Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 07 Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. Conteúdo 7. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares...2 7.1. Matrizes...2 7.1.1. Introdução...2 7.1.2. Matrizes Especiais...4 7.1.3. Igualdade de Matrizes...7 7.1.4. Adição de Matrizes...8 7.1.5. Produto de Número por uma Matriz...9 7.1.6. Produto de Matrizes...10 7.1.7. Matriz Transposta...16 7.1.8. Matriz Inversível...17 7.2. Determinantes...18 7.2.1. Definições...18 7.2.2. Propriedades dos Determinantes...21 7.2.3. Complemento Algébrico ou Cofator e Menor Complementar...27 7.2.4. Matriz dos Cofatores...29 7.3. Solução de Sistemas Lineares...33 7.3.1. Método da Substituição...34 7.3.2. Regra de Cramer...35 7.3.3. Método de Eliminação de Gauss...38 7.4. Memorize para a prova...40 7.5. Exercícios de Fixação...53 7.6. Gabarito...62 7.7. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos...63 Bibliografia...91 www.pontodosconcursos.com.br 1
7. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares Chegamos à aula 7 e nesta aula, começaremos a deixar a matemática básica para trás. Mais uma vez ressalto a importância de conhecer bem os conceitos iniciais da matéria, pois utilizaremos esses conceitos em todo o nosso curso. Está preparado para entrar no mundo das matrizes, determinantes e sistemas lineares? Então, vamos lá! 7.1. Matrizes 7.1.1. Introdução Uma matriz representa um conjunto de elementos representados em linhas e colunas. Cada elemento da matriz está associado a uma posição, que é identificada da seguinte forma: m = número de linhas da matriz n = número de colunas da matriz a ij = elemento da matriz. O índice i indica a linha e o índice j indica a coluna às quais o elemento pertence. a 11 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 1. a 12 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 2. a 13 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 3. a 14 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 4. (...) a 31 = representa o elemento localizado linha 3 e na coluna 1. a 32 = representa o elemento localizado linha 3 e na coluna 2. a 33 = representa o elemento localizado linha 3 e na coluna 3. a 34 = representa o elemento localizado linha 3 e na coluna 4. (...) a mn = representa o elemento localizado linha m e na coluna n. A representação de uma matriz, então, ficaria do seguinte modo: a 11 a 12 a 13... a 1n a 21 a 22 a 23... a 2n a 31 a 32 a 33... a 3n Representação de uma matriz de m linhas e n colunas............... a m1 a m2 a m3... a mn www.pontodosconcursos.com.br 2
Outro conceito importante é a ordem de uma matriz. Bom, a ordem de uma matriz representa a quantidade de linhas e colunas da matriz. Portanto, uma matriz de m linhas e de n de colunas é uma matriz de ordem m x n. Vamos ver alguns exemplos. Exemplos: a 11 a 12 a 13... a 1n a 21 a 22 a 23... a 2n a 31 a 32 a 33... a 3n = Matriz m x n (m linhas e n colunas)............... a m1 a m2 a m3... a mn 1 2 = Matriz 2 x 2 (2 linhas e 2 colunas) 6 13 3 4 2 7 0 2 3 = Matriz 3 x 3 (3 linhas e 3 colunas) 1 6 8 5 0 4 1 = Matriz 1 x 3 (1 linha e 3 colunas) 2 = Matriz 1 x 1 (1 linha e 1 coluna) 3 7 = Matriz 3 x 1 (3 linhas e 1 coluna) 11 Podemos, também, identificar uma matriz por sua notação explícita ou por sua notação condensada. 3 5 1 A = 1 2 7 notação explícita 1 4 9 1 2 3 A= 2 2 3 notação explícita 3 3 3 www.pontodosconcursos.com.br 3
Exemplo de notação condensada (supondo a matriz acima): A =(a ij ) 3x3, onde a ij = i, se i j j, se i < j Memorize para a prova: Matriz com m linhas e n colunas a 11 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 1. a 12 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 2. (...) a mn = representa o elemento localizado linha x e na coluna y. Ordem de uma matriz: representa a quantidade de linhas e colunas da matriz. Uma matriz de m linhas e de n de colunas é uma matriz de ordem m x n. 7.1.2. Matrizes Especiais Existem algumas matrizes que são consideradas especiais, pois possuem algumas particularidades. São elas: Matriz Linha: é toda matriz do tipo 1 x n, ou seja, é toda matriz que possui uma única linha. Matriz Coluna: é toda matriz do tipo m x 1, ou seja, é toda matriz que possui uma única coluna. Matriz Nula: é toda matriz em que todos os elementos são iguais a zero. Exemplos: A = 0 5 4 3 matriz linha 2 A= matriz coluna 3 0 0 0 A= 0 0 0 matriz nula 0 0 0 www.pontodosconcursos.com.br 4
Matriz Quadrada de ordem n: é toda matriz do tipo n x n, ou seja, o número de linhas da matriz é igual ao número de colunas. Exemplos: A= 7 2 1 4 11 3 5 13 8 matriz quadrada de ordem 3 a 11 a 12 a 13... a 1n a 21 a 22 a 23... a 2n a 31 a 32 a 33... a 3n = matriz quadrada de ordem n (n linhas e n colunas)............... a n1 a n2 a n3... a nn Diagonal Principal: é o conjunto de elementos de uma matriz quadrada de ordem n que possui dois índices iguais. Na matriz n x n acima: Diagonal Principal = {a 11, a 22, a 33,..., a nn } Diagonal Secundária: é o conjunto de elementos de uma matriz quadrada de ordem n cuja soma dos índices é igual a (n + 1). Na matriz n x n acima: Diagonal Secundária = {a 1n, a 2(n-1), a 3(n-2),..., a n1 } Exemplos: 2 1 4 A= 11 3 5 7 13 8 Diagonal Secundária = {4,3,7} matriz quadrada de ordem 3 Diagonal Principal = {2,3,8} Matriz Diagonal: é toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero. Matriz Unidade (ou matriz identidade) de ordem n (I n ): é toda matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1. www.pontodosconcursos.com.br 5
Exemplos: 2 0 0 A= 0 3 0 matriz diagonal 0 0 8 1 0 0 A= 0 1 0 matriz unidade ou identidade (I 3 ) 0 0 1 Matriz Triangular: é toda matriz em que todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Exemplos: 1 0 0 A= 3 1 0 matriz triangular 2 5 1 1 5 3 A= 0 2 7 matriz triangular 0 0 3 Matriz Escalar: é uma matriz diagonal onde todos os elementos são iguais. Exemplo: 2 0 0 A= 0 2 0 matriz escalar 0 0 2 www.pontodosconcursos.com.br 6
Memorize para a prova: Matriz Linha: é toda matriz do tipo 1 x n, ou seja, é toda matriz que possui uma única linha. Matriz Coluna: é toda matriz do tipo m x 1, ou seja, é toda matriz que possui uma única coluna. Matriz Nula: é toda matriz em que todos os elementos são iguais a zero. Matriz Quadrada de ordem n: é toda matriz do tipo n x n, ou seja, o número de linhas da matriz é igual ao número de colunas. Diagonal Principal: é o conjunto de elementos de uma matriz quadrada de ordem n que possui dois índices iguais. Diagonal Secundária: é o conjunto de elementos de uma matriz quadrada de ordem n cuja soma dos índices é igual a (n + 1). Matriz Diagonal: é toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero. Matriz Unidade (ou matriz identidade) de ordem n (I n ): é toda matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1. Matriz Triangular: é toda matriz em que todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Matriz Escalar: é uma matriz diagonal onde todos os elementos são iguais. 7.1.3. Igualdade de Matrizes Duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) mxn são iguais quando a ij = b ij qualquer que seja i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. Ou seja, duas matrizes serão iguais quando forem de mesma ordem e os elementos de posições correspondentes forem iguais. Repare que, para as matrizes serem iguais, devem possuir o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Exemplo: 1 2 0 1 2 0 5 7 3 5 7 3 A= 3 4 1 = B= 3 4 1 a 11 = b 11 = 1; a 12 = b 12 = -2; a 13 = b 13 = 0; a 21 = b 21 = 3; a 22 = b 22 = 4; a 23 = b 23 = -1; a 31 = b 31 = 5; a 32 = b 32 = 7; a 33 = b 33 = -3; www.pontodosconcursos.com.br 7
A igualdade de matrizes costuma ser cobrada em prova da seguinte maneira: Exemplo: Determine x e y de forma que a igualdade das matrizes abaixo seja verdadeira: x+ y 1 4 1 = 4 x y 4 2 Como as matrizes são iguais, temos: x + y = 4 x = 4 y (I) x y = 2 (II) Substituindo (I) em (II), temos: 4 y y = 2 2y = 2 y = 1 (III) Substituindo (III) em (I): x = 4 y = 4 1 x = 3 Memorize para a prova: Igualdade de Matrizes Duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) mxn são iguais quando a ij = b ij qualquer que seja i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. 7.1.4. Adição de Matrizes Dadas duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) mxn, a soma A + B será uma matriz C = (c ij ) mxn, tal que c ij = a ij + b ij, para todo i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. Ou seja, a soma de duas matrizes A e B de ordem m x n será uma matriz C de mesma ordem em que cada elemento será a soma dos elementos correspondentes das matrizes A e B. Só é possível somar matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas. Exemplo: 1 2 2 0 1+ 2 2+ 0 3 2 + = = 3 4 4 5 3+ 4 4+ 5 7 9 1 4 1 4 3 2 + 3 = 2+ 3 = 5 3 1 3 1 2 www.pontodosconcursos.com.br 8
Propriedades da adição de matrizes m x n: I. Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) II. Comutativa: A + B = B + A III. Elemento neutro: A + Matriz Nula = A IV. Elemento simétrico: A A = Matriz Nula Matriz Oposta: Dada a matriz A = (a ij ) mxn, denomina-se oposta de A (-A) a matriz B = (b ij ) mxn, tal que A + B = 0. Exemplo: 1 2 1 2 A= A= 4 3 4 3 Memorize para a prova: Soma de Matrizes Dadas duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) mxn, a soma A + B será uma matriz C = (c ij ) mxn, tal que c ij = a ij + b ij, para todo i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. Propriedades: I. Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) II. Comutativa: A + B = B + A III. Elemento neutro: A + Matriz Nula = A IV. Elemento simétrico: A A = Matriz Nula Matriz Oposta: Dada a matriz A = (a ij ) mxn, denomina-se oposta de A (-A) a matriz B = (b ij ) mxn, tal que A + B = 0. 7.1.5. Produto de Número por uma Matriz Dados um número k e uma matriz A = (a ij ) mxn, o produto ka será uma matriz B = (b ij ) mxn, tal que b ij = k b ij, qualquer que seja i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. Ou seja, a multiplicação de uma matriz A de ordem m x n por um número k será uma matriz B formada pelos elementos de A, todos multiplicados por k. Exemplo: 1 2 1 4 2 4 4 8 A= 4 B= = 4 3 4 4 3 4 16 12 www.pontodosconcursos.com.br 9
Propriedades do produto de um número por uma matriz m x n (k e p são números reais): I. Associativa: k x (p x B) = (kp) x B II. Distributiva em relação à adição: k x (A + B) = k x A + k x B III. Dist. em relação à adição de números: (k + p) x A = k x A + p x A IV. Elemento neutro: 1 x A = A Memorize para a prova: Produto de um Número por uma Matriz Dados um número k e uma matriz A = (a ij ) mxn, o produto ka será uma matriz B = (b ij ) mxn, tal que b ij = k b ij, qualquer que seja i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. Propriedades: I. Associativa: k x (p x B) = (kp) x B II. Distributiva em relação à adição: k x (A + B) = k x A + k x B III. Dist. em relação à adição de números: (k + p) x A = k x A + p x A IV. Elemento neutro: 1 x A = A 7.1.6. Produto de Matrizes Dadas duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b jk ) nxp, o produto AB será uma matriz C = (c ij ) mxp, tal que c ik = a i1. b 1k + a i2. b 2k + a i3. b 3k +...+ a in. b nk para todo i = {1, 2, 3,..., m} e k = {1, 2, 3,..., p}. Observações: 1) O produto AB só irá existir se e somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Ou seja, A terá que ser da ordem m x n e B da ordem n x p. 2) A matriz C, originada do produto AB, será uma matriz da ordem m x p (mesmo número de linhas da matriz A e mesmo número de colunas da matriz B). www.pontodosconcursos.com.br 10
3) O elemento c ik da matriz C = AB será obtido de acordo com o seguinte procedimento: (I) Toma-se a linha i da matriz A: a i1 ; a i2 ; a i3 ;...; a in (n elementos) (II) Toma-se a coluna k da matriz B: b 1k b 2k b 3k... b nk (n elementos) (III) Coloca-se a linha i da matriz A na vertical, ao lado da coluna k da matriz B: a i1 a i2 a i3 b 1k b 2k b 3k...... a in b nk (n elementos) (IV) Calculam-se os n produtos dos elementos que ficaram lado a lado: a i1 x b 1k a i2 x b 2k a i3 x b 3k...... a in x b nk (V) Somam-se esses n produtos, obtendo c ik: c ik = a i1. b 1k + a i2. b 2k + a i3. b 3k +...+ a in. b nk Exemplos: 1) A= 0 1 2 3 1 2 B= 3 4 Calcular AB. I) Primeira linha de A (na vertical) x Primeira coluna de B : 0 x 1 = 0 1 x 3 = 3 c 11 = a 11. b 11 + a 12. b 21 = 0 x 1 + 1 x 3 = 3 II) Primeira linha de A (na vertical) x Segunda coluna de B : 0 x 2 = 0 1 x 4 = 4 c 12 = a 11. b 12 + a 12. b 22 = 0 x 2 + 1 x 4 = 4 www.pontodosconcursos.com.br 11
