MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i: unidade imaginária: i = z: módulo do número z Re(z): parte real do número z Im(z): parte imaginária do número z det M : determinante da matriz M M T : transposta da matriz M M : inversa da matriz M I n : matriz identidade n n MN : produto das matrizes M e N d(p, r): distância do ponto P à reta r AB: segmento de reta de extremidades nos pontos A e B [a, b] = {x : a x b} [a, b[ = {x : a x < b} ]a, b] = {x : a < x b} ]a, b[ = {x : a < x < b} X\Y = {x X e x Y} Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares. Considere as seguintes afirmações: x I. A função f(x) = log 0 é estritamente cres - x cente no intervalo ], + [. II. A equação x+ = x possui uma única solução real. lil. A equação (x + ) x = x admite pelo menos uma so - lução real positiva. É (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) I, II e III. e) apenas III. I) Se {x ; x } ]; + [, com x < x, então: x < x > < x x < x x x x ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
log 0 < log 0 x log 0 x < log 0 e, x x portanto, f é estritamente crescente, e a afirmação (I) é verdadeira. x x II) x + = x x. = x. x x = = x x = log A equação proposta tem uma única solução e a afirmação (II) é verdadeira. III) (x + ) x > x, x + e afirmação (IV) é falsa. Resposta: B ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
Se x é um número natural com 0 dígitos, então o número de dígitos da parte inteira de x 7 é igual a a) 8. b) 86. c) 87. d) 88. e) 89. x é um número natural de 0 dígitos, então: 0 0 < x < 0 0 0 < log x < 0 0 0 <. log x < 7 7 7 87,7 < log x 7 < 87,8 0 87,7 < x 7 < 0 87,8 Assim, a parte inteira de x 7 tem 88 dígitos. Resposta: D ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
Escolhendo-se, aleatoriamente, três números inteiros distintos no intervalo [, 0], a probabilidade de que eles estejam, em alguma ordem, em progressão geométrica é igual a a). b). c). 8 7 90 d). e). 80 0. 9. 8 São possíveis C 0, = = 0 escolhas difetes de três números inteiros no intervalo [; 0]... Considerando apenas razões inteiras das progressões geométricas, em alguma ordem, temos oito casos a considerar, que são os ternos (; ; ), (; ; 9), (; ; 6); (; ; 8), (; 6; 8), (; 6; ), (; 8; 6) e (; 0; 0). Assim, a probabilidade pedida seria 8 p = = e a resposta seria A. 0 8 No entanto, existem mais três ternos de números intei - ros que estão em progressão geométrica e com razão não inteira, são eles: (; 6; 9), (8; ; 8) e (9; ; 6). Neste caso, a resposta correta é p = e nenhuma resposta é 0 correta. Resposta: SEM ALTERNATIVA CORRETA. ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
π Se tg x = 7 e x π,, então sen x é igual a a). b). c). 8 8 d). e). 6 Sendo tg x = 7 e x π π;, temos: sec x = + tg x sec x = 8 I) cos x = cos x = sec x 8 II) sen x + cos x = sen x + 8 = sen 7 x = sen x =, pois 8 x π, π III) Lembrando que sen (x) = sen x sen x, temos: sen (x) =. sen (x) = +. 6 sen (x) = 8 Resposta: B ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
Seja (a, a, a ) a sequência definida da seguinte forma: a = 000 e a n = log 0 ( + a n ) para n. Considere as afirmações a seguir: I. A sequência (a n ) é decrescente. II. a n > 0 para todo n. III. a n < para todo n. É (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) I, II e III. e) apenas III. a = 000 e a n = log 0 ( + a n ), para n a = log 0 ( + a ) = log 0 ( + 000) = log 0 00 =, a = log 0 ( + a ) = log 0 ( +, ) = log 0 (, ) = 0, a = log 0 ( + a ) = log 0 ( + 0, ) = 0, a n = log 0 ( + 0, ) = 0, Resposta: D ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
