as provas de Matemática e Inglês da Unicamp ª fase - 00
Matemática ATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço reservado para a mesma. Não basta escrever apenas o resultado final: é necessário mostrar os cálculos ou o raciocínio utilizado. QUESTÃO 0 Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo: Plano Custo fixo mensal Custo adicional por minuto A R$ 3,00 R$ 0,0 B R$ 0,00 R$ 0,80 C 0 R$,0 a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize minutos por mês? b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A é mais vantajoso que os outros dois? a) Vamos calcular os custos totais, em reais, para cada um dos três planos com uso mensal de minutos. Plano A: 3,00 + 0,0 = 47,0 Plano B: 0,00 + 0,80 = 40,00 Plano C:,0 = 30,00 Resposta: O plano C é o mais vantajoso. b) Seja t, em minutos, o tempo de uso mensal. O custo total, pelo plano A, é 3 + 0,t. O custo total, pelo plano B, é 0 + 0,8t. O custo total, pelo plano C, é,t. 3 + 0,t 0 + 0,8t t 0 3 + 0,t,t t 0 Resposta: O plano A é mais vantajoso com um tempo de uso mensal maior que 0 minutos. QUESTÃO 0 Um fio de 48cm de comprimento é cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de modo que a área de um deles seja quatro vezes a área do outro. a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das partes do fio? b) Qual será a área de cada um dos quadrados formados? a) Sejam x e (48 x) os comprimentos das partes. Do enunciado, temos: x 48 x = 4 4 4 x x x x Então: 48 ou 48 = = 4 4 4 4 Logo, x = 3 ou x = 96 (não convém). Portanto, uma parte mede 3 e a outra, 6. Resposta: 6cm e 3cm. b) Sendo 6cm e 3cm os perímetros dos quadrados, seus lados são, respectivamente, 4cm e 8cm. Logo, as áreas desses quadrados são 6cm e 64cm. Resposta: 6cm e 64cm.. 0 UNICAMP/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES
QUESTÃO 03 A figura abaixo é a planificação de uma caixa sem tampa: X/ X X/ a) Encontre o valor de x, em centímetros, de modo que a capacidade dessa caixa seja de 0 litros. b) Se o material utilizado custa R$ 0,00 por metro quadrado, qual é o custo de uma dessas caixas de 0 litros considerando-se apenas o custo da folha retangular plana? Do enunciado temos a figura: X X/ X X/ X X X a) Sendo 0L = 0dm 3, temos que x x x = 0, ou seja, x = dm. Logo, x = 0cm. Resposta: 0cm. b) A área da folha retangular plana é dada por Sendo 0cm = m e sabendo que o custo do material utilizado é R$ 0,00 por metro quadra- do, o custo pedido é Resposta: R$ 8,40. x + x R$ 0 84, ou seja, R$ 840,. x 84 x ou seja x +,,. QUESTÃO 04 O teorema fundamental da aritmética garante que todo número natural n pode ser escrito como um produto de números primos. Além disso, se n = p t p t p t r r, onde p, p,, p r são números primos distintos, então o número de divisores positivos de n é d(n) = (t + ) (t +) (t r + ). a) Calcule d(68), isto é,o número de divisores positivos de 68. b) Encontre o menor número natural que tem exatamente divisores positivos. a) 68 = 3 3 7 d(68) = (3 + ) (+ ) ( + ) d(68) = 6 Resposta: 6 b) De t IN e = t +, temos t = 4. Sendo p um número primo natural, temos n = p 4 Nesse caso, o menor valor de n é 4 = 6384. De {t, t } IN e = (t + ) (t + ), temos {t, t } = {4, }. Sendo p e p números primos naturais e distintos, temos: n = p 4 p. Nesse caso, o menor valor de n é 4 3 = 44. Portanto, o menor valor de n é 44. Resposta: 44. UNICAMP/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES
