Mecânica Geral II otas de AULA 6 - Teoria Prof. Dr. Cláudio S. Sartori Forças em vigas e em cabos Introdução Analisaremos dois tipos de forças internas em dois tipos de estruturas em engenharia:. Vigas. Cabos. FORÇA CORTATE E MOMETO FLETOR. A força F, no caso anterior, é denominada de força axial; a força V é denominada de força cortante e o momento M do binário é denominado de momento fletor. FORÇAS ITERAS OS ELEMETOS. Exemplo A estrutura apresentada, determinar as forças internas: (a) As componentes que agem em cada barra da estrutura representada. (b) no ponto J do elemento ACF e (c) o ponto K do elemento BCD. Elemento submetido à várias forças: Solução: Como apenas duas barras estão acopladas em cada nó, a estrutura é agora desmembrada, e componentes iguais e contrárias são representadas sobre cada barra em cada nó. Considere o corte feito e o corpo livre JD: A força F é necessária para equilibrar a componente vertical de T. A força V é necessária para equilibrar a componente horizontal de T. O Momento M é necessário para equilibrar o momento de T em relação a J.
Mecânica Geral II otas de AULA 6 - Teoria Prof. Dr. Cláudio S. Sartori Forças internas em J: Sistemas forçabinário equivalente em J: MJ (.8)(.) M =0 M =.6k F F.80 cos 4.7 = 0 F =.34k F x V.80 sen4.7 = 0 V =.0k As forças internas em J são, portanto, equivalentes a um binário de momento M, uma força F axial e uma força cortante V. O sistema força-binário interno que atua na parte JCF é igual com sentido oposto. Forças internas em K: Cortamos o elemento BCD em K e obtemos as duas partes indicadas. Considerando o corpo livre BK, escrevemos: M K ( ) ( )..5 M M =.80k m F x F F k F. V V =.k V =.k
Mecânica Geral II otas de AULA 6 - Teoria Prof. Dr. Cláudio S. Sartori Vigas Vários Tipos de Carregamentos e de Vínculos Externos. Um elemento estrutural projetado para suportar cargas aplicadas em vários pontos de sua extensão é denominado viga. Em geral as cargas são perpendiculares ao eixo da viga, na qual causarão somente cisalhamento e flexão. Quando as cargas não formam ângulo reto com a viga, produzem também forças axiais. Em geral, vigas são barras prismáticas retas e longas. Projetar uma viga consiste essencialmente em selecionar uma seção reta que proporcionará resistência mais efetiva ao cisalhamento e flexão produzidos pelas cargas aplicadas. O projeto da viga, portanto, inclui duas partes distintas. a primeira parte, as forças cortantes e os momentos fletores produzidos pelas cargas são determinados. A segunda parte refere-se na escolha da seção reta mais adequada para resistir a forças cortantes e momentos fletores determinados na primeira parte. Esta seção, Vigas, trata da primeira parte do projeto, que compreende a determinação de forças cortantes e momentos fletores nas vigas submetidas a várias condições de carregamento e vinculadas de modos diversos. A segunda parte do problema pertence ao estudo da Resistência dos Materiais. Uma viga pode estar submetida a cargas concentradas Q, Q,... expressas em ou em seu múltiplo quilonewtons, a uma carga distribuída w, expressa em /m ou k/m ou a uma combinação de ambas. Quando a carga por unidade de comprimento tem um valor constante sobre parte da viga, diz-se que a carga é uniformemente distribuída sobre aquela região da viga. A determinação da reação nos vínculos externos pode ser consideravelmente simplificada se as cargas distribuídas forem substituídas por cargas concentradas, equivalentes, conforme explicado. Essa substituição, no entanto, não deve ser efetuada ou, pelo menos, deve ser efetuada com cuidado, quando forças internas sendo calculadas. As vigas são classificadas de acordo com o modo pelo qual são vinculadas. Diversos tipos de vigas freqüentemente usadas são representadas. Viga simplesmente apoiada com balanço Viga em balanço Viga contínua Viga engastada em um extremo e simplesmente apoiada em outro. Viga biengastada 3 Viga simplesmente apoiada Vigas combinadas