6 Seja P n um polígono convexo regular de n lados, com n. Considere as afirmações a seguir: I. P n é inscritível numa circunferência. II. P n é circunscritível a uma circunferência. III. Se n é o comprimento de um lado de P n e a n é o com - a primento de um apótema de P n, então n todo n. n para É (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) I, II e III. O A H A n A H n H A H A I) Verdadeira. Sendo O o centro do polígono regular de n lados, os triângulos A OA, A OA, A OA,..., A n OA são congruentes e OA é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. II) Verdadeira. Da congruência dos triângulos, temos: OH = OH = OH =... = OH n e OH é raio da circunferência inscrita no polígono. ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
III) Falsa. O a n A H n n A No triângulo OH A, temos: n α tg α = tg = n a n a n = n α tg a n Assim, teremos α tg a n n > quando α > tg < Por exemplo, no polígono regular com lados, temos: α α = e tg = tg = tg (60 ) = = = = < +. + a Logo, > Resposta: D ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
7 Um triângulo está inscrito numa circunferência de raio cm. O seu maior lado mede cm e sua área é de cm. Então, o menor lado do triângulo, em cm, mede a). b). c). d). e). 6 6 A h B m H O - m C I) Como o raio da circunferência circunscrita ao triân gulo mede cm e o maior lado mede cm, po demos concluir que o triângulo é retângulo. Assim, sendo S sua área, em centímetros quadra - dos, tem-se:. h S = = h = II) No triângulo retângulo ABC, temos: h = m. ( m) = m m m m + = 0 m =, pois se AB é o menor lado, então m <. Assim, a medida AB do menor lado é dada por: (AB) = (BC). (BH) (AB) =. AB = Resposta: B ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
8 Se o sistema de equações x + y + z = x + y + 7z = x + y + az = b é impossível, então os valores de a e b são tais que a) a = 6 e b. b) a 6 e b. c) a 6 e b =. d) a = 6 e b =. e) a é arbitrário e b. x + y + z = x + y + z = x + y + 7z = y + z = x + y + az = b y + (a )z = b 6 x + y + z = y + z = (a 6)z = b Se o sistema é impossível, então: a 6 = 0 b 0 a = 6 b Resposta: A ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
9 Se P e Q são pontos que pertencem à circunferência x + y = e à reta y = ( x), então o valor do cosseno do ângulo PÔQ é igual a a). b). c). 7 d). e). 7 I) Os pontos P e Q são as soluções do sistema a seguir: x + y = y = ( x) x = 0 8 x = y = ou 6 y = II) Sendo P(0; ) e Q ; pontos da circunferência x + y = de centro O(0; 0) e raio r =, 8 6 resulta a seguinte figura: y P(0;) O x Q( _ 8 ;-6 _ ( III) PQ = 8 6 + + = 6 6 0 = + = = 6 IV) (PQ) = (OP) + (OQ). OP. OQ. cos (P ^OQ) 6 = +... cos (P ^OQ) 8. cos (P ^OQ) = cos (P ^OQ) = Resposta: A ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
0 Um triângulo retângulo tem perímetro igual a l, em que l é o comprimento da hipotenusa. Se α e β são seus ângulos agudos, com α < β, então sen (β α) é igual a a). b) 6 +. c) 6. e) 8 0. d) 0. I) Sendo x e y os comprimentos dos catetos do triângulo retângulo, temos: x + y = x + y + = x + y = x + y = ( ) x + y = x + y + xy =.(6 ) x + y = + xy =.(6 ). x y =.( ) x y.. =. sen β. cos β = sen (β) = II) sen (β) + cos (β) = cos (β) = ( ) cos (β) = 0 cos(β) = 0, pois α < β III) sen(β α) = sen[β (90 β)] = = sen(β 90 ) = cos (β) = ( 0 ) = = 0 Resposta: D ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