QUESTÃO 0 Considere três circunferências em um plano, todas com o mesmo raio r = cm e cada uma delas com centro em um vértice de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 6cm. Seja C a curva fechada de comprimento mínimo que tangencia externamente as três circunferências. a) Calcule a área da parte do triângulo que está fora das três circunferências. b) Calcule o comprimento da curva C. a) Sendo R, S e T os vértices do triângulo eqüilátero, do enunciado temos a figura: R 60 60 60 S T A região cuja área é pedida está sombreada na figura. Sua área A é igual à área do triângulo RST menos a área de um semi-círculo de raio. Então, 6 3 A = π A = 9 3 π 4 Resposta: (9 3 π) cm b) Não existe curva C que satisfaça as condições do enunciado. A justificativa dessa afirmação está fora do nível do Ensino Médio. Assim sendo, este item não admite resposta. UNICAMP/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES
QUESTÃO 06 QUESTÃO 07 Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$,00, o quilo da castanha de caju, R$0,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$6,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$,7. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas. a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima. b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata. a) Sejam, em quilogramas, as quantidades x: de amendoim y: de castanha de caju z: de castanha-do-pará Temos, do enunciado, x + y + z = 0, 3y = x + z x + 0y + 6z =,7 x + y + z = 0, Resposta: x 3y + z = 0 x + 0y + 6z =,7 b) Substituindo x + z = 3y na primeira equação, temos 4y = 0, y = 0, Substituindo nas demais equações: x + z = 0,37 x = 0,0 e z = 0, x + 6z = 3,0 Em gramas, a quantidade de cada ingrediente por lata é amendoim: 0 castanha de caju: castanha-do-pará: 3 3 3 Resposta: 0 gramas de amendoim, gramas de castanha de caju e gramas de castanha- -do-pará. O sistema de numeração na base 0 utiliza, normalmente, os dígitos de 0 a 9 para representar os números naturais, sendo que o zero não é aceito como o primeiro algarismo da esquerda. Pergunta-se: a) Quantos são os números naturais de cinco algarismos formados por cinco dígitos diferentes? b) Escolhendo-se ao acaso um desses números do item a, qual a probabilidade de que seus cinco algarismos estejam em ordem crescente? a) 3 4 6 7 8 9 9 9 8 7 6 = 76 Resposta: 76 b) O número de elementos do espaço amostral é n(e) = 76. O número de elementos do evento A é o número de modos de escolhermos algarismos do conjunto {,, 3, 4,, 6, 7, 8, 9} sem permitir trocas de ordem. Assim, 9! na ( ) = C9, = = 6! 4! Logo: 6 PA ( ) = = 76 Resposta: 6 6 UNICAMP/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES 3
QUESTÃO 08 Considere, no plano xy, as retas y =, y = x e x y + = 0. a) Quais são as coordenadas dos vértices do triângulo ABC formado por essas retas? b) Qual é a área do triângulo ABC? Sejam as retas (r) y =, (s) y = x e (t) x y + = 0 do enunciado. a) Seja A o ponto de intersecção das retas (r) e (s). Temos y = x = 3 e y = A(3, ) y = x Seja B o ponto de intersecção das retas (r) e (t). Temos y = x = 3 e y = B( 3, ) x y + = 0 Seja C o ponto de intersecção das retas (s) e (t). Temos y = x x = e y = C(, ) x y + = 0 3 3 3 Resposta: (3, ), ( 3, ) e (, ) b) Do item (a), temos a figura y C 4 B A A área do triângulo ABC é ou seja,. 6 4, Resposta: 3 0 3 6 x QUESTÃO 09 As populações de duas cidades, A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções A(t) = log 8 ( + t) 6 e B(t) = log (4t + 4), onde a variável t representa o tempo em anos. a) Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes t = e t = 7? b) Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior que a da outra. Determine o valor mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir desse instante. A(t) = log 3( + t) 6 6 A(t) = log ( + t) 3 A(t) = log (t + ) B(t) = log (4t + 4) B(t) = log [4 (t + )] B(t) = log 4 + log (t + ) B(t) = + log (t + ) A() t Portanto, B(t) = +. a) A() = log (t + ) A() = log A() = A(7) = log (7 + ) A(7) = log 8 A(7) = 6 A( ) B() = + B() = 3 A( 7) B(7) = + B(7) = Resposta: Na cidade A, 000 e 6000. Na cidade B, 3000 e 000. 4 UNICAMP/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES
