Contagem Princípio Fundamental de Contagem Se algum procedimento pode ser realizado de n 1 maneiras diferentes; se, seguindo este, um segundo procedimento pode ser realizado de n 2 maneiras diferentes; se ainda, seguinte este segundo, um terceiro procedimento pode ser realizado de n 3 maneiras diferentes, e assim por diante; então o número de maneiras nas quais podemos realizar os procedimentos na ordem dada é o produto n 1 * n 2 * n 3... Exemplo: Suponhamos que uma placa de carro contenha 2 letras distintas, seguidas por três dígitos, com o primeiro dígito diferente de zero. Quantas placas podem ser impressas? Solução: Teremos a seguinte solução: 10 opções 10 opções 9 opções 22 opções 23 opções Resposta: 10 x 10 x 9 x 22 x 23 455400 placas Notação Fatorial O produto dos inteiros positivos de 1 a n, inclusive, aparece frequentemente em matemática e, por isso, é representado pelo símbolo especial. n * (n-1) * (n-2) *... * 3 * 2 * 1 É conveniente definir, também, 0!1. Exemplo: i) 4! 4 * 3 * 2 * 1 24 ii) 5! 5 * 4! 5 * 24 120 iii) 7! 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 5040 iv) 7! 7 * 6 * 5 * 4! 5040 E Nemer 1 / 7
Permutação Um arranjo de um conjunto de n objetos, em dada ordem, é chamado permutação dos objetos (tomados todos ao mesmo tempo). Um arranjo de quaisquer r desses n objetos, em dada ordem, é chamado de r-permutação ou permutação dos n objetos, tomados r a r. Exemplo: Consideremos o conjunto de letras a, b, c e d. Então: i) BDCA, DCBA e ACDB são permutações das 4 letras (tomadas todas ao mesmo tempo). ii) BAD, ADB, CBD e BCA são permutações das 4 letras, tomadas 3 a 3. iii) AD, CB, DA e BD são permutações das 4 letras, tomadas 2 a 2. Exemplo: Encontre o número de permutações de 6 objetos: a, b, c, d, e, f; tomadas 3 a 3. Em outras palavras, encontre o número de palavras de 3 letras, com letras distintas, que podem ser formadas com as 6 letras acima. Solução: 4 opções 5 opções 6 opções Então, pelo princípio fundamental de contagem, existem 6*5*4 120 palavras de três letras distintas, formadas com as 6 letras dadas; ou existem 120 permutações de 6 objetos tomadas 3 a 3. Portanto, P(6,3) 120 A dedução da fórmula para P(n,r) segue o processo executado no exemplo anterior: O primeiro elemento numa r-permutação de n objetos pode ser escolhido de n maneiras diferentes; O segundo elemento pode ser escolhido de n-1 maneiras; O terceiro pode ser escolhido de n-2 maneiras. Continuando assim, temos que o r-ésimo (último) elemento da r- permutação pode ser escolhido de n-(r-1) n-r+1 maneiras. Assim, temos que: E Nemer 2 / 7
Teorema 1: P(n,r) n * (n-1) * (n-2) * (n-3) *...* (n-r+1) n ( n 1) ( n 2) K ( n r + 1) ( n r)! Obs: n * (n-1) * (n-2) *...* (n-r+1) obs: No caso particular de rn, temos: P ( n, n) n ( n 1) ( n 2) K 3 2 1 Exemplo: Quantas permutações de 3 objetos: a, b, c, existem? Solução: Existem 3! 3 * 2 * 1 6 permutações, ou seja: abc acb bac bca cab cba Permutações com Repetições Frequentemente queremos saber o número de permutações de objetos, alguns dos quais são aparecem repetidos. A fórmula geral para esse caso é: onde, n 1 é o número de n1! n2! K nr! vezes que o objeto A aparece repetido, n 2 é o número de vezes que o objeto B aparece repetido, n 3 é o número de vezes que o objeto C aparece repetido, e assim em diante. Exemplo: Suponha que se queira formar todas as palavras de 5 letras possíveis, usando as letras da palavra DADDY. Observe que, caso não tivéssemos letras repetidas, teríamos 5! 120 permutações das letras. Como a letra D aparece três vezes, temos que descontar 3! 3 * 2 * 1 6 maneiras de permutar as três letras D. Portanto, o resultado final é 5! 3! 120 20 6 Ou seja, existem 20 palavras diferentes de 5 letras que podem ser formadas com as letras da palavra DADDY. Exemplo: Quantos anagramas podem ser formados com as letras a, a, b, c. E Nemer 3 / 7
Solução: Se não houvesse letras repetidas, teríamos 4! 24 anagramas. Entretanto, como temos 2 letras repetidas, teremos: 4! 4 3 2 12 anagramas 2! 2 Verificação: aabc baac caab aacb baca caba abac bcaa cbaa abca acab acba Exemplo: Quantos sinais diferentes, cada qual composto por 8 bandeiras penduradas numa linha vertical, podem ser formadas com um conjunto de 4 bandeiras vermelhas indistinguíveis, 3 brancas indistinguíveis e uma azul? V V V V B B B A Solução: Procuramos o número de permutações de 8 objetos, dos quais 4 são iguais (as bandeiras vermelhas) e 3 também são iguais (brancas). Pelo teorema anterior, existem 8! 4!3! 8 7 6 5 4 3 2 1 280 sinais diferentes 4 3 2 1 3 2 1 Amostras ordenadas Muitos problemas de análise combinatória e, em particular, de probabilidade, estão ligados á escolha de uma bola de uma urna contendo n bolas (ou uma carta de baralho, ou uma pessoa da população). Quando escolhemos uma bola após outra da urna, digamos r vezes, chamamos a escolha de amostra ordenada de tamanho r. E, são consideradas duas possibilidades: o Amostragem com reposição: Neste caso, a bola é recolocada na urna, antes da escolha da próxima. Portanto, pelo princípio fundamental de contagem, existem amostras ordenadas diferentes, com reposição, de tamanho r. Logo: n n n K n n r E Nemer 4 / 7
