Aula 5 00 Movimentos Periódicos: representação vetorial A experiência mostra que uma das maneiras mais úteis de descrever o movimento harmônico simples é representando-o como uma projeção perpendicular de um ponto descrevendo um movimento circular uniforme sobre um dos diâmetros do círculo.
Aula 5 00 Consideremos um ponto P descrevendo um movimento circular uniforme no sentido anti-horário como na figura acima. Observe que a projeção perpendicular do ponto P sobre o eixo horiontal Ox ou sobre o eixo vertical Oy descreve um movimento harmônico simples. Vamos supor que o movimento circular uniforme do ponto P se dá com velocidade angular ω. Vamos supor também que o movimento circular uniforme teve início a partir de um ponto P 0 cujo vetor OP 0 fa um ângulo α 0 com o eixo Ox (figura abaixo). A projeção instantânea do ponto P sobre o eixo Ox é dada então por
Aula 5 00 x t ) A cos θ Acos ( ωt α ). () ( 0 Notem que esta equação é idêntica à que foi deduida na aula passada para descrever o movimento harmônico simples (equação 8). A representação do movimento harmônico simples em termos do movimento circular uniforme de um ponto P sobre um círculo de raio A é chamada de representação em termos do vetor girante OP. O círculo de raio A é chamado de círculo de referência. A experiência também mostra que o uso de números complexos para representar movimentos oscilatórios é muito útil, especialmente quando combinada com a representação do vetor girante. Por isso, vamos continuar esta aula faendo uma revisão (ou introdução, para aqueles que nunca viram) de números complexos. Um número complexo pode ser representado algebricamente por onde i é a chamada unidade imaginária a ib, () ou seja, i, (3) i. 3
Aula 5 00 Um número complexo também pode ser representado geometricamente no plano x-y (veja a figura abaixo). Quando se trata de representar números complexos, o plano x-y é chamado de plano complexo. O eixo x é chamado de eixo real e o eixo y é chamado de eixo imaginário. O número complexo a ib pode ser representado no plano complexo como um vetor cuja projeção no eixo x é a e cuja projeção no eixo y é b. Para passar da representação geométrica para a algébrica, multiplica-se a projeção sobre o eixo y por i. Portanto, um vetor de coordenadas (a, b) no plano x-y representa o número complexo a ib. 4
Aula 5 00 Diemos que a componente a do número complexo é a parte real de e que a componente b é a parte imaginária de : a b Re Im Também diemos que o ponto de coordenadas (a, b) no plano complexo é a imagem do número complexo a ib nesse plano.. A soma de dois números complexos e é definida como, ( a ib ) ( c id ) ( a c) i( b ), (4) d que pode ser representada geometricamente pela soma vetorial dos vetores que representam esses dois números complexos no plano complexo (veja a figura abaixo). O complexo conjugado * do número complexo a ib é definido como: * * ( a ib ) a ib. (5) 5
Aula 5 00 A imagem do complexo conjugado * no plano complexo é simétrica à imagem de em relação ao eixo real (veja a figura abaixo). Mostre como exercício que: Re * ( ) * Im ( ). i O produto de dois números complexos é definido em termos da propriedade distributiva da multiplicação: ( a ib )( c id ) ( ac bd ) i( ad bc ).. (6) O módulo do número complexo a ib é definido como, 6
Aula 5 00 a b, (7) que pode ser escrito em termos do complexo conjugado * como (mostre como exercício): *. (8) O quociente de dois números complexos pode ser calculado multiplicando-se o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador: a c ib id ( a ib )( c id ) ac bd bc ad i ( c id )( c id ) c d c d. (9) Uma das mais belas fórmulas da matemática é a chamada fórmula de Euler, deduida pelo grande matemático suíço Leonhard Euler (707-783) por volta de 740: e ix cos x isen x. (0) Nas suas Lectures on Physics, o físico norte-americano Richard Feynman (98-988) se referiu a esta fórmula como nossa jóia e uma das mais notáveis, quase surpreendente, fórmulas de toda a matemática. Baseado na fórmula de Euler se escreve a chamada identidade de Euler, iπ e 0, () 7
Aula 5 00 que é considerada por muitos como a maior equação de todos os tempos, por envolver três das principais constantes matemáticas (i, π e e) e os dois primeiros números (0 e ). A fórmula de Euler pode ser provada usando-se a expansão de uma função em série de Taylor em torno da origem, f ( x) f (0) f (0) x f (0) x f (0) x 6 3.... () A expansão em série de Taylor em torno da origem para a função exponencial e x é então (lembre-se da propriedade da derivada de e x : de x /dx e x ): e x e a expansão de e ix é: e ix x x x 6 3 4 x... 4 3 ( ix ) ( ix ) ( ix ) ix... 6 4 4 3 4 x x x e ix ix i.... (3) 6 4 Por outro lado, as expansões em série de Taylor em torno da origem para cos x e sen x são: cos 4 x x x... (4) 4 8
