EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TANGÊNCIA

1 Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre TANGÊNCIA em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.6c. 2005. Desenhos construídos por: Enéias de A. Prado. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TANGÊNCIA 1. TRAÇAR UMA RETA TANGENTE NUM PONTO DADO DA CIRCUNFERÊNCIA. PROCESSO I Seja um Ponto T na circunferência de centro O. Traçar por T e O a reta normal e depois traçar a reta perpendicular à normal passando por T que será a reta tangente. PROCESSO II Seja um ponto T na circunferência de centro O. Com centro em O1 qualquer e raio O1T trace um arco de circunferência que corte a circunferência dada em P. E com centro em T e raio TP trace um outro arco de circunferência que corte o arco anterior em P'. Ligue o ponto P ao ponto T encontrando assim a reta tangente t. 2. POR UM PONTO EXTERIOR TRAÇAR DUAS RETAS TANGENTES A UMA CIRCUNFERÊNCIA DADA. PROCESSO I (Utilizando o centro da circunferência dada) Seja a circunferência de centro O' e o ponto A exterior. Ligue o Ponto O' ao ponto A.

2 Encontre o Ponto Médio(M) de AO' e com centro em M e raio MA trace uma circunferência que corte a circunferência dada em C e D. Ligue o ponto A aos pontos C e D encontrando assim as duas tangentes t e t'. As tangentes t e t' passam pela hipotenusa dos triângulos retângulos ACO' e ADO' inscritos nas semi-circunferências o que explica o processo utilizado.

3 PROCESSO II (Não utilizando o centro da circunferência dada) Seja a circunferência dada e o ponto P exterior. Passar por P uma reta secante (s) que corte a circunferência em dois pontos A e B. Marque na reta (s) a partir de P a medida PC que é igual à medida da corda AB encontrando assim o ponto C. Com a ponta seca do compasso em C e raio CB trace um arco. Com a ponta seca do compasso em A e mesma abertura trace outro arco encontrando o ponto D. Com a ponta seca do compasse em P e abertura igual à PD trace um arco que corte a circunferência dada em T e T'.

4 Ligue o ponto P aos pontos T e T' encontrando assim as duas tangentes. 3. DESCREVER UMA CIRCUNFERÊNCIA QUE SEJA TANGENTE A UMA RETA DADA NUM PONTO DADO, E PASSE POR OUTRO PONTO QUALQUER DADO FORA DA RETA. Seja a semi-reta Ts dada e um ponto B exterior. Ligue o ponto B ao ponto T.

5 Encontre a mediatriz do segmento TB. Levante uma perpendicular (p) pelo ponto T encontrando assim o ponto O na interseção da mediatriz (m) com a perpendicular (p). Com centro do compasso em O e abertura igual à OT ou OB trace a circunferência procurada.

6 4. TRAÇAR RETAS TANGENTES EXTERIORES COMUNS A DUAS CIRCUNFERÊNCIAS DADAS. Sejam duas circunferências exteriores dadas de centros O e O' e raios R 1 e R 2 respectivamente. Com a ponta seca do compasso em O e abertura igual a (R 1 -R 2 ) trace uma circunferência auxiliar. Ligue os centros O e O' e trace a mediatriz (m) do segmento OO' encontrando o ponto médio M.

7 Com a ponta seca do compasso em M e abertura igual à MO ou MO' trace uma circunferência auxiliar. A circunferência auxiliar de centro M e raio MO corta a circunferência auxiliar de centro O nos pontos T e T'. Ligue O' a T e T' e prolongue até encontrar os pontos A (T 1 ) e B (T 2 ). Centre o compasso em T 1 e com abertura igual a TO' trace um arco que corte a circunferência de centro O' em T 1 '. Centre o compasso em T 2 e com abertura igual a T'O' trace um arco que corte a circunferência de centro O' em T 2 '. Ligue os pontos (T 1 T 1 ') e (T 2 T 2 ') encontrando as retas tangentes. Utilize o método de divisão de segmentos (Aula 1 - Exercício oito) e divida AB em oito partes iguais.

