Geometrias Não Euclidianas. Zilmara Raupp de Quadros de Oliveira

Geometrias Não Euclidianas Zilmara Raupp de Quadros de Oliveira

a) Quais os triângulos que vocês conhecem? Triângulo equilátero, o qual possui os três lados iguais; Triângulos isósceles, o qual possui dois lados; Triângulo escaleno, o qual possui todos os lados diferentes; Triângulo retângulo, o qual possui um ângulo reto; Triângulo acutângulo, o qual possui os três lados agudos; Triângulo obtusângulo, o qual possui um lado obtuso.

b) Qual a definição de um triângulo no que diz respeito aos seus ângulos? 180 R: A soma dos ângulos internos é igual a. c) Mas em que espaço, em que plano eles foram desenhados? Em que plano está o quadro? Todos os planos são assim, iguais a este? E se pensarmos no planeta em que moramos, a terra, ela é plana? R: Foram desenhados no quadro, em um plano pertencente à geometria Euclidiana, porém não são todos assim, iguais a este, a terra, o planeta em que moramos é um plano esférico, em forma de um globo e não plano reto.

d) E se desenharmos um triângulo na superfície terrestre, na superfície esférica, o que acontece? Como será este triângulo?

Problematização: A prática de atividades, exercícios é fundamental para uma vida saudável. Então se imagine como um ótimo ciclista que é, partindo de um certo ponto da terra. Você percorre de bicicleta 100 km sobre a superfície da terra ao sul, 100 km para leste e 100 km para o norte. Podemos afirmar que você voltou ao ponto de partida?

Historicização O quinto postulado, do livro I, é o mais famoso dos postulados de Euclides e aquele que apresentou mais discussões aos matemáticos. Equivalente ao axioma das paralelas, de acordo com o qual, Por um ponto exterior a uma reta, passa apenas uma, e somente uma reta paralela à dada. Desde cedo este postulado foi objeto de polêmica por não possuir o mesmo grau de "evidência" que os restantes. O próprio Euclides e muitos dos seus sucessores tentaram demonstrar esta proposição a partir de outros axiomas da geometria. Mas sempre em vão. Esta impossibilidade foi durante séculos o escândalo da geometria e o desespero dos geômetras. De acordo com Aleksandrov a tarefa atraiu muitos geômetras: Proclo (século V a.c), Nasiradin (século XIII), Wallis (1616-1703), Saccheri (1667-1733), Lambert (1728-1777), Legendre (1752-1833), e muitos outros. O padre jesuíta G. Saccheri foi, talvez, o primeiro a ensaiar uma abordagem inteiramente nova. Aleksandrov afirma que ele tentou utilizar a técnica de redução ao absurdo, admitindo a negação do postulado do paralelismo de Euclides com vista a obter algum absurdo ou contradição. Lambert demonstrou ser um pensador mais profundo que Saccheri e seus predecessores. Empreendendo o mesmo caminho, não encontrou contradição lógica nem caiu, nos mesmos erros, tampouco proclamou ter provado o Quinto Postulado. Outros grandes matemáticos, como Karl Gauss (1777-1855), o príncipe dos matemáticos, redescobriu e desenvolveu a geometria em bases semelhantes às de Saccheri (negando o quinto postulado), sem nunca chegar a uma contradição.

Outros, mais ousados, não recuaram perante o estranho mundo novo que se abria a seus olhos. O jovem húngaro Bolyai (1802-1860) admite a negação do postulado do paralelismo de Euclides como hipótese não absurda, isto é, como um novo postulado, a juntar aos postulados habituais da geometria absoluta. Pela mesma época, e trabalhando independentemente, o jovem russo Nicolai Lobachewski (1792-1856), publica em 1829, a sua versão da geometria não euclidiana, na revista Universidade de Kazan. Foi necessário esperar até ao século XIX para Gauss, Bolyai, Riemann e Lobachevski conseguissem demonstrar que se trata efetivamente de um axioma, necessário e independente dos outros. Supuseram que o postulado de Euclides não era verdadeiro e substituíram-no por outros axiomas: a) Por um ponto exterior a uma reta, podemos traçar uma infinidade de paralelas a esta reta (geometria de Lobachevski); b) Por um ponto exterior a uma reta não podemos traçar nenhuma paralela a esta reta (geometria de Riemann).

