Modelos de Distribuições

4/05/014 Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Tucuruí CTUC Curso de Engenharia Mecânica 4/05/014 06:56 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Capítulo IV Modelos de Distribuições Campus de Tucuruí CTUC Curso de Engenharia Mecânica 1

4/05/014 IV Modelos de Distribuições Introdução Distribuições teóricas discretas Distribuições teóricas contínuas IV Modelos de Distribuições Introdução Distribuições teóricas discretas Distribuições teóricas contínuas

4/05/014 4.1 Introdução Existem variáveis aleatórias que têm uma função de distribuição pertencente a uma classe de distribuições teóricas. As distribuições teóricas, como o próprio nome indica, foram submetidas a estudos prévios e têm propriedades conhecidas; portanto, podem servir como modelo em determinadas situações em que a distribuição esteja identificada, poupando tempo na análise do problema estudado. 4.1 Introdução As distribuições teóricas que aqui serão estudadas são: Caso discreto - Distribuição binomial - Distribuição hipergeométrica - Distribuição de Poisson Caso contínuo - Distribuição uniforme - Distribuição exponencial - Distribuição normal - Distribuição qui-quadrado - Distribuição t de Student - Distribuição F 3

4/05/014 IV Modelos de Distribuições Introdução Distribuições teóricas discretas Distribuições teóricas contínuas 4. Distribuições Teóricas Discretas Prova de Bernoulli A prova de Bernoulli é uma experiência aleatória que serve de base a várias distribuições teóricas (distribuição binomial, distribuição binomial negativa e distribuição geométrica). Consideremos uma experiência aleatória na qual existem apenas dois acontecimentos em que estamos interessados: o acontecimento A que será designado por sucesso e o acontecimento contrário, A, que será designado por falha. O sucesso ocorre com probabilidade p, e o insucesso com probabilidade q = 1 p. 4

4/05/014 4. Distribuições Teóricas Discretas Prova de Bernoulli O espaço de resultados está assim particionado em dois acontecimentos S = { A, A } em que: A = sucesso A = falha P( A ) P( A ) = p = q = 1 p A uma experiência aleatória com estas características dá-se o nome de prova de Bernoulli. 4. Distribuições Teóricas Discretas Prova de Bernoulli Principais características: Média : µ = 1 0 x i f ( x i ) = 0 q + 1 p = p Variância : σ = E ( [ x µ ) ] i = E( X ) µ = = 1 0 x i = p p f ( x i ) µ = 0 q + 1 = p( 1 p ) = pq p p = 5

4/05/014 4. Distribuições Teóricas Discretas Prova de Bernoulli Sucessão de provas de Bernoulli: Defini-se como o processo caracterizado por repetidas provas que têm lugar nas seguintes condições: 1. Cada prova resultem em somente dois resultados possíveis, designados como sucesso e falha.. A probabilidade de um sucesso em cada prova, designada por p, permaneça constante. A probabilidade de falha designa-se por q = 1 p. 3. As provas sejam independentes, isto é, os resultados obtidos numa sequência de provas não influenciam os resultados da(s) provas(s) subsequente(s). 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição binomial Trata-se de uma distribuição de probabilidade adequada aos experimentos que apresentam apenas dois resultados: sucesso ou falha. Este modelo fundamenta-se nas seguintes hipóteses: - H1. n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas; - H. cada prova admite apenas dois resultados sucesso ou falha; - H3. a probabilidade de sucesso é p e de falha é 1 p = q. 6

4/05/014 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição binomial Considerando-se uma sucessão de n provas de Bernoulli, a variável aleatória que representa o número de sucessos obtidos nessas n provas de Bernoulli tem distribuição binomial. A variável aleatória X, que é igual ao número de provas que resultam em um sucesso, tem uma distribuição binomial com parâmetros p e n em que 0 < p < 1 e n = {1,, 3,..., n}. A função de probabilidade de X é f ( x ) n = p x x q n x, x = 0,1,,...,n 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição binomial Principais características: - De acordo com as hipóteses, observa-se que X é a soma de n variáveis do tipo Bernoulli, daí Média : E( X ) = nµ = np Variância : Var( X ) = nσ = npq 7

