Unidade III 6 CIRCUITOS DIGITAIS 6.1 Sistemas de numeração O que quer dizer 14? Sabemos, por força de educação e hábito, que os algarismos 1 e 4 colocados desta forma representam a quantidade catorze. Não precisamos de nenhuma ferramenta para chegar a essa conclusão. Mas isso só é verdade se estivermos utilizando o sistema decimal, de base dez. Os algarismos 14 poderiam representar as quantidade ou 12, dependendo da base que estiver sendo usada, assim como os caracteres XIV também representam a quantidade catorze, se estivermos utilizando algarismos romanos. O sistema decimal é utilizado hoje de forma padronizada no dia a dia, seja no comércio ou em transações bancárias. Não há necessidade de esclarecer se o valor está expresso na base decimal ou não. 1 Mas nem sempre foi assim. Diversos povos criaram diversas formas de representar quantidades, e algumas sobrevivem até hoje em nosso cotidiano. Por exemplo, por que estamos acostumados a comprar certas mercadorias em dúzias? Ou por que um minuto tem sessenta segundos e uma hora tem sessenta minutos? Talvez estes sejam fósseis culturais de sistemas que utilizavam a base doze ou a base sessenta, em vez da base dez. 47
Unidade III 12 14 8 Figura 29 Uma mesma quantidade pode ser representada de formas diferentes 1 Existem indícios do uso no passado de várias outras bases e sistemas numéricos, além desses, como a base vinte, que ainda pode ser encontrada em certas expressões do idioma francês, como quatre vingt (quatro vezes vinte) para expressar a quantidade oitenta. Um sistema numérico conhecido que ainda é usado é o sistema romano. Ele usa os caracteres I, V, X, L, C, D e M para formar valores numéricos e é totalmente diferente (e muito mais complexo) do sistema decimal, principalmente por não ter o conceito de posição que existe em sistemas de números-base, como o decimal. Para representar a quantidade 419 no sistema romano, usa-se a representação CDXIX. Não é nosso objetivo aqui explicar o funcionamento do sistema romano, mas, apenas para descrever este exemplo, o funcionamento é o seguinte: 00 menos 0 (CD) mais (X) mais 9, ou menos 1 (IX). 6.2 Sistema de números-base O sistema decimal é baseado no conceito de aritmética de posição. Isso quer dizer que cada casa de um valor expresso no sistema decimal corresponde a uma potência da base. Como funciona? Partindo da direita para a esquerda, a primeira casa representa a base elevada à potência 0, a segunda casa representa a casa elevada à potência 1, a terceira representa a casa elevada à segunda potência, e assim por diante. 48
Ao representar um valor como 419, podemos traduzilo rapidamente para quatro centenas, uma dezena e nove unidades. 4 1 9 Posição de 0 ( 2 ) Posição de ( 1 ) Posição de 1 ( 0 ) Figura 30 A forma de um número decimal O sistema decimal é o mais comum, mas usamos outras bases. Dentro da computação, às vezes é necessário usar as bases 2, 8 ou 16. Esses sistemas são chamados de binário (base 2), octal (base 8) e hexadecimal (base 16). Para representar quantidades nesses sistemas usamos algarismos organizados da seguinte forma: um sistema numérico de base k requer k símbolos diferentes para representar os dígitos 0 a k -1. Seguindo esse raciocínio, os números do sistema decimal são formados a partir de dez dígitos: 0 1 2 3 4 6 7 8 9 1 O sistema binário usa a base 2 e os seus números são construídos a partir de apenas dois dígitos: 0 1 Os números octais usam a base 8 e utilizam oito dígitos para formar seus números: 0 1 2 3 4 6 7 O sistema hexadecimal usa a base 16 e precisa de dezesseis algarismos para representar quantidades. Dessa forma, são necessários outros símbolos, além dos números de 0 a 9. Por 49