Todos se deram então conta de que, substituindo o axioma das paralelas, era possível construir duas geometrias diferentes da geometria euclidiana, igualmente coerentes e que não conduzia a nenhuma contradição. Apesar de serem dificilmente concebíveis, estas duas novas geometrias foram pouco a pouco reconhecidas como alternativas legítimas. Chegou-se mesmo a demonstrar que, se qualquer das duas pudesse apresentar alguma contradição, a própria geometria euclidiana seria também contraditória. Desde então, encontramo-nos perante três sistemas geométricos diferentes: A) A geometria euclidiana; B) A geometria de Lobachevski, também chamada hiperbólica; C) A geometria do Riemann, também chamada esférica ou elíptica. As duas últimas recebem o nome de geometrias Não Euclidianas. Estas novas geometrias permitiram às ciências exatas do século XX uma série de avanços, entre os quais a elaboração da Teoria da Relatividade de Einstein (1879-1955). O que permitiu provar que essas teorias, ao contrário do que muitos afirmavam, tinham realmente aplicações práticas.

A Terra não é uma esfera perfeita, pois há um pequeno achatamento nos pólos. Porém, essa deformidade não ocasiona distorções nos cálculos de trigonometria esférica que são utilizados para determinação de rotas de navegação.

GEOMETRIA ELÍPTICA OU ESFÉRICA Como vimos, foi na tentativa de provar o quinto postulado de Euclides que surgiram as Geometrias Não Euclidianas. No volume I dos Elementos são apresentados os cinco famosos postulados: 1 Uma linha reta pode ser traçada de um ponto a outro, escolhidos à vontade. 2 Uma linha reta pode ser prolongada indefinidamente. 3 Um círculo pode ser traçado com centro e raio arbitrários. 4 Todos os ângulos retos são iguais. 5 Se uma reta secante a duas outras formam ângulos, de um mesmo lado dessa secante, cuja soma é menor que dois ângulos retos, então essas retas se prolongadas suficientemente encontrarse-ão em um ponto desse mesmo lado.

Em 1854, Bernhard Riemann, substituiu o postulado das paralelas pelo seguinte enunciado: Por um ponto fora de uma reta não se pode traçar uma reta paralela à outra reta dada. A aceitação da geometria que também ficou conhecida como Geometria de Riemann só aconteceu após 1870. Na Geometria Riemanniana, há um sentido restrito onde temos que interpretar o plano como uma superfície de uma esfera e uma reta como um círculo máximo sobre essa esfera.

A esfera pode ser considerada um modelo (simplificado) do planeta Terra e existe uma geometria que se dedica ao seu estudo: a Geometria Esférica. Como nesta geometria nosso plano é semelhante a uma esfera e iremos trabalhar nela é conveniente defini-la: chama-se superfície da esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja igual a r. Pode-se dizer que a superfície de uma esfera é a superfície de revolução gerada pela rotação de uma semicircunferência com extremidades no eixo.

As extremidades P e P do eixo (e) de um círculo máximo da esfera são denominadas polos da esfera.

Sabe-se que a geometria de Riemann tem importante aplicação prática: na navegação marítima e na aviação. Uma circunferência, na esfera, pode ser obtida intersectando a esfera com um plano. Quando o plano contém o centro da esfera obtém-se um círculo máximo; caso contrário, trata-se de um círculo menor. A circunferência verde é um círculo máximo, mas a circunferência cor-de-laranja não é um círculo máximo. Na esfera, os círculos máximos assumem o papel análogo ao das retas da Geometria Euclidiana e os arcos menores de círculo máximo assumem o papel análogo ao dos segmentos de reta. Desta forma, na esfera, a distância entre dois pontos, A e B, determina-se calculando o comprimento do menor arco de círculo máximo definido pelos dois pontos.

Na Geometria Esférica o plano Euclidiano é substituído pela superfície esférica. E nela: Ponto: são pontos da superfície esférica, e as figuras geométricas são traçadas sobre esta superfície. Retas: são chamadas de geodésicas (são os círculos máximos, os grandes círculos), obtidos pelos planos que interceptam a esfera passando pelo seu centro. Elas são determinadas por dois pontos como na Geometria Euclidiana. Sendo assim podemos perceber que uma reta na superfície esférica possui propriedades próprias. Ela deixa de ser infinita passando a ser ilimitada, ou seja, os círculos máximos de uma esfera (as retas ou geodésicas) são finitos (percorrendo-os sempre se volta ao ponto de partida), mas ilimitada (pode-se percorrê-los indefinidamente). Os segmentos de retas na Geometria Euclidiana aqui são os arcos das geodésicas. E os outros círculos menores quando não passam pelo centro não são considerados uma reta.

Vamos trabalhar um pouco com as esferas? E tentar resolver nossa problematização?