III) Segunda linha de A (na vertical) x Primeira coluna de B : 2 x 1 = 2 3 x 3 = 9 c 21 = a 21. b 11 + a 22. b 21 = 2 x 1 + 3 x 3 = 11 IV) Segunda linha de A (na vertical) x Segunda coluna de B : 2 x 2 = 4 3 x 4 = 12 c 22 = a 21. b 12 + a 22. b 22 = 2 x 2 + 3 x 4 = 16 3 4 AB= C= 11 16 2) A= B= 0 1 2 3 1 2 3 4 Calcular BA. I) Primeira linha de B (na vertical) x Primeira coluna de A : 1 x 0 = 0 2 x 2 = 4 c 11 = b 11. a 11 + b 12. a 21 = 1 x 0 + 2 x 2 = 4 II) Primeira linha de B (na vertical) x Segunda coluna de A : 1 x 1 = 1 2 x 3 = 6 c 12 = b 11. a 12 + b 12. a 22 = 1 x 1 + 2 x 3 = 7 III) Segunda linha de B (na vertical) x Primeira coluna de A : 3 x 0 = 0 4 x 2 = 8 c 21 = b 21. a 11 + b 22. a 21 = 3 x 0 + 4 x 2 = 8 IV) Segunda linha de B (na vertical) x Segunda coluna de A : 3 x 1 = 3 4 x 3 = 12 c 22 = b 21. a 12 + b 22. a 22 = 3 x 1 + 4 x 3 = 15 4 7 BA= C= 8 15 Portanto, percebe-se que AB é diferente de BA. www.pontodosconcursos.com.br 12
ATENÇÃO!!! A multiplicação de matrizes não possui a propriedade comutativa. 3) A = 0 1 1 1 0 2 1 2 0 A 2 = A. A = 0 1 1 1 0 2 1 2 0. 0 1 1 1 0 2 1 2 0 Vamos fazer a multiplicação das matrizes (A.A): I) Primeira linha de A (na vertical) x Primeira coluna de A : 0 x 0 = 0 1 x 1 = 1 1 x 1 = 1 c 11 = a 11. a 11 + a 12. a 21 + a 13. a 31 = 0 x 0 + 1 x 1 + 1 x 1 = 2 II) Primeira linha de A (na vertical) x Segunda coluna de A : 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 2 = 2 c 12 = a 11. a 12 + a 12. a 22 + a 13. a 32 = 0 x 1 + 1 x 0 + 1 x 2 = 2 III) Primeira linha de A (na vertical) x Terceira coluna de A : 0 x 1 = 0 1 x 2 = 2 1 x 0 = 0 c 13 = a 11. a 13 + a 12. a 23 + a 13. a 33 = 0 x 1 + 1 x 2 + 1 x 0 = 2 IV) Segunda linha de A (na vertical) x Primeira coluna de A : 1 x 0 = 0 0 x 1 = 0 2 x 1 = 1 c 21 = a 21. a 11 + a 22. a 21 + a 23. a 31 = 1 x 0 + 0 x 1 + 2 x 1 = 2 www.pontodosconcursos.com.br 13
V) Segunda linha de A (na vertical) x Segunda coluna de A : 1 x 1 = 1 0 x 0 = 0 2 x 2 = 4 c 22 = a 21. a 12 + a 22. a 22 + a 23. a 32 = 1 x 1 + 0 x 0 + 2 x 2 = 5 VI) Segunda linha de A (na vertical) x Terceira coluna de A : 1 x 1 = 1 0 x 2 = 0 2 x 0 = 0 c 23 = a 21. a 13 + a 22. a 23 + a 23. a 33 = 1 x 1 + 0 x 2 + 2 x 0 = 1 VII) Terceira linha de A (na vertical) x Primeira coluna de A : 1 x 0 = 0 2 x 1 = 2 0 x 1 = 0 c 31 = a 31. a 11 + a 32. a 21 + a 33. a 31 = 1 x 0 + 2 x 1 + 0 x 1 = 2 VIII) Terceira linha de A (na vertical) x Segunda coluna de A : 1 x 1 = 1 2 x 0 = 0 0 x 2 = 0 c 32 = a 31. a 12 + a 32. a 22 + a 33. a 32 = 1 x 1 + 2 x 0 + 0 x 2 = 1 IX) Terceira linha de A (na vertical) x Terceira coluna de A : 1 x 1 = 1 2 x 2 = 4 0 x 0 = 0 c 33 = a 31. a 13 + a 32. a 23 + a 33. a 33 = 1 x 1 + 2 x 2 + 0 x 0 = 5 Portanto, a matriz A 2 ficou da seguinte forma: A 2 = A. A = 0 1 1 1 0 2 1 2 0. 0 1 1 1 0 2 1 2 0 = 2 2 2 2 5 1 2 1 5 www.pontodosconcursos.com.br 14
Propriedades da multiplicação de matrizes: I. Associativa: (A. B). C = A. (B. C) II. III. IV. Distributiva em relação à adição (à esquerda): A. (B + C) = A. B + A. C Distributiva em relação à adição (à direita): (A + B). C = A. C + B. C Elemento neutro: A. I n = A, onde I n é a matriz identidade de ordem n. Logo, A. A -1 = I n (A -1 é a matriz inversa de A, e será vista adiante). V. (ka). B = A. (kb) = k. (AB) VI. Quando A. B = 0, não implica, necessariamente, que A = 0 ou B = 0. Memorize para a prova: Produto de Matrizes Dadas duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b jk ) nxp, o produto AB será uma matriz C = (c ij ) mxp, tal que c ik = a i1. b 1k + a i2. b 2k + a i3. b 3k +...+ a in. b nk para todo i = {1, 2, 3,..., m} e k = {1, 2, 3,..., p}. 1) O produto AB só irá existir se e somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Ou seja, A terá que ser da ordem m x n e B da ordem n x p. 2) A matriz C, originada do produto AB, será uma matriz da ordem m x p (mesmo número de linhas da matriz A e mesmo número de colunas da matriz B). Propriedades: I. Associativa: (A. B). C = A. (B. C) II. Distributiva em relação à adição (à esquerda): A. (B + C) = A. B + A. C III. Distributiva em relação à adição (à direita): (A + B). C = A. C + B. C IV. Elemento neutro: A. I n = A, onde I n é a matriz identidade de ordem n. Logo, A. A -1 = I n (A -1 é a matriz inversa de A, e será vista adiante). V. (ka). B = A. (kb) = k. (AB) VI. Quando A. B = 0, não implica, necessariamente, que A = 0 ou B = 0. www.pontodosconcursos.com.br 15
7.1.7. Matriz Transposta Uma matriz B = (b ji ) nxm é transposta de uma matriz A = (a ij ) mxn, se a ij = b ji, qualquer que seja i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. Repare que a matriz B possui n linhas e m colunas, enquanto a que a matriz A possui m linhas e n colunas. Ou seja, matriz transposta B (representada A t ) representa a inversão dos elementos de A. O que era linha passa a ser coluna e o que era coluna passa a ser linha. Exemplos: 1 2 1 4 A A t = = 4 3 2 3 1 4 2 1 3 1 A= 3 8 7 => A t = 4 8 6 1 6 5 2 7 5 a 11 = a t 11 = 1; a 12 = a t 21 = 4; a 13 = a t 31 = 2 a 21 = a t 12 = 3; a 22 = a t 22 = 8; a 23 = a t 32 = 7 a 31 = a t 13 = -1; a 32 = a t 23 = 6; a 33 = a t 33 = 5 Propriedades (k é um número real): I. (A t ) t = A II. (A + B) t = A t + B t III. (ka) t = k. A t IV. (AB) t = B t. A t Matriz Simétrica: Se a transposta A t da matriz A for igual a própria matriz A, então A t é uma matriz simétrica de A (só ocorre se a matriz A for quadrada). Exemplo: 1 2 1 2 A A t = = matrizes simétricas 2 3 2 3 Matriz Anti-Simétrica: corresponde a toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que A t = - A, ou seja, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são opostos. Exemplo: 0 1 0 1 A A t = = 1 0 1 0 A t = - A anti-simétrica www.pontodosconcursos.com.br 16
Memorize para a prova: Matriz Transposta A matriz transposta B (representada A t ) representa a inversão dos elementos de A. O que era linha passa a ser coluna e o que era coluna passa a ser linha. Propriedades (k é um número real): I. (A t ) t = A II. (A + B) t = A t + B t III. (ka) t = k. A t IV. (AB) t = B t. A t Matriz Simétrica: Se a transposta A t da matriz A for igual a própria matriz A, então A t é uma matriz simétrica de A (só ocorre se a matriz A for quadrada). Matriz Anti-Simétrica: corresponde a toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que A t = - A, ou seja, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são opostos. 7.1.8. Matriz Inversível Uma matriz quadrada A, de ordem n, será inversível se existir uma matriz B tal que: AB = BA = I n (matriz identidade). Esta matriz B também é quadrada, de ordem n, é única e é conhecida como matriz inversa, sendo representada por A -1. Caso a matriz quadrada A não tenha matriz inversível, ela é denominada matriz singular. Exemplo: Qual é a matriz inversa da matriz abaixo? A= 3 7 5 11 1 a b 3 7 1 0 A A= I2 = c d 5 11 0 1 3a+ 5b 7a+ 11b 1 0 = 3c+ 5d 7c+ 11d 0 1 3a + 5b = 1 (I) 7a + 11b = 0 a = -11b/7 (II) www.pontodosconcursos.com.br 17
Substituindo (II) em (I): 3 x (-11b/7) + 5b = 1 (-33 + 35)b = 7 b = 7/2 (III) Substituindo (III) em (II): a = -11 x (7/2)/7 = - 11/2 3c + 5d = 0 c = -5d/3 (IV) 7c + 11d = 1 (V) Substituindo (IV) em (V): 7 x (-5d/3) + 11d = 1 (-35 + 33)d = 3 => d = -3/2 (VI) Substituindo (VI) em (IV): c = -5 x (-3/2)/3 = 5/2 A 1= 11 7 2 2 5 3 2 2 Memorize para a prova: Matriz Inversível Uma matriz quadrada A, de ordem n, será inversível se existir uma matriz B tal que: AB = BA = I n (matriz identidade). Esta matriz B também é quadrada, de ordem n, é única e é conhecida como matriz inversa, sendo representada por A -1. Caso a matriz quadrada A não tenha matriz inversível, ela é denominada matriz singular. 7.2. Determinantes 7.2.1. Definições Para obter o determinante de uma matriz quadrada A (det A), de ordem n (n 3), devemos adotar o seguinte procedimento: 1) n = 1. Nesta situação, o determinante de A é o único elemento de A. A = [a 11 ] det A = a 11 Exemplo: A = [23] det A = 23 www.pontodosconcursos.com.br 18
2) n = 2. Nesta situação, o determinante de A será o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. a a 11 12 A= det A = a a a 11. a 22 - a 12. a 21 21 22 - Exemplo: 3 1 A= det A= 3 2 4 ( 1) = 10 4 2 cos x senx B= det B= cos x.cos y senx. seny= cos( x+ y) seny cos y 3) n = 3. Nesta situação, temos: a a a 11 12 13 A= a a a 21 22 23 a a a 31 32 33 det A = a 11. a 22. a 33 + a 12. a 23. a 31 + a 13. a 21. a 32 - a 13. a 22. a 31 - a 11. a 23. a 32 - a 12. a 21. a 33 Para memorizar esta fórmula, vamos adotar o seguinte procedimento, também conhecido como Regra de Sarrus para o cálculo de determinantes de ordem 3: a) Repete-se, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas a a a 11 12 13 a a 11 12 A= a a a a a 21 22 23 21 22 a a a a a 31 32 33 31 32 + + b) Os termos precedidos do sinal + são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal principal: a 11. a 22. a 33 + a 12. a 23. a 31 + a 13. a 21. a 32 www.pontodosconcursos.com.br 19
c) Os termos precedidos do sinal - são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal secundária: - a 13. a 22. a 31 a 11. a 23. a 32 - a 12. a 21. a 33 Exemplo: 1 3 4 A= 5 2 3 1 4 2 1 3 4 1 3 det A= 5 2 3 5 2= 1x2x2+ 3 x( 3) x1+ 4x5x4 4x2x1 1 x( 3) x4 3x5x2 1 4 2 1 4 det A= 4 9+ 80 8+ 12 30= 49 Outra forma de memorizar: I) Os termos precedidos pelo sinal + são obtidos multiplicando-se os elementos de acordo com os caminhos indicados abaixo: a a a 11 12 13 A= a a a 21 22 23 a a a 31 32 33 a 13 x a 21 x a 32 a 12 x a 23 x a 31 a 11 x a 22 x a 33 II) Os termos precedidos pelo sinal - são obtidos multiplicando-se os elementos de acordo com os caminhos indicados abaixo: a a a 11 12 13 A= a a a 21 22 23 a a a 31 32 33 a 13 x a 22 x a 31 a 11 x a 32 x a 23 a 12 x a 21 x a 33 www.pontodosconcursos.com.br 20
Memorize para a prova: Determinante 1) n = 1. Nesta situação, o determinante de A é o único elemento de A. det A = a 11 2) n = 2. Nesta situação, o determinante de A será o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. det A = a 11. a 22 - a 12. a 21 3) n = 3. Nesta situação, temos: det A = a 11. a 22. a 33 + a 12. a 23. a 31 + a 13. a 21. a 32 - a 13. a 22. a 31 - a 11. a 23. a 32 - a 12. a 21. a 33 Para n = 3 é mais fácil adotar a Regra de Sarrus. 7.2.2. Propriedades dos Determinantes I) det A = det A t Exemplos: 1 2 1 4 A A t = = 4 3 2 3 det A= 3 1 ( 2) 4= 3+ 8= 11 det A t = 1 3 4 ( 2) = 3+ 8= 11 1 4 2 1 3 1 A= 3 8 7 => A t = 4 8 6 1 6 5 2 7 5 det A= 1 8 5+ 4 7 ( 1) + 3 6 2 2 8 ( 1) 1 6 7 3 4 5 det A= 40 28+ 36+ 16 42 60= 38 det A t = 1 8 5 + ( 1) 4 7+ 3 6 2 ( 1) 8 2 1 6 7 4 3 5 det A t = 40 28+ 36+ 16 42 60= 38 II) Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz A, de ordem n, forem todos nulos, então det A = 0. www.pontodosconcursos.com.br 21
Exemplos: 0 0 A= 4 3 det A= 3 0 0 4= 0 A= 0 4 2 0 8 7 0 6 5 det A= 0 8 5+ 4 7 0+ 0 6 2 2 8 0 0 6 7 0 4 5= 0 III) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A, por um número k, o determinante na nova matriz A será o produto de k pelo determinante de A. det A = k. det A. Também é válida para divisão por um número k. Neste caso, teríamos: det A = (1/k). det A. Exemplos: 2 1 A= 4 3 det A= 3 2 1 4= 2 k = 2( coluna1) 2 2 1 4 1 A = = 4 2 3 8 3 det A = 4 3 1 8= 4= 2x2 A= 1 4 2 2 8 7 3 6 5 det A= 1 8 5+ 4 7 3+ 2 6 2 2 8 3 1 6 7 2 4 5 det A= 40+ 84+ 24 48 42 40= 18 k = 1( linha1) A = 1 ( 1) 4 ( 1) 2 ( 1) 1 4 2 2 8 7 = 2 8 7 3 6 5 3 6 5 det A = ( 1) 8 5 + ( 4) 7 3 + ( 2) 6 2 ( 2) 8 3 ( 1) 6 7 2 ( 4) 5 det A = 40 84 24+ 48+ 42+ 40= 18 www.pontodosconcursos.com.br 22