Se M = e N =, então MN T M N 0 é igual a a) b) 7 c) d) e) I) M = 0 det M = e M = 0 II) M. N T =. = 0 0 III) M. N =. = = IV) M.N T M.N = = = Resposta: C ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
Considere as afirmações a seguir: I. Se z e w são números complexos tais que z iw = i e w z = + i, então z + w = + 6i. II. A soma de todos os números complexos z que satisfazem z + z = + i é igual a zero. III. Se z = i, então z 9 = 9 ( + i). É (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) I, II e III. I) Verdadeira z iw = i w z = + i w iw = + i ( i)w = + i + i + i + i w = =. = + i i i + i Como w z = + i e w = + i, tem-se: + i z = + i z = i Assim, z + w = ( i) + ( + i) = = i + + i + i = + 6i II) Verdadeira Sendo z = a + bi, tem-se:. z + z = + i. (a + b ) + (a + bi) = + i a + b + a + abi b = + i a + b = ab = a + b = b = a a a + = 0 b = ou ou a a = b = a = b = ou a = ou b = Assim: z = + i, z = i, z = a = b = + i, z = i e z + z + z + z = 0 ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
III) Falsa Se z = i, então: z 9 = ( i) 8. ( i) = [( i) ] 9. ( i) = = [ i] 9. ( i) = 9. i 9. ( i) = = 9. i. ( i) = 9. ( i) Resposta: B ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
Sejam λ uma circunferência de raio cm e PQ uma corda em λ de comprimento cm. As tangentes a λ em P e em Q interceptam-se no ponto R exterior a λ. Então, a área do triângulo PQR, em cm, é igual a a). b). c) d). e). 6. I) Como PQ tem mesma medida que o raio, podemos concluir que o triângulo PQO é equilátero. Assim, O ^QP = 60 e P ^QR = 0. II) Sendo M ponto médio de PQ, temos MQ =. III) No triângulo retângulo QMR, temos: MQ cos 0 = = QR = QR QR Assim, a área S, em centímetros quadrados, do triân - gulo PQR, é dada por: (PQ). (QR). sen 0.. S = = = Resposta: E ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
Se a reta de equação x = a divide o quadrilátero cujos vértices são (0, ), (, 0), (, 0) e (6, ) em duas regiões de mesma área, então o valor de a é igual a a). b) 6. c). d) 7. e) 7. y D s a+ P C B A E O a 6 x I) A área S do quadrilátero BCDE é a soma das áreas dos triângulos BCE e CDE. Dessa forma, temos: 0 0 0 6 0 0 S = + S = 0 unidades de área II) Equação da reta s, que contém os pontos C (0; ) e D (6; ): x 6 0 y = 0 x y + = 0 III) Ponto P, interseção entre as retas (r) x = a e (s) x y + = 0: r x = a x y + = 0 x = a a + y = P a + a ; ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
IV) A área A, do quadrilátero ABCP, é igual à diferen - ça entre a área do trapézio AOCP e a área do triângulo OCB, e deve resultar, metade da área do quadrilátero BCDE. Dessa forma, temos: a +. A = = (a + ) a a = 7, pois a > 0 Resposta: D + a = 6 a + a = 0 ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
Seja p o polinômio dado por p(x) = x 8 + x m x n, em que os expoentes 8, m, n formam, nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é igual a. Considere as seguintes afirmações: I. x = 0 é uma raiz dupla de p. II. x = é uma raiz dupla de p. III. p tem quatro raízes com parte imaginária não nula. Destas, é(são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) I, II e III Se (8; m; n) é uma progressão geométrica cuja soma dos termos é, então: 8 + m + n = m = 8. n m = 8. (6 m) m + 8m 8 = 0 m = ou m = Para m =, temos n = 8, que não convém, pois os expoentes do polinômio são naturais. Para m =, temos n = e p(x) = x 8 + x x I) x = 0 é raiz dupla de p(x), pois p(x) = x. (x 6 + x ) II) A equação x 6 + x = 0 admite x = e x = como raízes simples, pois, pelo dispositivo de Briot-Ruffini, temos: e 0 0 0 III) As demais raízes de p(x) são raízes da equação x + 0. x +. x + 0. x + = 0 x + x + = 0 x = 7 x = i, que são números complexos com parte imaginária não nula. Desta forma: I é verdadeira, II é falsa, pois x = é raiz simples e III é verdadeira. Resposta: C 0 0 0 0 0 n = 6 m m = 8. n 7 ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