8 5. TRAÇAR RETAS TANGENTES INTERIORES COMUNS A DUAS CIRCUNFERÊNCIAS DADAS. Sejam duas circunferências exteriores dadas de centros O e O' e raios R 1 e R 2 respectivamente. Construa uma circunferência auxiliar com o centro em O e com o raio igual a R 1 +R 2. Ligue os centros O e O'. Trace a mediatriz de OO' encontrando o ponto médio M. Com a ponta seca do compasso em M e abertura igual à MO trace uma circunferência que corta a circunferência auxiliar em T e T'.

9 Ligue o centro O aos pontos T e T' para encontrar na circunferência de centro O dada, os pontos de tangência T 1 ' e T 2 '. Ligue os pontos T e T' ao centro O'. Com a ponta seca do compasso em T 1 ' e com abertura TO' trace um arco que corte a circunferência de centro O' em T 1. Com a ponta seca do compasso em T2' e com abertura T'O' trace um arco que corte a circunferência de centro O' em T2.

10 Ligue os pontos T 1 ' a T 1 e T 2 ' a T 2 encontrando as tangentes interiores comuns às duas circunferências dadas. 6. DADA UMA CIRCUNFERÊNCIA, UM PONTO T SOBRE ELA, E UM PONTO P EXTERIOR, DESCREVER OUTRA CIRCUNFERÊNCIA QUE SEJA TANGENTE À CIRCUNFERÊNCIA DADA NO PONTO T DADO E QUE PASSE PELO PONTO P EXTERIOR DADO. Seja o ponto T pertencente à circunferência de centro O e o ponto P exterior dados. Para encontrar a circunferência que passa por P e tangencia a circunferência dada em T, primeiramente, trace uma reta normal à circunferência dada que passe por T e O.

11 Em seguida, ligue o centro O ao ponto P. Trace a mediatriz do segmento OP encontrando o ponto O' na interseção da mediatriz com a reta secante. Com a ponta seca do compasso em O' e com abertura igual à O'T trace a circunferência procurada. 7. DESCREVER COM UM RAIO DADO UMA CIRCUNFERÊNCIA TANGENTE A SUAS RETAS CONCORRENTES DADAS. Sejam as retas r e s dadas concorrentes no ponto O.

12 A partir de qualquer ponto na reta r levantar uma perpendicular e marcar nela uma distância d igual ao valor do Raio dado encontrando o ponto R. A partir de qualquer outro ponto na reta s levantar uma perpendicular e marcar nela a mesma distância d igual ao valor do Raio dado encontrando o ponto S. Traçar por R e por S retas paralelas às retas r e s encontrando no seu cruzamento o ponto O'. Levante duas perpendiculares por O' às retas r e s encontrando os pontos T1 e T 2. Com a ponta seca do compasso em O' e abertura O' T 1 ou O'T 2 traçar a circunferência de raio R que tangencia as duas retas concorrentes

13 8. DESCREVER COM UM RAIO DADO UMA CIRCUNFERÊNCIA TANGENTE A DUAS OUTRAS CIRCUNFERÊNCIAS DADAS. PROCESSO I (Tangentes interiores) Sejam duas circunferências dadas de centros O' e O'' e raios R e R 2 respectivamente e uma outra circunferência cujo raio é R.

14 A partir de O', traçar uma reta em qualquer posição cuja medida é (R-R 1 ) e depois, outra reta a partir de O'' cuja medida é (R-R 2 ). Com a ponta seca do compasso em O' e medida (R-R 1 ) trace um arco e com a ponta seca em O'' e raio (R-R 2 ) trace outro arco.

15 Ligue o cruzamento desses dois arcos aos centros O' e O'' encontrando respectivamente T 2 e T 1. Com a ponta seca do compasso nos cruzamentos dos arcos e abertura igual ao raio dado R trace a circunferência procurada que tangência interiormente as duas circunferências dadas em T 2 e T 1.

