2 Distribuições Teóricas Discretas

2 Distribuições Teóricas Discretas Exercício 2.1 Seja X B (n, p) e Y B (n, 1 p), verifique que P (X = r) =P (Y = n r). InterpreteoresultadoemtermosdeprovasdeBernoulli. Exercício 2.2 Utilizando as tabelas da distribuição Binomial: 1. Calcule as seguintes probabilidades: (a) P [X 5] com X B (10, 0.5). (b) P [3 X 8] com X B (8, 0.4). (c) P [X =7] com X B (10, 0.7). (d) P [X 5] com X B (8, 0.7). (e) P [X 5] com X B (5,p). 2. Indique quais os valores de n e p, taisque: (a) X B (10,p) e P [X 5] = 0.8338. (b) X B (n, 0.2) e P [2 X n] =0.5638. (c) X B (n, 0.1) e P [X =4]=0.0046. Exercício 2.3 Numa população de milhares de bovinos há 20% contaminados com o vírus W. Escolhendo 6 bovinos ao acaso, qual a probabilidade de que: 1. Nenhum esteja contaminado. 2. Todos estejam contaminados, sabendo-se que pelo menos um deles está. 3. Metade ou mais esteja contaminado. Exercício 2.4 Qual a probabilidade de tirar, em 10 lançamentos de um dado numerado de 1 a 6: 1. Exactamente três resultados face 5? 2. Pelo menos três resultados face 5? 3. Quanto muito três resultados face 5? 13

Exercício 2.5 Considere X a v.a. que representa o número de rapazes em famílias com 6 filhos. 1. Construa a função de probabilidade de X. 2. Sabendo que numa família com 6 filhos, pelo menos 3 deles são rapazes, calcule a probabilidade de não existirem raparigas. 3. Se numa cidade há 800 famílias com 6 filhos, quantas podemos esperar que tenham pelo menos 2 rapazes? Exercício 2.6 Umindivíduoquepraticatiroaoalvo,acertana mouche em média, dois em cada três tiros. Supondo que faz dez tiros, qual a probabilidade de: 1. Acertar na mouche exactamente 6 vezes. 2. Acertarna mouche pelomenos1 vez. 3. Acertar na mouche quanto muito 2 vezes. Exercício 2.7 Numa experiência biológica, para a qual a escolha das cobaias é bastante dispendiosa, verifica-se que a experiência é bem sucedida em 40% dos casos. Suponha que cada vez que se repete a experiência uma cobaia diferente é analisada e cada repetição só usa uma cobaia. 1. Se o investigador tiver 10 cobaias à sua disposição, qual a probabilidade de se verificarem pelo menos 2 experiências bem sucedidas? 2. Quantas cobaias são necessárias para que o número esperado de sucessos seja 24? Justifique. 3. Quantas cobaias serão necessárias para garantir que a probabilidade de obter pelo menos uma experiência com sucesso seja inferior a 0.95? Exercício 2.8 No processo de destilação do petróleo, a temperatura de destilação X (medida em graus centígrados) é decisiva para a determinação da qualidade do produto final. Admita que X é uma v.a. com distribuição uniforme no intervalo [150, 300], isto é, a sua função densidade de probabilidade édadapor: f(x) = ½ 1 150 0, 150 x 300, x<150 ou x>300 Se o petróleo for destilado a uma temperatura inferior a 200 o,oproduto resultante é nafta que se vende a 40 unidades monetárias (u.m.) por litro. 14