6 Seja ABC um triângulo equilátero e suponha que M e N são pontos pertencentes ao lado BC tais que BM = MN = = NC. Sendo α a medida, em radianos, do ângulo M^AN, então o valor de cos α é a). b). c). 6 6 d). e) 7 7. 8 I) Sendo a medida do lado do triângulo equilátero ABC, temos: BM = MN = NC = II) Aplicando-se a lei dos cossenos no triângulo ABM, temos: (AM) = +... cos 60 = = +. AM = 7 9 7 III) AM = AN =, pois os triângulos ABM e ACN são congruentes. IV) Aplicando-se a lei dos cossenos no triângulo AMN, temos: = 7 7... cos α 7. cos α = 7 + 9 9 9 9 Resposta: A 7 + 7. cos α = cos α = 9 9 ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
7 Uma esfera S, de raio R > 0, está inscrita num cone circular reto K. Outra esfera, S, de raio r, com 0 < r < R, está contida no interior de K e é simultaneamente tangente à esfera S e à superfície lateral de K. O volume de K é igual a π R π R a). b). r (R r) r (R r) π R π R c). d). r (R r) r (R r) e) π R. r (R r) Vamos admitir que a esfera de menor raio esteja entre a de maior raio e o vértice do cone. I) Da semelhança dos triângulos retângulos ATP e AQS da figura, temos: AP PT AS x + r x + r + R = = SQ r R xr + rr = xr + r r + Rr x = R r II) A altura h do cone é tal que r h = AP + PS + SO = x + r + R = + (R + r) = R r r = + (R r ) R r R h = R r III) No triângulo ATP, temos: AT + PT = AP AT + r = (x + r) ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
AT = x + xr AT r = r + r R r R r AT r = r + r = (R r) + r (R r) (R r) (R r) AT r = R r Rr (R r) AT = R r IV) Da semelhança dos triângulos ATP e AOC, temos: AT AO OC. R. r = R V) O volume V do cone K é V =. π OC. h = = π. Resposta: B r Rr PT R r r = = OC R OC R r R Rr R. = R r R OC = Rr π R r (R r) ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
8 Considere o polinômio p com coeficientes complexos definido por p(z) = z + ( + i)z + ( + i)z + ( + i)z + ( + i). Podemos afirmar que a) nenhuma das raízes de p é real. b) não existem raízes de p que sejam complexas conju - gadas. c) a soma dos módulos de todas as raízes de p é igual a +. d) o produto dos módulos de todas as raízes de p é igual a. e) o módulo de uma das raízes de p é igual a.. I) i é raiz do polinômio p(z), pois p(i) = i + ( + i). i + ( + i). i + ( + i). i + ( + i) = = + ( + i). (i + i + i + ) = ( + i). 0 = 0 II) i é raiz do polinômio p(z), pois p( i) = ( i) + ( + i). ( i) + ( + i). ( i) + ( + i).. ( i) + ( + i) = + ( + i). ( i + i i + ) = = ( + i). 0 = 0 III) Desta forma, p(z) é divisível por (z i) (z ( i)) = z + e p(z) = [z + ( + i) z + ( + i)]. (z + ), pois p(z) z + 0 z + ( + i) z + ( + i) IV) As raízes de z + ( + i) z + ( + i) = 0 são z = i e z = V) O conjunto solução de p(z) = 0 é S = {i; i; i; } Como i = i = e i =, o módulo de uma das raízes de p é Resposta: E ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
9 Pintam-se N cubos iguais utilizando-se 6 cores diferentes, uma para cada face. Considerando que cada cubo pode ser perfeitamente distinguido dos demais, o maior valor possível de N é igual a a) 0 b) c) 0 d) e) 0 A face superior do cubo pode ser pintada de 6 formas diferentes. A face inferior pode ser pintada de formas diferentes. As faces laterais podem ser pintadas de P * =! = 6 (permutação circular) formas diferentes. No entanto, como qualquer uma das faces pode ser a superior, o número de maneiras de pintar o cubo é 6.. P * = 0 6 Assim, o maior valor de N é 0. Resposta: E ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