Unidade III convenção, usam-se as letras de A a F para representar esses valores. Assim, os números hexadecimais utilizam os seguintes caracteres para expressar quantidades: 0 1 2 3 4 6 7 8 9 A B C D E F Nos quatro sistemas (binário, octal, decimal e hexadecimal) o funcionamento é o mesmo, variando apenas a base usada. A casa mais à direita corresponde à casa de potência 0 (2 0, 8 0, 0 e 16 0 ), a casa seguinte à esquerda corresponde à casa de potência 1 (2 1, 8 1, 1 e 16 1 ) e assim por diante, sempre adicionando uma unidade ao expoente da base à medida que se vai da direita para a esquerda. 1 Pode parecer complexo a princípio, mas todos os sistemas funcionam de forma análoga ao sistema decimal, que utilizamos no dia a dia. Basta substituir os conceitos de unidade, dezena e centena por 0, 1 e 2 e a compreensão das outras bases fica muito mais simples. Segue abaixo a representação de uma mesma quantidade (419) nas bases 2, 8, e 16. Binário 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 x 2 8 1 x 2 7 0 x 2 6 1 x 2 0 x 2 4 0 x 2 3 0 x 2 2 1 x 2 1 1 x 2 0 26 +128 +0 +32 +0 +0 +0 +2 +1 Octal 6 4 3 6x8 2 4 x 8 1 3x 8 0 384 +32 +3 Decimal 4 1 9 4x 2 1 x 1 9x 0 400 + +9 Hexadecimal 1 A 3 1x16 2 x 16 1 3x 16 0 26 +160 +3 Figura 31 A quantidade 419 expressa em binário, octal, decimal e hexadecimal 0
Se executarmos as somas apontadas, veremos que todas as representações se referem ao mesmo valor, a única diferença é a base. Na tabela abaixo temos as representações em binário, octal e hexadecimal para os valores decimais de 0 a 32. Decimal Binário Octal Hexadecimal 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 3 11 3 3 4 0 4 4 1 6 1 6 6 7 111 7 7 8 00 8 9 01 11 9 12 A 11 11 13 B 12 10 14 C 13 11 1 D 14 11 16 E 1 1111 17 F 16 000 17 001 21 11 18 0 22 12 19 011 23 13 0 24 14 21 1 2 1 22 1 26 16 23 111 27 17 24 100 30 18 2 101 31 19 26 1 32 1A 27 111 33 1B 28 110 34 1C 29 111 3 1D 30 111 36 1E 31 11111 37 1F 32 0000 40 Tabela 3 Correspondência entre bases 1
Unidade III 6.3 Por que binário? Muitas pessoas devem se perguntar por que os engenheiros de computadores decidiram usar o sistema binário em vez do decimal, muito mais natural para todos os usuários (pelo menos atualmente). 1 A questão é meramente prática. Conforme vimos acima, para representar qualquer valor em binário precisamos de apenas dois símbolos. É muito mais simples criar um dispositivo que possa detectar dois estados em um circuito elétrico, aceso e apagado, ou a presença de sinal elétrico e a ausência de sinal elétrico. Para criar um equipamento que usasse o sistema decimal internamente seria necessário que ele pudesse detectar dez estados elétricos diferentes. Fazendo analogia com uma lâmpada, imagine como pode ser possível identificar do estado totalmente aceso ao totalmente apagado com oito estados intermediários. Se é complexo fazer isso a olho nu, imagine como seria criar um equipamento que pudesse executar essa detecção com níveis elétricos baixíssimos a alta velocidade, dentro de um microprocessador. Um pequeno erro de detecção de um nível para outro pode provocar erros graves de processamento. Por esse motivo, ainda hoje é considerado mais fácil detectar dois níveis elétricos apenas: voltando à analogia da lâmpada, apenas totalmente aceso ou totalmente apagado. 2 Se um dia houver tecnologia capaz de lidar com dez (ou mais) níveis elétricos, talvez não precisemos mais usar o binário. 6.4 Conversão entre bases Um valor em decimal expressa uma quantidade que pode também ser expressa em outras bases. 2
Existem várias técnicas para converter de uma base para outra. Para converter a partir de binário para octal, basta agrupar os algarismos em grupos de três. Cada grupo de três dígitos binários dará origem a uma casa do número em octal. Para fazer a conversão entre binário e hexadecimal, o mecanismo é o mesmo, bastando usar grupos de quatro dígitos em vez de três. Caso seja necessário, complete o último grupo à esquerda com zeros (o zero à esquerda não é significativo, independentemente da base). Veja um exemplo desses métodos na figura abaixo. Hexadecimal 1 A 3 Binário 1 1 0 1 0 0 0 1 1 Octal 6 4 3 Figura 32 Conversão de binário para octal e hexadecimal 1 A conversão de decimal para binário pode ser feita de duas formas distintas. A primeira forma consiste em subtrair potências de 2 do valor decimal. Começamos identificando qual a maior potência de 2 que pode ser subtraída do valor decimal. Vamos usar o número 419 como exemplo. A maior potência de 2 que pode ser subtraída dele é 26 (2 8 ); a potência seguinte seria 12, que não pode ser subtraída de 419 sem deixar um valor negativo. A partir do resto da subtração (163), repetimos o processo. A maior potência de 2 que pode ser subtraída de 163 é 128 (2 7 ). O resto dessa subtração é 3, e repetimos esse processo até que a subtração resulte em zero. Dessa forma, as potências usadas foram: 26 (2 8 ), 128 (2 7 ), 32 (2 ), 2 (2 1 ) e 1 (2 0 ). A soma desses valores corresponde ao valor original: 419. 3