Mecânica Geral II otas de AULA 6 - Teoria Prof. Dr. Cláudio S. Sartori A distância L entre os apoios é denominada vão. Observe-se que as reações serão determinadas se os vínculos externos envolverem apenas três incógnitas. As reações serão estaticamente indeterminadas se mais incógnitas forem envolvidas; nesse caso, os métodos da estática não serão suficientes para determinar as reações, e as propriedades da viga com relação a sua resistência à flexão devem ser consideradas. Vigas apoiadas por dois roletes não são ilustradas aqui; tais vigas são apenas parcialmente vinculada e mover-se-ão sob certas condições de carregamento. Vigas estaticamente determinadas Algumas vezes, duas ou mais vigas são acopladas por articulações para formar uma única estrutura contínua. Dois exemplos de vigas articuladas em um ponto H são representadas nas Figuras (a) e (b). Será observado que as reações nos vínculos externos envolver quatro incógnitas e não podem ser determinadas a partir do diagrama de corpo livre do sistema das duas vigas. Entretanto, essas incógnitas poderão ser determinadas considerando-se separadamente o diagrama de corpo livre de cada viga; seis incógnitas estão envolvidas (incluindo duas componentes da força na articulação), e dispõe-se de seis equações. Força Cortante e Momento Fletor em uma Viga. Consideremos uma viga AB submetida a várias cargas concentradas e distribuídas. Propomo-nos a determinar a força cortante e o momento fletor em qualquer ponto da viga. o exemplo aqui considerado, a viga é simplesmente apoiada; porém, o método utilizado pode ser aplicado a qualquer tipo de viga estaticamente determinada. Primeiro determinamos as reações em A e B, escolhendo a viga inteira como corpo livre; escrevendo ΣM A e ΣM B =0, obtemos, respectivamente R A, e R B. Para determinar as forças internas em C, cortamos a viga em C e desenhamos os diagramas de corpo livre das partes AC e CB da viga. Usando o diagrama de corpo livre de AC, podemos determinar a força cortante V em C, igualando a zero a soma das componentes verticais de todas as forças que atuam em AC. Analogamente, o momento fletor M em C pode ser determinado igualando-se a zero a soma dos momentos em relação a C de todas as forças e de todos os binários que atuam em AC. Poderíamos ter usado igualmente o diagrama de corpo livre de CB* e determinado a força cortante V e o momento fletor AT, igualando a zero a soma das componentes verticais e a soma dos momentos em relação a C de todas as forças e binários que atuam em CB. Ainda que essa liberdade quanto à escolha do corpo livre possa facilitar o cálculo dos valores numéricos da força cortante e do momento fletor, torna-se necessário indicar em que parte da viga as forças internas consideradas estão agindo. Se a força cortante e o momento fletor, entretanto, forem calculados para todos os pontos da viga e eficientemente registrados, não será necessário, a cada instante, especificar qual parte da viga é utilizada como corpo livre. Adotaremos, portanto, a seguinte convenção: Para determinar a força cortante em uma viga, sempre suporemos que as forças internas V e V estão dirigidas conforme representamos a seguir. Um valor positivo obtido para seu valor V indicará que essa hipótese estava correia e que as forças cortantes estão realmente dirigidas conforme representado. Um valor negativo obtido para V indicará que a hipótese estava errada e que as forças cortantes estão dirigidas em sentidos opostos. Assim, somente a intensidade V, associada a um sinal mais ou menos, necessita ser registrada para definir completamente as forças de cisalhamenfco em um dado ponto da viga. O escalar V é comumente referido como força cortante em um dado ponto da viga. A força e o vetor-binário que representam as forças internas sobre CS serão agora designados V e - M' em vez de V e M, como anteriormente, de modo a evitar confusão quando aplicarmos a convenção de sinais que a força cortante V e o momento fletor M em um dado ponto de uma viga serão positivos quando as forças internas e os momentos que atuam em cada parte da vige estiverem orientados conforme o esquema na figura. Essa convenção pode ser lembrada mais facilmente se observarmos que:. A força cortante em C é positiva quando as forças externas (cargas e reações) que atuam na viga tendem a cisalhá-la em C, conforme indicado.. O momento fletor em C ê positivo quando as forças externas que atuam na viga tendem a flexioná-la em C, como indicado. Pode também ser útil observar que a situação descrita na Fig. 7.9 e correspondente a valores positivos da força cortante e do momento fletor é precisamente a situação que ocorre na metade esquerda de uma viga simplesmente apoiada que suporta uma única carga concentrada 4