Um ciclista saiu de sua casa e pedalou 100 km ao sul. Depois virou ao leste e pedalou mais 100 km. Então virou e pedalou novamente por mais 100 km ao norte. Ficou surpreso, pois descobriu que voltara novamente a sua casa. Podemos afirmar que ele voltou ao ponto de partida? Então construa: a) Desenhar numa folha de papel o caminho percorrido pelo ciclista.

b) De acordo com a situação acima é possível que o ciclista volte ao ponto de partida? c) Desenhar na esfera o caminho percorrido pelo ciclista.

d) Analisando o caminho desenhado na esfera, é possível para o ciclista voltar ao mesmo ponto de partida?

Agora imagine esse mesmo ciclista deseja dar uma volta ao mundo ou andar de bike sempre na mesma direção, o que vai acontecer com a sua viagem? E faça o que se pede: a) Desenhe o caminho percorrido pelo ciclista numa folha de papel. b) De acordo com o caminho percorrido desenhado na folha de papel, é possível para o ciclista voltar no ponto de partida?

c) Desenhe o caminho percorrido pelo ciclista na esfera. Podemos perceber que uma reta na superfície esférica possui propriedades próprias. Ela deixa de ser infinita passando a ser ilimitada, ou seja, os círculos máximos de uma esfera, as geodésicas são finitos (percorrendo-os sempre se volta ao ponto de partida), mas ilimitada (pode-se percorrê-los indefinidamente). d) De acordo com o caminho percorrido desenhado na esfera, é possível para o ciclista voltar ao ponto de partida?

Duas geodésicas são perpendiculares se formam um ângulo reto quando se interceptam. Enquanto na Geometria Euclidianas duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si, na Geometria Esférica isto não acontece, pois as geodésicas perpendiculares a uma geodésica Z não são paralelas entre si, mas sim, concorrentes, isto é, todas as geodésicas perpendiculares a Z tem um ponto comum chamado de polo de Z.

A figura abaixo mostra geodésicas ACA e ADA, perpendiculares à geodésica BCDE.

Agora o ciclista vai pedalar em linha reta da sua casa até a pista de treinamento. a) Desenhe numa folha de papel o caminho percorrido pelo ciclista. b) Desenhe na esfera o caminho percorrido pelo ciclista e represente esse desenho na folha de papel. c) Qual é a diferença entre os dois desenhos?

Considerem-se dois pontos A e B não antípodas (pontos diametralmente opostos) na esfera de raio r e centro O. À distância na esfera entre A e B é dada pelo comprimento do menor arco AB do círculo máximo definido por A e B. Note-se que, se A e B são antípodas, a distância entre A e B é igual ao comprimento de um semicírculo máximo, πr. (metade do comprimento). Considerando r igual a 10 e o ângulo igual a 60, calcule o comprimento do arco.

Agora o ciclista vai pedalar levando o seu fiel amigo cachorro. Eles vão percorrer o trajeto paralelamente. a) Desenhe numa folha de papel o caminho percorrido pelo ciclista e pelo cachorro. b) Desenhe na esfera de isopor o caminho percorrido pelo ciclista e pelo cachorro. c) É possível traçar retas paralelas para representar o caminho percorrido pelo ciclista e pelo cachorro na folha de papel e na bola de isopor?

Podemos definir retas paralelas como sendo retas que não se intersectam. Na esfera, dados dois círculos máximos, estes intersectam-se sempre em dois pontos antípodas (pontos diametralmente opostos). Por exemplo, os meridianos terrestres intersectam-se no Pólo Norte e no Pólo Sul. Assim, ao identificarmos o conceito de reta na esfera com o de círculo máximo, concluímos que: Na Geometria Esférica não existem retas paralelas!

As linhas imaginárias da esfera terrestre O polo norte e o polo sul são os polos principais da Terra. Os círculos perpendiculares ao eixo que une os polos são os paralelos da Terra, sendo que o paralelo máximo, que é um círculo máximo do globo terrestre, é denominado Linha do Equador e divide a esfera terrestre em duas partes iguais chamadas de hemisférios norte e sul, conforme o polo que contiver. Os semicírculos máximos que vão de um polo ao outro são denominados meridianos e são perpendiculares a todos os paralelos.

Ângulo Esférico Ângulo esférico é o ângulo formado pela interseção de dois arcos de círculos máximos. Sua medida é a mesma do ângulo plano θ formado pelas retas t1 e t2 tangentes, no ponto de intersecção, aos lados do ângulo.

Dados dois círculos máximos, estes intersectam-se sempre em dois pontos antípodas, dividindo a esfera em quatro regiões, cada uma das quais com dois lados; estas regiões designam-se por biângulos ou lúnulas. Biângulos- na Geometria Esférica existem polígonos com dois lados, os biângulos, cujos vértices são pontos antípodas (na esfera são pares de pontos opostos) e cujos lados são semicírculos máximos. A área de um biângulo com ângulo α é dada por: 2αr² (α em radianos). E r o raio da esfera em questão.