Nota: Como conseqüência da propriedade acima, se multiplicarmos toda a matriz por um número k, det (ka) = k n. det A, onde n é a ordem da matriz quadrada A. Exemplo: 2 1 A=, n= 2 4 3 det A= 3 2 1 4= 2 4 2 A = 2. A= 8 6 = = = = 2 det A 4 6 2 8 24 16 8 2 2 IV) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2). Se trocarmos de posição duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas), obteremos uma nova matriz A, tal que: det A = - det A. Exemplos: 2 1 A= 4 3 det A= 3 2 1 4= 2 1 2 A = 3 4 det A = 4 1 3 2= 2 A= 1 4 2 2 8 7 3 6 5 det A= 1 8 5+ 4 7 3+ 2 6 2 2 8 3 1 6 7 2 4 5 det A= 40+ 84+ 24 48 42 40= 18 1 4 2 A = 3 6 5 2 8 7 det A = 1 6 7+ 3 8 2+ 4 5 2 2 6 2 1 8 5 3 4 7 det A = 42+ 48+ 40 24 40 84= 18 www.pontodosconcursos.com.br 23
V) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente iguais. Portanto, det A = 0. Exemplos: 2 2 A= 2 2 det A= 2 2 2 2= 0 1 4 1 A= 2 1 2 3 6 3 det A= 1 1 3+ 4 2 3+ 2 6 1 1 1 3 1 2 6 2 4 3 det A= 3+ 24+ 12 3 12 24= 0 VI) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais. Portanto, det A = 0. Exemplos: 2 1 A= 2 1 det A= 2 1 1 2= 0 1 4 1 2 8 2, 2 2 1 3 6 1 A= linha = linha det A= 1 8 1+ 4 2 3+ 2 6 1 1 8 3 1 2 6 2 4 1 det A= 8+ 24+ 12 24 12 8= 0 VII) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui uma fila que é uma combinação linear das outras filas. Portanto, det A = 0. Exemplo: 1 2 1 2 5 3, 3 2 1 2 4 9 5 A= linha = xlinha + linha det A= 1 5 5+ 2 3 4+ 2 9 1 1 5 4 1 3 9 2 2 5 det A= 25+ 24+ 18 20 27 20= 0 www.pontodosconcursos.com.br 24
VIII) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui todos elementos acima ou abaixo da diagonal principal iguais a zero. Neste caso, o determinante de A é o produto dos elementos dessa diagonal. Exemplo: A= 1 0 0 2 5 0 4 9 5 det A= 1 5 5+ 0 0 4+ 2 9 0 0 5 4 1 0 9 2 0 5 det A= 1 5 5= 25 IX) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui todos elementos acima ou abaixo da diagonal secundária iguais a zero. Neste caso, o determinante de A é o produto dos elementos dessa diagonal (secundária) multiplicado por: (-1) n.(n-1)/2, onde n é a ordem da matriz quadrada. Exemplo: A= 1 4 2 2 5 0 4 0 0 det A= 1 5 0+ 4 0 4+ 2 0 ( 2) ( 2) 5 4 1 0 0 2 4 0 det A= 2 5 4= 40 ou 3 (3 1) 2 det A= ( 1) ( 2) 5 4= 40 X) Teorema de Binet: Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem n. det (AB) = det (A).det(B). Exemplo: 2 0 A= 2 1 det A= 2 1 0 2= 2 1 2 B= 3 4 det B= 1 4 3 2= 2 det A det B= 2 ( 2) = 4 2 0 1 2 2 1+ 0 3 2 2+ 0 4 2 4 A. B=. = = 2 1 3 4 2 1+ 1 3 2 2+ 1 4 5 8 det AB= 2 8 5 4= 16 20= 4 www.pontodosconcursos.com.br 25
Nota: Como A. A -1 = I n, pela propriedade acima, temos: det(a.a -1 )= det(i n ) det A. det A -1 = 1 det A -1 = 1/det A o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz. uma outra conseqüência é que uma matriz somente terá matriz inversa se o seu determinante for diferente de zero. Memorize para a prova: Propriedades dos Determinantes: I) det A = det A t II) Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz A, de ordem n, forem todos nulos, então det A = 0. III) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A, por um número k, o determinante na nova matriz A será o produto de k pelo determinante de A. det A = k. det A. Também é válida para divisão por um número k. Neste caso, teríamos: det A = (1/k). det A. Nota: Como conseqüência da propriedade acima, se multiplicarmos toda a matriz por um número k, det (ka) = k n. det A, onde n é a ordem da matriz quadrada A. IV) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2). Se trocarmos de posição duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas), obteremos uma nova matriz A, tal que: det A = - det A. V) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente iguais. Portanto, det A = 0. VI) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais. Portanto, det A = 0. VII) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui uma fila que é uma combinação linear das outras filas. Portanto, det A = 0. VIII) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui todos elementos acima ou abaixo da diagonal principal iguais a zero. Neste caso, o determinante de A é o produto dos elementos dessa diagonal. IX) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui todos elementos acima ou abaixo da diagonal secundária iguais a zero. Neste caso, o determinante de A é o produto dos elementos dessa diagonal (secundária) multiplicado por: (-1) n.(n-1)/2, onde n é a ordem da matriz quadrada. X) Teorema de Binet: Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem n. det (AB) = det (A).det(B). Nota: Como A. A -1 = I n, pela propriedade acima, temos: det(a.a -1 )= det(i n ) det A. det A -1 = 1 det A -1 = 1/det A o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz. uma outra conseqüência é que uma matriz somente terá matriz inversa se o seu determinante for diferente de zero. www.pontodosconcursos.com.br 26
7.2.3. Complemento Algébrico ou Cofator e Menor Complementar O cofator ou complemento algébrico do elemento a ij de uma matriz A é representado por: A ij = (-1) i+j. D ij, onde D ij (ou menor complementar) é o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de A. Exemplos de cálculo do menor complementar: 1) Seja 1 3 4 A= 5 2 3. Calcule D 11, D 21 e D 31. 1 4 2 1 3 4 2 3 A= 5 2 3 D = det = 2 2 ( 3) 4= 16 11 4 2 1 4 2 1 3 4 3 4 A= 5 2 3 D = det = 3 2 4 4= 10 21 4 2 1 4 2 1 3 4 3 4 A= 5 2 3 D = det = 3 ( 3) 4 2= 17 31 2 3 1 4 2 2) Seja 7 8 A=. Calcule D 12 e D 22. 4 5 7 8 A= D = 4 4 5 12 7 8 A= D = 7 4 5 22 www.pontodosconcursos.com.br 27
Exemplos de cálculo do menor complemento algébrico: 1) Seja 1 3 4 A= 5 2 3. Calcule A 11, A 21 e A 31. 1 4 2 1 3 4 2 3 A= 5 2 3 D = det 2 2 ( 3) 4 16 A ( 1) 1+ 1 = = = 16= 16 11 4 2 11 1 4 2 1 3 4 3 4 A= 5 2 3 D = det 3 2 4 4 10 A ( 1) 2+ 1 = = = ( 10) = 10 21 4 2 21 1 4 2 1 3 4 3 4 A= 5 2 3 D = det = 3 ( 3) 4 2= 17 A = ( 1) 3+ 1 ( 17) = 17 31 2 3 31 1 4 2 2) Seja 7 8 A=. Calcule A 12 e A 22. 4 5 7 8 A= D 4 A ( 1) 1+ 2 = = 4= 4 4 5 12 12 7 8 A= D 7 A ( 1) 2+ 2 = = 7= 7 4 5 22 22 Memorize para a prova: Cofator ou Complemento Algébrico e Menor Complementar O cofator ou complemento algébrico do elemento a ij de uma matriz A é representado por: A ij = (-1) i+j. D ij, onde D ij (ou menor complementar) é o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de A. www.pontodosconcursos.com.br 28
7.2.4. Matriz dos Cofatores A matriz dos cofatores da matriz A, denominada A, é formada pelos cofatores encontrados para cada elemento da matriz A. Exemplo: 1) Seja 7 8 A=. Calcule a matriz do cofatores A. 4 5 7 8 A= D 5 A ( 1) 1+ 1 = = 5= 5 4 5 11 11 7 8 A= D 4 A ( 1) 1+ 2 = = 4= 4 4 5 12 12 7 8 A= D 8 A ( 1) 2+ 1 = = 8= 8 4 5 21 21 7 8 A= D 7 A ( 1) 2+ 2 = = 7= 7 4 5 22 22 5 4 A = 8 7 2) Seja 1 3 4 A= 5 2 3. Calcule a matriz dos cofatores A. 1 4 2 1 3 4 2 3 A= 5 2 3 D = det 2 2 ( 3) 4 16 A ( 1) 1+ 1 = = = 16= 16 11 4 2 11 1 4 2 1 3 4 3 4 A= 5 2 3 D = det 3 2 4 4 10 A ( 1) 2+ 1 = = = ( 10) = 10 21 4 2 21 1 4 2 1 3 4 3 4 A= 5 2 3 D = det = 3 ( 3) 4 2= 17 A = ( 1) 3+ 1 ( 17) = 17 31 2 3 31 1 4 2 www.pontodosconcursos.com.br 29 Wada, CPF:22351271858, vedada, quaisquer
1 3 4 5 3 5 2 3 det 5 2 ( 3) 1 13 ( 1) 1+ 2 13 13 12 1 2 12 1 4 2 A= D = = = A = = 1 3 4 1 4 A= 5 2 3 D = det 1 2 4 1 2 A ( 1) 2+ 2 = = = ( 2) = 2 22 1 2 22 1 4 2 1 3 4 1 4 A= 5 2 3 D = det = 1 ( 3) 4 5= 23 A = ( 1) 3+ 2 ( 23) = 23 32 5 3 32 1 4 2 1 3 4 5 2 A= 5 2 3 D = det 5 4 2 1 18 A ( 1) 1+ 3 = = = 18= 18 13 1 4 13 1 4 2 1 3 4 1 3 A= 5 2 3 D = det 1 4 3 1 1 A ( 1) 2+ 3 = = = 1= 1 23 1 4 23 1 4 2 1 3 4 1 3 A= 5 2 3 D = det = 1 2 3 5= 13 A = ( 1) 3+ 3 ( 13) = 13 33 5 2 33 1 4 2 16 13 18 A = 10 2 1 17 23 13 Matriz Adjunta: é a matriz transposta da matriz dos cofatores. Matriz Adjunta de A = (A ) t Exemplo: No exemplo anterior (2), a matriz adjunta seria: 16 10 17 A= 13 2 23 18 1 13 www.pontodosconcursos.com.br 30
Matriz Inversa: nós aprendemos a calcular a matriz inversa utilizando um sistema de equações. Agora, vamos aprender a calcular a matriz inversa utilizando a matriz dos cofatores. O procedimento é o seguinte para encontrar a matriz inversa da matriz A: 1) Calcular o determinante da matriz A; 2) Calcular a matriz dos cofatores; 3) Obter a matriz adjunta da matriz A (transposta da matriz dos cofatores); 4) Dividir cada um dos elementos da matriz ajunta pelo determinante da matriz A. Fórmula: A = A det A 1 1 Exemplo: Qual é a matriz inversa da matriz abaixo? 3 7 A= 5 11 Solução: det A= 3 11 5 7= 33 35= 2 D D D D 11 11 12 12 21 21 22 22 1+ 1 = 11 A = ( 1) 11= 11 1+ 2 = 5 A = ( 1) 5= 5 2+ 1 = 7 A = ( 1) 7= 7 2+ 2 = 3 A = ( 1) 3= 3 11 5 A ( cofatores) = 7 3 11 7 A( adjunta) = 5 3 11 7 1 1 A 1 11 7 2 2 = A= = det A 2 5 3 5 3 2 2 www.pontodosconcursos.com.br 31
Mais uma Propriedade dos determinantes: XI) Teorema de Laplace: é possível calcular o determinante de uma matriz de ordem n por meio do somatório do produto do elemento pelo seu cofator para uma única fila (linha ou coluna). Exemplo: Determine o determinante da matriz abaixo utilizando o teorema de Laplace? 3 7 A= 5 11 Solução: det A= 3 11 5 7= 33 35= 2 D = 11 A = ( 1) 1+ 1 11= 11 11 11 D = 5 A = ( 1) 1+ 2 5= 5 12 12 Laplace: det A= a A + a A = 3 11+ 7 ( 5) = 33 35= 2 11 11 12 12 Memorize para a prova: Matriz dos Cofatores A matriz dos cofatores da matriz A, denominada A, é formada pelos cofatores encontrados para cada elemento da matriz A. Matriz Adjunta: é a matriz transposta da matriz dos cofatores. Matriz Adjunta de A = (A ) t Matriz Inversa: Outro procedimento para encontrar a matriz inversa da matriz A: 1) Calcular o determinante da matriz A; 2) Calcular a matriz dos cofatores; 3) Obter a matriz adjunta da matriz A (transposta da matriz dos cofatores); 4) Dividir cada um dos elementos da matriz ajunta pelo determinante da matriz A. Fórmula: A = A det A 1 1 Teorema de Laplace: é possível calcular o determinante de uma matriz de ordem n por meio do somatório do produto do elemento pelo seu cofator para uma única fila (linha ou coluna). www.pontodosconcursos.com.br 32
7.3. Solução de Sistemas Lineares Sistemas lineares são conjuntos de equações (duas ou mais) em que se deseja encontrar a solução, ou seja, uma solução que atende e torne todas as equações verdadeiras. Exemplos: S 1: 2x + 6y = 4 x y = 5 No sistema linear S 1, temos duas equações e duas incógnitas (x e y). S 2: 2x + 3y + 3z = 4 x y + z= 2 3x + y 2z = 0 No sistema linear S 2, temos três equações e três incógnitas (x, y e z). Se um sistema linear S tiver, pelo menos, uma solução, ele será possível ou compatível. Caso não tenha nenhuma solução, S será impossível ou incompatível. Para achar a solução de sistemas lineares, apresentarei três métodos: método da substituição, regra de Cramer e método da eliminação de Gauss. Sistema linear Homogêneo: os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial. Exemplo de sistema linear homogêneo: 2x - 3y + z = 0 3x + 5y + 7z = 0 x + 2y + 3z = 0 Solução Trivial: seria, simplesmente, admitir como solução x = 0, y = 0, z = 0, etc. No caso do exemplo acima: se x = y = z = 0, teríamos: 2x - 3y + z = 0 2. 0 3. 0 + 0 = 0 0 = 0 (ok) 3x + 5y + 7z = 0 3. 0 + 5. 0 + 7. 0 = 0 => 0 = 0 (ok) x + 2y + 3z = 0 0 + 2. 0 + 3. 0 = 0 0 = 0 (ok) www.pontodosconcursos.com.br 33
Solução Não Trivial: seria a outra solução possível e determinada para x e y diferentes de zero. Memorize para a prova: Sistema linear Homogêneo: os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial. 7.3.1. Método da Substituição Por este método, você deve isolar uma variável em uma equação, substituir na seguinte, e assim por diante (dependendo do número de equações), de modo que, na última equação, você possua uma única variável a encontrar. Depois de encontrada a primeira variável, basta fazer o caminho inverso para encontrar as demais. Vamos a um exemplo para entender melhor o método. Exemplos: 1) S 1: 2x + 6y = 4 (I) x y = 5 (II) Isolar x em (I): De (I), temos: 2x + 6y = 4 2x = (4 6y) x = 2 3y (III) Encontrar y utilizando (II): Substituindo (III) em (II): 2 3y y = 5-4y = 3 y = -3/4 (IV) Fazer o caminho inverso: Substituindo (IV) em (III): x = 2 3. (-3/4) = 2 + 9/4 x = 17/4 2) S 2: x + y + z = 4 (I) x y + 3z= 2 (II) 3x + y 2z = 3 (III) Isolar x em (I): x + y + z = 4 x = 4 y z (IV) Substituir x em (II) e isolar y: Substituindo (IV) em (II): 4 y z y + 3z = 2-2y + 2z = -2 -y + z = -1 -y = -1 z y = 1 + z (V) www.pontodosconcursos.com.br 34