0 Em um triângulo equilátero ABC de lado, considere os pontos P, M e N pertencentes aos lados AB, BC e AC, respectivamente, tais que a) P é o ponto médio de AB; b) M é o ponto médio de BC; c) PN é a bissetriz do ângulo A^PC. Então, o comprimento do segmento MN é igual a a) 0 b) c) 6 d) 0 e) I) No triângulo APC, retângulo em P, temos: AP + PC = AC + PC = PC = II) Pelo teorema da bissetriz, temos: AN CN CN CN = = AP PC CN = CN = ( + ) CN CN = III) No triângulo CMN, temos MN = CM + CN. CM. CN. cos 60 MN = + ( ).. ( ). MN = 0 MN = 0 Resposta: D ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE A 0, DEVEM SER RESOLVIDAS E RESPONDIDAS NO CADERNO DE SOLUÇÕES. Seja f a função definida por f(x) = log x+ (x x 8). Determine: a) O domínio D f da função f. b) O conjunto de todos os valores de x D f tais que f(x) =. c) O conjunto de todos os valores de x D f tais que f(x) >. a) Se f(x) = log x + (x x 8), deve-se ter: x x 8 > 0 x < ou x > x + > 0 x > x > x + x 0 Assim, D f = {x x > } b) f(x) = log x + (x x 8) = (x + ) = x x 8 x + x + = x x 8 x = 9 x = 9 D f V = Ø c) f(x) > log x+ (x x 8) > Como x >, f(x) é estritamente crescente, assim: x x 8 > x + x x 9 > 0 + x < ou x > + x >, pois x > Respostas: a) D f = {x x > } b) V = Ø + c) V = x x > ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
Sejam x e y pertencentes ao intervalo [0, π]. Determine todos os pares ordenados (x, y) tais que cos x sen y = sen x + cos y = I) Se x e y pertencem ao intervalo [0; π], então 0 sen x e 0 sen y cos x sen y = sen x + cos y = cos x = + sen y sen x = cos y ( cos x) + ( sen x) = + sen y cos y = + = + seny + sen y + + cos y+cos y = + sen y + cos y+ cos y+cos y = sen y + cos y+cos y cos y cos y = sen y + cos y + cos y cos y cos y + + cos y = cos y cos y + cos y + cos y cosy = 0 6cos y + 6 cos y + 8 cos y cosy = 0 ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
II) Fazendo cos y = p, resulta: 6 p + 6 p + 8 p p = 0. Nesta equação, p = e p = são raízes, pois, por Briot-Ruffini, temos: 6 6 8 6 8 + 6 + 8 6 0 e 6 8 + 6 + 8 6 6 6 0 As outras duas raízes são raízes da equação 6 p + 6 p + = 0, ou seja, p = (dupla) III) Para p =, temos cos y = e sen x +. = sen x = 0 sen x 6 + que não serve, pois IV) Para p =, temos cos y = e sen x +. = sen x = Neste caso: x = ou x = e y = π π O par ; pode ver: 6 π π π é solução do sistema, como se π π 6 + cos sen =. = π π 6 sen + cos = +. = ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
π π O par ; não é solução da primeira equação, como pode se ver: π π cos x sen y = cos sen = 6 + = = V) Para p =, temos cos y = e sen x +. = sen x = π π Neste caso x = ou x = e y = π 6 π π O par ; 6 é solução do sistema, como se vê: π π cos sen =. = 6 π π sen + cos =. +. = 6 π π O par ; não satisfaz a primeira equa- ção, pois π π cos x sen y = cos sen = 6 =. = Assim, os pares que satisfazem o sistema são π π ; e π π ; 6 6 π π Respostas: ; e π π ; 6 ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
