Processamento Digital de Sinais Propriedades da Convolução Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti
Algumas respostas a impulso Função delta Amplificador / Atenuador Atrasador Integrador Diferenciador Filtro passa baixas Filtro passa altas
A função delta é um impulso na origem 2 1 0 Função Delta 1 2 1 0 1 2 3 4 5 6 A convolução de um sinal qualquer com a função delta resulta exatamente no mesmo sinal (função identidade). x [n] [n]=x [n] Sistemas de armazenamento e transmissão devem ter idealmente como resposta a impulso, a função delta (não degradam ou distorcem o sinal).
Amplificador / Atenuador 2 1 0 1 2 1 0 1 2 3 4 5 6 amplificador k 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 3 4 5 6 atenuador k 1 x [n] k [n]=x [n]
Deslocamento no tempo O deslocamento da função delta produz um deslocamento correspondente entre os sinais de entrada e saída. Dependendo da direção, temos um adiantamento ou um atraso. x[n s]=x[n] [n s] 2 Atraso de 4 amostras Adiantamento de 1 amostra 2 1 1 0 0 1 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x [n 4]=x [n] [n 4] 1 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x [n 1]=x [n] [n 1]
Aplicações: Eco 2 1 0 1 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Uma função delta mais uma outra função delta escalonada e atrasada resulta na adição de um eco ao sinal original. Ecos são encontrados em aplicações de: Áudio (adicionar em gravações) Radares e sonares (localização de alvos) Geofísica (encontrar jazidas) Telecomunicações (eliminar)
Causalidade Causalidade é um conceito que relaciona o instante de aplicação do sinal na entrada de um sistema e o instante da resposta do sistema a esta entrada. Segundo este critério, os sistemas podem ser classificados como causais ou não causais.
Sistemas causais A saída acontece depois da aplicação do sinal de entrada. É o comportamento esperado para os sistemas físicos que conhecemos. Para estes sistemas a resposta a impulso é nula para n<0. Exemplos:
Sistemas não causais A saída acontece antes da aplicação do sinal de entrada. Embora pareça estranho, podemos implementar facilmente tais sistemas com o uso de memórias. Para estes sistemas a resposta a impulso assume valores não nulos para n<0. Exemplo:
Características da fase A simetria dos sinais (e da resposta a impulso dos sistemas) tem efeitos interessantes na fase da resposta em frequência dos mesmos. Quanto à fase, os sinais podem ser classificados como: fase nula fase linear fase não linear
Sinais de fase nula No tempo, apresentam simetria em relação à amostra n=0. Na frequência, a fase é sempre nula (mais, adiante). Exemplo:
Sinais de fase linear No tempo, apresentam simetria em relação a uma amostra qualquer diferente de n=0. Na frequência, a fase torna se uma reta. Exemplo:
Sinais de fase não linear No tempo, não apresentam simetria em relação a nenhuma. Na frequência, a fase não é nem nula nem linear. Exemplo:
Propriedades da convolução A convolução apresenta algumas propriedades que facilitam a sua manipulação matemática: Comutatividade Associatividade Distributividade
Comutatividade A ordem na qual dois sistemas são convoluídos não faz diferença. a[n] b[n]=b[n] a[n] Se a[n] b[n] y[n] Então b[n] a[n] y[n]
Associatividade Descreve o comportamento da associação em cascata de sistemas. a[n] b[n] c[n]=a[n] b[n] c[n] Se x[n] h 1 [n] h 2 [n] y[n] Então x[n] h 2 [n] h 1 [n] y[n] Ainda x[n] h 1 [n]*h 2 [n] y[n]
Distributividade Descreve o comportamento de sistemas em paralelo cujas saídas são somadas. a[n] b[n] a[n] c[n]=a[n] b[n] c[n] h 1 [n] Se x[n] + y[n] h 1 [n] Então x[n] h 1 [n]+h 2 [n] y[n]
Transferência entre entrada e saída Se o sinal de entrada de um sistema linear sofre uma transformação linear, então a saída do sistema sofrerá a mesma transformação linear. Se x[n] h[n] y[n] Transf. Linear Transf. Linear Então x'[n] h[n] y'[n]
Radar Uma antena transmite uma curta rajada de energia em uma determinada direção. Se a onda propagada bater em algum obstáculo, uma pequena fração da energia transmitida será refletida de volta, podendo ser capturada por uma antena receptora, localizada perto da antena transmissora. O sinal refletido é composto de uma fração do sinal transmitido e de ruído adicionado pelo meio de transmissão. Desde que estas ondas viajam à velocidade da luz, o deslocamento entre as duas é uma medida direta da distância do objeto sendo detectado.
Radar (continuação) Configuração de antenas e exemplos das formas de onda transmitida e recebida.
Problema O problema do radar pode ser resumido da seguinte forma: Dado um sinal cuja forma de onda é conhecida, qual a melhor maneira de determinar onde (ou se) este sinal está presente em outro sinal? CORRELAÇÃO
Correlação É uma medida da similaridade entre dois sinais: quanto mais alta for a correlação, maior a similaridade. É a técnica ótima para deteção de uma forma de onda conhecida em um ambiente ruidoso. Aplicações: radar, comunicação digital, reconhecimento de padrões. R XY =E [ X t Y t ]
Octave: correlacao.m Máquina de correlação Matematicamente: M 1 R XY [ ]= n=0 X [n]y [n ] Pode ser implementada pela máquina de convolução, porém sem rebater um dos sinais ou... podemos usar a máquina de convolução, se pré rebatermos um dos sinais.
Comentários A amplitude de cada amostra do sinal de correlação cruzada é uma medida de quanto o sinal recebido lembra o sinal transmitido naquele ponto. Isto significa que irá ocorrer um pico no sinal de correlação cruzada para cada alvo detectado. Em outras palavras, o valor da correlação cruzada é maximizado quando o sinal do alvo está alinhado com o sinal recebido. Desta forma, a correlação cruzada leva em conta não apenas o pico do sinal, mas a semelhança de toda a sua forma de onda.