Substituir x (IV) e y (V) em (III) e encontrar z: 3x + y 2z = 3 3 (4 y z) + 1 + z 2z = 3 12 3y 3z + 1 z = 3 12 3(1+z) 4z + 1 = 3 12 3 3z 4z + 1 = 3-7z = 3 10 => -7z = -7 z = 1 (VI) Fazer o caminho inverso: Substituir (VI) em (V): y = 1 + z = 1 + 1 y = 2 (VII) Substituir (VI) e (VII) em (IV): x = 4 y z = 4 2 1 x = 1 Memorize para a prova: Sistemas Lineares Método da Substituição Por este método, você deve isolar uma variável em uma equação, substituir na seguinte, e assim por diante (dependendo do número de equações), de modo que, na última equação, você possua uma única variável a encontrar. Depois de encontrada a primeira variável, basta fazer o caminho inverso para encontrar as demais. 7.3.2. Regra de Cramer Também é possível representar um sistema linear por meio de matrizes: Exemplo: S 2: x + y + z = 4 (I) x y + 3z= 2 (II) 3x + y 2z = 3 (III) 1 1 1 x 4 1. x+ 1. y+ 1. z 4 1 1 3 y= 2 1. x 1. y+ 3. z= 2 3 1 2 z 3 3. x+ 1. y 2. z 3 Primeira matriz: matriz incompleta (formada pelos coeficientes das variáveis) Segunda matriz: matriz das incógnitas Ainda há a matriz completa, que é formada pelos coeficientes das variáveis e pelos termos independentes (termos após o sinal de igual), conforme abaixo: 1 1 1 4 1 1 3 2 3 1 2 3 www.pontodosconcursos.com.br 35
Quando o número de equações do sistema é igual ao número de variáveis, e o determinante da matriz incompleta é diferente de zero, o sistema é denominado sistema normal. Para todo sistema normal, é possível obter a sua solução por meio do procedimento abaixo: x = D x /D; y = D y /D e z = D z /D e, assim sucessivamente, para as demais variáveis, se houver. No nosso caso, iremos concentrar nossas resoluções em sistemas normais de duas ou três variáveis. D determinante da matriz incompleta. D x determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. D y determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. D z determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes. Exemplo: S 2: x + y + z = 4 (I) x y + 2z= 2 (II) 3x + y 2z = 3 (III) 1 1 1 x 4 1 1 3 y= 2 3 1 2 z 3 Termos Independentes Matriz Incompleta Matriz das Incógnitas D determinante da matriz incompleta D = 1.(-1).(-2) + 1.3.3 + 1.1.1 1.(-1).3 1.1.(-2) 1.1.3 D = 2 + 9 + 1 + 3 + 2 3 = 14 D x determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. 4 1 1 2 1 3 D x = 4.(-1).(-2) + 1.3.3 + 1.2.1 1.(-1).3 2.1.(-2) 4.1.3 3 1 2 www.pontodosconcursos.com.br 36
D x = 8 + 9 + 2 + 3 + 4 12 =14 x = D x /D = 14/14 x = 1 D y determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. 1 4 1 1 2 3 D y = 1.2.(-2) + 4.3.3 + 1.3.1 1.2.3 4.1.(-2) 1.3.3 3 3 2 D y = -4 + 36 + 3 6 + 8 9 =28 y = D y /D = 28/14 y = 2 D z determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes. 1 1 4 1 1 2 D z = 1.(-1).3 + 1.2.3 + 4.1.1 4.(-1).3 1.1.2 1.1.3 3 1 3 D z = -3 + 6 + 4 + 12 2 3 =14 z = D/D z = 14/14 z = 1 Análise de um sistema: 1) Sistema possível e determinado: D 0 (uma única solução). 2) Possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes D x, D y e D z forem iguais a zero. 3) Impossível: D = 0 e (D x ou D y ou D z ) forem diferentes de zero. Memorize para a prova: Regra de Cramer Primeira matriz: matriz incompleta (formada pelos coeficientes das variáveis) Segunda matriz: matriz das incógnitas Matriz completa: formada pelos coeficientes das variáveis e pelos termos independentes (termos após o sinal de igual). x = D x /D; y = D y /D e z = D z /D e, assim sucessivamente, para as demais variáveis, se houver. No nosso caso, iremos concentrar nossas resoluções em sistemas normais de duas ou três variáveis. D determinante da matriz incompleta. D x determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. D y determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. D z determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes. www.pontodosconcursos.com.br 37
Memorize para a prova: Regra de Cramer - Análise de um sistema: 1) Sistema possível e determinado: D 0 (uma única solução). 2) Possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes D x, D y e D z forem iguais a zero. 3) Impossível: D = 0 e (D x ou D y ou D z ) forem diferentes de zero. 7.3.3. Método de Eliminação de Gauss Vou ensinar mais este método de resolução de sistemas lineares, mas considere como uma leitura complementar, tendo em vista que os dois primeiros métodos já são suficientes para a resolução de questões. Suponha o seguinte sistema linear: X + 2Y + 4Z = 5 (I) 2X - Y + 2Z = 8 (II) 3X -3y - Z =7 (III) 1 2 4 X 5 2-1 2 Y = 8 3-3 -1 Z 7 Matriz Completa: 1 2 4 5 2-1 2 8 3-3 -1 7 I Primeira Eliminação de Gauss: os coeficientes abaixo de a 11 ficarão iguais a zero, fazendo a transformação abaixo: a 11 = 1 (diferente de zero) λ 1 = a 21 / a 11 = 2/1 = 2 a 22 = a 22 - λ 1 x a 12 = -1 2 x 2 = -5 a 23 = a 23 - λ 1 x a 13 = 2 2 x 4 = -6 a 24 = a 24 - λ 1 x a 14 = 8 2 x 5 = -2 λ 2 = a 31 / a 11 = 3/1 = 3 a 32 = a 32 λ 2 x a 12 = -3 3 x 2 = -9 a 33 = a 33 λ 2 x a 13 = -1 3 x 4 = -13 a 34 = a 34 λ 2 x a 14 = 7 3 x 5 = -8 www.pontodosconcursos.com.br 38
1 2 4 5 0-5 -6-2 0-9 -13-8 II Segunda Eliminação de Gauss: os coeficientes abaixo de a 22 ficarão iguais a zero, fazendo a transformação abaixo: a 22 = -5 (diferente de zero) λ 3 = a 32 / a 22 = -9/-5 = 9/5 a 33 = a 33 λ 3 x a 23 = -13 9/5 x (-6) = -13 + 54/5 = -11/5 a 34 = a 34 λ 3 x a 24 = -8 9/5 x (-2) = -8 + 18/5 = -22/5 1 2 4 5 0-5 -6-2 0 0-11/5-22/5 III Substituição retrocedida: 1 2 4 X 5 0-5 -6 Y = -2 0 0-11/5 Z -22/5-11/5 x Z = -22/5 Z = 2 (linha 3 da matriz) -5 Y 6 Z = -2-5Y 6 x 2 = -2-5Y = 10 Y = - 2 (linha 2 da matriz) X + 2Y + 4Z = 5 X + 2 x (-2) + 4 x 2 = 5 X = 1 (linha 1 da matriz) www.pontodosconcursos.com.br 39
7.4. Memorize para a prova Matrizes m = número de linhas da matriz n = número de colunas da matriz a ij = elemento da matriz. O índice i indica a linha e o índice j indica a coluna às quais o elemento pertence. a mn = representa o elemento localizado linha m e na coluna n. A representação de uma matriz, então, ficaria do seguinte modo: a 11 a 12 a 13... a 1n a 21 a 22 a 23... a 2n a 31 a 32 a 33... a 3n Representação de uma matriz de m linhas e n colunas............... a m1 a m2 a m3... a mn Ordem de uma matriz: representa a quantidade de linhas e colunas da matriz. Portanto, uma matriz de m linhas e de n de colunas é uma matriz de ordem m x n. Matriz Linha: é toda matriz do tipo 1 x n, ou seja, é toda matriz que possui uma única linha. Matriz Coluna: é toda matriz do tipo m x 1, ou seja, é toda matriz que possui uma única coluna. Matriz Nula: é toda matriz em que todos os elementos são iguais a zero. Matriz Quadrada de ordem n: é toda matriz do tipo n x n, ou seja, o número de linhas da matriz é igual ao número de colunas. Exemplo: A= 7 2 1 4 11 3 5 13 8 matriz quadrada de ordem 3 Diagonal Principal: é o conjunto de elementos de uma matriz quadrada de ordem n que possui dois índices iguais. www.pontodosconcursos.com.br 40
Na matriz n x n acima: Diagonal Principal = {a 11, a 22, a 33,..., a nn } Diagonal Secundária: é o conjunto de elementos de uma matriz quadrada de ordem n cuja soma dos índices é igual a (n + 1). Na matriz n x n acima: Diagonal Secundária = {a 1n, a 2(n-1), a 3(n-2),..., a n1 } Exemplos: 2 1 4 A= 11 3 5 7 13 8 Diagonal Secundária = {4,3,7} matriz quadrada de ordem 3 Diagonal Principal = {2,3,8} Matriz Diagonal: é toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero. Matriz Unidade (ou matriz identidade) de ordem n (I n ): é toda matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1. Matriz Triangular: é toda matriz em que todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Matriz Escalar: é uma matriz diagonal onde todos os elementos são iguais. Igualdade de Matrizes Duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) mxn são iguais quando a ij = b ij qualquer que seja i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. Ou seja, duas matrizes serão iguais quando forem de mesma ordem e os elementos de posições correspondentes forem iguais. Repare que, para as matrizes serem iguais, devem possuir o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Adição de Matrizes Dadas duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) mxn, a soma A + B será uma matriz C = (c ij ) mxn, tal que c ij = a ij + b ij, para todo i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. Ou seja, a soma de duas matrizes A e B de ordem m x n será uma matriz C de mesma ordem em que cada elemento será a soma dos elementos correspondentes das matrizes A e B. Só é possível somar matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas. Propriedades da adição de matrizes m x n: Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Comutativa: A + B = B + A www.pontodosconcursos.com.br 41
Elemento neutro: A + Matriz Nula = A Elemento simétrico: A A = Matriz Nula Matriz Oposta: Dada a matriz A = (a ij ) mxn, denomina-se oposta de A (-A) a matriz B = (b ij ) mxn, tal que A + B = 0. Produto de um Número por uma Matriz Dados um número k e uma matriz A = (a ij ) mxn, o produto ka será uma matriz B = (b ij ) mxn, tal que b ij = k b ij, qualquer que seja i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. Ou seja, a multiplicação de uma matriz A de ordem m x n por um número k será uma matriz B formada pelos elementos de A, todos multiplicados por k. Propriedades do produto de um número por uma matriz m x n (k e p são números reais): Associativa: k x (p x B) = (kp) x B Distributiva em relação à adição: k x (A + B) = k x A + k x B Dist. em relação à adição de números: (k + p) x A = k x A + p x A Elemento neutro: 1 x A = A Produto de Matrizes Dadas duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b jk ) nxp, o produto AB será uma matriz C = (c ij ) mxp, tal que c ik = a i1. b 1k + a i2. b 2k + a i3. b 3k +...+ a in. b nk para todo i = {1, 2, 3,..., m} e k = {1, 2, 3,..., p}. Observações: 1) O produto AB só irá existir se e somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Ou seja, A terá que ser da ordem m x n e B da ordem n x p. 2) A matriz C, originada do produto AB, será uma matriz da ordem m x p (mesmo número de linhas da matriz A e mesmo número de colunas da matriz B). 3) O elemento c ik da matriz C = AB será obtido de acordo com o seguinte procedimento: (I) Toma-se a linha i da matriz A: a i1 ; a i2 ; a i3 ;...; a in (n elementos) (II) Toma-se a coluna k da matriz B: b 1k b 2k b 3k... b nk (n elementos) www.pontodosconcursos.com.br 42
(III) Coloca-se a linha i da matriz A na vertical, ao lado da coluna k da matriz B: a i1 a i2 a i3 b 1k b 2k b 3k...... a in b nk (n elementos) (IV) Calculam-se os n produtos dos elementos que ficaram lado a lado: a i1 x b 1k a i2 x b 2k a i3 x b 3k...... a in x b nk (V) Somam-se esses n produtos, obtendo c ik: c ik = a i1. b 1k + a i2. b 2k + a i3. b 3k +...+ a in. b nk Exemplo: 0 1 A= 2 3 1 2 B= 3 4 Calcular AB. I) Primeira linha de A (na vertical) x Primeira coluna de B : 0 x 1 = 0 1 x 3 = 3 c 11 = a 11. b 11 + a 12. b 21 = 0 x 1 + 1 x 3 = 3 II) Primeira linha de A (na vertical) x Segunda coluna de B : 0 x 2 = 0 1 x 4 = 4 c 12 = a 11. b 12 + a 12. b 22 = 0 x 2 + 1 x 4 = 4 III) Segunda linha de A (na vertical) x Primeira coluna de B : 2 x 1 = 2 3 x 3 = 9 c 21 = a 21. b 11 + a 22. b 21 = 2 x 1 + 3 x 3 = 11 IV) Segunda linha de A (na vertical) x Segunda coluna de B : 2 x 2 = 4 3 x 4 = 12 c 22 = a 21. b 12 + a 22. b 22 = 2 x 2 + 3 x 4 = 16 3 4 AB= C= 11 16 www.pontodosconcursos.com.br 43
ATENÇÃO!!! A multiplicação de matrizes não possui a propriedade comutativa. Propriedades da multiplicação de matrizes: Associativa: (A. B). C = A. (B. C) Distributiva em relação à adição (à esquerda): A. (B + C) = A. B + A. C Distributiva em relação à adição (à direita): (A + B). C = A. C + B. C Elemento neutro: A. I n = A, onde I n é a matriz identidade de ordem n. Logo, A. A -1 = I n (A -1 é a matriz inversa de A, e será vista adiante). (ka). B = A. (kb) = k. (AB) Quando A. B = 0, não implica, necessariamente, que A = 0 ou B = 0. Matriz Transposta Uma matriz B = (b ji ) nxm é transposta de uma matriz A = (a ij ) mxn, se a ij = b ji, qualquer que seja i = {1, 2, 3,..., m} e j = {1, 2, 3,..., n}. Repare que a matriz B possui n linhas e m colunas, enquanto a que a matriz A possui m linhas e n colunas. Ou seja, matriz transposta B (representada A t ) representa a inversão dos elementos de A. O que era linha passa a ser coluna e o que era coluna passa a ser linha. Propriedades (k é um número real): (A t ) t = A (A + B) t = A t + B t (ka) t = k. A t (AB) t = B t. A t Matriz Simétrica: Se a transposta A t da matriz A for igual a própria matriz A, então A t é uma matriz simétrica de A (só ocorre se a matriz A for quadrada). Matriz Anti-Simétrica: corresponde a toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que A t = - A, ou seja, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são opostos. Matriz Inversível: Uma matriz quadrada A, de ordem n, será inversível se existir uma matriz B tal que: AB = BA = I n (matriz identidade). Esta matriz B também é quadrada, de ordem n, é única e é conhecida como matriz inversa, sendo representada por A -1. www.pontodosconcursos.com.br 44