Mecânica Geral II otas de AULA 6 - Teoria Prof. Dr. Cláudio S. Sartori em seu ponto médio. Esse exemplo particular é completamente, analisado na seção seguinte. (a) Forças internas na seçao (forças cortante c momento fletor positivo) (b) Efeito das forças externas (força cortante positiva) (c) Efeito das forças externas (momento fletor positivo) Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor. Agora que a força cortante e o momento fletor já foram claramente definidos tanto em sentido quanto em módulo, podemos facilmente registrar seus valores em qualquer ponto da viga, representando esses valores em função de uma distância x medida a partir de uma das extremidades da viga. Os gráficos obtidos desse modo são denominados, respectivamente, diagrama de força cortante e diagrama de momento fletor. Como exemplo, consideremos uma viga Ao simplesmente vinculada, de vão L, submetida a uma única carga concentrada Q, aplicada em seu ponto médio D. Em primeiro lugar, determinamos as reações nos vínculos externos, a partir do diagrama de corpo livre de toda a viga. Resulta que o módulo de cada reação é igual a Q/. Em seguida, cortamos a viga em um ponto C entre A e -D e traçamos os diagramas de corpo livre de AC e CB. Supondo que a força cortante e o momento fletor sejam positivos, orientamos as forças internas V e V e os binários internos M e AT como indicado na Fig. 7.9a. Considerando o corpo livre AC e escrevendo que a soma das componentes verticais e a soma dos momentos em relação a C, das forças que atuam no corpo livre, são iguais a zero, encontramos V = Q / e M = Q x/. Por conseguinte, tanto a força cortante quanto o momento fletor são positivos: isto pode ser comprovado observando-se que a reação em A tende a cisalhar e fletir a viga em C, conforme indicado. Podemos representar graficamente V e M entre A e D (Fig. 7.0e e f)\ a força cortante tem um valor constante V = Q/, enquanto o momento fletor cresce linearmente desde M, em x, até M = QL/4, em x =L/. Cortando agora a viga em um ponto E entre D e B e considerando o corpo livre EB, escrevemos que a soma das componentes verticais e a soma dos momentos em relação a E, das forças que atuam no corpo livre, são iguais a zero. Obtemos V=-Q/ e M= Q(L - x)/. Portanto a força cortante é negativa e o momento fletor positivo; isto pode ser comprovado observando-se que a reação em B flexiona a viga no ponto E, conforme indicado, mas tende a cisalhá-la de maneira oposta àquela representada. Podemos completar agora os diagramas de força cortante e momento fletor; a força cortante tem valor constante V=-Q/ entre O e B, enquanto o momento fletor decresce linearmente de M=QL/4 em x = L/ até M =0 em x = L. 5
Mecânica Geral II otas de AULA 6 - Teoria Prof. Dr. Cláudio S. Sartori Exemplo Traçar os diagramas de momento fletor e força cortante para a viga e o carregamento apresentados: Solução: Determinando as reações considerando a viga inteira como um corpo livre: R = 46 k R = 4k B D Considerando as forças internas à direita da carga de 0 k, aplicada em A: F 0 V V = 0k V = 0k M ( ) ( ) M 0 0 M = k m 0 Considere agora como corpo livre à esquerda da seção : F 0 V V = 0k V = 0k M ( ) ( ) M 0.5 M = 50k m Determinando a força cortante e o momento fletor nas seções 3,4,5 e 6 de modo similar, teremos: V3 = 6k M3 = 50k m V4 = 6k M4 = 8k m V5 = 4k M5 = 8k m V6 = 4k M6 k m 6
Mecânica Geral II otas de AULA 6 - Teoria Prof. Dr. Cláudio S. Sartori Exemplo 3 - Faça os gráficos de força cortante e momento fletor para a viga AB. A carga distribuída de 8 K/m estende-se por 0.30 m da viga, de A a C, e a carga de.00 k é aplicada ao ponto E. 7 Solução: CATEÁRIA Reações determinadas considerando a viga inteira como um corpo livre: M A 0.80.40 0.5.00 0.55 B B B =.83k =.83k M B.40 0.65.00 0.5 A 0.80 A =.58k A=.58k F Bx x B x k
Mecânica Geral II otas de AULA 6 - Teoria Prof. Dr. Cláudio S. Sartori A carga de.00 k é substituída por um sistema força-binário equivalente aplicado ao ponto D da barra. De A a C: considerando as forças internas a uma distância x do ponto A: F.58 8 x V V =.58 8 x V =.58 8 x M.58 x 8 x x M M =.58 x 4 x De C a D:Considerando a parte da viga à esquerda da seção : F.56.40 V V.8k V.8k M ( ) x( k m).58 x.40 x 0.5 M M.36 0.8 De D a B:Utilizando a porção da viga à esquerda da seção 3: F.58.40 V V =.83k V =.83k M 3.58 x.40 x 0.5 0.0.00 x 0.45 M ( ) ( ) ( ) M =.46.83 x k m 8