4/05/014 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição binomial Exemplo: Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter uma certa molécula rara. Considere que as amostras sejam independentes em relação à presença da molécula rara. Encontre a probabilidade de que, nas próximas 18 amostras, exatamente contenham a molécula rara. - Seja X = número de amostras de ar que contenham a molécula rara nas próximas amostras analisadas (sucessos); então, X é a variável aleatória binomial com p = 0,1 e n = 18. Assim, f ( x ) n = p x x q n x 18 P( X = ) = ( 0,1 ) ( 0,9 ) 16 = 0,84 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição binomial Exemplo: Determine a probabilidade de que no mínimo 4 amostras contenham a molécula rara. - Neste caso, a probabilidade requerida é P( X 18 18 x 18 x 4 ) = ( 0,1 ) ( 0,9 ) x = x= 4 3 18 x 18 x = 1 ( 0,1 ) ( 0,9 ) = x 0 x = = 1 ( 0,150 + 0,300 + 0,84 + 0,168 ) = = 0,098 8

4/05/014 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição binomial Exemplo: Determine a probabilidade de que o número de amostras que contenham a molécula rara esteja entre 3 e 6. - Neste caso, a probabilidade requerida é P( 3 6 18 x 18 x X 6 ) = ( 0,1 ) ( 0,9 ) x 3 x = = = 0,168 + 0,070 + 0,0 + 0,005 = = 0,65 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição hipergeométrica Suponhamos que temos um conjunto de N elementos e que M destes elementos têm uma certa característica em que estamos interessados (sucesso); logo os outros N-M elementos não têm essa característica. Ao retirarmos n elementos do conjunto inicial de N elementos (retirar de forma aleatória e sem reposição) consideremos X a variável aleatória que representa o número de elementos que são retirados e que têm a característica em que estamos interessados. A variável aleatória definida nas condições anteriores tem distribuição hipergeométrica com parâmetros N, M e n. 9

4/05/014 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição hipergeométrica A probabilidade da variável aleatória assumir o valor x é dada por: M N M x n x P( X x ) b( x, N,M,n ) = = = N n com x = máx{ 0,n ( N M )},...,min { n,m} Demonstra-se que se a variável aleatória X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros N, M e n, então: M E( X ) = n N M N M = N n Var( X ) n N N N 1 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição hipergeométrica Exemplo: Na produção de 1000 parafusos em uma máquina A foi observado que 100 apresentam algum tipo de defeito. Como vão ser utilizados 10 parafusos de cada vez, determine a probabilidade de todos serem perfeitos. - Neste caso, N = 1000, M = 100 e n = 10, a probabilidade requerida, portanto, será: 100 1000 100 900 899... 891 1 0 10 0 1... 10 P ( X = 0 ) = = = 0,35 1000 1000 999... 991 10 1... 10 10

4/05/014 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson (que deve o seu nome ao físico francês Simon Poisson) está associada a um grande conjunto de situações práticas cujos alguns exemplos são os seguintes: - Número de mensagens que chegam em um servidor no intervalo de uma hora. - Número de partículas defeituosas em um cm 3 de volume de um certo líquido. - Número de defeitos em um metro de comprimento, de um fio produzido por uma máquina têxtil. 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson Todos os exemplos apresentados têm uma característica comum: a variável aleatória em estudo representa o número de ocorrências de um certo evento ao longo de um intervalo (tempo, comprimento, área ou volume). Os valores que a variável aleatória pode assumir são valores inteiros não negativos: 0, 1,..., n,.... 11

4/05/014 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson Outras características que identicam uma distribuição de Poisson são: - O número de ocorrências em intervalos não sobrepostos são variáveis independentes. - A probabilidade de um certo número de ocorrências se verificar é a mesma para intervalos da mesma dimensão; isto é, a probabilidade depende apenas da amplitude do intervalo e não da posição em que se situa nesse intervalo. - As ocorrências do fenômeno descrito verificam-se uma a uma e nunca em grupos. 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson Se o número médio de ocorrências no intervalo em estudo forλ> 0, a variável aleatória X, que é igual ao número de ocorrências no intervalo, terá uma distribuição de Poisson, com parâmetro λ, sendo a função de distribuição de X dada por f ( x ) = e λ x λ x!, x = 0,1,,... Características: Média : Variância : E( X ) = λ Var( X ) = λ 1

4/05/014 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson Exemplo: Mensagens chegam a um servidor de computadores de acordo com a distribuição de Poisson, com uma taxa média de 10 por hora. a) Qual a probabilidade de 3 mensagens chegarem em 1 hora? b) Qual a probabilidade de 6 mensagens chegarem em 30 minutos? 4. Distribuições Teóricas Discretas Distribuição de Poisson Exemplo: a) Seja X a representação do número de mensagens em 1 hora. Então E(X) = 10 mensagens e f ( x ) e λ x λ e = P( X = 3 ) = x! 10 3! 10 3 = 0,0076 b) Seja X a representação do número de mensagens em 30 minutos (0,5 hora). Então E(X) = 0,5.10 = 5 mensagens e 5 e 5 P( X = 6 ) = 6! 6 = 0,146 13