b) A(0) = log (0 + ) A(0) = log A(0) = 0 A(0) = 0 A( 0) B(0) = + B(0) = Logo, A(0) B(0). Mostraremos que existe um instante t m, t m 0, tal que A(t) B(t), para todo t, t t m. A(t) B(t) A() t A(t) + A() t log (t + ) t + 4 t 3 Portanto, com t 0, temos que A(t) B(t) se, e somente se, t 3. Resposta: O valor mínimo do instante é 3, e a cidade cuja população é maior a partir desse instante é a A. QUESTÃO 0 Considere a equação trigonométrica sen θ cos θ + sen θ = 0. a) Mostre que não são soluções dessa equação os valores de θ para os quais cosθ = 0. b) Encontre todos os valores de cosθ que são soluções da equação. sen θ cos θ + sen θ cos θ = 0 sen θ cos θ + senθcosθ = 0 a) Devemos mostrar que cosθ = 0 não anula a expressão do primeiro membro. Se cosθ = 0, então senθ =. Substituindo: ( ) 0 + ( ) 0 = b) Como cosθ 0, dividindo por cos θ os dois membros da igualdade, temos: tgθ = tg θ + tgθ = 0 ou tgθ = Como sec θ = + tg θ : sec θ = + ( ) = cos θ = cosθ = ± ou sec θ = + ( ) = cos θ = cosθ = ± Resposta : cosθ = ± ou cosθ = ± QUESTÃO Considere o polinômio p(x) = x 3 x + x + 6. a) Verifique se o número complexo + 3i é raiz desse polinômio. b) Prove que p(x) 0 para todo número real x. a) Efetuemos a divisão de p(x) por x ( + 3i) pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini. 6 + 3i 3i 4 + 6i 0 Como o resto é nulo, podemos afirmar, pelo teorema do resto, que p( + 3i) = 0, isto é, + 3i é raiz de p(x). (c.q.d.) UNICAMP/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES
b) Os coeficientes de p(x) são todos reais, e + 3i é raiz. Logo, o conjugado 3i também é raiz. Sendo x, x e x 3 as raízes de p(x), temos que x + x + x 3 =. ( + 3i) + ( 3i) + x 3 = x 3 =. Assim, p(x) = [x ( + 3i)] [ x ( 3i)] [x + ] p(x) = [(x ) 3i] [(x ) + 3i] [x + ] p(x) = [(x ) + 3 ] (x + ) Como (x ) + 3 0, para todo x real, podemos afirmar que p(x) 0 se, e somente se, x + 0. Portanto, p(x) 0 se, e somente se, x. (c.q.d.) QUESTÃO A base de uma pirâmide é um triângulo eqüilátero de lado L = 6cm e arestas laterais das faces A = 4cm. a) Calcule a altura da pirâmide. b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide? a) Do enunciado, temos a figura abaixo, onde h é altura da pirâmide. V 4 h A C 6 H M B 6 3 Temos AM = = 3 3 AH = 3 3 3 = 3 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo AHV, vem h + (AH) = (VA), ou seja, h + ( 3) = 4 h = 4 h = Resposta: cm b) Sendo r a medida do raio da esfera circunscrita e O o centro dessa esfera, temos a figura V Aplicando-se o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OHA, vem (AO) = (OH) + (AH), ou seja, A H C r = (r ) + ( 3) r = r 4r + 4 + r = 4 Resposta: 4cm r r B r OA = OB = OC = OV = r O 6 UNICAMP/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES
Inglês Responda a todas as perguntas EM PORTUGUÊS QUESTÃO 3 No diálogo apresentado no quadrinho abaixo, o que a mãe quer salientar para a criança e o que a criança entende? Ilustração de Sophie Grillet in P.M. Lightbown e N. Spada, How languages are learned. Oxford, Oxford University Press, 999, p.6. A mãe quer salientar que o menino cometeu um erro gramatical (o passado do verbo to put é PUT e não PUTTED). O menino não percebe sua intenção de corrigi-lo: entende que a mãe afirma ter colocado ela mesma os pratos na mesa. Leia o texto abaixo e responda às questões 4 e : New Scientist, 3/0/98. QUESTÃO 4 Considerando as razões apresentadas pelos pesquisadores, qual é the surprising truth about women s hearts? As mulheres têm menos probabilidade de sofrer ataques cardíacos do que os homens; mas, quando sofrem o seu primeiro ataque, têm probabilidade 70% maior de morrer do que os homens. Encontra-se nas 3 primeiras linhas do texto: women are less likely to die than a man. UNICAMP/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES 7