Caso a matriz quadrada A não tenha matriz inversível, ela é denominada matriz singular. Determinantes: 1) n = 1. Nesta situação, o determinante de A é o único elemento de A. A = [a 11 ] det A = a 11 2) n = 2. Nesta situação, o determinante de A será o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. a a 11 12 A= det A = a a a 11. a 22 - a 12. a 21 21 22-3) n = 3. Nesta situação, temos: a a a 11 12 13 A= a a a 21 22 23 a a a 31 32 33 det A = a 11. a 22. a 33 + a 12. a 23. a 31 + a 13. a 21. a 32 - a 13. a 22. a 31 - a 11. a 23. a 32 - a 12. a 21. a 33 Para memorizar esta fórmula, vamos adotar o seguinte procedimento, também conhecido como Regra de Sarrus para o cálculo de determinantes de ordem 3: a) Repete-se, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas a a a 11 12 13 a a 11 12 A= a a a a a 21 22 23 21 22 a a a a a 31 32 33 31 32 + + b) Os termos precedidos do sinal + são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal principal: a 11. a 22. a 33 + a 12. a 23. a 31 + a 13. a 21. a 32 www.pontodosconcursos.com.br 45
c) Os termos precedidos do sinal - são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal secundária: - a 13. a 22. a 31 a 11. a 23. a 32 - a 12. a 21. a 33 Exemplo: 1 3 4 A= 5 2 3 1 4 2 1 3 4 1 3 det A= 5 2 3 5 2= 1x2x2+ 3 x( 3) x1+ 4x5x4 4x2x1 1 x( 3) x4 3x5x2 1 4 2 1 4 det A= 4 9+ 80 8+ 12 30= 49 Outra forma de memorizar: I) Os termos precedidos pelo sinal + são obtidos multiplicando-se os elementos de acordo com os caminhos indicados abaixo: a a a 11 12 13 A= a a a 21 22 23 a a a 31 32 33 a 13 x a 21 x a 32 a 12 x a 23 x a 31 a 11 x a 22 x a 33 II) Os termos precedidos pelo sinal - são obtidos multiplicando-se os elementos de acordo com os caminhos indicados abaixo: a a a 11 12 13 A= a a a 21 22 23 a a a 31 32 33 a 13 x a 22 x a 31 a 11 x a 32 x a 23 a 12 x a 21 x a 33 www.pontodosconcursos.com.br 46
Propriedades dos Determinantes: I) det A = det A t II) Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz A, de ordem n, forem todos nulos, então det A = 0. III) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A, por um número k, o determinante na nova matriz A será o produto de k pelo determinante de A. det A = k. det A. Também é válida para divisão por um número k. Neste caso, teríamos: det A = (1/k). det A. Nota: Como conseqüência da propriedade acima, se multiplicarmos toda a matriz por um número k, det (ka) = k n. det A, onde n é a ordem da matriz quadrada A. IV) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2). Se trocarmos de posição duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas), obteremos uma nova matriz A, tal que: det A = - det A. V) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente iguais. Portanto, det A = 0. VI) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais. Portanto, det A = 0. VII) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui uma fila que é uma combinação linear das outras filas. Portanto, det A = 0. VIII) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui todos elementos acima ou abaixo da diagonal principal iguais a zero. Neste caso, o determinante de A é o produto dos elementos dessa diagonal. IX) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui todos elementos acima ou abaixo da diagonal secundária iguais a zero. Neste caso, o determinante de A é o produto dos elementos dessa diagonal (secundária) multiplicado por: (-1) n.(n-1)/2, onde n é a ordem da matriz quadrada. X) Teorema de Binet: Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem n. det (AB) = det (A).det(B). Nota: Como A. A -1 = I n, pela propriedade acima, temos: det(a.a -1 )= det(i n ) det A. det A -1 = 1 det A -1 = 1/det A o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz. uma outra conseqüência é que uma matriz somente terá matriz inversa se o seu determinante for diferente de zero. www.pontodosconcursos.com.br 47
XI) Teorema de Laplace: é possível calcular o determinante de uma matriz de ordem n por meio do somatório do produto do elemento pelo seu cofator para uma única fila (linha ou coluna). Cofator ou Complemento Algébrico e Menor Complementar O cofator ou complemento algébrico do elemento a ij de uma matriz A é representado por: A ij = (-1) i+j. D ij, onde D ij (ou menor complementar) é o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de A. Matriz do Cofatores A matriz dos cofatores da matriz A, denominada A, é formada pelos cofatores encontrados para cada elemento da matriz A. Exemplo: Seja A 1 3 4 = 5 2 3. Calcule a matriz dos cofatores A. 1 4 2 1 3 4 2 3 A= 5 2 3 D = det 2 2 ( 3) 4 16 A ( 1) 1+ 1 = = = 16= 16 11 4 2 11 1 4 2 1 3 4 3 4 A= 5 2 3 D = det 3 2 4 4 10 A ( 1) 2+ 1 = = = ( 10) = 10 21 4 2 21 1 4 2 1 3 4 3 4 A= 5 2 3 D = det = 3 ( 3) 4 2= 17 A = ( 1) 3+ 1 ( 17) = 17 31 2 3 31 1 4 2 www.pontodosconcursos.com.br 48
1 3 4 5 3 5 2 3 det 5 2 ( 3) 1 13 ( 1) 1+ 2 13 13 12 1 2 12 1 4 2 A= D = = = A = = 1 3 4 1 4 A= 5 2 3 D = det 1 2 4 1 2 A ( 1) 2+ 2 = = = ( 2) = 2 22 1 2 22 1 4 2 1 3 4 1 4 A= 5 2 3 D = det = 1 ( 3) 4 5= 23 A = ( 1) 3+ 2 ( 23) = 23 32 5 3 32 1 4 2 1 3 4 5 2 A= 5 2 3 D = det 5 4 2 1 18 A ( 1) 1+ 3 = = = 18= 18 13 1 4 13 1 4 2 1 3 4 1 3 A= 5 2 3 D = det 1 4 3 1 1 A ( 1) 2+ 3 = = = 1= 1 23 1 4 23 1 4 2 1 3 4 1 3 A= 5 2 3 D = det = 1 2 3 5= 13 A = ( 1) 3+ 3 ( 13) = 13 33 5 2 33 1 4 2 16 13 18 A = 10 2 1 17 23 13 Matriz Adjunta: é a matriz transposta da matriz dos cofatores. Matriz Adjunta de A = (A ) t Matriz Inversa: nós aprendemos a calcular a matriz inversa utilizando um sistema de equações. Agora, vamos aprender a calcular a matriz inversa utilizando a matriz dos cofatores. O procedimento é o seguinte para encontrar a matriz inversa da matriz A: 1) Calcular o determinante da matriz A; 2) Calcular a matriz dos cofatores; 3) Obter a matriz adjunta da matriz A (transposta da matriz dos cofatores); 4) Dividir cada um dos elementos da matriz ajunta pelo determinante da matriz A. Fórmula: A = A det A 1 1 www.pontodosconcursos.com.br 49
Sistema linear Homogêneo: os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial. Exemplo de sistema linear homogêneo: 2x - 3y + z = 0 3x + 5y + 7z = 0 x + 2y + 3z = 0 Solução Trivial: seria, simplesmente, admitir como solução x = 0, y = 0, z = 0, etc. Solução Não Trivial: seria a outra solução possível e determinada para x e y diferentes de zero. Método da Substituição Exemplo: S 2: x + y + z = 4 (I) x y + 3z= 2 (II) 3x + y 2z = 3 (III) Isolar x em (I): x + y + z = 4 x = 4 y z (IV) Substituir x em (II) e isolar y: Substituindo (IV) em (II): 4 y z y + 3z = 2-2y + 2z = -2 -y + z = -1 -y = -1 z y = 1 + z (V) Substituir x (IV) e y (V) em (III) e encontrar z: 3x + y 2z = 3 3 (4 y z) + 1 + z 2z = 3 12 3y 3z + 1 z = 3 12 3(1+z) 4z + 1 = 3 12 3 3z 4z + 1 = 3-7z = 3 10 => -7z = -7 z = 1 (VI) Fazer o caminho inverso: Substituir (VI) em (V): y = 1 + z = 1 + 1 y = 2 (VII) Substituir (VI) e (VII) em (IV): x = 4 y z = 4 2 1 x = 1 www.pontodosconcursos.com.br 50
Regra de Cramer Primeira matriz: matriz incompleta (formada pelos coeficientes das variáveis) Segunda matriz: matriz das incógnitas Ainda há a matriz completa, que é formada pelos coeficientes das variáveis e pelos termos independentes (termos após o sinal de igual), conforme abaixo: Quando o número de equações do sistema é igual ao número de variáveis, e o determinante da matriz incompleta é diferente de zero, o sistema é denominado sistema normal. Para todo sistema normal, é possível obter a sua solução por meio do procedimento abaixo: x = D x /D; y = D y /D e z = D z /D e, assim sucessivamente, para as demais variáveis, se houver. No nosso caso, iremos concentrar nossas resoluções em sistemas normais de duas ou três variáveis. D determinante da matriz incompleta. D x determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. D y determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. D z determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes. Exemplo: S 2: x + y + z = 4 (I) x y + 2z= 2 (II) 3x + y 2z = 3 (III) 1 1 1 x 4 1 1 3 y= 2 3 1 2 z 3 Termos Independentes Matriz Incompleta Matriz das Incógnitas D determinante da matriz incompleta D = 1.(-1).(-2) + 1.3.3 + 1.1.1 1.(-1).3 1.1.(-2) 1.1.3 D = 2 + 9 + 1 + 3 + 2 3 = 14 www.pontodosconcursos.com.br 51
D x determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. 4 1 1 2 1 3 D x = 4.(-1).(-2) + 1.3.3 + 1.2.1 1.(-1).3 2.1.(-2) 4.1.3 3 1 2 D x = 8 + 9 + 2 + 3 + 4 12 =14 x = D x /D = 14/14 x = 1 D y determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. 1 4 1 1 2 3 D y = 1.2.(-2) + 4.3.3 + 1.3.1 1.2.3 4.1.(-2) 1.3.3 3 3 2 D y = -4 + 36 + 3 6 + 8 9 =28 y = D y /D = 28/14 y = 2 D z determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes. 1 1 4 1 1 2 D z = 1.(-1).3 + 1.2.3 + 4.1.1 4.(-1).3 1.1.2 1.1.3 3 1 3 D z = -3 + 6 + 4 + 12 2 3 =14 z = D/D z = 14/14 z = 1 Análise de um sistema: 1) Sistema possível e determinado: D 0 (uma única solução). 2) Possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes D x, D y e D z forem iguais a zero. 3) Impossível: D = 0 e (D x ou D y ou D z ) forem diferentes de zero. www.pontodosconcursos.com.br 52
7.5. Exercícios de Fixação 1.(AFRFB-2009-Esaf) Com relação ao sistema, x+ y+ z= 1 2x y z+ 1 = = 1 3z+ 2 2x+ y onde 3 z + 2 0 e 2 x + y 0, pode-se, com certeza, afirmar que: a) é impossível. b) é indeterminado. c) possui determinante igual a 4. d) possui apenas a solução trivial. e) é homogêneo. 2.(Assistente Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por 3, o determinante da matriz fica: a) Multiplicado por 1. b) Multiplicado por 16/81. c) Multiplicado por 2/3. d) Multiplicado por 16/81. e) Multiplicado por 2/3. 3.(ANA-2009-Esaf) O determinante da matriz a) 2bc + c - a b) 2b - c c) a + b + c d) 6 + a + b + c e) 0 2 1 0 B= a b c 4+ a 2+ b c 4.(Técnico de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por z ij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz A = (a ij ), de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes X = (x ij ) e Y=(y ij ). Sabendo-se que (x ij ) = i 1/2 e que y ij = (i-j) 2, então a potência dada por (a 22 ) a12 e o determinante da matriz X são, respectivamente, iguais a: www.pontodosconcursos.com.br 53
a) 2 e 2 b) 2 e 0 c) 2 e 1 d)2e 0 e) 2 e 0 5.(Técnico de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Considerando o sistema de equações lineares, x 1 x 2 = 2 2x 1 + px 2 = q pode-se corretamente afirmar que: a) se p = -2 e q 4, então o sistema é impossível. b) se p -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado. c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado. d) se p = -2 e q 4, então o sistema é possível e indeterminado. e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível. 6.(Analista de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Qualquer elemento de uma matriz X pode ser representado por x ij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (a ij ), de terceira ordem, constrói-se a matriz B(b ij ), também de terceira ordem, dada por: Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é igual a: b = a b = a b = a b = a b = a b = a b = a b = a b = a 11 31 12 32 13 33 21 21 22 22 23 23 31 11 32 12 33 13 a) 50 b) -50 c) 0 d) -100 e) 100 www.pontodosconcursos.com.br 54