4/05/014 IV Modelos de Distribuições Introdução Distribuições teóricas discretas Distribuições teóricas contínuas Distribuição uniforme Consideremos uma variável aleatória contínua, cujos valores podem ocorrer dentro dum intervalo limitado (aberto ou fechado) (a,b). Se quaisquer dois subintervalos de igual amplitude têm a mesma probabilidade, então a variável aleatória tem distribuição uniforme. Diz-se que a variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme no intervalo (a,b) se a sua função de densidade de probabilidade for dada por: 1 f ( x ) = b a 0 a < x < b para outros valores de x 14

4/05/014 Distribuição uniforme Os parâmetros caracterizadores desta distribuição são a e b, que satisfazem a condição < a < b < +. Sua função de distribuição cumulativa F(x) é dada por: 0 x a F( x ) = b a 1 x a a < x < b x b Características: Se a variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo (a,b) então: a + b E( X ) = ( b a ) Var( X ) = 1, Distribuição uniforme Exemplo: Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta (0,). Qual a probabilidade de que este ponto esteja entre 1 e 1,5? - Seja X a representação da variável escolher um ponto de (0,). A função densidade de probabilidade de X é dada por: Então: 1 1 f ( x ) = = = 0,5 b a 0 P( a x b ) = para 0 x 1b P( 1 x 1,5 ) = a 1,5 1, f ( x )dx 0,5dx = 0,5 15

4/05/014 Distribuição Exponencial A distribuição exponencial está intimamente ligada à distribuição de Poisson. Se o número de ocorrências de um certo acontecimento segue uma distribuição de Poisson, a medida de espaço entre duas ocorrências consecutivas ou a medida de espaço até à primeira ocorrência segue uma distribuição exponencial. A distribuição exponencial é também usualmente utilizada na descrição do tempo de vida de aparelhos, de organismos etc. (lei de falhas exponencial). A distribuição de probabilidade de um intervalo entre dois sucessos consecutivos de uma lei de Poisson é a distribuição exponencial. Distribuição Exponencial Sua função densidade de probabilidadea é dada por f ( x ) = λe λx para x 0 ondeλéoparâmetro caracterizador da distribuição, sendoλ>0. Características: Média : Variância : E( X ) Var( X ) 1 = λ 1 = λ 16

4/05/014 Distribuição Exponencial O gráfico de f(x) é dado por: f(x) λ 0 x Função distribuição cumulativa: F( x ) = 0 F( x ) = x 0 λe, λx dx = 1 e para x < 0 para x λx, 0 Distribuição Exponencial Conhecida a função distrbuição cumulativa de x, pode-se facilmente determinar P( X x λx 0 [ 0 λx 1 e ] = 0 ) = 1 F( x0 ) = 1 e f(x) λ e -λx o 0 x o x 17

4/05/014 Distribuição Exponencial Exemplo: Os defeitos de um tecido seguem a distribuição de Poisson com média de um defeito a cada 400 m de tecido. Qual a probabilidade de que o intervalo entre dois defeitos consecutivos seja: a) No mínimo de 1000 m; b) Entre 800 e 1000 m. Calcule a média e a variância. Distribuição Exponencial Exemplo: - Sabe-se que na distribuição de Poisson E(x) = λ, então: a ) λ = P( x 1 400 1000 ) = e λx = e 1000 400 = 0,081 ou 81% b ) P( 800 x 1000 ) = = e P( x 800 400 800 ) e 1000 400 P( x = 0,053 1000 ) = ou 5,3% 18

4/05/014 É a mais importante distribuição de probabilidade, sendo aplicada em inúmeros fenômenos e utilizada para o desenvolvimento teórico da estatística. A grande maioria das variáveis aleatórias contínuas que descrevem processos físicos ou características humanas seguem uma distribuição normal. Algumas vezes, as variáveis aleatórias não seguem uma distribuição normal, mas aproximam-se muito desta. Por outro lado, a distribuição normal desempenha um papel crucial na inferência estatística. É também conhecida como distribuição de Gauss, Laplace ou Laplace-Gauss Seja X uma variável aleatória contínua, X terá uma distribuição normal se f ( x ) = σ 1 e π ( x µ ) σ para < x < ondeµeσsão os parâmetros caracterizadores da distribuição. Se a variável aleatória X tem distribuição normal então: E( X ), = µ e Var( X ) = σ A notação N(µ,σ ) é frequentemente usada para denotar uma distribuição normal, com média µ e variânciaσ. 19