16 Ligue o outro cruzamento dos arcos auxiliares aos centros O' e O'' encontrando assim os pontos T 3 e T 4. Com a ponta seca do compasso nos cruzamentos dos arcos e abertura igual ao raio dado R trace a outra circunferência procurada que tangencia interiormente as duas circunferências dadas em T 3 e T 4.

17 Temos então, as duas circunferências tangentes interiores às duas circunferências dadas. PROCESSO II (Tangentes exteriores) Sejam duas circunferências dadas de centros O' e O'' e raios R e R 2 respectivamente e uma outra circunferência cujo raio é R.

18 A partir de O' traçar uma reta em qualquer posição cuja medida é (R+R 1 ) e outra reta a partir de O'' cuja medida é (R+R 2 ). Com a ponta seca do compasso em O' e medida (R+R 1 ) trace um arco e com a ponta seca em O'' e raio (R+R 2 ) trace outro arco.

19 Ligue o cruzamento desses dois arcos aos centros O' e O'' encontrando respectivamente T 2 e T 1. Com a ponta seca do compasso nos cruzamentos dos arcos e abertura igual ao raio dado R trace a circunferência procurada que tangência exteriormente as duas circunferências dadas em T 2 e T 1.

20 Agora, com a ponta seca do compasso em O' e O'' e abertura R trace os arcos para o lado de cima. Ligue o outro cruzamento dos arcos auxiliares (superior) aos centros O' e O'' encontrando os pontos T 3 e T 4.

21 Com a ponta seca do compasso nos cruzamentos dos arcos superiores e abertura igual ao raio dado R trace a outra circunferência procurada que tangencia exteriormente as duas circunferências dadas em T 3 e T 4. Temos então, as duas circunferências tangentes exteriores às duas circunferências dadas.

22 PROCESSO III (Tangentes: exterior e interior) Sejam duas circunferências dadas de centros O' e O'' e raios R e R 2 respectivamente e uma outra circunferência cujo raio é R. A partir de O', traçar uma reta em qualquer posição cuja medida é (R-R+) e outra reta a partir de O'' cuja medida é (R+R 2 ).

23 Com a ponta seca do compasso em O' e medida (R-R 1 ) trace um arco e com a ponta seca em O'' e raio (R+R 2 ) trace outro arco. Ligue o cruzamento desses dois arcos aos centros O' e O'' encontrando respectivamente T 1 e T 2.

24 Com a ponta seca do compasso nos cruzamentos dos arcos e abertura igual ao raio dado R trace a circunferência procurada que tangência interiormente a circunferência de centro O' no ponto T 1 e tangência exteriormente a circunferência de centro O'' no ponto T 2. Agora coma ponta seca do compasso em O' e depois em O'' com abertura no compasso igual a (R 1 -R) e (R 2 +R) respectivamente trace do lado de cima os dois arcos que se cruzam.

25 Ligue a intersecção dos arcos superiores aos centros O' e O'' encontrando respectivamente os pontos T 4 e T 3. Com a ponta seca do compasso nos cruzamentos dos arcos e abertura igual ao raio dado R trace a outra circunferência procurada que tangencia interiormente a circunferências de centro O' no ponto T 4 e exteriormente a circunferência de centro O'' no ponto T 3.

26 9. POR DOIS PONTOS DADOS, TRAÇAR DUAS CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES A UMA RETA DADA. Sejam A e B os dois pontos dados por onde deverão passar duas circunferências tangentes à reta r dada. Ligue A e B e prolongue até encontrar o ponto P na intersecção com r. Encontre a média geométrica PT' entre PB e PA: trace a mediatriz de PB encontrando o ponto M.

27 Com a ponta seca do compasso em M e raio MB ou MP construa uma semicircunferência. Levante por A uma perpendicular encontrando o ponto T'. A medida PT' será a média geométrica entre PB e PA.