o Amostragem sem reposição: Neste caso, a bola não é recolocada na urna, antes da escolha da próxima bola. Assim, não há repetição na amostra ordenada. Ou seja, uma amostra ordenada, sem reposição, de tamanho r, é simplesmente uma r-permutação dos objetos da urna. Logo, há P(n,r) n * (n-1) * (n-2) * (n-3) *...* (n-r+1) amostras ordenadas diferentes sem reposição, de tamanho r, de uma população de n objetos. Exemplo: De quantas maneiras diferentes podemos escolher, sucessivamente,3 cartas de um baralho de 52 cartas com reposição, e sem reposição? Solução: i) Se cada carta é colocada no baralho antes da próxima ser escolhida, então cada uma carta pode ser escolhida de 52 maneiras diferentes. 52 52 52 Ou seja, há 52 * 52 * 52 52 3 140.608 amostras ordenadas diferentes de tamanho 3, com reposição. ii) Por outro lado, se não há reposição, podemos escolher a primeira carta de 52 maneiras diferentes, a segunda de 51 maneiras e a terceira de 50. 52 51 50 Ou seja, há 52 * 51 * 50 132.600 amostras ordenadas diferentes de tamanho 3, sem reposição. Combinação Suponha um conjunto com n objetos. Uma combinação destes n objetos tomados r a r, ou uma r-combinação, é qualquer subconjunto de r elementos. Em outras palavras, uma r-combinação é qualquer seleção r dos n objetos, sem considerar sua ordem. Como exemplo, as combinações das letras A, B, C e D, tomadas 3 a 3, são {A,B,C}, {A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}, ou simplesmente, ABC, ABD, ACD, BCD. Observe que ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA, embora representem 6 permutações, são combinações iguais, isto é, cada uma representa o mesmo conjunto {A,B,C}. E Nemer 5 / 7
O número de combinações de n objetos, tomados r a r, é obtido a partir da seguinte fórmula: C( n, r) P( n, r) n! r! r!( n r)! Como um outro exemplo, de um grupo de 8 pessoas, quantas comissões podem ser formadas com 3 delas? 8! C ( 8,3) 56 3!(8 3)! Como um exemplo mais genérico, suponha um grupo formado por 6 homens e 7 mulheres. Quantas comissões podem ser formadas com: o 6 pessoas? Solução:Temos 6 vagas para formar a comissão. Como não houve nenhuma restrição quanto a sexo, significa que temos 13 pessoas (6 homens e 7 mulheres) para distribuir pelas 6 vagas. Como a ordem não importa, temos um problema de combinação. Logo, temos como resposta: 13! C ( 13,6) 1716 6!(13 6)! o 6 pessoas, onde 3 são homens e 3 são mulheres? Solução:Temos 6 vagas para formar a comissão. Temos que 3 vagas deverão ser preenchidas com homens, e são 6 homens para as 3 vagas. As outras 3 vagas deverão ser preenchidas por 3 mulheres, e temos 7 mulheres para essas 3 vagas. Como a ordem não importa, temos um problema de combinação. Logo, temos como resposta: Homem Homem Homem Mulher Mulher Mulher 6 homens 7 mulheres 6! 7! C ( 6,3) 20 x ( 7,3) 35 3!(6 3)! 3!(7 3)! C 700 E Nemer 6 / 7
o 6 pessoas, onde 3 são homens e 3 são mulheres, onde o homem A participa mas os homens B e C não, e onde a mulher X participa mas a mulher Y não? Solução:Temos 6 vagas para formar a comissão. Temos que 3 vagas deverão ser preenchidas com homens, e são 6 homens para as 3 vagas. Entretanto, como o homem A tem que participar, isto significa que uma vaga já está reservada para ele. Logo, sobram 2 vagas para os outros 5. Mas como os homens B e C não podem participar, teremos, então, somente 3 homens para distribuir pelas 2 vagas restantes. As outras 3 vagas deverão ser preenchidas por 3 mulheres, e temos 7 mulheres para essas 3 vagas. Como a mulher X tem que participar, sobram 6 mulheres para as outras 2 vagas. Mas como a mulher Y não pode participar, sobram 5 mulheres para distribuir entre as 2 vagas restantes. Como a ordem não importa, temos um problema de combinação. Logo, temos como resposta: A Homem Homem X Mulher Mulher 3 homens 5 mulheres 3! 5! C ( 3,2) 3 x ( 5,2) 10 2!(3 2)! 2!(5 2)! C 30 E Nemer 7 / 7