4/05/014 Quando se utiliza a distribuição normal na forma como se apresenta, para o cálculo das probabilidades, surgem dois problemas: - A integração de f(x) fica difícultada, pois para o cálculo é necessário o desenvolvimento da função em série; - A elaboração de uma tabela de probabilidades única inexiste, pois como f(x) depende de dois parâmetros, isto acarreta um grande trabalho para tabelar essas propriedades considerando-se as várias combinações deµeσ. Esses problemas podem ser contornados por meio de uma mudança de variável, obtendo-se, assim, a distribuição normal padronizada ou reduzida. Distribuição normal padrão: - Seja Z uma variável aleatória tal que: Z i = X i µ σ em que X é uma variável normal de médiaµ e variânciaσ. 0

4/05/014 Distribuição normal padrão: - A média e a variância de Z serão: E( Z ) Var( Z ) X µ 1 = E = σ σ X µ 1 = Var = σ σ [ E( X µ )] = [ E( X ) E( µ )] = [ µ µ ] [ Var( X µ )] = [ Var( X )] = 1 1 σ 1 σ 1 σ σ σ = - Logo, a função densidade de probabilidade será: z 1 ϕ( z ) = e π, < z < - Como a média de Z é 0 e a variância 1, as probabilidades podem ser facilmente calculadas e tabeladas. = 0 Propriedades da distribuição normal 1. f(x) é simétrica em relação à média x =µ, ouφ(z) é simétrica em relação a z = 0. f(x) φ(z) µ 0 1

4/05/014 Propriedades da distribuição normal. f(x) possui um máximo para x =µ, ouφ(z) possui um máximo para z = 0. φ(z) 0,39 Propriedades da distribuição normal 3. f(x) tende a zero quando x tende para±, o mesmo acontecendo comφ(z) quando z tende para± ; isto é, x ou z são assíntotas de f(x) ouφ(z).

4/05/014 Propriedades da distribuição normal 4. f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem µ + σ eµ σ, da mesma formaφ(z) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem +1 e 1. µ-σ µ+σ -1 0 1 Propriedades da distribuição normal 5. Em ambas as funções 99,99% dos valores da variável pertencem ao intervalo [µ - 4σ,µ+4σ]. 3

4/05/014 Propriedades da distribuição normal 6. Na figura (a) estão representadas duas distribuições que têm o mesmo valor médio (µ 1 =µ ), mas diferentes desvios padrões (σ 1 <σ ). Na figura (b) estão representadas duas distribuições que têm o mesmo desvio padrão, mas médias diferentes. (a) 1 (b) Propriedades da distribuição normal 6. Alguns resultados úteis relativos à distribuição normal, são sumarizados na figura abaixo. Para qualquer variável aleatória normal, P( µ σ < X < µ + σ ) = 0,687 P( µ σ < X < µ + σ ) = 0,9545 P( µ 3σ < X < µ + 3σ ) = 0,9975 4

4/05/014 Propriedades da distribuição normal - Pelo fato de mais de 0,9975 da probabilidade de uma distribuição normal estar dentro do intervalo (µ - 3σ,µ+3σ), 6σ é frequentemente referida como a largura de uma distribuição normal. - A integração numérica pode ser usada para mostrar que a área sob a função densidade de probabilidade normal de <x< é igual a 1. Uso da tabela de distribuição normal padrão - Existem vários tipos de tabelas que oferecem as áreas (probabilidades) sob a curva normal padrão. - Essa tabela fornece a área sob a curva normal padrão entre z = - até o valor de z considerado, ou seja, P(Z z). z o 5

4/05/014 Uso da tabela de distribuição normal padrão - O uso da tabela para encontrar, por exemplo, P(Z 1,53) é ilustrado na figura abaixo: P(Z 1,53) = Φ (1,53) = área sombreada 1,53 z 0.00 0,01 0,0 0,03... 0,09 0 0,500000 0,503989 0,507978 0,511967... 0,535856 0,1 0,53988 0,503795 0,547758 0,551717... 0,575345...... 1,5 0,933193 0,934478 0,935744 0,93699... 0,944083.... 3,9 0,99995 0,999954 0,999956 0,999958... 0,999967.. Uso da tabela de distribuição normal padrão - Definição: A função Φ(z) = P(Z z) é usada para denotar uma probabilidade proveniente da tabela anterior. Ela é chamada de função distribuição cumulativa de uma variável aleatória normal padrão. - Uma tabela é requerida porque a probabilidade não pode ser determinada pelos métodos elementares. 6