28 Marque a medida PT' a partir de P na reta r para a esquerda e para a direita encontrando os pontos T 1 e T 2 respectivamente. Trace a mediatriz do segmento BA que é uma corda da circunferência. Esta mediatriz será o lugar geométrico dos centros das duas circunferências procuradas. Levante uma perpendicular por T 1. Esta perpendicular será o lugar geométrico do centro de uma das circunferências procuradas. Onde esta perpendicular intersectar com a mediatriz de AB teremos o centro O 1 de uma das circunferências procuradas. Levante uma perpendicular por T 2. Esta perpendicular será o lugar geométrico do centro da outra circunferência procurada. Onde esta perpendicular intersectar com a mediatriz de AB teremos o centro O 2 da outra circunferência procurada.

29 Com a ponta seca do compasso em O 1 e abertura O 1 T 1 trace uma circunferência. Com a ponta seca do compasso em O2 e abertura O 2 T 2 trace a outra circunferência procurada. Veja abaixo a resposta com as duas circunferências de centros O 1 e O 2 que passam por A e B e tangenciam a reta r em T 1 e T 2 respectivamente.

30 10. TRAÇAR UMA CIRCUNFERÊNCIA TANGENTE A TRÊS OUTRAS CIRCUNFERÊNCIAS DADAS Sejam três circunferências dadas de centros O 1, O 2 e O 3. Trace as tangentes exteriores comum às circunferências de centros O 1 e O 2 encontrando respectivamente os pontos de tangência (T 1, T 1 ') e (T 2,T 2 '). Em seguida trace as tangentes exteriores comum às circunferências de centros O2 e O3 encontrando respectivamente os pontos de tangência (T 2 '', T 2 ''') e (T 3, T 3 '). Depois, trace as tangentes exteriores comum às circunferências de centros O 1 e O 3 encontrando respectivamente os pontos de tangência (T 1 '', T 1 ''') e (T 3 '', T 3 '''). Em seguida, trace as retas Polares (T 1,T 1 ') e (T 2,T 2 '). Ligue os centros das circunferências O 1 e O 2 e prolongue o segmento além do centro O 2 até a reta atingir a polar T 2 T 2 ' encontrando assim o segmento AB que liga uma polar à outra.

31 Trace a reta d 1 dishomóloga (a mediatriz do segmento AB). Ligue os centros das circunferências O 2 e O 3 e prolongue o segmento além do centro O 2 até a reta atingir a polar T 2 ''T 2 ''' encontrando assim o segmento CD que liga uma polar à outra. Trace a dishomóloga d 2 (mediatriz de CD). Ligue os centros das circunferências O 3 e O 1 e prolongue o segmento além do centro O 3 até a reta atingir a polar T 3 ''T 3 ''' encontrando assim o segmento EF que liga uma polar à outra. Trace a dishomóloga d 3 (mediatriz de EF). As três disshomólogas se encontram no ponto K.

32 Ligue o ponto K às interseções das polares encontrando assim os pontos T 5 T 5 ' T 5 '' (internamente) e os pontos T 6 T 6 ' T 6 '' (externamente) nas três circunferências dadas. Obtemos os pontos de tangência T 5 T 5 ' T 5 '' da circunferência tangente exterior às três circunferências dadas e os pontos T 6 T 6 ' T 6 '' da circunferência tangente interior às três circunferências dadas. Ligue os pontos T 5 T 5 ' T 5 '' construindo assim um triângulo. Depois ligue os pontos T 6 T 6 ' T 6 '' construindo um outro triângulo. Traçar as mediatrizes dos lados dos triângulos para encontrar os centros O 4 e O 5 das circunferências tangentes.

33 Temos então as duas circunferências tangentes (exterior e interior) às três circunferências dadas. 11. ACHAR O PONTO DE CONTATO DE UMA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA. Trace passando pelo centro uma reta normal (perpendicular à reta tangente dada) encontrando assim, o ponto de tangência no cruzamento das duas.

