Lista de exercícios Prisma e cilindro 1. Na figura a seguir, que representa um cubo, o perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 + Ë2) cm. Calcule o volume do cubo em cm. 4. Em um tanque cilíndrico com raio de base R e altura H contendo água é mergulhada uma esfera de aço de raio r, fazendo com que o nível da água suba 1/6 R, conforme mostra a figura. 2. A figura abaixo apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 5 cm cada um e a altura do prisma mede 10 cm. a) Calcule o raio r da esfera em termos de R. b) Assuma que a altura H do cilindro é 4R e que antes da esfera ser mergulhada, a água ocupava 3/4 da altura do cilindro. Calcule quantas esferas de aço idênticas à citada podem ser colocadas dentro do cilindro, para que a água atinja o topo do cilindro sem transbordar. a) Calcule o volume do prisma. b) Encontre a área da secção desse prisma pelo plano que passa pelos pontos A, C e A'. 5. Um cilindro circular reto é cortado por um plano não paralelo à sua base, resultando no sólido ilustrado na figura a seguir. Calcule o volume desse sólido em termos do raio da base r, da altura máxima AB = a e da altura mínima CD = b. Justifique seu raciocínio. 3. Três bolas de tênis, idênticas, de diâmetro igual a 6 cm, encontram-se dentro de uma embalagem cilíndrica, com tampa. As bolas tangenciam a superfície interna da embalagem nos pontos de contato, como ilustra a figura a seguir. 6. O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na figura, tem arestas de comprimento a. Calcule: a) a área total, em cm, da superfície da embalagem; b) a fração do volume da embalagem ocupado pelas bolas.
Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta AE, então a distância do ponto M ao centro do quadrado ABCD é igual a a) (aë3)/5 b) (aë3)/3 c) (aë3)/2 d) aë3 e) 2aË3 a) 45 b) 30 c) 60 d) 15 9. Observe a figura. 7. Um engenheiro deseja projetar um bloco vazado cujo orifício sirva para encaixar um pilar. O bloco, por motivos estruturais, deve ter a forma de um cubo de lado igual a 80 cm e o orifício deve ter a forma de um prisma reto de base quadrada e altura igual a 80 cm, conforme as figuras seguintes. É exigido que o volume do bloco deva ser igual ao volume do orifício. É correto afirmar que o valor "L" do lado da base quadrada do prisma reto corresponde a: a) 20Ë2 cm b) 40Ë2 cm c) 50Ë2 cm d) 60Ë2 cm e) 80Ë2 cm Um prisma reto de base pentagonal foi desdobrado obtendo-se essa figura, na qual as linhas pontilhadas indicam as dobras. O volume desse prisma é: a) 6 + (9Ë3)/4 b) (45Ë3)/4 c) 30 + (9Ë3)/4 d) 30 + (45Ë3)/4 10. Observe o bloco retangular da figura 1, de vidro totalmente fechado com água dentro. Virando-o, como mostra a figura 2, podemos afirmar que o valor de x é 8. Um copo de base quadrada está com 80% de sua capacidade com água. O maior ângulo possível que esse copo pode ser inclinado, sem que a água se derrame é a) 12 cm. b) 11 cm. c) 10 cm. d) 5 cm. e) 6 cm.
11. Uma caixa de sapatos (com tampa) é confeccionada com papelão e tem as medidas, em centímetros, conforme a figura. Sabendo-se que à área total da caixa são acrescentados 2% para fazer as dobras de fixação, o total de papelão empregado na confecção da caixa, em cm, é a) 2406 b) 2744 c) 2856 d) 2800 e) 8000 12. As arestas do cubo ABCDEFGH, representado pela figura, medem 1 cm. Se VÛ e V½ indicam os volumes dos barris do tipo A e B, respectivamente, tem-se: a) VÛ = 2V½ b) V½ = 2VÛ c) VÛ = V½ d) VÛ = 4V½ e) V½ = 4VÛ 14. Dois recipiente cilíndricos têm altura de 40 cm e raios da base medindo 10 cm e 5 cm. O maior deles contém água até 1/5 de sua capacidade. Se M, N, P e Q são os pontos médios das arestas a que pertencem, então o volume do prisma DMNCHPQG é a) 0,625 cm. b) 0,725 cm. c) 0,745 cm. d) 0,825 cm. e) 0,845 cm. 13. Uma metalúrgica fabrica barris cilíndricos de dois tipos, A e B, cujas superfícies laterais são moldadas a partir de chapas metálicas retangulares de lados a e 2a, soldando lados opostos dessas chapas, conforme ilustrado a seguir. Essa água é despejada no recipiente menor, alcançando a altura h, de a) 32 cm b) 24 cm c) 16 cm d) 12 cm e) 10 cm 15. Um recipiente cilíndrico de 60 cm de altura e base com 20 cm de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40 cm, conforme indicado na figura.
lmergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobe 25%. Considerando igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água é igual a: a) 10Ë2 b) 10 Ë2 c) 10Ë12 d) 10 Ë12 16. Preparou-se gelatina que foi colocada, ainda em estado líquido, em recipientes, como mostram as figuras a seguir. O volume desse cilindro é de a) 250/ cm b) 500/ cm c) 625/ cm d) 125/ cm 18. Na figura a seguir os pontos A e B estão nos círculos das bases de um cilindro, reto de raio da base 15/ e altura 12. Os pontos A e C pertencem a uma geratriz do cilindro e o arco BC mede 60 graus. Qual a menor distância entre A e B medida sobre a superfície do cilindro? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 Sabendo que toda a quantidade de gelatina que foi preparada coube em cinco recipientes cilíndricos e em dois recipientes em forma de paralelepípedo, como representado na figura acima, a quantidade preparada, em litros, foi de (Use = 3,14) a) 1,01 b) 1,19 c) 1,58 d) 1,64 e) 1,95 19. Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um copo cilíndrico, inicialmente vazio, com raio da base também igual a 3 cm. 17. Num cilindro de 5 cm de altura, a área da base é igual à área de uma seção por um plano que contém o eixo do cilindro, tal como a seção ABCD na figura a seguir.
Após o gelo derreter completamente, a altura do nível da água no copo será de aproximadamente a) 8,5 cm. b) 8,0 cm. c) 7,5 cm. d) 9,0 cm. 18. D 19. A Gabarito 1. 64 2. a) 375Ë3 cm b) 50Ë3 cm 3. a) 126 cm b) 2/3 4. a) r = R/2 b) 6 esferas. 5. V = r (a + b)/2 6. C 7. B 8. A 9. D 10. A 11. C 12. A 13. A 14. A 15. D 16. D 17. B