4/05/014 Uso da tabela de distribuição normal padrão - Outros exemplos: Uso da tabela de distribuição normal padrão - Exemplos: Os seguintes cálculos são mostrados de forma diagramática na figura a seguir. 1 ) P( Z > 1,6 ) = 1 P( Z 1,6 ) = 1 0,89616 = 0,10364 7

4/05/014 Uso da tabela de distribuição normal padrão ) P( Z < 0,86 ) = 0,19490 3 ) P( Z > 1,37 ) = P( Z < 1,37 ) = 0,91465 Uso da tabela de distribuição normal padrão 4 ) P( 1,5 < Z < 0,37 ) = P( Z = 0,64431 0,10565 = = 0,53886 < 0,37 ) P( Z < 1,5 ) = 8

4/05/014 Uso da tabela de distribuição normal padrão 5 ) P( Z P( Z P( Z P( Z 4,6 ) < < 3,99 ) = 0,00003 4,6 ) < 0,0003 4,6 ) 0 P( Z 3,99 ) Uso da tabela de distribuição normal padrão 6 ) P( Z > z ) = 0,05 Da tabela : P( Z P( Z z ) = 0,95 0,95 ) z = 1,65 ( valor mais próximo ). 9

4/05/014 Uso da tabela de distribuição normal padrão 7 ) P( z < Z < z ) = 0,99 Por simetria, a área em cada extremidade da distribuição é igual a ( 1 0,99 ) / = 0,005. O valor de z corresponde a probabilidade de 0,995 na tabela. A probabilidade mais próxima desse valor na tabela é 0,99506, quando z,58. Cálculo das probabilidades para uma variável aleatória normal padrão arbitrária - Todas as distribuições normais estão relacionadas algebricamente e a tabela da distribuição normal padrão pode ser usada para encontrar as probabilidades associadas com uma variável aleatória normal arbitrária usando a transformação Z i = X i µ σ onde X é a variável aleatória normal de médiaµevariânciaσ. 30

4/05/014 Cálculo das probabilidades para uma variável aleatória normal padrão arbitrária - Exemplo: Suponha que as medidas de corrente em um pedaço de fio sigam a distribuição normal, com uma média de 10 miliampères e uma variância de 4 (miliampères). Qual a probabilidade de a medida exceder 13 miliampères? Cálculo das probabilidades para uma variável aleatória normal padrão arbitrária - Seja X a representação da corrente em miliampères. A probabilidade requerida pode ser representada por P(X > 13). Usando a transformação de variável tem-se: Logo, P( X X 10 13 10 Z = = = 1,5 > 13 ) = P( Z > 1,5 ) = 1 P( Z 1,5 ) = 1 0,93319 = 0,06681 31

4/05/014 Distribuição qui-quadrado Trata-se de um modelo de distribuição contínua muito importante para a teoria da inferência estatística. Seja x 1, x,..., x p, p variáveis aleatórias independentes, normalmente distribuídas, com média 0 e variância 1. Define-se variável aleatória com distribuição qui-quadrado, como uma combinação das variâncias dessas variáveis aleatória: χ p = x + x +... + x 1 p onde p é um parâmetro da função densidade denominado grau de liberdade, normalmente indicado pela letra gregaφ. Distribuição qui-quadrado Pode-se demonstrar que a média de uma distribuição qui-quadrado é igual ao grau de liberdade, e que a variância é igual ao dobro do número de graus de liberdade: E [ χ ] Var ϕ = µ ( χ ) = ϕ ϕ [ χ ] = σ ( χ ) = ϕ p ϕ 3

4/05/014 Distribuição qui-quadrado A forma da curva que descreve a função densidade varia conforme o valor do grau de liberdade (valor do parâmetroφ): Distribuição qui-quadrado Uso da tabela de distribuição qui-quadrado - A distribuição qui-quadrado está tabelada. A tabela fornece a abscissa da distribuição para diversas áreas (probabilidades) da cauda à direita. Assim: 33