Triângulo esférico Três pontos de uma esfera de centro O, não pertencentes a um mesmo círculo máximo, ligados dois a dois por meio de arcos de círculo máximo formam os vértices de um triângulo esférico ABC.

Todos os triângulos esféricos têm três alturas, três medianas, três mediatrizes e três bissetrizes definidos do mesmo modo que na Geometria Euclidiana, com a diferença que para aqueles triângulos fala-se em retas e, na superfície esférica, são geodésicas. Os lados dos triângulos esféricos, subentendem ângulos como vértices no centro da esfera, por isso podem ser medidos em graus ou radianos.

Na Geometria Esférica dados três pontos, estes podem definir dois triângulos, na medida em que podem definir duas regiões limitadas na esfera. Na esfera, existem ainda alguns triângulos estranhos como, por exemplo, triângulos com três vértices colineares.

Desenhe um círculo máximo em uma esfera de isopor; desenhe outro círculo máximo perpendicular ao primeiro; desenhe um terceiro círculo máximo, perpendicular aos dois já construídos. a) Em quantos triângulos a bola ficou dividida? b) Quanto mede cada ângulo desses triângulos? c) Qual a soma dos ângulos internos de cada um desses triângulos? d) Como é classificado esse triângulo esférico de acordo com seus lados e seus ângulos?

A grande característica dessa geometria, como percebemos, ao fato de não existirem retas paralelas, é que a soma dos ângulos internos de um triângulo varia entre 180 e 540. Podendo ser representada pela dupla desigualdade: 180 <Â+B+C < 540 Logo, em relação à soma da medida dos lados a,b,c persiste, também, uma faixa de variação de extremos entre 180 e 360, ou seja: 180 < a+b+c<360 Sendo que nenhuma das medidas dos lados pode ser maior que 180. Na geometria da esfera os termos triângulos eqüilátero, isósceles, retângulo e obliquângulo têm o mesmo sentido do que em geometria plana.

PROPRIEDADES I- A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo retângulo esférico é maior que 180.

Seja ABC um triângulo retângulo, e suponha por absurdo, que A+B+C = 180. Traçam-se as retas CD e BE, formando com BC os ângulos X e Y congruentes, respectivamente, aos ângulos 1 e 2. De acordo com o caso ALA (Ângulo, Lado e Ângulo) de congruência, o triângulo BCI vem a ser congruente ao triãngulo ABC, obtendo um retângulo, o que seria um absurdo, pois não existe retângulo na Geometria Esférica, pelo fato de não existir retas paralelas na superfície esférica. Ou seja, não há nesta superfície, um quadrilátero que tenha os quatros ângulos retos, de acordo com a definição de retângulo na Geometria Euclidiana. Portanto Â+B+C > 180.

II- A soma das medidas dos ângulos de qualquer triângulo é maior do que 180. Desde que qualquer triângulo possa ser dividido em dois triângulos retângulos, as somas das medidas dos ângulos destes triângulos é maior que 360 e, assim, a soma das medidas dos ângulos do triângulo primitivo é maior que 180.

III- A soma das medidas de qualquer quadrilátero é maior que 360. Seja ABCD um quadrilátero qualquer. Traça-se a reta AC, dividindo o quadrilátero nos dois triângulos ABC e ACD. Como a soma das medidas dos ângulos de um triângulo é maior que 180, tem-se Â+B+C+D > 360

IV- A área da superfície esférica de raio unitário é 720. Sabe-se que a área da superfície esférica de raio r é (4πr²). Se a esfera tem raio unitário, a medida da área da esfera em graus é, então, igual a 720.

V- A área de um triângulo esférico ABC numa esfera de raio r é: Se a esfera tem raio unitário, a área do triângulo esférico é então:

Quadriláteros Elípticos Na geometria elíptica a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero sempre excede 360. No quadrilátero de Saccheri podem ser observadas duas importantes propriedades: O segmento que liga os pontos médios da base e do topo é perpendicular a ambos; Os ângulos do topo são congruentes e obtusos.

A principal propriedade para um quadrilátero de Lambert é: O seu quarto ângulo é obtuso e os lados adjacentes a esse ângulo são maiores que os opostos correspondentes.