QUESTÃO Por que, segundo Graham McGregor, as mulheres tendem a sofrer seus primeiros ataques cardíacos em idade mais avançada que os homens? Porque elas contam com proteção hormonal contra doenças do coração até o período da menopausa. A resposta encontra-se no 3º parágrafo: because they have until menopause. Leia o poema abaixo e responda à questão 6. Poema originalmente publicado em Not only that (The Elizabeth Press, 967) e reproduzido em M.L.Greene (ed.) Another Eye. Illinois, Scott, Foresman and Company, 97, p.. QUESTÃO 6 Como o poema de Carroll Arnett justifica que Your problem is not my problem? Ao final do poema, sugere-se que o leitor deve resolver seus próprios problemas: I want you to have something of your own. As cartas abaixo foram escritas por leitores de um artigo publicado na revista Time em 04/09/000. Leia-as e responda às questões 7 e 8. 8 UNICAMP/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES
QUESTÃO 7 a) Considerando o teor das cartas, qual era o tema discutido no artigo em questão? b) Com base em que hipótese Silvina Beatriz Codina constrói seu argumento? a) Discutiu-se o tema dos alimentos geneticamente modificados. b) Na hipótese de que alimentos geneticamente modificados e enriquecidos podem ajudar pessoas famintas. A resposta encontra-se no º período do texto: If genetically around the world QUESTÃO 8 As duas cartas assumem posições diferentes sobre o assunto em pauta. Qual é a posição de Edward Robb? Edward Robb acredita que a melhor solução para o problema da fome é o controle da natalidade, e não a modificação genética dos alimentos. Lê-se isso na ª carta: Family planning will improve than enriched rice. O texto Some Like it Hot foi extraído da revista Popular Science (abril de 998). Leia-o e responda às questões 9 e 0. QUESTÃO 9 De acordo com o texto, por que os tailandeses gostam mais de comidas condimentadas do que os suecos? Porque condimentos (temperos) oferecem proteção contra bactérias que deterioram (estragam) os alimentos e que se desenvolvem em climas quentes. Lê-se isso no º parágrafo: It s because spices offer in hot climates. QUESTÃO 0 Segundo Sherman, a ingestão de alimentos condimentados, em regiões de clima quente, oferecia duas vantagens aos nossos ancestrais. Que vantagens eram essas? Nossos ancestrais eram aptos a viver por mais tempo e gerar maior número de filhos. Lê-se a resposta no seguinte trecho do texto: our ancestor who enjoyed more offspring. UNICAMP/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES 9
Leia, abaixo, um trecho do livro East of Eden de John Steinbeck e responda às questões e, sobre a personagem Cathy. QUESTÃO A que estratégias Cathy recorria para não ser desmascarada? Suas estratégias eram: não esquecer suas mentiras; intercalar suas mentiras com verdades; dizer uma verdade como se fosse mentira. Encontra-se a resposta a partir do 4º período: But Cathy did not forget her lies QUESTÃO Por que as estratégias utilizadas por Cathy eram eficientes? Porque, se uma pessoa é acusada de uma mentira que mais tarde é reconhecida como verdade, ela se garante por muito tempo em relação a futuras mentiras. Lê-se isso no final do texto: If one is accused a number of untruths. Para responder às questões 3 e 4, leia o texto abaixo: New Scientist, 9/0/000. 60 UNICAMP/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES
QUESTÃO 3 QUESTÃO 4 Qual é a novidade anunciada no artigo? Tatuagens baseadas em (feitas por meio de) bronzeamento. Lê-se isso no título do texto: Tatuagens por bronzeamento Quais são as duas formas sugeridas para se obter a novidade em questão? Usar roupas de banho vazadas (com partes retiradas) ou aplicar sobre a pele adesivos que evitam o bronzeamento no local. Encontra-se a resposta a partir da 6ª linha: a special swimsuit which has small patterned windows cut out of the fabric Lê-se também no final do texto: Alternatively place stickers on their bodies. UNICAMP/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES 6