34 12. DADO UM PONTO SOBRE UMA CIRCUNFERÊNCIA, TRAÇAR UMA OUTRA, DE RAIO DADO, QUE LHE SEJA TANGENTE EXTERIOR. Seja o ponto A pertencente à circunferência de centro O dada. Traçar por A, a reta normal (s) que passa pelo centro da circunferência dada. Com a ponta seca do compasso em A e abertura igual ao raio dado trace uma circunferência que corte a reta normal s em P e P'. Com a ponta seca do compasso em P e abertura PA trace a circunferência tangente exterior e com a ponta seca em P' e mesma abertura trace a circunferência tangente interior.

35 13. CONSTRUIR UMA CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO DADO QUE PASSE POR UM PONTO P DADO E SEJA TANGENTE A UMA RETA DADA. Seja o ponto T pertencente à reta (s) dada e o ponto T não pertencente à reta (s). Ligue o ponto P ao ponto T. Trace a mediatriz do segmento PT. Levante uma perpendicular à reta (s) pelo ponto T. Coloque a ponta seca do compasso em O e com abertura OT ou OP trace a circunferência tangente à reta (s) no ponto T.

36 14. DESCREVER UMA CIRCUNFERÊNCIA TANGENTE ÀS TRÊS RETAS QUE SE INTERSECTAM S, T, U. Sejam a retas (s), (t) e (u) que se intersectam nos pontos A, B e C. Traçar as bissetrizes dos ângulos internos do triângulo ABC encontrando na intersecção o ponto P. Traçar pelo ponto P, retas perpendiculares aos lados do triângulo ABC, para encontrar os pontos de tangência T 1, T 2 e T 3 e assim descobrir o valor do raio da circunferência.

37 15. DESCREVER CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES ENTRE SI E A DUAS RETAS CONCORRENTES DADAS. Sejam duas retas concorrentes no ponto O. Trace a bissetriz do ângulo AOB e marque um centro qualquer O' na bissetriz. Em seguida trace pelo ponto O, retas perpendiculares aos lados do ângulo, encontrando assim, os pontos de tangência T 1 e T 2. Depois trace a circunferência de centro O' tangente às retas nos pontos T 1 e T 2. 16. CIRCUNSCREVER UM TRIÂNGULO A UMA CIRCUNFERÊNCIA DADA, SABENDO-SE QUE OS PONTOS T1 E T3 DADOS PERTENCENTES À CIRCUNFERÊNCIA DADA SÃO OS PONTOS DE TANGÊNCIA DA CIRCUNFERÊNCIA COM O TRIÂNGULO. Sejam três pontos T 1, T 2 e T 3 pertencentes à circunferência dada. Ligar o centro da circunferência aos pontos T 1, T 2 e T 3 e prolongar, traçando assim, as retas normais n 1, n 2 e n 3.

38 Em seguida, traçar as perpendiculares a cada reta normal por cada ponto. 17. TRAÇAR UMA RETA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA DADA QUE SEJA PARALELA A UMA RETA DADA. Seja uma circunferência e uma reta exterior (s). Trace passando pelo centro uma reta perpendicular à reta dada (s) encontrando o ponto B. Trace uma paralela à reta dada pelo ponto B.

39 18. TRAÇAR UMA CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO DADO, TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA DADA, QUE SEJA SECANTE A UMA RETA DADA, FORMANDO UMA CORDA DE COMPRIMENTO DADO. Seja "R" o raio da circunferência dada que deve tangenciar a circunferência de centro "O" dada e também intersectar a reta "s" dada formando com ela uma corda "C" dada. Desenhe separadamente o segmento AB = corda C.

40 Trace a mediatriz de AB encontrando o seu ponto médio M. Em seguida, encontre o ponto C que é o centro da circunferência de raio R dado. Os lados AC e BC são iguais a R dado. Prolongue o raio da circunferência de centro O e nele, a partir da circunferência, acrescente a medida do R dado encontrando o ponto W.

41 Trace a circunferência de raio OW que é o Lugar Geométrico do centro da circunferência procurada. Trace uma reta paralela à reta "s" a uma distância igual a "R". Esta reta paralela é o outro Lugar Geométrico do centro da circunferência procurada. No cruzamento dos dois lugares geométricos (circunferência e paralela) teremos o centro procurado. Entretanto, a circunferência e a reta paralela se intersectam em dois pontos, então, teremos dois centros "E" e "F".