Unidade III Dessa forma, as casas do número binário que foram selecionadas correspondem a 1, as casas que não foram usadas (potências 6, 4, 3 e 2) receberão zero. 1 1 0 1 0 0 0 1 1 =2 8 + 2 7 + 2 + 2 1 + 2 0 = 26 + 128 + 32 + 2 + 1 Figura 33 Conversão de decimal para binário A outra forma de conversão de decimal para binário usa divisões sucessivas por dois. Após a primeira divisão, divide-se o quociente por dois novamente até chegar a um quociente zero. O número binário será formado pelos restos das divisões, sendo que o último resto corresponderá à casa mais à esquerda e o primeiro à casa mais à direita. 1 419 2 1 9 2 1 4 2 0 2 2 0 26 2 0 13 2 1 6 2 0 3 2 1 1 2 1 0 Figura 34 Conversão de decimal para binário Não há diferença fundamental entre as duas técnicas, visto que o resultado deve ser sempre o mesmo. A conversão de decimal para octal e hexadecimal pode ser feita convertendo-se o número em decimal para binário e depois para as outras bases, ou usando as mesmas técnicas de conversão de decimal para binário, mas usando as bases 8 ou 16. 4
Para converter de octal para hexadecimal ou vice-versa, a forma mais simples é converter o valor para binário e depois para a base-destino, usando a técnica de agrupamento de bits. 6. Soma e subtração em bases não decimais Para entender como realizar a soma e a subtração em bases diferentes da base decimal, vamos rever com um pouco de detalhes como fazemos a soma. Vamos utilizar como exemplo a soma dos valores 93 e 9. Vai um Vai um 1 1 9 3 + 9 1 0 2 Figura 3 Soma decimal Todos sabemos que em uma soma de 3 e 9, devemos usar o vai um, transportando uma unidade para a próxima casa. O mesmo é feito com a soma de 9 mais o 1 que veio da casa anterior. 1 Mas o que quer dizer isso? Essas técnicas que conhecemos desde o ensino fundamental fazem parte do funcionamento da aritmética de base, conforme vimos no decorrer deste capítulo. Quando somamos 3 e 9 e obtemos 12, uma casa decimal não pode comportar esse valor, pois cada casa decimal pode conter apenas os valores de 0 a 9. Por isso é necessário
Unidade III transportar unidades de base para a próxima casa. No caso, transportamos uma unidade, e a diferença (2) ficou na casa original. Temos que lembrar que, à medida que avançamos para a esquerda nas casas decimais, aumentamos o expoente da base, por esse motivo o na primeira casa vira 1 na segunda casa. Isso tudo pode parecer extremamente confuso, mas apenas porque nos habituamos a fazer essas operações de forma automática. A subtração funciona da mesma forma. Vamos usar como exemplo a subtração de 94 de 3. Empresta um Empresta um 9 1 0 3-9 4 0 0 9 Figura 36 Subtração decimal 1 Aqui também o conceito de sistema de base está presente, mas funciona de forma oposta. Ao invés de transportarmos unidade de base em excesso da direita para a esquerda, temos que emprestar unidades de base faltantes da esquerda para a direita. De forma análoga à soma, quando trazemos unidade de base de uma casa à esquerda, ela vale uma unidade de potência a mais, ou seja, o 1 da terceira casa vem para a segunda casa valendo. Esse mesmo mecanismo de funcionamento pode ser aplicado a qualquer base não decimal. 6
Se entendermos o funcionamento do sistema de númerosbase, a operação apresentada a seguir não parecerá nem um pouco estranha, desde que se saiba que estamos usando a base binária, é claro. 1 + 1 1 0 Figura 37 Soma binária Como estamos tratando da base 2, cada casa pode apenas representar os valores 0 e 1, portanto, se a soma ultrapassar 1, devemos transportar uma unidade de base para a próxima casa. Novamente, da mesma forma deveremos proceder no caso de somas na base hexadecimal, lembrando que cada casa pode conter os valores de 0 a F (sendo que F corresponde à quantidade 1). 9 E + 8 E 1 2 C Figura 38 Soma hexadecimal 7