Matemática Comercial

Matemática Comercial

Professora conteudista: Maria Ester Domingues de Oliveira

Sumário Matemática Comercial Unidade I 1. TAXA DE JUROS...3 2. FLUXO DE CAIXA...4 3. JUROS SIMPLES... 4. VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL...9 Unidade II. DESCONTO SIMPLES... 6. RELAÇÃO ENTRE TAXA DE DESCONTO E JUROS SIMPLES...14 7. JUROS COMPOSTOS...16

MATEMÁTICA COMERCIAL Unidade I Apresentação Caro aluno, A partir de agora começaremos os estudos de Matemática Comercial. O objetivo deste curso é dar uma introdução dinâmica sobre o assunto, de maneira a ajudá-lo no raciocínio matemático, habilitando-o aos poucos, a conseguir desenvolver habilidades e análises de questões financeiras que envolvam juros simples, descontos e juros compostos. Os conteúdos estão apresentados de forma didática e por meio de exemplos. Sugere-se, como complemento, a utilização de outras bibliografias. INTRODUÇÃO Hoje em dia é muito comum falar-se em juros, taxa de juros, taxa Selic, aumento dos juros do cheque especial etc. 1 20 Vamos começar entendendo o que é juros. Juros é um atributo de uma aplicação financeira, ou seja, uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor (o que pede emprestado), pela utilização de dinheiro de um credor (aquele que empresta). Neste curso, aprenderemos os dois tipos de juros: juros simples e juros compostos. Mas vamos ver do que trata cada um deles: 1

Unidade I Juros simples são acréscimos que são somados ao capital inicial no final da aplicação, ou seja, o regime de juros simples é aquele no qual os juros sempre incidem sobre o capital inicial. Juros compostos são acréscimos que são somados ao capital, ao fim de cada período de aplicação, formando com esta soma um novo capital. A grande diferença entre estes dois tipos juros é que, no final das contas, quem financia por juros simples obtém um montante (valor total a pagar) inferior ao valor do montante a ser pago de quem financia por juros compostos. O regime de juros simples não é utilizado na prática nas operações comerciais, mas, a análise desse tema, como introdução à Matemática Comercial, é importante. No Brasil costuma-se utilizar o regime os juros compostos. Agora, vamos definir alguns termos utilizados no mercado financeiro e que será muito útil no aprendizado de Matemática Comercial: Capital: chamamos de qualquer valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica) empresta para outra durante certo tempo. 1 Juro: o custo do empréstimo. Taxa de juros: valor do juro em certa unidade de tempo, expresso como uma porcentagem do capital. Montante: soma do capital com juro. 2

MATEMÁTICA COMERCIAL 1. TAXA DE JUROS É a taxa de juros que indica qual será a remuneração paga pelo dinheiro emprestado, por um determinado período de tempo. Normalmente é expressa na forma percentual, e em seguida a especificação do período de tempo a que se refere: % a.a. (a.a. significa ao ano) 30 % a.t. (a.t. significa ao trimestre) Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual à taxa percentual dividida por 0, ou seja, na forma decimal, portanto sem o símbolo %: 0,1 a.m. (a.m. significa ao mês). 0, a.q. (a.q. significa ao quadrimestre) 1 Por exemplo: Taxa de 11% ao ano, ou 11% a.a Taxa de 2% ao ano, ou 2% a.a Isto significa dizer que para cada $ 0 emprestados receberemos $ 11,00 de juros no caso de 11% a.a, e no caso de 2% a.a, para cada $ 0,00 emprestados a pessoa/ instituição receberá $ 2,00 de juros. Temos como nomenclatura de cada um destes: n número de períodos j juros simples decorridos n períodos J juros compostos decorridos n períodos r taxa percentual de juros i taxa unitária de juros ( i = r / 0) C Principal ou valor atual M Montante de capitalização 3

Unidade I 2. FLUXO DE CAIXA 1 O fluxo de caixa é um gráfico contendo informações sobre entradas e saídas de capital, realizadas em determinados períodos de tempo, demonstrando assim, graficamente as transações financeiras de determinado período. O tempo é representado na horizontal (linha de tempo) dividido pelo número de períodos relevantes para análise, ou seja, com os valores indicados nos respectivos tempos. A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema bancário poderá ser indicada por uma seta para baixo enquanto que o indivíduo que pagou a conta deverá colocar uma seta para cima. A inversão das setas é uma coisa comum e pode ser realizada sem problema. Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF é o valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas. 20 Vamos observar o exemplo abaixo: Consideremos uma situação em que foi feito um depósito inicial de $.000,00 em uma conta que rende juros de 4% ao ano, compostos mensalmente e que se continue a depositar mensalmente valores de $ 1.000,00 durante os próximos cinco meses. No sexto mês quer-se conhecer o valor futuro da reunião destes depósitos. i = (4% a.m.)/12 0 1 2 3 4 Valor Futuro 000 00 00 00 00 00 4