7.(Analista de Planejamento e Orçamento-MPOG-2008-Esaf) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a: a) 10-6 b) 10 5 c) 10 10 d) 10 6 e) 10 3 8.(Auditor-Fiscal da Receita Estadual-MG 2005-Esaf) A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto A Z B, onde Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a: a) A -1 B C b) A C -1 B -1 c) A -1 C B -1 d) A B C -1 e) C -1 B -1 A -1 9.(Analista de Planejamento e Orçamento-MPOG-2005-Esaf) O menor complementar de um elemento genérico x ij de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = y ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ). Sabendo-se que (a ij ) = (i+j) 2 e que b ij = i 2, então o menor complementar do elemento y 23 é igual a: a) 0 b) -8 c) -80 d) 8 e) 80 10.(Analista de Finanças e Controle-STN-2005-Esaf) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x 3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a: a) x -6 b) x 6 c) x 3 d) 1 e) 1 www.pontodosconcursos.com.br 55
11. (Analista Administrativo-MPU-2004-Esaf) Com relação ao sistema ax y = 0 x + 2a = 0, de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. c) tem solução não trivial para um único valor real de a. d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. e) é impossível para qualquer valor real de a. 12.(Analista Administrativo-MPU-2004-Esaf) Sabendo-se que a matriz 1 1 A= e que n Ν e n 1, então o determinante da matriz 0 1 A n A n-1 é igual a: a) 1 b) -1 c) 0 d) n e) n-1 13.(Analista de Finanças e Controle-CGU-2004-Esaf) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por m ij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = x ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a ij ) e B=(b ij ). Sabendo-se que (a ij ) = i 2 e que b ij = (i-j) 2, então o produto dos elementos x 31 e x 13 é igual a: a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 169 1 1 14.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Dada a matriz e X 1 sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valor de X é igual a: a) -1 b) 0 c) 1/2 d) 1 e) 2 www.pontodosconcursos.com.br 56
15.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) A função composta de duas funções f(x) e g(x) é definida como (g o f) (x) = g[f(x)]. Sejam as funções f(x) = sen 2 (x -1) e g(x) = x - 1. Então, (f o g) (2) é igual a: a) f (-1) b) f (2) c) g (0) d) g (2) e) f (1) 16.(Analista de Finanças e Controle-SFC-2001-Esaf) A matriz S = s ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a ij ) e B=(b ij ). Sabendo-se que (a ij ) = i 2 +j 2 e que b ij = 2 i j, então: a soma dos elementos s 31 e s 13 é igual a: a) 12 b) 14 c) 16 d) 24 e) 32 17.(Analista-Serpro-2001-Esaf) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por m ij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = s ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ). Sabendo-se que (a ij ) = i 2 +j 2 e que b ij = (i+j) 2, então a razão entre os elementos s 31 e s 13 é igual a: a) 1/5 b) 2/5 c) 3/5 d) 4/5 e) 1 18.(Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3 Z tem determinante igual a a) 1/3 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81 www.pontodosconcursos.com.br 57
19.(Analista de Finanças e Controle-STN-1997-Esaf) Considerando-se as matrizes 2 4 1 1 A= B= 3 1 1 2 a soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, definida como produto da matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a: a) 10 b) -2 c) 1 d) 2 e) 10 20.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Administração e Previdência Social-Maranhão-2009-FCC) O sistema linear de variáveis reais x, y dado por k.x + y = 3-2x + 4y = 1 3 será representado no plano cartesiano por um par de retas concorrentes apenas se (A) k = 1 2 1 (B) k = 2 (C) k 2 (D) k (E) k 1 2 1 2 www.pontodosconcursos.com.br 58
21.(Matemática-Metrô-SP-2008-FCC) Sabe-se que A, B e C são matrizes não nulas e de tipos m n, p q e r s, respectivamente. Assim sendo, a matriz A. (B 2 + C) poderá ser calculada se, e somente se, (A) A for uma matriz quadrada. (B) B e C forem matrizes quadradas. (C) n = p = q = r = s (D) p = r e m = q = s (E) m = s e p = q = r 22.(Matemática-Metrô-SP-2008-FCC) Se uma matriz quadrada M é igual à sua inversa M 1, então, o determinante de M é (A) impossível de ser calculado, por falta de dados. (B) igual a 1 ou a 1. (C) um número primo. (D) um número compreendido entre 1 e 1. (E) é um número maior que 1 ou menor que 1. www.pontodosconcursos.com.br 59
23.(Matemática-Metrô-SP-2008-FCC) Sejam X e Y matrizes de M 2 3 (R), tais que: X Y = A e 3X + Y = B. Se: A = 1 0 2 4 1 3 3 2 0 e B = 2 1 1, então X + Y é igual a www.pontodosconcursos.com.br 60
24.(Matemática-Metrô-SP-2008-FCC) Considere os trechos de linhas de trens metropolitanos (L 1, L 2, L 3, e L 4 ) ligando três estações (1, 2 e 3), conforme é mostrado no esquema abaixo. As informações contidas no esquema podem ser representadas por uma matriz A = (a ij ) 3x3, em que a ij corresponde ao número de trechos que ligam diretamente a estação i à estação j, ou seja: Se é provado que cada elemento de A 2 representa o número de opções de viajar entre duas estações quaisquer passando exatamente por uma única estação, considerando-se distintas as direções opostas sobre uma mesma linha, então, neste caso, o número de opções para, partindo da estação 2, voltar-se à estação 2 é (A) 0 (B) 2 (C) 5 (D) 6 (E) 7 www.pontodosconcursos.com.br 61
7.6. Gabarito 1. C 2. E 3. E 4. D 5. A 6. D 7. D 8. C 9. C 10. B 11. A 12. C 13. D 14. A 15. E 16. E 17. E 18. E 19. B 20. D 21. C 22. B 23. D 24. C www.pontodosconcursos.com.br 62
7.7. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos 1.(AFRFB-2009-Esaf) Com relação ao sistema, x+ y+ z= 1 2x y z+ 1 = = 1 3z+ 2 2x+ y onde 3 z + 2 0 e 2 x + y 0, pode-se, com certeza, afirmar que: a) é impossível. b) é indeterminado. c) possui determinante igual a 4. d) possui apenas a solução trivial. e) é homogêneo. Resolução Temos um sistema de três equações e três incógnitas, tendo em vista que a segunda equação pode ser dividida em duas. Vejamos: x+ y+ z= 1 2x y = 1 2x y = 3z + 2 2x y 3z = 2 3z+ 2 z+ 1 = 1 z+ 1= 2x+ y 2x+ y z= 1 2x+ y Sistema: x + y + z = 1 2x y 3z = 2 2x + y z = 1 Calculando o determinante formado pelos coeficientes de x, y e z: 1 1 1 D= 2 1 3 = ( 1).( 1).1+ 1.( 3).2+ 1.2.1 1.( 1).2 2.1.( 1) 1.1.( 3) 2 1 1 1 1 1 D= 2 1 3 = 1 6+ 2+ 2+ 2+ 3= 4 2 1 1 (alternativa c ) www.pontodosconcursos.com.br 63
Análise de um sistema 1) Sistema possível e determinado: D 0 (uma única solução) 2) Possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes D x, D y e D z forem iguais a zero. 3) Impossível: D = 0 e (D x ou D y ou D z ) forem diferentes de zero. Logo, como D 0, o sistema é possível e determinado. Com isso, eliminamos as alternativas a e b. A solução trivial seria: x = y = z = 0, que não é solução do sistema. Logo, o sistema não possui a solução trivial. Sistema linear Homogêneo: os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. No caso no sistema da questão, os termos independentes não são nulos. Portanto, eliminamos a alternativa e. GABARITO: C 2.(Assistente Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por 3, o determinante da matriz fica: a) Multiplicado por 1. b) Multiplicado por 16/81. c) Multiplicado por 2/3. d) Multiplicado por 16/81. e) Multiplicado por 2/3. Resolução Repare que a questão pede o determinante de uma matriz 4 x 4. Aí, você poderia indagar: o professor ficou maluco, pois ele ensinou apenas o procedimento de cálculo das matrizes quadradas de ordem 1 (1 x 1), ordem 2 (2 x 2) e de ordem 3 (3 x 3). E aí? Como fazer? Bom esta questão envolve as propriedades dos determinantes, que são aplicáveis a quaisquer matrizes quadradas, independentemente da ordem. Vamos relembrar a propriedade que será utilizada na questão: Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A, por um número k, o determinante na nova matriz A será o produto de k pelo determinante de A: det A = k. det A. Também vale para a divisão por k: det A = (1/k). det A. www.pontodosconcursos.com.br 64
Consideramos a matriz 4 x 4 igual A e o determinante de A igual a: det(a) I. Linha 2 da matriz A multiplicada por 2: logo, o novo determinante será: Novo Determinante = 2 x det(a) II. Linha 3 da matriz A dividida por -3: logo, o novo determinante será: Novo Determinante = 2 x det(a) x (-1/3) = (-2/3) x det(a) GABARITO: E 2 1 0 3.(ANA-2009-Esaf) O determinante da matriz B= a b c a) 2bc + c - a b) 2b - c c) a + b + c d) 6 + a + b + c e) 0 Resolução Cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3: 2 1 0 2 1 B= a b c a b 4+ a 2+ b c 4+ a 2+ b 4+ a 2+ b c det B = 2.b.c + 1.c.(4+a) + 0.a.(2+b) 0.b.(4+a) 2.c.(2+b) 1.a.c det B = 2bc + 4c + ca 4c 2bc ac = 2bc 2bc + 4c 4c + ca ca det B = 0 GABARITO: E 4.(Técnico de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por z ij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz A = (a ij ), de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes X = (x ij ) e Y=(y ij ). Sabendo-se que (x ij ) = i 1/2 e que y ij = (i-j) 2, então a potência dada por (a 22 ) a12 e o determinante da matriz X são, respectivamente, iguais a: a) 2 e 2 b) 2 e 0 c) 2 e 1 d)2e 0 e) 2 e 0 www.pontodosconcursos.com.br 65
Resolução A = (a ij ), de terceira ordem A = X + Y X = (x ij ) Y=(y ij ) x ij = i 1/2 y ij = (i-j) 2 I Cálculo da (a 22 ) a12 : Como a matriz A é soma das matrizes X e Y, cada elemento de A corresponde à soma dos elementos correspondentes de X e Y. Logo: a 22 = x 22 + y 22 x 22 (i=2) = i 1/2 = 2 1/2 y 22 (i=2;j=2) = (i-j) 2 = (2-2) 2 = 0 2 = 0 a 22 = x 22 + y 22 = 2 1/2 + 0 = 2 1/2 a 12 = x 12 + y 12 x 12 (i=1) = i 1/2 = 1 1/2 = 1 y 12 (i=1;j=2) = (i-j) 2 = (1-2) 2 = (-1) 2 = 1 a 12 = x 12 + y 12 = 1 + 1 = 2 (a 22 ) a12 = (2 1/2 ) 2 = 2 II Cálculo do determinante da matriz X: como A é de ordem 3 e é o resultado da soma de X e Y, tanto X quanto Y também possuem ordem 3. Matriz X: 1ª linha (i=1): x 11 = x 12 = x 13 = 1 1/2 = 1; 2ª linha (i=2): x 21 = x 22 = x 23 = 2 (1/2) ; e 3ª linha (i=3): x 21 = x 22 = x 23 = 3 (1/2). Vamos relembrar outra propriedade dos determinantes: Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais. Portanto, det A = 0. Logo, como a linha 2 da matriz X é proporcional a linha 1: Linha 2 = 2 (1/2) x Linha 1 Então, det (X) = 0 GABARITO: D www.pontodosconcursos.com.br 66
5.(Técnico de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Considerando o sistema de equações lineares, x 1 x 2 = 2 2x 1 + px 2 = q pode-se corretamente afirmar que: a) se p = -2 e q 4, então o sistema é impossível. b) se p -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado. c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado. d) se p = -2 e q 4, então o sistema é possível e indeterminado. e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível. Resolução De acordo com a Regra de Cramer, temos: D determinante da matriz incompleta. D x determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. D y determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. Sistema possível e determinado: D 0 (uma única solução) Possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes D x e D y forem iguais a zero. Impossível: D = 0 e (D x ou D y ) forem diferentes de zero. Escrevendo o sistema em forma de matriz, teríamos: 1 1 x 2 1. = 2 p x2 q D = 1.p (-1) x 2 = p + 2 O determinante D da matriz incompleta será zero quando: D = p + 2 = 0 p = -2 2 1 => Dx = 2 p ( 1). q = 2p + q q p D x = 0, quando: 2p + q = 0 => p = -q/2 ou q = -2p www.pontodosconcursos.com.br 67
Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados => Dy= 1. q 2.2= q 4 q 1 2 2 D y = 0, quando: q 4 = 0 q = 4 Portanto, teremos: I Sistema possível e determinado: D 0 p -2 II Sistema possível e indeterminado: D = 0, ou seja, p = -2 e D x e D y forem iguais a zero. D y = 0, quando q = 4. Para p = -2 e q = 4, temos: D x = 2p + q = 2 x (-2) + 4 = 0. Logo, o sistema será possível e indeterminado para p = -2 e q = 4. III Sistema impossível: D = 0, ou seja, p = -2 e; D x 0 D x = 2p + q = 2 x (-2) + q 0 => q 4 D y 0 q 4 0 => q 4 GABARITO: A 6.(Analista de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Qualquer elemento de uma matriz X pode ser representado por x ij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (a ij ), de terceira ordem, constrói-se a matriz B(b ij ), também de terceira ordem, dada por: Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da matriz B é igual a: b = a b = a b = a b = a b = a b = a b = a b = a b = a 11 31 12 32 13 33 21 21 22 22 23 23 31 11 32 12 33 13 a) 50 b) -50 c) 0 d) -100 e) 100 Resolução Mais uma questão de propriedade de determinantes: repare que a linha 1 da matriz B corresponde a linha 3 da matriz A, e vice-versa. A linha 2 de ambas as matrizes, A e B, são iguais. Ou seja, houve a troca de duas linhas (3 e 1), da matriz A para a matriz B. www.pontodosconcursos.com.br 68
