ZEROS DE SISTEMAS MIMO

Edardo Lobo Loa abral ZEROS DE SISTEMAS MIMO. Zro d ranmião O cálclo do ro d m ima SISO é rmamn impl d r fado, poi ão a raí do polinômio do nmrador d a fnção d ranfrência. Por mplo, conidr o ima dinâmico SISO a gir. G. O ro d ima ão facilmn obido calclando a raí do nmrador, q no cao rla m. No cao d ima MIMO o cálclo do ro do ima é mai complicado, poi a fnção d ranfrência d m ima MIMO é ma mari compoa d vária fnçõ d ranfrência. Toda a fnçõ d ranfrência d m ima MIMO êm o mmo dnominador, cja raí dfinm o pólo do ima. Porém o nmrador da fnçõ d ranfrência d m ima MIMO ão difrn, porano, cada ma aprna raí difrn para o nmrador. Por mplo, conidr o ima MIMO com da nrada da aída abaio: G 8 S a mma écnica para calclar o ro d m ima SISO for iliada para obr o ro d ima MIMO, riam- o gin ro: 6; ; 3. E valor ão o ro d cada ma da fnçõ d ranfrência do ima, ma não ão ncariamn o ro do ima MIMO im condiçõ q dvm r aifia para o ro d m ima MIMO. Somn a ílo d compla, ima MIMO m omn m ro m 8. Obrvaçõ: a O ro d m ima MIMO ão dnominado ro d ranmião;

Edardo Lobo Loa abral b Para m ima SISO o ro d ranmião ão igai ao ro da fnção d ranfrência do ima.. Dfinição d ro d ranmião Um ro d ranmião, o implmn m ro d m ima dinâmico MIMO, é m valor da variávl da Tranformada d Laplac, dnominado d frqüência gnraliada, para o qal a rpoa mporal da aída do ima é ro, o ja, y para, para m vor d nrada difrn d ro variando gndo. 3. álclo do ro d ranmião Ei ma condição inicial aociada com o valor d m ro d ranmião. Qando o vor d nrada d m ima m frqüência gnraliada igal ao valor do ro, o ja: a condição inicial do ado do ima é dada por, não m- q: y, para. 3 E rlado é obido a parir da análi a gir. Dado m ima dinâmico LIT d ordm n, & A B y D 4 ond R n, R m y R p. Sbiindo a q. na qação da dinâmica do ado, m- A B. 5 anclando a ponnciai no doi lado da prão, obém-: I A B, 6

Edardo Lobo Loa abral q cria na forma d mari fica:. [ I A B] omo a aída do ima é ro qando a nrada m a frqüência gnraliada do ro não, biindo a q. na qação da aída do ima, m-: y D. 8 anclando a ponnciai crvndo na forma maricial fica:. 9 [ D] Ecrvndo a q. 9 m ma única mari, m-: I A B D. S é m ro d ranmião do ima, não i ma olção não rivial para a q.. A prão coni m m problma chamado d Aovalor Gnraliado cja olção não rivial fornc o valor do ro d ranmião do ima. Problma d aovalor gnraliado: Um problma d aovalor gnraliado coni m m problma d aovalor para a aociação d da mari. Por mplo, jam a mari E F, o problma d aovalor gnraliado para a da mari é dfinido pla gin prão: [ E Fξ ] λ, ond, λ ão o aovalor gnraliado da mari E F, ξ ão o aovor gnraliado da mari E F. A olção não rivial da q. é obida da mma forma q é fio o cálclo do aovalor aovor d ma mari. Porano, o aovalor ão calclado pla raí do polinômio m λ, dfinido por: [ E F] d λ. Apó o cálclo do aovalor gnraliado, para cada aovalor λ i i m aovor aociado ξ i q é calclado pla olção do gin ima d qaçõ linar: 3

Edardo Lobo Loa abral [ E Fξ ] i λ. 3 i No cao do ro d ranmião a mari E F ão idnificada por: Inn nm A B E ; F pn. 4 pm D Aplicando a olção do problma d aovalor gnraliado para o cao do ro d ranmião, m- q o valor do ro ão a raí do polinômio m formado por: I A B d. 5 D O aovor gnraliado aociado ao valor do ro forncm a condição inicial para o ado o vor d nrada. Apó o cálclo do ro, para cada ro i o aovor aociado é calclado por: i I A B D, i, i. 6 4. Emplo Dado o ima dinâmico dcrio pla gin fnção d ranfrência: G. E ima m m ro m pólo m: p 3 p 4. O cálclo do ro d ranmião ando a forma do paço do ado é fia como g. O ima na forma do paço do ado é dado por: & y [ ] ;. O ro d ranmião ão calclado plo gin problma d aovalor gnraliado: 4

Edardo Lobo Loa abral 5 d d D B A I o, como prado. A dirção do ro é calclada por: ; 5 5 Porano,. Amindo, m-:, para. S a nrada dfinida plo ro for aplicada ao ima, m-: para U. Porano, a olção dvido à nrada é dada por: f f. Da prão acima, pod- noar q a aída do ima não coném a componn dinâmica aociada à nrada, o ja, a nrada foi bloqada plo ro do ima. S a condição inicial dfinida plo ro for aplicada ao ima, m- q o ado do ima ão: A a aída é:

Edardo Lobo Loa abral 6 A h y A ranformada d Laplac d y h é, [ ] [ ] [ ]. 4 4 h A I A aída oal dvido à nrada à condição inicial rá a oma da da, o ja: f h 5. Ercício Dado o ima a gir. 3 A ; B ; [ ] ; D. Pd-: a Uando a écnica d paço do ado calcl o ro do ima algbricamn dpoi confirm o rlado ando a fnção ro do Malab. b onvra o modlo m paço do ado para fnção d ranfrência confirm o rlado obido m a da forma ambém. Dado ima na forma d paço do ado abaio:. ; y & Pd-: a Obnha a mari d fnçõ d ranfrência d ima.