Se a temperatura for igual ou superior a 200 o,obtém-sepetróleorefinado que se vende a 50 u.m. por litro. O custo de destilação de um litro de petróleo (incluindo a matéria-prima) é de 24 u.m. por litro. 1. Calcule a probabilidade de um dado lote de destilação resultar em nafta. 2. Determine o lucro líquido esperado, por lote de destilação, sendo cada lote de 10000 litros. 3. Em 10 lotes de destilação, calcule a probabilidade de apenas 1 lote resultar em nafta. Exercício 2.9 A remuneração mensal (em milhares de unidades monetárias) dos trabalhadores juvenis é uma v.a. X, com a seguinte função densidade de probabilidade: 1. Qual o valor de k? f(x) = 1 7000 x2 k 0, 10 <x 20, 20 <x<30, caso contrário 2. Determine a função de distribuição de X. 3. Escolhe-se aleatoriamente um trabalhador de entre os que ganham mais de 20000 unidades monetárias. Qual a probabilidade de ele ganhar menos de 25000 unidades monetárias? 4. Seleccionaram-se ao acaso e com reposição, cinco trabalhadores. Calcule a probabilidade de nenhum deles ganhar mais de 20000 unidades monetárias. Exercício 2.10 Seja X uma v.a. contínua com função densidade de probabilidade dada por: ax, 0 <x 1 a, 1 <x 2 f(x) = ax +3a, 2 <x<3 0, caso contrário 1. Determine a. 2. Determine F (x) e esboce o seu gráfico. 3. Determine a esperança matemática e a variância. 15

4. Se X 1,X 2 e X 3 forem 3 observações independentes de X, qualseráa probabilidade de exactamente um desses números ser maior que 1, 5? Exercício 2.11 Seja X uma v.a. dada por: 0 F (x) = x 2 1 contínua cuja função de distribuição é, x 0, 0 <x<1, x 1 1. Determine a probabilidade de X tomar um valor entre 1 3 e 1 2. 2. Calcule E[X] e V [X]. 3. Determine a probabilidade de, em 4 valores assumidos independentemente pela v.a. X, pelo menos 3 estarem compreendidos entre 0.25 e 0.75. Exercício 2.12 Utilizando as tabelas da distribuição Poisson: 1. Calcule as seguintes probabilidades: (a) P [X 5] com X P (7). (b) P [X 3] com X P (2.1). (c) P [X =1] com X P (0.2). (d) P [X =5] com X P (4.4). (e) P [2 X 6] com X P (3.3). 2. Sabendo que X P (λ) indique qual o valor de λ, talque: (a) P [X =8]=0.1321. (b) P [X 4] = 0.7442. (c) P [X 6] = 0.631. Exercício 2.13 Entre as 14 eas16 horas, o número médio de chamadas telefónicas por minuto, atendidas no centro de comunicações de uma empresa é 2.5. Sabendo que o número de chamadas sugere uma distribuição Poisson, calcule a probabilidade de, durante um determinado minuto haver: 1. 0 chamadas telefónicas. 2. 2 chamadas telefónicas. 16

3. 4 ou menos chamadas telefónicas. 4. Mais de 6 chamadas telefónicas. Exercício 2.14 O número diário de visitantes de uma feira (em milhares de pessoas) segue uma distribuição Poisson com média igual a 3. 1. Determine o número esperado de visitantes na feira. 2. Determine a probabilidade do número de visitantes não ser inferior a 4000. Exercício 2.15 Onúmerodepetroleirosquechegaaumacertarefinaria, em cada dia, é uma v.a. com distribuição Poisson de parâmetro λ =2. As actuais instalações portuárias da refinaria podem servir até 3 petroleiros por dia. Se mais de 3 petroleiros chegam num dia, os petroleiros em excesso são enviados para outro porto. 1. Qual a probabilidade de, num dia, se ter de recusar serviço a petroleiros? 2. Qual deverá ser a capacidade de atendimento da refinariaparapermitir o acolhimento de todos os petroleiros que chegam em cerca de 95% dos dias? 3. Qual o número esperado de petroleiros chegados por dia? 4. Qual o número mais provável de petroleiros chegados num dia? 5. Qual o número esperado de petroleiros atendidos num dia? 6. Qual o número esperado de petroleiros recusados num dia? Exercício 2.16 O número de clientes diários de um cabeleireiro é uma v.a. com distribuição Poisson de média 15. O horário de funcionamento vai das 10 às 16 horas, não fechando para almoço. Sabe-se ainda que, devido a limitações de pessoal se atendem no máximo 25 clientes por dia. 1. Qual a probabilidade de entre as 10 eas12 horas chegarem menos de 5 clientes? 2. Qual a probabilidade de num dia ficarem clientes por atender? 17

