Marcio Varela
M0 = F.d
M = F.d
M R = F.d
Exemplo: Determine o momento da força em relação ao ponto 0 em cada caso ilustrado abaixo.
Determine os momentos da força 800 N que atua sobre a estrutura na figura abaixo em relação aos pontos A, B, C e D.
Determine o momento resultante, das quatro forças que atuam no haste abaixo, em relação ao ponto 0.
O produto vetorial de dois vetores A e B produz um vetor C. C = A x B A Intensidade de C é definida como o produto das intensidades de A e B e o seno do ângulo θ entre os dois vetores, prolongando-os, se necessário de modo que suas origens se localizem no mesmo ponto (0 θ 180º). C = A x B = (A. B x sen θ)
Direção e Sentido: O vetor C tem direção perpendicular ao plano contendo A e B, de modo que seu sentido é determinado pela regra da mão direita. Conhecendo a intensidade, direção e o sentido de C, podemos escrever: C = A x B = (A. B x sen θ).u c Onde o escalar A.B.senθ define a intensidade de C e o vetor unitário u c define sua direção e seu sentido.
Leis de Operação: 1. O produto vetorial é não-comutativo, isto é: Ou seja: A x B B x A, A x B = -B x A.
2. Multiplicação por escalar: a.(a x B) = (a.a) x B = A x (a.b) = (A x B).a 3. Lei distributiva: A x (B + D) = (A x B) + (A x D)
Formulação vetorial cartesiana: i x j = k i x k = -j i x i = 0 j x k = i j x i = -k j x j = 0 k x i = j k x j = -i k x k = 0 A x B = (A x i + A y j + A z k) x (B x i + B y j + B z k) A x B = (A y B z - A z B y )i (A x B z - A z B x )j + (A x B y - A y B x )k Exercício: Prove a afirmativa acima.
A equação anterior pode ser representada pela matriz abaixo: i j k AxB = Ax Ay Az Bx By Bz Para determinarmos os elementos i, j, k basta calcularmos os determinantes para esses termos: i j k Para o elemento i: A B x A y A z = ( A y B z A z B y ) i x B y B z
Para o elemento j: Para o elemento k: j B A B A B A i x z z x x x ) ( B B A A k j z y z y = k B A B A B A i x y y x x x ) ( B B A A k j z y z y =
Formulação Vetorial M 0 = r x F Sendo r um vetor posição traçado de 0 até qualquer ponto sobre a linha de ação de F.
A Intensidade do produto vetorial é definida por: M 0 = r x F. senθ O ângulo θ é medido entre as direções de r e F. Uma vez que o braço de momento d = r.senθ, então: M 0 = r x F senθ = (r.senθ). F= d. F
Direção e sentido : São determinados pela regra da mão direita, com aplicação do produto vetorial.
Princípios da Transmissibilidade: O vetor F pode agir sobre qualquer ponto da sua linha de ação; e o vetor posição r, pode ser aplicado em qualquer ponto pertencente a linha de ação de F, dessa forma: M0 = rb x F = rc x F
Desenvolvendo a equação, M = rx F = 0 M0 = rb x F = rc x F, teremos: i r x F x r F j y y k F r z z r x, r y r z são os componentes x, y, z dos vetores posição traçado do ponto 0 até qualquer ponto sobre a linha de ação da força. F x, F y F z representam os componentes x, y, z do vetor força. M0 = (r y F z - r z F y )i (r x F z - r z F x )j + (r x F y - r y F x )k
Momento resultante de um sistema de forças: Se um corpo está sujeito à ação de um sistema de forças, o momento resultante das forças em relação ao ponto 0 pode ser determinado pela soma vetorial dos momentos gerados por esse sistema.
O poste está sujeito a uma força de 60 N na direção C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.
Solução Pelo princípio da transmissibilidade: Os vetores posição são representados como: A direção e o sentido da intensidade da força são especificados pelo vetor unitário uf de C para B: F r M ou F r M C A B A = = { } { }m j i r e m k j i r C B 4 3 2 3 1 + = + + = ( ) ( ) ( ) { } k j i F k j i u N F F 40 20 40 (2) 1) ( 2) ( 0 2 4 3 3 1 60 ) (60 2 2 2 + = + + + + = =
Solução Convertendo para a forma matricial: M ou i j k M Em ambos os casos : M A A A = r B = r = C i F = 1 40 F = 3 4 0 40-20 40 { 160i 120 j + 100k} j k 3 2-20 40 Intensidade : M M A A = (160) 2 = 224N m + ( 120) + (100) Calcule os ângulos diretores : 2 2
Três forças atuam na Barra mostrada, determine o momento resultante criado pelas forças em relação à flange em 0 e os ângulos diretores coordenados para o eixo do momento.
Solução: Vetores Posição direcionados do ponto O para cada força: Como conseqüência, o momento resultante em relação a O é: { } { }pés k j i r e pés j r B A 2 5 4 5 + = = ( ) -30 40 80-2 5 4 k j 0 50 0 0 5 0 k j 20 40 60 0 5 0 k j 0 3 2 1 0 0 i i i M F r F r F r M F r M R B A A R R + + = + + = =
Solução: M R 0 Intensidade do momento: M M R0 R0 = Vetor unitário: { 30i 40 j + k} lb pé = 60 2 2 ( 30) + ( 40) + ( 60) = 78,10lb pés M R0 30i 40 j + 60k u = = M R0 78,10 u = 0,3841i 0,5121 j + 0,7682k Ângulos diretores coordenados: cosα = 0,3841 cos β = 0,5121 cosγ = 0,7682 2
Teorema de Varignon: O momento de uma força em relação a um ponto é igual a soma dos momentos dos componentes das forças em relação ao mesmo ponto.
