam iguais. No máimo, quantos números diferentes ela pode usar? (A) (B) (C) (D) 5 (E) 8 6. Alternativa C Podemos escrever no máimo três números diferentes nos vértices de um único triângulo. Todos os triângulos vizinhos compartilham um lado, logo os vértices não comuns desses dois triângulos devem ter o mesmo número. Portanto, podem ser usados no máimo três números. 7. s retângulos Se Sna figura têm a mesma área. Qual é a razão y? (A) (B) (C) 4 (D) 7 4 (E) 8 5 7. Alternativa E 8 Temos S 5 yes y8 logo S S 5 y 8y y 5 8y. y 5 8. Se 4 0 qual é o valor de? (A) 4 (B) (C) 0 (D) (E) 4 8. Alternativa E 4 0 4. Logo, 4 4. Canguru de Matemática Brasil 06 Nível S Soluções Página
9. Um conjunto de pontos no plano cartesiano tem a forma de um canguru, conforme a figura ao lado. Trocando as coordenadas e y de cada ponto desse conjunto, obtém-se outra figura. Qual é essa figura? A) (B) (C) (D) (E) 9. Alternativa E Quando trocamos as coordenadas dos pontos de um gráfico, resulta um gráfico simétrico do mesmo com relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. 0. s comprimentos dos arcos AP e BP na figura são 0 e 6, respectivamente. Qual é a medida do ângulo AXP? (A) 0 (B) 5 (C) 8 (D) 4 (E) 0 0. Alternativa A Como AB é diâmetro, concluímos que o comprimento total da circunferência é medida do ângulo BÔP, em graus, é 6 60 80 6 6 7. Logo, a. Sendo P ponto de tangência, depreendemos que o 7 triângulo PX é retângulo em P, logo a medida do ângulo AXP, igual à medida do ângulo XP, é 90 80 0. Canguru de Matemática Brasil 06 Nível S Soluções Página
Problemas de 4 pontos. Se a, b, c, d são inteiros positivos e a b c d, qual dos números a, b, c ou d é o maior? (A) a (B) b (C) c (D) d (E) impossível determinar. Alternativa D a ba4 bb a ; bc b c b c b c. d Temos b d b e, para a temos b a 4 5. Para esses valores de b, temos d b. Logo, o maior dos números é d.. Na pirâmide ao lado, cada número numa caia é o produto dos números nas duas caias inferiores vizinhas. Se os números das três caias inferiores são inteiros positivos maiores do que, qual dos números a seguir não pode ser escrito na caia do topo? (A) 56 (B) 84 (C) 90 (D) 05 (E) 0. Alternativa D Se a, b e c são os números escritos na camada inferior, na camada do meio estão escritos ab e bc. Portanto, na camada superior, está escrito o número ab c. Temos 56 7 7, 84 7, 90 5, 0 5 mas 05 557 jamais irá aparecer no topo, já que os números escritos na caia de baio são inteiros positivos maiores do que. n. Se en n para n, qual é o valor de 4? (A) (B). Alternativa C 4 8 4 4; 4 ; 8 8 4 (C) 8 8 (D) 6 (E) 768 4. No retângulo ABCD, o comprimento do lado BC é metade do comprimento da diagonal AC. Se M é um ponto do lado CD tal que AM = MC, qual é a medida do ângulo CÂM? (A),5 (B) 5 (C) 7,5 (D) 4. Alternativa D Como BC é metade de AC, no triângulo ABC, retângulo em B, podemos concluir que a medida do ângulo BÂC é 0. Como AB é paralelo acd, segue que a medida do ângulo ACD ˆ também é 0. Então o triângulo AMC é isósceles de base AC, pois AM = MC. Logo, a medida do ângulo CÂM é 0. 0 (E) 4,5 Canguru de Matemática Brasil 06 Nível S Soluções Página 4
5. Júlia corta um retângulo de área 06 em 56 quadrados iguais, cujos lados medem um número inteiro. Para quantos retângulos diferentes, cujos lados medem números inteiros, ela pode fazer isto? (A) 0 (B) (C) 4 (D) 6 (E) 8 5. Alternativa C s 56 quadrados podem estar dispostos das seguintes maneiras para formar um retângulo: 56, 8, 4 4 e 7 8. Assim, há 4 retângulos diferentes formados pelos 56 quadrados. Note que cada um desses 56 quadrados tem área igual a 6. 