Logo, temos que utilizar a seguinte propriedade: Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2). Se trocarmos de posição duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas), obteremos uma nova matriz A, tal que: det A = - det A. Portanto, na questão, teremos: det (B) = - det (A) = - 100 GABARITO: D 7.(Analista de Planejamento e Orçamento-MPOG-2008-Esaf) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a: a) 10-6 b) 10 5 c) 10 10 d) 10 6 e) 10 3 Resolução Matriz X (quinta ordem => n=5) => Det (X) = 10 Matriz B = 10 x Matriz X Propriedade a ser aplicada: se multiplicarmos toda a matriz por um número k, det (ka) = k n. det A, onde n é a ordem da matriz quadrada A. Portanto, det (B) = 10 5 x det (A) = 10 5 x 10 = 10 6 GABARITO: D 8.(Auditor-Fiscal da Receita Estadual-MG 2005-Esaf) A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto A Z B, onde Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a: a) A -1 B C b) A C -1 B -1 c) A -1 C B -1 d) A B C -1 e) C -1 B -1 A -1 Resolução Vamos relembrar alguns conceitos: Caso a matriz quadrada A não tenha matriz inversível, ela é denominada matriz singular. Logo, uma matriz não singular é uma matriz que possui matriz inversa. www.pontodosconcursos.com.br 69
Matriz Unidade (ou matriz identidade) de ordem n (I n ): é toda matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1. Da questão, temos: C = A.Z.B e queremos isolar Z. Para isso, precisamos lembrar uma propriedade das matrizes: A. A -1 = I n, ou seja, a multiplicação da matriz pela sua inversa é igual a matriz identidade, que, por sua vez, é um elemento neutro na multiplicação. Voltando a questão: C = A.Z.B A.Z.B = C (I) Multiplicando (I) por A -1, do lado de A (matriz inversa de A): A -1.A.Z.B = A -1.C I n.z.b = A -1.C Z.B = A -1.C (II) Multiplicando (II) por B -1, do lado de B (matriz inversa de B): Z.B.B -1 = A -1.C.B -1 Z.I n = A -1.C.B -1 Z = A -1.C.B -1 Nota: temos que multiplicar do lado certo, pois, como vimos na teoria, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, AB é diferente de BA. É claro que isto não vale para a multiplicação da matriz pela sua inversa, pois A. A -1 = A -1.A = I n. GABARITO: C 9.(Analista de Planejamento e Orçamento-MPOG-2005-Esaf) O menor complementar de um elemento genérico x ij de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = y ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ). Sabendo-se que (a ij ) = (i+j) 2 e que b ij = i 2, então o menor complementar do elemento y 23 é igual a: a) 0 b) -8 c) -80 d) 8 e) 80 Resolução Y = (y ij ), de terceira ordem Y = A + B A = (a ij ) => a ij = (i+j) 2 B=(b ij ) => b ij = i 2 I Repare que a questão explica o que é menor complementar e pede o menor complementar de y 23 : www.pontodosconcursos.com.br 70
Menor complementar: O menor complementar de um elemento genérico x ij de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Logo, para achar o menor complementar de y 23, devemos, inicialmente, suprimir a linha 2 e a coluna 3 da matriz Y. Veja abaixo: y 11 y 12 y 13 y 21 y 22 y 23 y 31 y 32 y 33 A partir daí, temos que achar o determinante da matriz: D 23 = Det (D 23 ) = y 11.y 32 - y 12.y 31 y 11 y 12 y 31 y 32 II Cálculo da y 11, y 12, y 31 e y 32,: Como a matriz Y é soma das matrizes A e B, cada elemento de Y corresponde à soma dos elementos correspondentes de A e B. Logo: y 11 = a 11 + b 11 a 11 (i=1;j=1) = (i+j) 2 = (1+1) 2 = 2 2 = 4 b 11 (i=1) = i 2 = 1 2 = 1 y 11 = a 11 + b 11 = 4 + 1 = 5 y 12 = a 12 + b 12 a 12 (i=1;j=2) = (i+j) 2 = (1+2) 2 = 3 2 = 9 b 12 (i=1) = i 2 = 1 2 = 1 y 12 = a 12 + b 12 = 9 + 1 = 10 y 31 = a 31 + b 31 a 31 (i=3;j=1) = (i+j) 2 = (3+1) 2 = 4 2 = 16 b 31 (i=3) = 3 2 = 9 y 31 = a 31 + b 31 = 16 + 9 = 25 y 32 = a 32 + b 32 a 32 (i=3;j=2) = (i+j) 2 = (3+2) 2 = 5 2 = 25 b 32 (i=3) = 3 2 = 9 y 32 = a 32 + b 32 = 25 + 9 = 34 III Cálculo do menor complementar de y 23 : Det (D 23 ) = y 11.y 32 - y 12.y 31 = 5 x 34 10 x 25 = 170 250 = -80 GABARITO: C www.pontodosconcursos.com.br 71
10.(Analista de Finanças e Controle-STN-2005-Esaf) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x 3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a: a) x -6 b) x 6 c) x 3 d) 1 e) 1 Resolução A e B => matrizes quadradas de terceira ordem Coluna 1 da Matriz B = Coluna 3 da Matriz A Coluna 2 da Matriz B = Coluna 2 da Matriz A Coluna 3 da Matriz B = Coluna 1 da Matriz A Det (A) = x 3 Mais uma questão de propriedade de determinantes: repare que a coluna 1 da matriz B corresponde a coluna 3 da matriz A, e vice-versa. A coluna 2 de ambas as matrizes, A e B, são iguais. Ou seja, houve a troca de duas colunas (3 e 1), da matriz A para a matriz B. Logo, temos que utilizar a seguinte propriedade: Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2). Se trocarmos de posição duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas), obteremos uma nova matriz A, tal que: det A = - det A. Portanto, na questão, teremos: det (B) = - det (A) = - x 3 A questão pede para a calcular o produto entre os determinantes de A e B: Produto = det (B) x det (A) = x 3. (-x 3 ) = -x 6 GABARITO: B 11.(Analista Administrativo-MPU-2004-Esaf) Com relação ao sistema ax y = 0 x + 2a = 0, de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. c) tem solução não trivial para um único valor real de a. d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. e) é impossível para qualquer valor real de a. www.pontodosconcursos.com.br 72
Resolução Primeiramente, temos que esclarecer o que seria, um sistema linear homogêneo, uma solução trivial e uma solução não trivial: Sistema linear Homogêneo: os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial. Exemplo de sistema linear homogêneo: 2x - 3y + z = 0 3x + 5y + 7z = 0 x + 2y + 3z = 0 Solução Trivial: seria, simplesmente, admitir como solução x = 0, y = 0, z = 0, etc. No caso do exemplo acima: se x = y = z = 0, teríamos: 2x - 3y + z = 0 2. 0 3. 0 + 0 = 0 0 = 0 (ok) 3x + 5y + 7z = 0 3. 0 + 5. 0 + 7. 0 = 0 0 = 0 (ok) x + 2y + 3z = 0 0 + 2. 0 + 3. 0 = 0 0 = 0 (ok) Em relação à questão teríamos: ax y = 0 a. 0 0 = 0 0 = 0 (ok) x + 2a = 0 0-2.a = 0 0 = 2a (falso). Só seria verdadeiro se a = 0. Poderíamos, então, concluir o sistema da questão não admite solução trivial, exceto, quando a = 0. Solução Não Trivial: seria a outra solução possível e determinada para x e y diferentes de zero. No caso do sistema, teríamos: x + 2a = 0 x = -2a ax y = 0 y = ax = a.(-2a) y = -2a 2 Portanto, teremos uma solução não trivial para uma infinidade de valores de a. Somente se a = 0 é que a solução seria trivial. GABARITO: A www.pontodosconcursos.com.br 73
12.(Analista Administrativo-MPU-2004-Esaf) Sabendo-se que a matriz 1 1 A= e que n Ν e n 1, então o determinante da matriz 0 1 A n A n-1 é igual a: a) 1 b) -1 c) 0 d) n e) n-1 Resolução Para resolver a questão, vamos ter que encontrar alguma regra de formação: 1 1 1 A = 0 1 1 1 1 1 1 1+ 1 0 1 1+ 1 1 1 2 2 A. A= A =. = = 0 1 0 1 0 1+ 1 0 0 1+ 1 1 0 1 1 2 1 1 1 1+ 2 0 1 1+ 2 1 1 3 2 3 A. A= A =. = = 0 1 0 1 0 1+ 1 0 0 1+ 1 1 0 1 1 3 1 1 1 1+ 3 0 1 1+ 3 1 1 4 3 4 A. A= A =. = = 0 1 0 1 0 1 + 1 0 0 1 + 1 1 0 1... A A A n 1 n 1 n 1 = 0 1 1 n = 0 1 1 n 1 n 1 1 1 n ( n 1) 0 1 A 0 1 0 1 0 1 1 0 0 n n 1 = = = Det (A n A n-1 ) = 0x0 1x0 = 0 GABARITO: C www.pontodosconcursos.com.br 74
13.(Analista de Finanças e Controle-CGU-2004-Esaf) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por m ij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = x ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a ij ) e B=(b ij ). Sabendo-se que (a ij ) = i 2 e que b ij = (i-j) 2, então o produto dos elementos x 31 e x 13 é igual a: a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 169 Resolução X = (x ij ), de terceira ordem X = A + B A=(a ij ) => a ij = i 2 B = (b ij ) => b ij = (i-j) 2 I Cálculo da x 13 e x 31 : Como a matriz X é soma das matrizes A e B, cada elemento de X corresponde à soma dos elementos correspondentes de A e B. Logo: x 13 = a 13 + b 13 a 13 (i=1) = i 2 = 1 2 = 1 b 13 (i=1;j=3) = (i-j) 2 = (1-3) 2 = (-2) 2 = 4 x 13 = a 13 + b 13 = 1 + 4 = 5 x 31 = a 31 + b 31 a 31 (i=3) = 3 2 = 9 b 31 (i=3;j=1) = (i-j) 2 = (3-1) 2 = 2 2 = 4 x 31 = a 31 + b 31 = 9 + 4 = 13 II Cálculo de x 13.x 31 : x 13.x 31 = 5 x 13 = 65 GABARITO: D 1 1 14.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Dada a matriz e X 1 sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valor de X é igual a: a) -1 b) 0 c) 1/2 d) 1 e) 2 www.pontodosconcursos.com.br 75
Resolução Mais uma questão de propriedades determinantes: det(a.a -1 )= det(i n ) det A. det A -1 = 1 det A -1 = 1/det A o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz. 1 1 = A X 1 det (A) = 1 X det (A -1 ) = 1/2 det (A -1 ) = 1/det (A) => 1/2 = 1/(1-X) => 1 X = 2 => X = -1 GABARITO: A 15.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) A função composta de duas funções f(x) e g(x) é definida como (g o f) (x) = g[f(x)]. Sejam as funções f(x) = sen 2 (x -1) e g(x) = x - 1. Então, (f o g) (2) é igual a: a) f (-1) b) f (2) c) g (0) d) g (2) e) f (1) Resolução Como me pediram mais questões de função composta, segue aí mais uma. Temos que: (g o f) (x) = g[f(x)] f(x) = sen 2 (x -1) g(x) = x 1 Cuidado! Repare que a questão explica a função (g o f) (x) = g[f(x)], mas pede a função (f o g) (inverteu o f com o g). (f o g) (2) = f[g(2)] g(2) = 2 1 = 1 f[g(2)] = sen 2 (g(2) 1) = sen 2 (1 1) = sen 2 0 = 0 (veremos em aula posterior que sen 0 = 0). Como f[g(2)] = f(1), pois g(2) = 1, temos: (f o g) (2) = f(1) GABARITO: E www.pontodosconcursos.com.br 76
16.(Analista de Finanças e Controle-SFC-2001-Esaf) A matriz S = s ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a ij ) e B=(b ij ). Sabendo-se que (a ij ) = i 2 +j 2 e que b ij = 2 i j, então: a soma dos elementos s 31 e s 13 é igual a: a) 12 b) 14 c) 16 d) 24 e) 32 Resolução S = (s ij ), de terceira ordem X = A + B A=(a ij ) => a ij = i 2 +j 2 B = (b ij ) => b ij = 2 i j I Cálculo da s 13 e s 31 : Como a matriz S é soma das matrizes A e B, cada elemento de S corresponde à soma dos elementos correspondentes de A e B. Logo: s 13 = a 13 + b 13 a 13 (i=1;j=3) = i 2 +j 2 = 1 2 + 3 2 = 1 + 9 = 10 b 13 (i=1;j=3) = 2 i j = 2 x 1 x 3 = 6 s 13 = a 13 + b 13 = 10 + 6 = 16 s 31 = a 31 + b 31 a 31 (i=3;j=1) = i 2 +j 2 = 3 2 + 1 2 = 9 + 1 = 10 b 31 (i=3;j=1) = 2 i j = 2 x 3 x 1 = 6 s 31 = a 31 + b 31 = 10 + 6 = 16 II Cálculo de s 13 + s 31 : s 13 + s 31 = 16 + 16 = 32 GABARITO: E 17.(Analista-Serpro-2001-Esaf) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por m ij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = s ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a ij ) e B = (b ij ). Sabendo-se que (a ij ) = i 2 +j 2 e que b ij = (i+j) 2, então a razão entre os elementos s 31 e s 13 é igual a: a) 1/5 b) 2/5 c) 3/5 d) 4/5 e) 1 www.pontodosconcursos.com.br 77
Resolução S = (s ij ), de terceira ordem X = A + B A=(a ij ) a ij = i 2 +j 2 B = (b ij ) b ij = (i+j) 2 I Cálculo da s 13 e s 31 : Como a matriz S é soma das matrizes A e B, cada elemento de S corresponde à soma dos elementos correspondentes de A e B. Logo: s 13 = a 13 + b 13 a 13 (i=1;j=3) = i 2 +j 2 = 1 2 + 3 2 = 1 + 9 = 10 b 13 (i=1;j=3) = (i+j) 2 = (1+3) 2 = 4 2 = 16 s 13 = a 13 + b 13 = 10 + 16 = 26 s 31 = a 31 + b 31 a 31 (i=3;j=1) = i 2 +j 2 = 3 2 + 1 2 = 9 + 1 = 10 b 31 (i=3;j=1) = (i+j) 2 = (3+1) 2 = 4 2 = 16 s 31 = a 31 + b 31 = 10 + 16 = 26 II Cálculo de s 31 /s 31 : s 31 /s 13 = 26/26 = 1 GABARITO: E 18.(Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3 Z tem determinante igual a a) 1/3 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81 Resolução Matriz X (n = 3) det (X) = 3 Matriz Z = Transposta da Matriz X Mais uma propriedade importante dos determinantes: det A = det A t Logo, det (X) = det (X t ) (transposta de X) = det (Z) = 3 Matriz Y = 3. Matriz Z Propriedade a ser aplicada: se multiplicarmos toda a matriz por um número k, det (ka) = k n. det A, onde n é a ordem da matriz quadrada A. Matrizes quadradas de ordem 3 n = 3 det (Y) = 3 3 x det (Z) = 3 3 x 3 = 81 GABARITO: E www.pontodosconcursos.com.br 78
