. Considere as matrizes: A 3, B 3 e C 3 3. Assinale a alternativa que apresenta um produto ineistente: A) A B B) B A C) C A D) A t C E) B t C 3 3. Seja a matriz A =. 3 3 O termo 3 da matriz X = A é igual a A) 8 B) C) D) E) 3. Sendo A 3 uma matriz de elementos a ij = i j escreva a matriz M = ½(A A t ) + I em que I indica a matriz identidade de segunda ordem.. Escreva eplicitamente as matrizes a partir das seguintes leis de formação: A 3 a i j = 3 i j B b i j = i + j C 3 c i j = i j i+ j ( ) + D 3 d i j = se i < j e) E e i j = se i = j se i > j se i < j f) F f i j se i = j ou j = f(i ) j + f(i ) (j ) se i > j e j 5. Sendo A = e B =, determine os 3 5 3 seguintes produtos: A B B A A t B t B t A t Unicamp. Considere as matrizes: M= cosθ s enθ senθ cosθ Calcule a matriz inversa de M. Resolva a equação MX = Y., X = y e Y = z 3. Calcule o valore de + y z sabendo que as matrizes A= 3 e B= comutam entre si na y z multiplicação. 8 Puc. Escreva a matriz A=( ij ) cujos termos formam a matriz coluna que é solução da seguinte equação matricial. 3 3 = 9 Unesp. Considere as matrizes reais do tipo cos sen A() = sen cos. Calcule o produto A() A() Determine todos os valores de [,π] para os quais A() A() = A(). Unesp. Uma fábrica produz dois tipos de peças, P e P. Essas peças são vendidas a duas empresas, E e E. O lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P é R$3, e de cada peça P é R$,. A matriz abaio fornece a quantidade de peças P e P vendidas a cada uma das empresas E e E no mês de novembro. P P E 8 E 5 A matriz y, em que e y representam os lucros, em reais, obtidos pela fábrica, no referido, mês, com a venda das peças às empresas E e E, respectivamente, é A) 35 B) 9 8 C) 9 D) 8 E) 8
. Sendo A, B matrizes quadradas, I a matriz identidade e O a matriz nula, todas de mesma ordem, assinale a alternativa correta A) (A B) t = A t A t B) (A B) = A B C) Se A = A então A = I D) Se A B = I então A = B E) Se A B = O então A = O ou B = O. Chamamos de anti-simétricas às matrizes quadradas A tais que A t = A. Sabe-se que M é antisimétrica e: + a b M = y+ 3 c y z 3z Os termos a, b e c, de M, valem respectivamente: A), 3 e B),3 e C), 3 e D) 3, e E), e 3 3 Fuvest. Se as matrizes A= a b e c d B= são tais que AB = BA, pode-se afirmar que: A) A é invertível B) det A = C) b = D) c = E) a = d =. Calcule os determinantes das seguintes matrizes: A = ( ) B = 3 3 C = 5 8 9 3 3 D = 3 5. O módulo da diferença entre a soma e o produto das raízes da equação A) B) 3 D) E) 5 3 = 9 é 3. Sendo A= 3, os valores de λ que satisfazem 3 a sentença det( A λ I ) = são: A) naturais B) negativos C) racionais não inteiros D) irracionais E) não reais. Sejam A, B e C matrizes quadradas de segunda ordem tais que A = 3B e A B = C. Sabendo que o determinante da matriz B é igual a, calcule o determinante da matriz C. 8 ITA. Quaisquer que sejam os números reais a, b e c, podemos afirmar que o determinante da matriz + M = A) ab+ac+bc B) abc C) zero D) abc+ E) a + b + c é dado por: 9. Calcule os valores dos seguintes determinantes: 3 5 3 3 5 e) 5 5 9 3 3 5 3 3 5 f) 3 3 3 8 5 8 3