6. Na ilha dos Cavaleiros e dos Vigaristas, todo cidadão é Cavaleiro, que sempre diz a verdade, ou então é Vigarista, que sempre mente. Durante sua viagem pela ilha você encontra sete cidadãos ao redor de uma fogueira. Todos eles lhe dizem: Eu estou sentado entre dois Vigaristas. Quantos Vigaristas há no grupo? (A) (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 6. Alternativa B Não pode haver três Vigaristas consecutivos, pois o do meio estaria dizendo a verdade. Por outro lado, um Cavaleiro só pode estar entre dois Vigaristas. A configuração para sete cidadãos é a representada ao lado, em que o número de Vigaristas é 4. y y logo, 7. As equações a b 0 e b a 0 têm raízes reais. Se a soma dos quadrados das raízes da primeira equação é igual à soma dos quadrados das raízes da segunda equação e a b, quanto vale a b? (A) 4 (B) (C) 0 (D) (E) 4 7. Alternativa B Sendo e as raízes da primeira equação, temos ae b. Sendo ye yas raízes da segunda equação, temos y y be a. Mas a ba b b a 0 a ba b 0. y y y y a b b a a b b a 0 Como a b, temos necessariamente ab 0 ab. 8. Na figura ao lado, se o perímetro do quadrado é 4 e o triângulo é equilátero, qual é o perímetro do triângulo? (A) (B) 4 (C) (D) (E) 4 Canguru de Matemática Brasil 06 Nível S Soluções Página 5
8. Alternativa D Sendo H o ponto médio do lado BC, na figura, temos BH. Por outro lado, y como o triângulo é equilátero, se y é a medida de seu lado, temos BH. No triângulo retângulo de catetos e, a medida do ângulo em B é 60, logo cot60. Temos, assim, y y y y. 9. Cada um dos 0 vértices de triângulos na figura é numerado de 0, ou. Sabe-se que a soma dos números dos vértices de cada triângulo branco é um número divisível por, enquanto que a soma dos números dos vértices de cada triângulo preto não é divisível por. Alguns vértices já foram numerados na figura. Quais números poderão ser usados para numerar o vértice no centro da figura? (A) Somente 0. (B) Somente. (C) Somente. (D) Somente 0 e. (E) Qualquer um dos três números. 9. Alternativa A Podemos escrever o número 0 no centro, conforme indicado na figura. Como o vértice restante do primeiro triângulo de baio tem que ser necessariamente, o número não pode ser escrito no centro. Se escrevermos o número no centro, o triângulo preto de cima não será numerado de acordo com a regra. Portanto, poderá ser usado para numerar o centro somente o número 0. 0. s pontos A, B, C, D e E pertencem à circunferência da figura. A reta tangente à circunferência em A e os segmentos de origem A e etremidades B, C, D e E formam cinco ângulos de mesma medida. Qual é a medida do ângulo ABD? (A) 66,5 (B) 7 (C) 75 (D) 77,5 (E) 80 0. Alternativa B s cinco ângulos de medida estão inscritos na mesma circunferência, logo interceptam arcos de medida 60 7. ângulo ABD está inscrito e intercepta dois desses arcos, logo mede 7. 5 Canguru de Matemática Brasil 06 Nível S Soluções Página 6
Problemas de 5 pontos. Quantas soluções reais distintas tem a equação 0 4 5? (A) (B) (C) (D) 4 (E) infinitas. Alternativa C A equação 4 5 0 não tem raízes reais. Se a é um número real não nulo, então b a a oub 0. Logo, 0 4 5 4 5 ou 0 0 4 4 0 ou 0 0 ou 6 ou 5.. A razão entre o perímetro de um quadrilátero e o comprimento da circunferência inscrita nesse quadrilátero (tangente aos quatro lados do quadrilátero) é 4:. Qual é a razão entre a área do quadrilátero e a área do círculo inscrito? (A) 4: (B) : (C) 6:9 (D) : (E) 4:. Alternativa E Sendo o perímetro do quadrilátero e r o raio do círculo, temos 4 r. Conforme r mostrado na figura, onde abc d, a área do quadrilátero é. Logo a razão r 4 entre a área do quadrilátero e a área do círculo é. r r Canguru de Matemática Brasil 06 Nível S Soluções Página 7
