Aluno (a): Série: 3ª Turma: TUTORIAL 9R Ensino Médio Equipe de Matemática Data: Áreas de Figuras Planas MATEMÁTICA O estudo da área de figuras planas está ligado aos conceitos relacionados à Geometria Euclidiana, que surgiu na Grécia antiga embasada no estudo do ponto, da reta e do plano. A área de uma figura plana é a medida da extensão de sua superfície. No mundo em que vivemos, existem inúmeras formas planas existentes, que são construídas a partir dos elementos básicos citados anteriormente. Desde a antiguidade, o homem necessitou determinar a medida da superfície de áreas, com objetivos variados: a plantação, a construção de moradias, o recolhimento de impostos. Dessa forma, ele procurou ocupar de forma mais organizada seu terreno. O homem moderno, surgido há cerca de 8.000 anos, domesticou os animais e as plantas. Procurou habitar as margens dos principais rios, como o Nilo, o Tigres e o Eufrates. O rio Nilo, por exemplo, apresentava época com sua cheia regular, retornando depois ao nível original. Nesse processo de cheia, ao voltar ao normal sempre trazia alguma mudança no terreno utilizado para a agricultura ou criação de animais. Os tributos eram calculados com base na extensão de terra que cada um possuía, de modo que tornou-se necessário o aprimoramento do cálculo das áreas, a exemplo do que ocorre nos dias de hoje, onde a área de um imóvel é um dos parâmetros utilizados no cálculo do IPTU. Atualmente, o processo de expansão ocupacional utiliza os mesmos princípios criados nos séculos anteriores. A diferença é que hoje as medidas são padronizadas de acordo com o Sistema Internacional de Medidas. Dentre as medidas de área existentes temos: km²: quilômetro quadrado hm²: hectômetro quadrado dam²: decâmetro quadrado m²: metro quadrado dm²: decímetro quadrado cm²: centímetro quadrado mm²: milímetro quadrado Uma área com 1 km² equivale a uma região quadrada com lados medindo 1 km e para as outras medidas segue-se o mesmo raciocínio. De acordo com o Sistema de Medidas, a unidade padrão para a representação de áreas é o m² (metro quadrado). O km² é utilizado em situações relacionadas à medição de áreas de cidades, estados, países, continentes, etc. Na Geometria, há formas mais conhecidas, como triângulos, quadrados, retângulos, paralelogramos, losangos, trapézios e círculos. Todas essas formas possuem fórmulas matemáticas para o cálculo da medida de suas superfícies. Para o cálculo de área envolvendo as figuras mais complexas desenvolvemos cálculos matemáticos específicos que se utilizam de outras técnicas. Superfície de um polígono é a reunião do polígono com o seu interior. A figura mostra uma superfície retangular. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 1 - NANDA/AGO/2014-952
Vamos considerar como unidade a superfície de um quadrado de lado u. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 2 - NANDA/AGO/2014-952
Área do Hexágono Regular Todo hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláteros. Assim, sua área será: A = ( ) Área de um triângulo, conhecidos dois lados e o ângulo entre eles Sejam a e b as medidas de dois lados de um triângulo ABC qualquer e seja a medida do ângulo entre eles. Sabemos que o seno de um ângulo agudo, em um triângulo retângulo, é a razão entre o cateto que se opõe a esse ângulo e a hipotenusa do triângulo. Com isso, teremos que sen = h/b, ou seja, a altura h relativa ao lado a poderá ser vista como sendo h = b. sen. Assim, a área A do triângulo ABC poderá ser escrita como sendo Outras áreas importantes:. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 3 - NANDA/AGO/2014-952
Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 4 - NANDA/AGO/2014-952
A área de um setor circular é diretamente proporcional ao comprimento do arco ou ao ângulo central do setor. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 5 - NANDA/AGO/2014-952
Segmento Circular Seja, em um plano, um círculo e um semiplano de origem na reta r secante ao círculo, como mostra a figura. O conjunto dos pontos comuns ao círculo e ao semiplano denomina-se segmento circular. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 6 - NANDA/AGO/2014-952
Razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes Teorema: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança. Obs.: Consequência do teorema acima, a razão entre as áreas de dois polígonos quaisquer semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 7 - NANDA/AGO/2014-952
Exercícios 1. Calcule a área do trapézio cujas bases medem 1 metro e 6 metros e os lados oblíquos, respectivamente, 4 metros e 3 metros. a) 9,6 m 2 b) 8,4 m 2 c) 7,8 m 2 d) 7,2 m 2 e) 6,4 m 2 2. Sabendo-se que o triângulo ABC é equilátero de lado 6 cm, o arco menor tem centro em B e o arco maior tem centro no ponto médio de AC. A área da região assinalada vale a) b) c) cm 2 cm 2 cm 2 d) cm 2 e) cm 2 3. Um casal adquiriu um terreno pela planta retangular, de 10m por 20m, pagando R$50.000,00. Quando o topógrafo foi medir, observou que as medidas do terreno eram diferentes. No desenho abaixo, a área destacada é real. Pode-se concluir que o prejuízo do casal foi de a) R$3.000,00 b) R$5.000,00 c) R$7.000,00 d) R$9.000,00 e) R$11.000,00 4. Na figura abaixo, a área do quadrilátero MNBA vale 51% da área do triângulo ABC. Determinar o valor de x, sabendo que os segmentos MN e AB são paralelos. a) 4,8 b) 6,4 c) 7 d) 8,4 e) 9 Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 8 - NANDA/AGO/2014-952
5. Qual a área da região hachurada da figura, onde ABCD é um quadrado e o raio de cada circunferência mede 5 cm? a) b) c) d) e) 6. (UFRJ - Adaptada) Um famoso quebra-cabeças chinês pode ser montado, com as mesmas peças na forma de um triângulo equilátero de perímetro 24 dm e na forma de um quadrado. Determine o perímetro do quadrado. a) dm b) dm c) dm d) dm e) dm 7. (UFRJ - Adaptada) No círculo a seguir, a figura é formada a partir de semicircunferências e AC = CD = DE = EB. Determine S/S a razão entre as áreas hachuradas. a) 1 b) 0,25 c) 0,5 d) 2 e) 0,75 8. (ENEM) As torres Puerta da Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15 com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem. Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15 e duas casas decimais nas operações, descobrese que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço a) menor que 100 m 2. b) entre 100 m 2 e 300 m 2. c) entre 300 m 2 e 500 m 2. d) entre 500 m 2 e 700 m 2. e) maior que 700 m 2. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 9 - NANDA/AGO/2014-952
9. São dados um quadrado de lado a e um triângulo equilátero de lado a. Calcule a área hachurada, sabendo que os pontos A, B e C estão alinhados. a) b) c) d) e) 10. A figura abaixo nos mostra um triângulo equilátero de lado a, onde foram traçados três círculos de raio, com centros nos vértices desse triângulo. Calcule a área exterior aos círculos e interior ao triângulo equilátero. a) b) c) d) e) Gabarito: 1) b; 2) a; 3) c; 4) d; 5) e; 6) b; 7) a; 8) e; 9) e; 10) e. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 10 - NANDA/AGO/2014-952