Edardo Lobo Loa abral b alcl o ro do ima a a dirçõ aociada rolvndo o problma d aovalor gnraliado. Não o Malab. c onfirm o valor do ro calclado no im b ando a fnção ro do Malab. onfirm ambém a dirçõ do ro calclada no im b ando a fnção ig do Malab. 3 Dinâmica longidinal modificada do avião F8. O F8 é m avião iliado pla NASA no ano 98 para dnvolvr ima d conrol rmoo d aviõ. No modlo aprnado aqi, a qaçõ dinâmica foram modificada para inclir m flapron na aa para r da variávi d conrol na dinâmica longidinal do F8. O flapron não i d fao no F8 original. ondo, o flapron i m oro avião fornc flibilidad adicional para raliar manobra pciai. A figra abaio aprna m qma do F8 com m ima d coordnada fio m cnro d gravidad G. O io d ima d coordnada apona para o nari do avião, o io y para a aa diria o io apona para baio. Am- q o avião á voando no plano vrical com a da aa no mmo plano, io é, o avião não á fando crva. Aim, pod- dar o movimno no plano vrical, o ja, a a dinâmica longidinal. A variávi q dcrvm a dinâmica longidinal do avião ão: a vlocidad horional do avião, o ânglo d pich, θ, q rprna o ânglo q o io fa com a horional, a aa d pich, q, q é a drivada mporal do ânglo d pich o ânglo d aaq α. O ânglo d aaq, α, é o ânglo q o nari do avião fa com o vor vlocidad do avião. Dfin- o ânglo d rajória d vôo, γ, dado por: γ θ α,

Edardo Lobo Loa abral q é o ânglo q o vor vlocidad do avião fa com a horional. omo o próprio nom di, γ dcrv a rajória do avião no plano vrical. O movimno longidinal do avião é conrolado por da prfíci arodinâmica d conrol fia na aa, como mora a figra. O lvador é localiado na aa d rá o ânglo d inclinação do lvador, δ, é ado como ma variávl d conrol. N avião, o flapron m a mma fnção do lvador, o ânglo d inclinação do flapron, δ f, é ado com ora variávl d conrol. omo mplo, o movimno d qalqr ma da prfíci d conrol para baio fa com q o flo d ar ja dircionado para baio, prodindo ma força q fa com q o avião gir m orno do G d forma q o nari apon para baio. À mdida q o avião gira, o ânglo d aaq alra grando nova força momno. O movimno longidinal do avião é ambém inflnciado plo mpo grado pla rbina. ondo, n problma o mpo da rbina é manido conan não é iliado como ma variávl d conrol adicional. Obrva- q a coordnação dinâmica da força d mpo, do ânglo do lvador do ânglo do flapron orna imporan na arriagm dcolagm do avião. A qaçõ q modlam a dinâmica longidinal do F8 ão não-linra. Ea qaçõ ão linariada m orno d ma condição d vôo m rgim prmann caracriada por: a vlocidad do ar conan; b alid do G conan; c ânglo d aaq d pich ai q o ânglo da rajória é igal a ro; d ânglo do lvador do flapron ai q a aa d pich é manida igal a ro. Da forma, a qaçõ dinâmica linariada dcrvm a variação da condiçõ d vôo m orno da condição d linariação, o condição d rgim prmann. A condição nominal d opração, o condição d rgim prmnn, m orno da qai a qaçõ linar da dinâmica do avião ão obida, ão a gin: Alid: 695m; Vlocidad: Mach,9 8,6m/; Prão dinâmica: 6,4N/m ; Ânglo d pich :,5º; Ânglo d aaq:,5º; Ânglo do lvador:,65º; Ânglo do flapron: o. O ado do ima ão o gin: θ variação do ânglo d pich m orno do ânglo d rgim gra; γ variação do ânglo d rajória m orno do ânglo d rgim gra; 3 q aa d pich gra/; 4 variação da vlocidad horional f/ m orno da vlocidad d rgim. A da variávi d conrol ão: δ variação do ânglo do lvador m orno da condição d rgim gra; δ f variação do ânglo do flapron m orno da condição d rgim gra. 8

Edardo Lobo Loa abral A dinâmica linariada do avião F8 é dada por:,5 &,854 y,5,94,8,5,344,4,6 9,5,6,5,8 Pd-: a alcl o aovalor aovor da dinâmica longidinal F8. O ima é ávl? b alcl o ro d ranmião a a dirçõ. Faça m diagrama d pólo ro no plano. Obnha o vor d nrada ach a condição inicial corra para q o vor d aída ja igal a ro dran o raniório. Siml a condição vrifiq q a inrpração á corra. Fornça ma inrpração fíica para o ro a dirção. S iir mai do q m ro rpia para odo o ro. Principai comando do Malab a rm iliado: ig; ro. lim. 9