. Quantas funções quadráticas de variável têm seu gráfico passando por pelo menos três dos pontos assinalados no plano y ao lado? (A) 6 (B) 5 (C) 9 (D) (E) 7. Alternativa D Pelo ponto A da figura passam seis parábolas distintas que passam por outros dois pontos do reticulado. Pela simetria da figura, pelo ponto B da figura também passam seis parábolas nessas condições, duas das quais são a mesma que passam por A. Considerando os pontos A e B, temos então 0 parábolas nas condições dadas. Isto ocorre também para os pontos C e D. Pelos pontos E e F passam duas parábolas nas condições dadas. As parábolas que passam pelos pontos intermediários já foram consideradas. Portanto, o número total de funções quadráticas cujos gráficos passam por pelo menos três dos pontos do reticulado é 0 + 0 + =. utra solução: gráfico de uma função quadrática é uma parábola de eio paralelo ao eio y. Assim, essas parábolas não podem passar por dois pontos numa mesma reta vertical nem três pontos alinhados. Há 7 maneiras de escolher três pontos, um de cada reta vertical, mas, em 5 destes casos, os pontos estão alinhados. Portanto, há funções quadráticas, cujas parábolas passam por dos pontos do reticulado. bs.: É possível mostrar que para três pontos ab,, cd, e e, f não alinhados e sem que dois estejam numa mesma reta vertical, sempre há uma função quadrática com o gráfico passando por estes pontos. A função pode ser descrita por y b a a d c c f e e, obtemos um determinante nulo). Desenvolvendo a equação, temos: 0 (pois substituindo y, por ab,, cd, ou e, f y b a a d c c f e e a a b a b a b a a 0 c c y d c d c d c c f f f e f e f e e Esta equação é de segundo grau se, e somente se, os determinantes c c a ca f c f b a d c f e a f a f e são não nulos. No primeiro caso, temos que a c, a f e c f (ou seja, não há dois pontos numa mesma abscissa), enquanto que, no segundo caso, temos que o triângulo formado pelos pontos ab,, cd, e e, f tem área não nula, ou seja, os três pontos não estão alinhados. Canguru de Matemática Brasil 06 Nível S Soluções Página 8
4. No triângulo ABC, retângulo em A, as bissetrizes dos ângulos agudos intersectam-se no ponto P. Se a distância do ponto P à hipotenusa é 8, qual é a distância do ponto P ao ponto A? (A) (B) 0 (C) (D) 4 (E) 8 4. Alternativa D Como é a intersecção das três bissetrizes, P equidista dos três lados do triângulo. Vemos, pela figura, que AIPJ é um quadrado, pois IP = IJ e IP IA e IJ AJ. Assim, a distância AP é a medida da diagonal do quadrado AIJP, cujo lado é IP = PJ = PH = 8. Portanto, AP 8 6 4. 5. Usando cada algarismo de a 9 eatamente uma vez, podemos escrever três números de três algarismos. Qual dos números a seguir não pode ser a soma desses três números? (A) 500 (B) 50 (C) 5 (D) 5 (E) 575 5. Alternativa A De início, observando as alternativas, vemos que apenas o número 500 não é divisível por nove. De fato, sendo os três números " abc " 00a 0b c, " def " 00d 0e f e "ghi" 00g 0h i, temos: " abc " " def " " ghi " 00 a d g 0 b e h c f i a d g b e hc f i a d g b e h a d g b e h c f i a d g b e ha b c d e f g h i a d g b e h a d g b e h a d g b e h 00 0 99 9 9 9... 9 9 45 9 5, ou seja, a soma dos três números é um múltiplo de nove. Isto eclui o número 500. 6. Um cubo foi decomposto em seis pirâmides ligando-se um ponto do interior do cubo a cada um dos vértices de todas as faces. s volumes de cinco dessas pirâmides são, 5, 0, e 4. Qual é o volume da seta pirâmide? (A) (B) 4 (C) 6 (D) 9 (E) 6. Alternativa C A soma das medidas das alturas das duas pirâmides cujas bases são faces opostas do cubo é igual à medida da aresta do cujo. s volumes das seis pirâmides são proporcionais às suas alturas, já que suas bases têm áreas iguais. Se é o volume da seta pirâmide, podemos concluir que os números,, 5, 0, e 4 são proporcionais às seis alturas das pirâmides, que podem ser divididas em três pares de números de somas iguais. No caso temos 4 + = + 5 = 0 + 6, logo = 6. Canguru de Matemática Brasil 06 Nível S Soluções Página 9