4/05/014 Distribuição qui-quadrado Uso da tabela de distribuição qui-quadrado - Exemplo 01: Admitaφ=9e α = 5%. Entra-se na 1ª coluna comφ = 9, e na 1ª linha comα=0,05; na intersecção dessas obtém-se o número 16,9. φ = 9 α = 5% 16,9 Distribuição qui-quadrado Uso da tabela de distribuição qui-quadrado - Exemplo 0: Considere uma distribuição qui-quadrado com parâmetro 18. Encontre: (a) a média, a variância e o desvio padrão; (b) a mediana; (c) o 1º quartil e (d) o 90º percentil. a) A média, a variância e o desvio padrão: µ ( χ 18 σ ( χ σ ( χ 18 ) = ϕ = 18 18 ) = ϕ = 36 ) = σ = 36 = 6 34

4/05/014 Distribuição qui-quadrado Uso da tabela de distribuição qui-quadrado - Exemplo 0: b) A mediana Distribuição qui-quadrado Uso da tabela de distribuição qui-quadrado - Exemplo 0: c) O 1º quartil 35

4/05/014 Distribuição qui-quadrado Uso da tabela de distribuição qui-quadrado - Exemplo 0: d) O 90º percentil Distribuição t de Student Trata-se de um modelo de distribuição contínua que se assemelha à distribuição normal padrão, N(0,1). É utilizada para inferências estatísticas, particularmente, quando se tem amostras com tamanhos inferiores a 30 elementos (Fonseca & Matins, 1996). A distribuição t também possui um parâmetro denominado grau de liberdade (φ), e é simétrica em relação à sua média. A média dessa distribuição é zero, e sua variância é dada por: Var ϕ [ t ] = σ ( t ) = ( ϕ > ) ϕ ϕ ϕ 36

4/05/014 Distribuição t de Student Gráfico da distribuição t de Student (paraφ = 4): Observa-se que para valores deφ>30 a distribuição t apresenta maior dispersão do que a normal padrão N(0,1), já que o desvio padrão, nesses casos, é maior do que 1, que é o desvio padrão da distribuição normal padrão. Distribuição t de Student Exemplo: - Paraφ=4 tem-se: 4 σ ( t 4 ) = = 1,41 4 - Paraφ=35 tem-se: 35 σ ( t 35 ) = = 1,03 35 - Paraφ=60 tem-se: 60 σ ( t 60 ) = = 1,0 60 37

4/05/014 Distribuição t de Student Uso da tabela de distribuição t de Student - Trata-se de uma tabela bicaudal. Assim: Distribuição t de Student Uso da tabela de distribuição t de Student - Procedimento de uso da tabela: 38

4/05/014 Distribuição t de Student Exemplo: Considere uma distribuição t com parâmetro igual a 18. Encontre: (a) a média, a variância e o desvio padrão; (b) a mediana; (c) o 1º quartil e (d) o 95º percentil. a) A média, a variância e o desvio padrão: Média : µ ( t Variância : 18 σ ( t Desvio padrão : ) = 0 18 18 ) = = 1,13 18 σ ( t 18 ) = 1,13 = 1,06 Distribuição t de Student Exemplo: b) A mediana Md(t 18 ) : Md = c) O 1º quatil Q 1 : d) O 95º percentil P 95 : 39

4/05/014 Distribuição F Trata-se de um modelo de distribuição contínua também útil para inferências estatísticas. A distribuição F é a razão entre duas variáveis aleatórias independentes com distribuições qui-quadrado. Assim, uma distribuição F com p graus de liberdade no numerador e q graus de liberdade no denominador é expressa por: χ p p χ p F( p,q ) = = χ q χ q q q p Distribuição F A função F possui dois parâmetros: o grau de liberdade do numerador e o grau de liberdade do denominador, que são denominados, comumente, porφ 1 eφ. A média, a variância e a moda dessa distribuição são dadas por: Média : Variância : Moda : ϕ µ = ϕ ϕ 1 ϕ ϕ 1 ϕ + ϕ ( ϕ 1 + ϕ ) ( ϕ 4)( ϕ ) σ = ϕ 1 40

4/05/014 Distribuição F Formas de gráficos da distribuição F : Distribuição F Uso da tabela de distribuição F - A tabela fornece as abscissas que deixamαna cauda à direita, dados os parâmetrosφ 1 eφ. 41

4/05/014 Distribuição F Uso da tabela de distribuição F - Para se encontrar o valor da abscissa F 1-α (u,v) utiliza-se a fórmula: 1 F1 α,u,v = F - Exemplo: Admita uma distribuição F com u = 9, v = 5 eα=5, determine as abscissas. α,v,u IV Modelos de Distrubuições FIM 4