Exercício 2.17 Uma estrada secundária junta-se a uma auto-estrada no ponto A. Os veículos provenientes da auto-estrada chegam a A, aumataxa média de 10 por minuto, e os provenientes da estrada secundária a uma taxa média de 4 por minuto. Supondo que em ambos os casos a distribuição Poisson é aplicável e que o número de veículos que passam por A vindos da auto-estrada é independente do número de veículos que passam em A vindos da estrada secundária, calcule: 1. A probabilidade de o número de veículos que passam em A durante um minuto, vindos da auto-estrada, ser superior a 12. 2. A probabilidade de passarem por A, exactamente 7 veículos durante um minuto, provenientes da estrada secundária. 3. A probabilidade de durante um minuto não passar por A qualquer veículo. Exercício 2.18 Seja X o número de avarias que ocorre por hora num certo dispositivo, com distribuição Poisson tal que P (X =1)=P (X =2). 1.Determineonúmeromédiodeavariasqueocorremporhoradefuncionamento no dispositivo referido. 2. Qual a probabilidade de que ocorram quanto muito 4 avarias em meia hora? 3. Admita que para a montagem de um determinado aparelho são necessários 5 dispositivos dos referidos no enunciado. Qual a probabilidade de que nenhum deles se avarie num período de 15 minutos? Exercício 2.19 Seja X uma v.a. com distribuição Poisson que representa onúmerodecarrospedidosdiariamenteaumaempresaquepossui3 para alugar.apercentagemdediasemqueaprocuraénulaé13.53. 1. Determine a probabilidade do número de carros procurados diariamente ser superior à média. 2. Para um período de 100 dias, determine o número esperado de dias em que ficam encomendas por satisfazer. Exercício 2.20 O número de pessoas que semanalmente apresenta um pedido de emprego no Centro de Emprego de Setúbal é uma variável aleatória que segue uma distribuição Poisson com E[X] =9. Cerca de 80% das pessoas pretendem trabalhar no sector dos serviços. 18

1. Qual a probabilidade de em determinada semana não aparecerem mais de 4 pedidosnocentrodeemprego? 2. Tendo seleccionado 12 dos pedidos recepcionados, qual a probabilidade de se encontrarem mais de 7 dirigidos a sectores que não o de serviços? Exercício 2.21 Um contentor contém 10000 partículas. A probabilidade de, num certo intervalo de tempo uma dessas partículas sair do contentor é 0.0004. Assumindo que o comportamento de cada partícula é independente do comportamento das restantes, qual a probabilidade de exactamente 5 dessas partículas escaparem do contentor, nesse intervalo de tempo? Exercício 2.22 Numa cidade existe uma capacidade hoteleira de 400 quartos. A probabilidade de uma pessoa procurar um quarto de hotel nessa cidade, durante a época considerada baixa, é de 1. Calcule o número máximo de quartos necessários durante um fim de semana (2 dias) da época 200 considerada baixa para albergar todas as pessoas que o desejem com uma probabilidade de 0.95. Exercício 2.23 A probabilidade de uma pessoa morrer de uma certa doença respiratória é 0.002. 1. Determine a distribuição da v.a. que representa o número de doentes que morrem em 2000 infectados por essa doença. 2. Em 2000 infectados qual o número esperado de doentes que irão morrer? 3. Calcule a probabilidade de morrerem 5 doentes dos próximos 2000 infectados. Exercício 2.24 Estatísticas realizadas no campo da saúde revelam que uma doença de tratamento dispendioso afecta 1 em cada 5000 pessoas. Baseada nestas estatísticas, uma seguradora decidiu criar um seguro para cobrir as despesas desse tratamento. Num certo ano a seguradora tem em carteira 3000 apólices deste tipo. 1. Determine a probabilidade de nenhuma das pessoas seguradas contrair a doença nesse ano. 2. Sabendo que nesse ano já foi registada pelo menos uma participação à seguradora, calcule a probabilidade de não se verificarem mais de 3 participações até ao final do ano. 19