42 Coloque a ponta seca do compasso nos pontos E, F e trace as duas circunferências de raio R. Veja a resposta: duas circunferências de centros: E, F e raio R que tangenciam a circunferência de centro O e intersectam a reta s determinando duas cordas de comprimento C.

43 19. CONSTRUIR UMA CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO DADO, QUE PASSE PELO PONTO P DADO E CORTE UMA CIRCUNFERÊNCIA DADA FORMANDO UMA CORDA DE COMPRIMENTO DADO. Seja R 2 o raio da circunferência que deve passar por P dado e cortar a circunferência de centro O1 dada formando nela uma corda de comprimento C (AB) dado.

44 Trace os dois diâmetros da circunferência de centro O 1 e prolongue. Marque no diâmetro horizontal o segmento A'B' igual ao valor da medida da corda AB.

45 Trace duas retas paralelas ao diâmetro vertical por A' e B' encontrando na circunferência os pontos G e H. Ligue os pontos G e H determinando assim a corda C na circunferência.

46 Com a ponta seca do compasso em G e H e abertura igual a R 2 trace dois arcos que se cruzam na reta que passa pelo diâmetro. Em seguida, coloque a ponta seca do compasso em O 1 e com abertura até o cruzamento dos arcos, trace uma circunferência. Esta circunferência será o Lugar Geométrico do centro da circunferência procurada. Coloque a ponta seca do compasso em P e com abertura igual a R 2 trace uma circunferência que será o Lugar Geométrico do centro procurado. Onde os dois lugares geométricos se cruzam teremos os pontos C e D os quais serão os centros das duas circunferências procuradas. Conclui-se que teremos duas respostas: a circunferência de centro C e raio R 2 e a circunferência de centro D e raio R 2.

47 Veja a resposta: duas circunferências de raio R 2 dado, que passam por P e determinam na circunferência de centro O 1 dada, as cordas A''B'' e A'''B''' iguais à corda AB dada.

48 20. INSCREVER NUMA CIRCUNFERÊNCIA DADA, QUATRO CIRCUNFERÊNCIAS DE MESMO RAIO E TANGENTES ENTRE SI. Seja a circunferência de centro O dada. Trace por O uma reta s. Trace por O uma reta perpendicular à reta s. Marque os pontos AC e BD nos quadrantes do círculo. Trace a bissetriz dos ângulos AB e CD encontrando os pontos T e T 2 respectivamente. Trace as tangentes à circunferência pelos pontos T e T 2. Elas determinam dois triângulos. Trace as bissetrizes dos ângulos dos triângulos. Na intersecção das bissetrizes teremos os pontos O 2 e O 3 que serão os centros de duas circunferências inscritas e tangentes à circunferência dada. Coloque a ponta seca do compasso em O 2 e com abertura igual a O2T trace uma das quatro circunferências procuradas. Em seguida, coloque a ponta seca do compasso em O 3 e com abertura igual a O3T2 trace a segunda das quatro circunferências procuradas.

49 Veja abaixo as duas circunferências encontradas. Repita o processo anterior agora para os pontos T 3 e T 4. Construa as bissetrizes dos outros dois triângulos e na intersecção encontre os pontos O 4 e O 5. Construa as outras duas circunferências de centros O 4 e O 5. Veja na resposta abaixo as quatro circunferências de mesmo raio, tangentes entre si, inscritas e tangentes à circunferência dada.

50 BIBLIOGRAFIA BRAGA, Theodoro. Desenho Linear Geométrico. São Paulo : Ícone. 13 ed. 230 p. MELLO E CUNHA, G. N. de. Curso de Desenho Geométrico e Elementar. São Paulo: Livraria Francisco Alves, 460p, 1951. RIVERA, Félix ; NEVES, Juarenze; GONÇALVES, Dinei (1986). Traçados em Desenho Geométrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.