Geometria hiperbólica

A primeira delas a geometria de Lobatchevsky, que em 1829, negou o quinto postulado de Euclides, admitindo que por um ponto fora de uma reta passam pelo menos duas retas paralelas. A história nos diz que Gauss, Bolyai e Lobachewsky desenvolveram a Geometria Hiperbólica ao mesmo tempo. No entanto, Lobachewsky foi o primeiro a publicar seus trabalhos, cabendo a ele a honra da descoberta desta geometria. Em 1832, Bolyai, independentemente, obteve os mesmos resultados. E então essa geometria passou a ser chamada de geometria hiperbólica.

A geometria hiperbólica, por sua vez, deve ser representada por uma superfície com curvatura negativa. Apesar do seu nome, as melhores escolhas para isso não envolvem uma hipérbole. Uma superfície que atende esse requisito é essa, vista na figura, que parece uma sela. Dá para ver que, em qualquer ponto dessa superfície, duas curvas se cruzam com curvaturas para lados opostos. Isso faz a curvatura de Gauss ser negativa.

Beltrami usou outra superfície mais conveniente que a sela para representar a geometria hiperbólica. Ele chamou essa superfície de pseudoesfera, e mostrou que ela exibe as propriedades requeridas pela geometria hiperbólica de curvatura negativa.

A soma dos ângulos de um triângulo desenhado sobre a superfície de uma pseudoesfera é menor que 180 graus, como esperado de uma superfície que represente a geometria hiperbólica e o caso agudo de Saccheri. Observamos que quanto maior o triângulo, menor é a soma de seus ângulos.

Além disso, por um ponto P, podem passar infinitas retas paralelas a outra reta. Na figura abaixo, L2 e L3 são paralelas a L1 e se cruzam em um ponto P. Todas as retas que passam por P e estão entre L2 e L3 também são paralelas a L1.

Um modelo para representação da geometria Hiperbólica foi criado pelo matemático Henry Poincaré. Ele inventou um mapa que é ótimo para ajudar a visualizar o plano hiperbólico. Reproduzir a superfície de uma esfera, como o globo terrestre, em um papel plano implica necessariamente em distorções (é necessário usar a imaginação).

Resumidamente, o mapa de Poincaré transporta todo um plano do espaço hiperbólico para dentro de um círculo, também chamado de "disco de Poincaré". As seguintes regras são seguidas nesse mapa: 1) Todo ponto do plano hiperbólico corresponde a um, e só um, ponto dentro do disco. 2) Uma "reta" do plano hiperbólico corresponde a um segmento de círculo encerrado dentro do disco, cujas pontas se aproximam perpendicularmente da borda desse disco.

No disco as retas AB e CD são retas paralelas e EF e GH são retas que se cruzam.

A figura abaixo mostra infinitas retas hiperbólicas paralelas a r passando por P.

No disco abaixo temos um exemplo de uma infinidade de retas com um ponto em comum e paralelas a outra reta arbitrária.

Veja no disco de Poincaré a figura de um triângulo hiperbólico: A área do triângulo = π ( ). Pois na geometria hiperbólica a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre menos que 180.

Podemos ainda utilizar dos softwares para construir figuras no plano hiperbólico. Ex: Através do geogebra Reta hiperbólica passando por A e por B:

Triângulos equiláteros a partir da intersecção de círculos:

Medida da soma dos ângulos dos triângulos equiláteros:

Triângulos isósceles e a soma de seus ângulos:

Quadrilátero de Saccheri: Nesse quadrilátero, conforme figura, AB é denominado lado base, CD é denominado lado topo do quadrilátero e AB e CD são os lados congruentes do quadrilátero. Os ângulos do lado base são retos e os dois ângulos do lado topo são agudos e congruentes.

Quadrilátero de Lambert: No quadrilátero de Lambert somente um ângulo é agudo e os outros três ângulos são retos.

E outras figuras, podendo sempre calcular seus ângulos:

Outro resultado sem equivalente na geometria. euclidiana é que os triângulos equiláteros (3 lados iguais) não são semelhantes entre si (têm ângulos diferentes)

O mesmo ocorrendo com os quadrados. Os quadrados abaixo não são semelhantes.

Na geometria hiperbólica dois triângulos podem ter dois pares de ângulos congruentes sem terem o terceiro par de ângulos congruentes.

A relação a²=b²+c² conhecida como teorema de Pitágoras não é válida na geometria hiperbólica. Sendo a,b e c respectivamente as medidas da hipotenusa e dos catetos de um triângulo retângulo temos que a²>b²+c².

Veja também algumas figuras não muito desconhecidas que envolvem a geometria hiperbólica.

Assim sendo, como afirma Henri Poincaré: Nenhuma geometria é mais correta do que qualquer outra - apenas é mais conveniente.

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