Aula 5 00 e 3 5 x x sen x x... (5) 6 0 Observe que agrupando as partes real e imaginária da expansão de e x podemos escrever, e x 4 3 5 x x x x... i x... 4 6 0. Comparando a expressão acima com as expansões em série de Taylor para cos x e sen x, pode-se ver que os termos real e imaginário são idênticos (até a ordem que se queira) às expansões para o cosseno e o seno, respectivamente. Portanto: e ix cos x isen x. A fórmula de Euler relaciona a função exponencial com funções trigonométricas. Mostre como exercício que ela permite definir as funções seno e cosseno como: ix ix ix ( e e ) Im ( e ) sen x i ix ix ix ( e e ) Re ( e ) cos x (6) (7) 9
Aula 5 00 Agora veremos como usar a fórmula de Euler para representar um número complexo no plano complexo. A figura abaixo mostra a imagem do número complexo x iy. Se passarmos da representação cartesiana (x, y) para a representação em coordenadas polares (r, θ) teremos: x y r cos θ rsen θ. (8) E o número complexo fica escrito como ( cos θ isen θ ) x iy r cos θ irsen θ r. Usando a fórmula de Euler, pode ser escrito como: iθ re. (9) Esta é a chamada forma trigonométrica do número complexo. 0
Aula 5 00 O termo r x y é chamado de módulo de (r ) e o ângulo θ é chamado de argumento de. Um número complexo de módulo unitário (r ) é escrito como e iθ e a sua imagem no plano complexo é um vetor com extremidade no círculo unitário faendo um ângulo igual a θ com o eixo x (veja a figura abaixo). Um número complexo de módulo unitário é chamado de fator de fase. Em termos da representação trigonométrica, o produto de dois números complexos iθ r e e iθ r e é dado por: iθ iθ i ( θ ) ( r e )( r e ) r r e. θ. (0)
Aula 5 00 O módulo do produto é o produto dos módulos e o argumento do produto é a soma dos argumentos. Um caso particular de (0) é quando é um fator de fase, iα i ( α θ ) ( re ) re iθ iθ e e, () ou seja, a multiplicação de um número complexo por um fator de fase de argumento θ equivale a uma rotação de θ (no sentido antihorário) na imagem do número complexo. Na representação trigonométrica, o quociente de dois números complexos é escrito como: r e iθ i θ θ e i r e r r ( θ ). () O módulo do quociente é o quociente dos módulos e o argumento do quociente é a diferença dos argumentos. A função exponencial de um número complexo a ib é definida como: e a ib e a e ib e a ( cos b isen b). (3) Vamos agora combinar o que foi visto sobre números complexos com o oscilador harmônico simples.
Aula 5 00 Para começar, vamos considerar novamente a equação diferencial para um MHS. Só que agora vamos supor que a variável que a obedece é uma função complexa (t): d ( t) ω ( t ). (4) dt Quando resolvemos esta equação para uma variável real x(t) na aula, mostramos, por substituição, que as funções funções trigonométricas sen(ωt) e cos(ωt) são soluções dela. Vamos aqui também resolver a equação (4) por substituição. Vamos propor que a solução de (4) seja a seguinte função complexa, onde c é uma constante complexa. iωt ( t) ce, (5) Substitua (5) em (4) e mostre como exercício que se obtém uma identidade. Ou seja, (5) é solução de (4). Como a equação (4) é de a ordem, a sua solução é determinada a menos de duas constantes reais arbitrárias. No caso da aula, essas constantes eram a amplitude A e a fase inicial φ 0. No caso da solução (5) isso também é assim, pois a constante complexa c pode ser escrita como, Ae iϕ 0 c, (6) 3
Aula 5 00 com A e φ 0 constantes. Portanto, a solução geral da equação diferencial complexa (4) é ( ωt ϕ ) iϕ 0 iω t i o ( t) Ae e Ae. (7) Esta é a solução de uma equação diferencial complexa. Isto aparentemente nada tem a ver com física, pois as grandeas físicas são todas reais. Notem, porém, que a parte real da solução (7) é exatamente igual à solução da equação diferencial para o MHS real: ( t ) x( ) Re ( t ) A cos ω ϕ 0 t (8) Isto nos sugere um método de resolver problemas envolvendo oscilações: usar a representação complexa para resolver os problemas e depois tomar a parte real das soluções como a solução do problema físico real em questão. A vantagem de se usar a representação complexa é que é mais fácil trabalhar com exponenciais do que com senos e cossenos. Além disso, a própria representação geométrica de um número complexo Ae iθ corresponde a um vetor de módulo A formando um ângulo θ com o eixo real, que é a representação do vetor girante para um movimento oscilatório. 4