Comentário Matemática Prova trabalhosa demais para que os candidatos pudessem ter bom desempenho. Afinal, era necessário interpretarem e resolverem 4 itens (situações). Na questão, a forma da curva fechada não foi definida. Inglês Esta prova manteve o mesmo padrão daquelas de anos anteriores. Com perguntas e respostas em português, privilegiou o uso do inglês instrumental. Com exceção de um poema intitulado Next (datado de 967), os textos são bastante atuais e com vocabulário compatível com o nível dos candidatos que acabam de sair do Ensino Médio. Muito nos agrada o tipo de exame elaborado pela Unicamp, que privilegia a leitura e não se atém a detalhes gramaticais. Incidência Matemática ASSUNTO Aritmética Função º grau Geometria Analítica Geometria Espacial Geometria Plana Logaritmo Polinômios Probabilidades Sistema Linear Trigonometria 3 4 6 Nº DE QUESTÕES 6 UNICAMP/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES
Comentário Final Uma prova de vestibular não é somente um conjunto de questões bem elaboradas e criativas. Mais do que isso, tem missão a cumprir: selecionar os candidatos mais aptos a ocupar as vagas oferecidas. Analisada sob esse aspecto, a ª Fase da Unicamp atinge a sua finalidade, mas a ª Fase deixa muito a desejar. Por quê? º) Propõem-se provas idênticas de Matemática, Física, Química e Biologia a todos os candidatos. Essas disciplinas são requisitos para algumas carreiras, mas devem compor apenas a formação geral de candidatos a outras. º) O tempo para resolução foi insuficiente em todos os conjuntos de provas (duas por dia). Não é possível avaliar corretamente o conhecimento de candidatos que pretendem cursar Medicina, Letras e Engenharia com a mesma prova de Biologia. Essa crítica é válida também para Matemática, Física e Química em relação a Engenharia, Pedagogia e Ciências Sociais. É aquela história do cobertor curto A prova de Biologia, pelo nível de suas questões, estaria adequada para selecionar candidatos à faculdade de Medicina, se o tempo fosse suficiente. Agravante: foi proposta junto com Português outra prova com brilhantes questões, também com tempo insuficiente para a resolução. A prova de Química, apresentada de modo criativo, original, está adequada para selecionar candidatos às áreas de Exatas e Biológicas, mas não à área de Humanas. Agravante: foi proposta junto com a prova de História, cuja resolução exigiria um mínimo de 3 horas. As questões de Física, excelentemente contextualizadas, poderiam avaliar de forma correta os candidatos às áreas de Exatas e Biológicas, se o tempo fosse suficiente. O mesmo podemos dizer da prova de Geografia em relação aos alunos de Humanas. A prova de Matemática foi dirigida para a área de Exatas. Candidatos dessa área, bem preparados, poderiam responder aos 4 itens propostos, se tivessem tempo para isso. Foram favorecidos, de certa forma, porque a prova de Inglês não foi muito exigente. Português, História e Geografia são disciplinas que devem constar, obrigatoriamente, na formação básica de qualquer universitário. No entanto, as provas dessas matérias na ª Fase da Unicamp são de um grau de complexidade exagerado. Isso se justificaria apenas para os cursos em que essas disciplinas são requisitos. Conclusão: as questões dessas provas de ª Fase são muito bem elaboradas, criativas, comprovando a competência da Banca Examinadora. No entanto, por falha estrutural, a Unicamp tem desperdiçado oportunidades para selecionar adequadamente seus alunos. UNICAMP/00 ª FASE ANGLO VESTIBULARES 63