7. Uma tira retangular ABCD de papel com 5 cm de largura e 50 cm de comprimento é branca de um lado e cinza do outro. Dobrando a tira, Cristina faz o vértice B da tira coincidir com o ponto médio M no lado CD. Dobrando novamente, ela faz o vértice D coincidir com o ponto médio N do lado AB. Qual é a área, em cm, da parte branca visível da tira na figura? (A) 50 (B) 60 (C) 6,5 (D) 00 (E) 5 7. Alternativa B A linha EF correspondente à primeira dobra é a mediatriz do segmento BM, isto é, ME EB. Concluímos de forma análoga que NF FC e MF FB. Assim, os triângulos MNF e BCF são congruentes e MN = BC = 5. Como M é ponto médio do lado CD da tira, temos MC = 5. Desta forma, se MF então NF FC 5 e, no triângulo MNF, retângulo em N, temos 5 5. Logo, NF =. Portanto, a área do triângulo BCF é FC BC 5 igual a 0. s triângulos MFE e BFE também são congruentes. Como a área do triângulo MF BC 5 65 65 MFE é, temos que a área do trapézio MCBE é 0 95. Pela simetria da figura, a área do outro trapézio à esquerda é a mesma. Subtraindo a área dos dois trapézios da área total da tira, resta a área da parte branca visível na figura do enunciado. Portanto, a área dessa parte é igual a 50595 50 90 60 cm. 8. Ana escolheu um número inteiro positivo n e escreveu a soma de todos os números inteiros de a n. Um número primo p divide essa soma, mas não divide nenhum dos números que foram somados. Qual dos números a seguir poderia ser o valor de n p? (A) 7 (B) (C) 9 (D) 45 (E) 69 8. Alternativa A nn A soma dos números de a n é s. Se p é um primo que não divide nenhum dos números de a n mas divide s, então p necessariamente divide n. Como p é maior que n, então pn. Assim, np é par e n p n. Das alternativas, apenas em 7 08 obtemos n 08 par e n 09 primo. Canguru de Matemática Brasil 06 Nível S Soluções Página 0
9. As casas de um tabuleiro 55podem ser de cor branca ou cinza. Um movimento produz a mudança de cor de três casas consecutivas quaisquer na mesma linha ou coluna, isto é, as brancas se tornam cinzas e as cinzas se tornam brancas. Partindo do tabuleiro com todas as casas brancas, pelo menos quantos movimentos serão necessários para termos o tabuleiro pintado da forma mostrada na figura à direita? (A) Menos de 0. (B) 0 (C) (D) Mais de (E) Impossível fazer isso. 9. Alternativa A Marquemos as casas que devem ficar cinzas no final com um ponto. Há dois tipos de movimento neste tabuleiro: os que cobrem duas casas com ponto: e os que cobrem apenas uma casa com ponto: Como queremos o menor número de movimentos, então tentemos usar esses movimentos de forma a cobrir cada casa com ponto eatamente uma vez. mínimo seria utilizar 6 movimentos do tipo mas eles teriam que se entrecruzar para que a casa do meio ficasse branca no final. Mas não é possível cobrir o tabuleiro com movimentos do tipo. Com 7 movimentos, só é possível organizá-los com dois movimentos do tipo e um do tipo, mas também não é possível preencher o tabuleiro assim. Mas com 8 movimentos é possível obter o tabuleiro pintado da forma proposta: Canguru de Matemática Brasil 06 Nível S Soluções Página
0. número inteiro positivo N tem eatamente seis divisores positivos, incluindo e N. produto de cinco desses divisores é 648. Qual é o seto divisor? (A) 4 (B) 8 (C) 9 (D) (E) 4 0. Alternativa C Como N tem 6 divisores positivos, então ele é da forma pq, com p e q primos. Logo, seus divisores são 6, p, q, pq, q, pq e o produto de seus divisores é pqpqq pq p q. Como o produto de 5 dos divisores é 4 648, então p, q e o seto divisor é 6 4 9. Canguru de Matemática Brasil 06 Nível S Soluções Página