. Resolver as seguintes equações: 5 = cos sen sen cos 3 3 3 9 5 = = sen log cos tg log 5 sec = a b c. Considere a matriz real M = y z cujo r s t determinante é um número real positivo. Sendo k o valor desse determinante, calcule em função de k os valores dos seguintes determinantes: a r b s y c t z a c b z y r t s a 3b 3c y z r s t a a + b c a + y z r r+ s t r 3. Sendo A = 5, C =, e B a matriz 3 3 que satisfaz A B = C t + I, podemos concluir que o determinante da matriz B vale: A) B) C) ½ D) E) ½. Para todo real tem-se que 3 é igual a A) ( )( 3) B) ( 3) C) ( ) D) ( + )( 3) E) ( )( + 3) 9 5 Ufscar. Seja A=(a ij ) uma matriz quadrada de p, se i = j ordem 3 tal que, a ij = com p inteiro p, se i j positivo. Em tais condições. É correto afirmar que, necessariamente, deta é múltiplo de A) B) 3 C) 5 D) E). Calcule os seguintes determinantes: 3 3 3 5 3 e) detm f) det(k M). Determine os valores reais de m para que a matriz m 3 M = admita inversa para todo real. 9 3 5 3 5
FGV. As matrizes A=(a ij ) e B=(b ij ) são tais que a ij = 3b ij. Se o determinante da matriz A é igual a 3, então o determinante da matriz B é igual a A) B) C) 9 8 D) E) 3 8. Sendo, y e z números inteiros, podemos afirmar 3 5 que o valor do determinante da matriz 5 é y z 5 necessariamente A) par B) ímpar C) divisor de 3 D) múltiplo de 5 E) primo y z 9. Sabendo que z y = 8, calcule o valor de y z K na epressão a seguir em que I representa a matriz identidade de terceira ordem: K = det( I) + det(y I) + det(z I) 3 y 3 z 3. Escreva todas as soluções da equação +y+z = 5 em que as variáveis, y e z são números inteiros positivos. 3. Resolva e classifique os seguintes sistemas: + 3y= y = = 3y + 5y= (y+ 5) 5y= y + y= 3 3. Resolver o seguinte sistema: + y+ 3z= 3 5y z= 5+ y+ 3z= 33. Discutir em função do parâmetro real k, o conjunto solução do sistema: k y = k + (k 3) + y = 3. Escreva pelo menos uma solução da equação 3+y= que satisfaça às seguintes relações: > e y > < y < y = e) = y f) + y = 35. Escreva cinco soluções distintas deste sistema: 3y+ z= y = 3. Resolver e classificar os seguintes sistemas. + 5y= 8+ y= + y= + y= 5 + y= 8 5+ 9y= y= 5 3y+ = 5( ) + + y+ z= e) + z= 3+ y+ 3z= 5 + y+ z= f) + y+ z= + y+ 3z= 3 + y= g) + y+ z= a+ y= h), com a ± + ay =
3. Discutir em função do parâmetro k o seguinte sistema linear: k+ y+ z= + ky+ z= + y+ z= k 38 Fuvest. Se Amélia der R$3, a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$, a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade do que tem, ficara com uma quantia igual a um terço do que possui Maria. Quanto possui cada uma das meninas Amélia, Lúcia e Maria? 39. Determine a medida em graus, do ângulo interno de vértice A do triângulo ABC da figura sabendo que P é o seu incentro e que duas de suas bissetrizes internas formam um ângulo de 8º como mostra a figura: B C. Determine os valores reais do parâmetro a que fazem com que as retas que representam cartesianamente cada uma das equações do sistema interceptem-se todas num mesmo ponto. + y = 3y + = a y + a = Fuvest. João, Maria e Antônia tinham juntos, R$.,. Cada um deles investiu sua parte por um ano, com juros de % ao ano. Depois de creditados seus juros no final desse ano, Antônia passou a ter R$., mais o dobro do novo capital de João. No ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais, ainda com juros de % ao ano. Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João. Qual era o capital inicial de João? A) R$., B) R$., C) R$., D) R$., E) R$8., 8º P A. O valor de m para que este sistema admita solução não trivial é: + y + z = + 5y z = my + 5z = A) B) C) 3/5 D) 5/3 E) 5/3 3. Três círculos são tais que cada um deles tangencia eteriormente os outros dois têm seus centros nos vértices de um triângulo cujos lados medem cm, 8cm e 9cm. A área do maior destes círculos, em centímetros quadrados, é A) 9π B) π C) 5π D) 3π E) 9π + (c+ )y = Fuvest. O sistema, em que o c+ y= parâmetro c é diferente de zero, admite uma solução (,y) com =. então, o valor de c é A) 3 B) C) D) E) 5. Os números atômicos dos elementos químicos Xenônio, Ítrio e Zinco têm soma 3, o do Xenônio é 5 unidades inferior à soma dos outros dois e unidades inferior ao dobro do número atômico do Zinco. Os três números atômicos em questão, A) são todos pares B) são todos ímpares C) dois deles são ímpares e o outro par D) dois deles são pares e o outro ímpar E) estão em progressão aritmética. Considere o seguinte sistema: + y = 3y+ = a y+ a= O valor do parâmetro a para o qual as equações do sistema a seguir representam retas concorrentes num mesmo ponto é A) B) C) D) 3 E)
. Resolver os seguintes sistemas: + 3y= 3+ y= + y= y+ z= 8 z+ = 9 + 3y= 5 y= 3+ y= 9 + 3y= 5 y= 3+ y= 9 + y= e) + y+ z= 8. Discutir em função do parâmetro real k, o conjunto solução de cada um dos sistemas a seguir: k+ 9y= + y= k+ y= y= k+ y= + ky= k+ z= ky+ z= k + y + kz = 9. Dada uma matriz quadrada M de ordem n, e cujo t determinante é um número real positivo, sejam M, M e M respectivamente a matriz transposta, a matriz inversa e a matriz dos atores da matriz M. Assinale a alternativa que apresenta uma afirmação, sobre os determinantes dessas matrizes, que seja falsa. A) ( t t det A+ A ) = det( A) + det( A ) B) det( A A ) = det( A) det( A ) t C) det( A A ) = det( A) t D) det( A A ) = E) ( ) ( ) n det A = det A 5 Se A é uma matriz quadrada de quarta ordem tal j i que a = i j, então det(a) é igual a i j A) B) 9 C) 9 D) 5 E) 89 5. Sendo α e β as medidas de dois ângulos complementares pode-se concluir que o determinante da matriz M= senα senβ cosα é igual a cosα cosβ senα A) B) C) D) E) 5. Se os números reais, y e z satisfazem o sistema 3 representado pela equação 3 y =, então 3 z é correto concluir que + y + z é igual a A) B) C) ½ D) E) ¾ 53. O conjunto solução de um sistema linear de três variáveis é epresso por S = {( α, α,3 α), α R }. Assim, é correto afirmar que se trata de um sistema A) possível determinado e homogêneo. B) possível indeterminado e homogêneo. C) possível indeterminado, mas não homogêneo. D) impossível e homogêneo. E) impossível e não homogêneo. 5. Sendo a um parâmetro real podemos afirmar que a+ y= a o sistema linear é + ay= A) Possível e determinado para todo a real B) Possível e indeterminado quando a = C) Possível e indeterminado para todo a real D) Impossível quando a = E) Possível e determinado quando a ±
3.E.D 3. 9. 5 5 9 Curso de linguagem matemática Professor: Renato Tião. 3 3 5 3 3 9 Gabarito Matrizes e) f) 3 3 5 5 3 9 3 3 cosθ senθ cosθ 5. 3 3 5. senθ cosθ X = senθ 9 3 9 9 5 3 sen(). 8. 9. = ou = π sen ().C.E.B 3.D Determinantes. 3 5.B.D. detc = /9 8.B 9. 9 e) f) π π. S={, } S={ R = ± + kπ, k Z} S={, log3 } S={ R + k π, k Z}. k k k k e) k f) k. m < 3. C. A 5. C. e. E 8. D 9. K = 8 Sistemas lineares 3.S = {(3,,), (,3,), (,,3), (,,), (,,), (,,)} 3. S = {(, )} SPD S = SI S = {( + α, α ), α R} SPI 5 3. S = {(,, 3)} 33. k SPD e k = SI 3. (, ) (, 5) (3, ) (, ) e) (, ) f) (, ) 8 35. S = {(α, α, 5α), α R} (,, ), (,, 5), (, 8, ), (,, 5) e (8,, ) 3. S = {(, )} S = { (, 5)} S = {( 5, )} S = {( 5 +α, α ), α R} e) S = {(,, )} f) S = g) S = {( α, α, 3 ), α R} h) S = {( a, a )} 3. Maria possui R$3,, Lúcia R$8, e Amélia R$, 38. k e k SPD, k = SI e k = SPI 39. 3º. a =. A. E 3. C. B 5. D. B Diversos 9. A 5.C 5.B 5. C 53. B 5. E