Uma força de 200 N atua sobre o suporte abaixo. Determine o momento da força em relação ao ponto A.
Solução 1.
Solução 2
A força F é aplicada nos terminais de cada suporte em ângulo mostrado na figura. Determine o momento da força em relação ao ponto 0.
Solução 1 (Análise Escalar).
Solução 2 (Análise Vetorial).
Sistemas de Forças e Momentos Marcio Varela
Análise do Sistema Força Somatório dos Momentos O momento da força resultante em relação ao ponto O é igual à soma de todos os momentos no sistema.
Análise do Sistema Força Formulação FRx FRy = = ΣF x ΣF y M Ro = ΣM x + ΣM y + ΣM z
Análise do Sistema Força Exercícios Determine o momento de binário que age no elemento mostrado na figura abaixo (análise escalar).
Análise do Sistema Força Exercícios Determine o momento de binário que atua sobre a estrutura de tubos mostrada na figura abaixo.
Análise do Sistema Força Análise Vetorial { } pol lb j M i j i M k k sen j i k j M k r k r M B A = + = + + = + = 129,9 200 129,9 200 ) (25 ) 30 6 8 cos30 (6 ) 25 ( ) (8 ) (25 ) 25 ( 0 0
Análise do Sistema Força Análise Escalar M M M M = F d = 25 6 cos30 0 = 25 5,20 = 129,9lb pol
Análise do Sistema Força Exercícios Determine o momento em relação ao ponto B de cada uma das três forças agindo sobre a viga e o momento resultante (análise escalar).
Análise do Sistema Força Exercícios Usando a análise vetorial cartesiana determine a força resultante e o momento F F R R = = resultante das três forças em relação à base da coluna em A. Dado F1 = {400i + Fi300j + 120K}N. {( 400 + 100) i + ( 300 100) j + ( + 120 60 500) k} F R = { 500i + 200 j 440k}N M RA = ( r F ) M RA = r AB F + r 1 AB F + r 2 AE F 3 i j k i j k i j k M R0 = 0 400 0 300 12 + 0 120 100 0-100 12 + 0-60 0-1 0 8-500
Análise do Sistema Força 1 A laje da figura está submetida a quatro colunas paralelas com cargas. Determine a força resultante equivalente e especifique a sua posição (x, y) sobre a laje. Considere F1 = 30 kn e F2 = 40 kn. ( + ) F 30 50 40 20 = 140kN F R R = ΣF ; = 140kN y ( M R ) x = ΣM x 140 y = 50 3 30 11 40 13 y = 7,14m ( M R ) y = ΣM y 140 x = 50 4 + 20 10 + 40 10 y = 5,71m
Análise do Sistema Força 2 Substitua as forças e todos os momentos por uma força e um momento equivalentes no ponto O. Levar, também, em consideração os momentos causados pelas forças no ponto em questão. Usar notação vetorial cartesiana. F F F F 1 2 2 3 M M M 1 2 2 = = = = { 300k} N 200{ cos 45º i sin 45º k} { 141,42i 141,42k } N { 100 j} N = = = N { 100k} N m 180{ cos 45º i sin 45º k} { 127,28i 127,28k} N m N m F F F F R R R R = ΣF; = F + F 1 2 + F 3 = 141,42i + 100 j + (300k 141,42k ) = { 141,42i + 100 j + 159k}N M M RO RO = ΣM O = r F + r F + M1+ M 2 1 1 2 i j k i j = 0 0,5 0 + 0 1,1 0 0 300 141,42 0 2 k 0 + 100k + 127,28i 127,28k -141,42 M RO = { 122i 183k} N m
Introdução a Isostática tica Tipos de carregamentos e de apoio IFRN Campus Natal Central www.ifrn.edu.br Física Aplicada Curso Superior
Uma forma aproximada de tratar cargas distribuídas segundo áreas muito reduzidas (em presença das dimensões da estrutura). São representadas por cargas aplicadas pontualmente.
Carga uniformemente distribuída Carga triangular Carga trapezoidal
q
São cargas do tipo momento fletor (ou torsor) aplicadas em um ponto qualquer da estrutura.
Restringe o grau de liberdade das estruturas; Provoca reações nas direções dos movimentos; Liga elementos que compões a estrutura; Função estática de transmitir as cargas ou forças.
Os vínculos ou apoios são classificados em função de número de movimentos impedidos. Apoio do 1º gênero (apoio simples); Apoio do 2º gênero (rótula); Apoio do 3º gênero (engaste).
São aqueles que impedem deslocamento somente em uma direção. SIMBOLOGIA:
Ponte rainha d. Amélia
São aqueles que restringem a translação de um corpo livre em todas as direções. SIMBOLOGIA:
Estação ferroviária em Londres
São aqueles que impedem qualquer movimento de corpo livre, imobilizando-o completamente. SIMBOLOGIA: H M
Tipos de Estruturas Vigas
Tipos de Estruturas Pórticos
Tipos de Estruturas Treliça
De acordo com o que foi visto anteriormente, calcule as reações de apoio das vigas abaixo: 6 N 2,0 m 3,0 m