Exercício 2.25 Sabe-se que 3% daslâmpadaseléctricasfabricadasporuma companhia são defeituosas. Designe por X a v.a. que representa o número de lâmpadas com defeito existentes numa amostra de 100. 1. Diga, justificando, qual a distribuição de X. 2. Calcule: (a) P (X =5). (b) P (1 <X<3). (c) P (X 5). 20

Soluções 2.1:. 2.2.1a: 0.623. 2.2.1b: 0.6846. 2.2.1c: 0.2668. 2.2.1d: 0.4482. 2.2.1e: 1. 2.2.2a: 0.4. 2.2.2b: 9. 2.2.2c: 8. 2.3.1: 0.2621. 2.3.2: 0.0001355. 2.3.3: 0.0989. 2.4.1: 0.1550 (usando p 0.15 tem-se 0.1298). 2.4.2: 0.2248 (usando p 0.15 tem-se 0.1798). 2.4.3: 0.9303 (usando p 0.15 tem-se 0.95). 2.5.1:. 2.5.2: 0.0238. 2.5.3: 713. 2.6.1: 0.2276 (usando p 0.35 tem-se 0.2377). 2.6.2: 0.999983 (usando p 0.35 tem-se 0, 9999). 2.6.3: 0.0034 (usando p 0.35 tem-se 0.0048). 2.7.1: 0.9536. 2.7.2: 60. 2.7.3: n 5. 1 2.8.1:. 2.8.2: 226667 unidades monetárias. 2.8.3: 0.0867 (usando 3 p 0.35 tem-se 0.0725). 1 2.9.1:. 2.9.2:. 2.9.3: 1. 2.9.4: 0.0041 (usando p 0.35 tem-se 15 2 0.0053). 2.10.1: 1. 2.10.2:. 2.10.3: E[X] = 3, V [X] = 5. 2.10.4: 0.375. 2 2 12 5 2.11.1:. 2.11.2: E[X] = 2, V [X] = 1. 2.11.3: 0.3125. 36 3 18 2.12.1a: 0.3007. 2.12.1b: 0.3504. 2.12.1c: 0.1637. 2.12.1d: 0.1687. 2.12.1e: 0.7904. 2.12.2a: 7.1. 2.12.2b: 3.4. 2.12.2c: 6.5. 2.13.1: 0.0821. 2.13.2: 0.2565. 2.13.3: 0.8912. 2.13.4: 0.0142. 2.14.1: 3000. 2.14.2: 0.3528. 2.15.1: 0.1429. 2.15.2: 4. 2.15.3: 2. 2.15.4: 1 ou 2. 2.15.5: 1.782. 2.15.6: 0.2177. 2.16.1: 0.4405. 2.16.2: 0.0062. 2.17.1: 0.2084. 2.17.2: 0.0595. 2.17.3: 0. 2.18.1: 2. 2.18.2: 0.9963. 2.18.3: 0.0821 (usando p 0.4 tem-se 0, 0778). 2.19.1: 0.3233. 2.19.2: 14.29. 2.20.1: 0.0550. 2.20.2: 0.0006. 2.21: 0.1563. 2.22: 7. 2.23.1: X B (2000, 0.002). 2.23.2: 4. 2.23.3: 0.1563. 2.24.1: 0.5488. 2.24.2: 0.9925. 2.25.1: X B (100, 0.03). 2.25.2a: 0.1008. 2.25.2b: 0.2240. 2.25.2c: 0.1847. 21