19.(Analista de Finanças e Controle-STN-1997-Esaf) Considerando-se as matrizes 2 4 1 1 A= B= 3 1 1 2 a soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, definida como produto da matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a: a) 10 b) -2 c) 1 d) 2 e) 10 Resolução I Determinação da Matriz Transposta de A: 2 4 A= 3 1 A t = 2 3 4 1 II Determinação da Matriz Inversa de B: 1 1 B= 1 2 Solução: det B= 1 2 1 1= 2 1= 1 D = 2 B = ( 1) 1+ 1 2= 2 11 11 D = 1 B = ( 1) 1+ 2 1= 1 12 12 D = 1 B = ( 1) 2+ 1 1= 1 21 21 D = 1 B = ( 1) 2+ 2 1= 1 22 22 2 1 B ( cofatores) = 1 1 2 1 B( adjunta) = 1 1 1 1 1 2 1 B = B = det B 1 1 1 Matriz transposta de A www.pontodosconcursos.com.br 79
Outra solução para a inversa de B: Resolvendo por B.B -1 = I, teríamos 1 1 x y 1 0 1 B. B = = In= 1 2 w z 0 1 x + w = 1 (I) y + z = 0 => y = -z (II) x + 2w = 0 => x = -2w (III) y + 2z = 1 (IV) (III) em (I) => -2w + w = 1 => w = -1 e x = -2w = 2 (II) em (IV) => -z + 2z = 1 => z = 1 e y = -1 2 1 1= 1 1 B III Cálculo de A t.b -1 t 1.. A B t A. B 1 2 3 2 1 2 2+ 3 ( 1) 2 ( 1) + 3 1 = = = 4 1 1 1 4 2+ 1 ( 1) 4 ( 1) + 1 1 1 1 = 7 3 Soma dos elementos da diagonal principal de A t.b -1 = 1 3 = -2 GABARITO: B 20.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Administração e Previdência Social-Maranhão-2009-FCC) O sistema linear de variáveis reais x, y dado por k.x + y = 3-2x + 4y = 1 3 será representado no plano cartesiano por um par de retas concorrentes apenas se (A) k = 1 2 1 (B) k = 2 (C) k 2 www.pontodosconcursos.com.br 80
(D) k 1 2 (E) k 1 2 Resolução Sistema linear: k.x + y = 3-2x + 4y = 1 3 Não vimos geometria ainda, mas retas concorrentes são retas que se cruzam em um ponto. Ou seja, o sistema acima deverá possuir uma única solução, que é justamente o ponto onde as retas se cruzam. De acordo com a Regra de Cramer, temos: D determinante da matriz incompleta. D x determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. D y determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. Sistema possível e determinado: D 0 (uma única solução) Possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes D x e D y forem iguais a zero. Impossível: D = 0 e (D x ou D y ) forem diferentes de zero. Escrevendo o sistema em forma de matriz, teríamos: 3 k 1 x. 1 2 4 = y 3 D = 4.k (-2) x 1 = 4k + 2 O sistema terá uma solução única quando o determinante D da matriz incompleta for diferente de zero: D = 4k + 2 0 4k - 2 k GABARITO: D 2 k 4 1 2 www.pontodosconcursos.com.br 81
21.(Matemática-Metrô-SP-2008-FCC) Sabe-se que A, B e C são matrizes não nulas e de tipos m n, p q e r s, respectivamente. Assim sendo, a matriz A. (B 2 + C) poderá ser calculada se, e somente se, (A) A for uma matriz quadrada. (B) B e C forem matrizes quadradas. (C) n = p = q = r = s (D) p = r e m = q = s (E) m = s e p = q = r Resolução Vamos fazer por partes. I) Sabemos que B é uma matriz p x q. Portanto, se fizermos B x B, teremos: B pxq x B pxq = (B 2 ) pxq, pois, na multiplicação de matrizes, a matriz do resultado será uma matriz com o número de linhas da primeira matriz e com o número de colunas da segunda matriz. Além disso, para que consigamos multiplicar as matrizes, é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. Portanto, o número de colunas da primeira matriz B (q) deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz B (p). Logo, temos: p = q II) Agora, vamos fazer B 2 + C. Para fazer a adição de matrizes, é necessário que as matrizes possuam o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Portanto, se a matriz B 2 é uma matriz de p linhas e q colunas e a matriz C é uma matriz de r linhas e s colunas, temos que: p = r (número de linhas de B é igual ao número de linhas de C) q = s (número de colunas de B é igual ao número de colunas de C) Como, de (I), sabemos que p = q: p = q = r = s III) Finalmente, temos outra multiplicação: A. (B 2 + C). Na multiplicação de matrizes, a matriz do resultado será uma matriz com o número de linhas da primeira matriz e com o número de colunas da segunda matriz. Além disso, para que consigamos multiplicar as matrizes, é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. Portanto, como A é uma matriz com m linhas e n colunas e B 2 + C é uma matriz de p = r linhas e q = s colunas, temos que: Número de colunas de A = Número de linhas de B 2 + C n = p = r Como, de (I), sabemos que p = q: n = p = q = r = s GABARITO: C www.pontodosconcursos.com.br 82
22.(Matemática-Metrô-SP-2008-FCC) Se uma matriz quadrada M é igual à sua inversa M 1, então, o determinante de M é (A) impossível de ser calculado, por falta de dados. (B) igual a 1 ou a 1. (C) um número primo. (D) um número compreendido entre 1 e 1. (E) é um número maior que 1 ou menor que 1. Resolução Sabemos, das propriedades dos determinantes, que: det A. det A -1 = 1 Portanto, se a matriz quadrada M é igual a sua inversa M -1, então seus determinantes são iguais (matrizes iguais, determinantes iguais): det M = det M -1 Da propriedade acima: det M. det M -1 = 1 Como os determinantes são iguais, podemos substituir det M -1 por det M: det M. det M = 1 det 2 M = 1 det M = ± 1 det M = ± 1 GABARITO: B www.pontodosconcursos.com.br 83
23.(Matemática-Metrô-SP-2008-FCC) Sejam X e Y matrizes de M 2 3 (R), tais que: X Y = A e 3X + Y = B. Se: A = 1 0 2 4 1 3 3 2 0 e B = 2 1 1, então X + Y é igual a www.pontodosconcursos.com.br 84
Resolução Temos as seguintes relações: X Y = A (I) 3X + Y = B (II) Se fizermos (I) + (II): X Y + 3X + Y = A + B 4X = A + B 1 X =.(A + B) 4 Voltando as nossas relações originais: X Y = A (I) 3X + Y = B (II) Se multiplicarmos (I) por 3: 3.(X Y) = 3.A 3X 3Y = 3A (III) Fazendo (II) (III): 3X + Y = B (II) 3X 3Y = 3A (III) 3X + Y (3X 3Y) = B 3A 3X + Y 3X + 3Y = B 3A 4Y = B 3A 1 Y =.(B 3A) 4 Repare que fiz algumas artimanhas (multiplicando as equações) para achar X e Y, mas você pode, simplesmente, utilizar o método da substituição. Vejamos: X Y = A X = A + Y (I) 3X + Y = B (II) Substituindo (I) em (II): 3.(A + Y) + Y = B 3A + 3Y + Y = B 4Y = B 3A 1 Y =.(B 3A) 4 Substituindo o valor encontrado de Y em (I): X = A + Y 1 X = A +.(B 3A) igualando os denominadores: 4 4 A+ B 3 A X = 4 X = A+ B 4 1 =.(A + B) 4 Como a questão pede X + Y: 1 1 X + Y = 4.(A + B) +.(B 3A) 4 www.pontodosconcursos.com.br 85
Repare que podemos colocar o 1 4 em evidência: 1 1 1 X + Y = 4.(A + B + B 3A) = 4.(2B 2A) =.(B A) 2 Calculando B A: A = 1 0 2 4 1 3 3 2 0 e B = 2 1 1 3 2 0 B A = 2 1 1 4 2 2 B A = 6 2 4 1 0 2 4 1 3 3 ( 1) 2 0 0 2 = 2 4 1 1 1 ( 3) = Portanto: 1 1 4 2 2 X + Y = 2.(B A) = 2. 6 2 4 1 2 1 1 X + Y =.(B A) = 2 3 1 2 GABARITO: D = 4 2 2 2 2 2 6 2 4 2 2 2 24.(Matemática-Metrô-SP-2008-FCC) Considere os trechos de linhas de trens metropolitanos (L 1, L 2, L 3, e L 4 ) ligando três estações (1, 2 e 3), conforme é mostrado no esquema abaixo. www.pontodosconcursos.com.br 86
As informações contidas no esquema podem ser representadas por uma matriz A = (a ij ) 3x3, em que a ij corresponde ao número de trechos que ligam diretamente a estação i à estação j, ou seja: Se é provado que cada elemento de A 2 representa o número de opções de viajar entre duas estações quaisquer passando exatamente por uma única estação, considerando-se distintas as direções opostas sobre uma mesma linha, então, neste caso, o número de opções para, partindo da estação 2, voltar-se à estação 2 é (A) 0 (B) 2 (C) 5 (D) 6 (E) 7 Resolução E aí? Confuso? Vamos por partes então. Repare que, inicialmente, a questão fala em A 2, que representa o número de opções de viajar entre duas estações quaisquer passando exatamente por uma única estação. Portanto, vamos calcular A 2. A 2 = A. A = 0 1 1 1 0 2 1 2 0. 0 1 1 1 0 2 1 2 0 Vamos fazer a multiplicação das matrizes (A.A): I) Primeira linha de A (na vertical) x Primeira coluna de A : 0 x 0 = 0 1 x 1 = 1 1 x 1 = 1 c 11 = a 11. a 11 + a 12. a 21 + a 13. a 31 = 0 x 0 + 1 x 1 + 1 x 1 = 2 II) Primeira linha de A (na vertical) x Segunda coluna de A : 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 2 = 2 c 12 = a 11. a 12 + a 12. a 22 + a 13. a 32 = 0 x 1 + 1 x 0 + 1 x 2 = 2 www.pontodosconcursos.com.br 87
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III) Primeira linha de A (na vertical) x Terceira coluna de A : 0 x 1 = 0 1 x 2 = 2 1 x 0 = 0 c 13 = a 11. a 13 + a 12. a 23 + a 13. a 33 = 0 x 1 + 1 x 2 + 1 x 0 = 2 IV) Segunda linha de A (na vertical) x Primeira coluna de A : 1 x 0 = 0 0 x 1 = 0 2 x 1 = 1 c 21 = a 21. a 11 + a 22. a 21 + a 23. a 31 = 1 x 0 + 0 x 1 + 2 x 1 = 2 V) Segunda linha de A (na vertical) x Segunda coluna de A : 1 x 1 = 1 0 x 0 = 0 2 x 2 = 4 c 22 = a 21. a 12 + a 22. a 22 + a 23. a 32 = 1 x 1 + 0 x 0 + 2 x 2 = 5 VI) Segunda linha de A (na vertical) x Terceira coluna de A : 1 x 1 = 1 0 x 2 = 0 2 x 0 = 0 c 23 = a 21. a 13 + a 22. a 23 + a 23. a 33 = 1 x 1 + 0 x 2 + 2 x 0 = 1 VII) Terceira linha de A (na vertical) x Primeira coluna de A : 1 x 0 = 0 2 x 1 = 2 0 x 1 = 0 c 31 = a 31. a 11 + a 32. a 21 + a 33. a 31 = 1 x 0 + 2 x 1 + 0 x 1 = 2 VIII) Terceira linha de A (na vertical) x Segunda coluna de A : 1 x 1 = 1 2 x 0 = 0 0 x 2 = 0 c 32 = a 31. a 12 + a 32. a 22 + a 33. a 32 = 1 x 1 + 2 x 0 + 0 x 2 = 1 IX) Terceira linha de A (na vertical) x Terceira coluna de A : 1 x 1 = 1 2 x 2 = 4 0 x 0 = 0 c 33 = a 31. a 13 + a 32. a 23 + a 33. a 33 = 1 x 1 + 2 x 2 + 0 x 0 = 5 www.pontodosconcursos.com.br 89
Portanto, a matriz A 2 ficou da seguinte forma: A 2 = A. A = 0 1 1 1 0 2 1 2 0. 0 1 1 1 0 2 1 2 0 = 2 2 2 2 5 1 2 1 5 Novamente, a questão estabelece que A 2, que representa o número de opções de viajar entre duas estações quaisquer passando exatamente por uma única estação e pede o número de opções para, partindo da estação 2, voltar-se à estação 2. Portanto é justamente o termo c 22 = 5, já que o índice i (i = 2) representa a estação de origem e o índice j (j = 2) representa a estação de destino. GABARITO: C Abraços e até a próxima aula, Bons estudos, Moraes Junior moraesjunior@pontodosconcursos.com.br Alexandre Lima ablima@ablima.pro.br www.pontodosconcursos.com.br 90
Bibliografia ALENCAR FILHO, Edgard de, Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo. Nobel, 2002. ANDRADE, Nonato de, Raciocínio Lógico para Concursos. Rio de Janeiro. Ed. Ferreira, 2008. ATENFELDER, Sérgio, Matemática Financeira para todos os concursos: com todas as questões comentadas. Rio de Janeiro. Elsevier, 2007. BARROS, Dimas Monteiro de, Raciocínio lógico, matemático e quantitativo. São Paulo. Novas Conquistas, 2001. BARROS, Dimas Monteiro de, Lógica para concursos. Araçatuba. São Paulo. Novas Conquistas, 2005. BARROS, Dimas Monteiro de, Enigmas, desafios, paradoxos e outros divertimentos lógicos e matemáticos. Araçatuba. São Paulo. Editora MB, 2009. CARVALHO FILHO, Sérgio de, Estatística Básica para concursos: teoria e 150 questões. Niterói/RJ. Impetus, 2004. CESAR, Benjamim, Matemática Financeira: teoria e 640 questões. 5 a Edição. Rio de Janeiro. Impetus, 2004. DEWDNEY, A. K., 20.000 Léguas Matemáticas: um passeio pelo misterioso mundo dos números. Tradução: Vera Ribeiro; Revisão: Vitor Tinoco. Rio de Janeiro. Jorge Zahar Ed., 2000. DOLCE, Osvaldo, Fundamentos da Matemática Elementar. 9: Geometria Plana/ Dolce Osvaldo, José Nicolau Pompeo. 8 a Edição. São Paulo. Atual, 2005. DOXIADIS, Apóstolos, Tio Petros e a conjectura de Goldbach: um romance sobre os desafios da Matemática. Tradução: Cristiane Gomes de Riba. São Paulo. Ed. 34, 2001. DOWNING, Douglas, Estatística Aplicada/Douglas Downing, Jeffrey Clark. Tradução: Alfredo Alves de Faria. 2 a Edição. São Paulo. Saraiva, 2006. GUEDJ, Denis, O teorema do papagaio. Tradução: Eduardo Brandão. São Paulo. Companhia das Letras, 1999. IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 1: Conjuntos, Funções/ Gelson Iezzi, Carlos Murakami. 8 a Edição. São Paulo. Atual, 2004. IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 3: Trigonometria/ Gelson Iezzi. 8 a Edição. São Paulo. Atual, 2004. www.pontodosconcursos.com.br 91
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