MATEMÁTICA COMERCIAL Para obter o valor futuro deste capital depositado em vários meses, usamos o fluxo de caixa e conceitos matemáticos para calcular o valor resultante ou montante acumulado. 3. JUROS SIMPLES Como já dito anteriormente, juros simples são acréscimos que são somados ao capital inicial no final da aplicação, ou seja, o regime de juros simples é aquele no qual os juros sempre incidem sobre o capital inicial. Consideremos um capital C, aplicado a juros simples à taxa i por período, durante n períodos de tempo. Sendo assim: Onde, J = C x i x n J = juros C = capital i = taxa da aplicação n = tempo que durou a aplicação 1 Para o montante, ou seja, a soma do capital a ser resgatada com juro, temos a seguinte fórmula: M = C (1 + i x n) M = C + J Onde, i = M/C - 1 20 J = juros C = capital i = taxa da aplicação n = tempo que durou a aplicação M = montante

Unidade I Exemplo 1 Temos uma dívida de $ 2.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em dois meses. Os juros que pagarei serão: J = C x i x n J = 2.000 x 0.08 x 2 = 320 Exemplo 2 Calcule o montante resultante da aplicação de $ 70.000,00 à taxa de,% a.a. durante 14 dias. 1 20 Solução: Dias taxa(%) 360, 1 x 360x = 36 x = 0,03% a.d., ou seja, r = 0,03%a.d. portanto, i = 0,03/0 = 0,0003 M = C. ( 1 + ( i x n) ) M = 70.000 [1 + (0,0003).(14)] = $ 73.04,00 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, dias. Daí ter encontrado a taxa diária dividindo a taxa por 360, para obter o valor equivalente em dias, já que um ano comercial possui 360 dias. 2 Exemplo 3 Calcular os juros simples de $ 1.200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 1 dias. 6

MATEMÁTICA COMERCIAL r = 13% i = 13/0 = 0,13 4m1d = 4, meses. Para transformar em trimestre usamos a regra de três: Meses trimestre 3 1 4, x 3x = 4, x = 1, trimestre j = 1.200 x 0,13 x 1, = 234 em Exemplo 4 Calcular os juros simples produzidos por $ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 12 dias. 1 20 Temos: J = C x i x n Dias taxa(%) 360 36 1 x 360x = 36 x = 0,1% a.d. ou seja, r = 0,1% a.d. portanto, i = 0,1/0 = 0,001 Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: 2 J = 40.000 x 0,001 x 12 = $.000,00 7

Unidade I Exemplo Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende $ 3.00,00 de juros em 7 dias? Dias taxa(%) 30 1,2 1 x 30x = 0,04 x = 0,04% a.d., ou seja, r = 0,04% a.d. portanto, i = 0,04/0 = 0,0004 Temos imediatamente: J = C.i.n, ou seja: 300 = C.(0,0004).(7) Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, dias. Logo: 3.00 = C x 0,0004 x 7 = P. 0,030; Daí, vem: 1 C = 3.00 / 0,030 = $ 116.666,67 Exemplo 6 Se a taxa de uma aplicação é de % ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? 20 Objetivo: M = 2.C Dados: r = % i = /0 = 1, 8

MATEMÁTICA COMERCIAL Fórmula: M = C (1 + i.n) Desenvolvimento: 2C = C (1 + 1, n) 2 = 1 + 1, n n = 2/3 ano = 8 meses 4. VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL Consideremos que uma pessoa tenha uma dívida de $ 11.000,00 a ser paga daqui a cinco meses. Se ela puder aplicar seu dinheiro hoje, a juros simples e à taxa de 2% a.m., quanto precisará aplicar para poder pagar a dívida no seu vencimento? Valor nominal (N): valor do título a ser descontado. Valor atual ou valor presente (V): valor aplicado a juros simples numa data anterior até a data de vencimento e que proporcione um montante igual ao valor nominal. N = valor nominal 1 V = valor atual ou presente i = taxa da aplicação n = tempo que durou a aplicação Esquematicamente: N V 0 Fluxo de caixa N = V + V x i x n 9