Um hexágono convexo regular H e um triângulo equilá - tero T estão inscritos em circunferências de raios R H e R T, respectivamente. Sabendo-se que H e T têm mesma área, determine a razão. R H R T A R T O R T R H R H R T R H B H C I) Sendo S H a área do hexágono regular, temos: (R. (R S H = 6. = H ) H ).. II) No triângulo equilátero ABC, temos: R R AH = R T + T = T, pois O é baricentro do triângulo. Assim, sendo L T a medida do lado do triângulo ABC, temos: L AH = T.. R L T = T. L T = R T. III) Sendo S T a área do triângulo ABC, temos: (L (R S T = = T ) T ).. =. (R (R IV) S H = S T = T ) H ). R H R T R = H = R T (R T ) R Resposta : H = R T ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
Seja A a matriz de ordem x, dada por A = 0 0 a) Determine todas as matrizes B tais que BA = I. b) Existe uma matriz B com BA = I que satisfaça BB T = I? Se sim, dê um exemplo de uma dessas matrizes. Seja B a matriz x dada por B = 0 x a b 0 a) B. A = I. 0 = y c d 0 x + b = b = x a + b = 0 a = x y + d = 0 d = y c + d = c = + y x y a c b d B = x y x y + x y b) B. B T = I x y x x x 0. x + y = y y + y 0 x y x + (x ) + ( x) = xy + (x ). ( + y) + ( x). ( y) = 0 y + ( + y) + ( y) = ou Assim, um exemplo para a matriz B é x = y = 0 0 0 0 0 x = y =, quando x = e y = 0 Respostas: a) B = x y x y + x y b) Sim, um exemplo é 0 0 0 0 ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
Numa certa brincadeira, um menino dispõe de uma caixa contendo quatro bolas, cada qual marcada com apenas uma destas letras: N, S, L e O. Ao retirar aleatoriamente uma bola, ele vê a letra correspondente e devolve a bola à caixa. Se essa letra for N, ele dá um passo na direção Norte; se S, em direção Sul, se L, na direção Leste e se O, na direção Oeste. Qual a probabilidade de ele voltar para a posição inicial no sexto passo? I) A probabilidade de retirar bolas N e bolas S é 6., 6 P6 =. 0 II) A probabilidade de retirar bolas L e bolas O é 6., 6 P6 =. 0 III) A probabilidade de retirar bolas N, bolas S, uma bola L e uma bola O é IV) A probabilidade de retirar bolas L, bolas O, uma bola N e uma bola S é 6., 6 P6 =. 80 V) A probabilidade de voltar para a posição inicial é 6 6 6 6. 0 +. 0 +. 80 +. 80 = 00 = = Resposta: 6., 6 P6 =. 80 6 6 6 ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
6 Sejam S um subconjunto de e P = (a, b) um ponto de. Define-se distância de P a S, d(p, S), como a menor das distâncias d(p, Q), com Q S: d(p, S) = min{d(p, Q) : Q S}. Sejam S = {(x, y) : x = 0 e y } e S = {(x, y) : y = 0}. a) Determine d(p, S ) quando P = (, ) e d(q, S ) quando Q = (, 0). b) Determine o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de S e de S. S = {(x; y) x = 0 e y } é o conjunto de pontos do eixo das ordenadas, com ordenada maior ou igual a. S = {(x;y) y = 0} é o conjunto de pontos do eixo das abscissas. Na figura, os dois conjuntos aparecem em destaque. a) d(p; S ) = PT =, abscissa de P, e d(q; S ) = AQ = + ( ) =, hipotenusa do triângulo retângulo AOQ. b) São equidistantes de S e S : b) Os pontos da reta y = x, com abscissa e orde - nada maiores ou iguais a. b) Os pontos da reta y = x, com abscissas menores ou iguais a. b) O ponto da parábola de foco A(0; ), diretriz y = 0, vértice (0; ) e equação x =. (y ) y = x + ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
A figura mostra este lugar geométrico Assim, o lugar geométrico pedido é S = {(x; y) : (y = x, se x ) ou y = x +, se x ou (y = x, se x )} Respostas: a) d(p,s ) = e d(q,s ) = b) vide gráfico ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
7 Sejam a, b, c números reais com a 0. a) Mostre que a mudança x + = z transforma a equação x ax + bx + cx + bx + a = 0 numa equação de segundo grau. b) Determine todas as raízes da equação x + x x + x + = 0. a) I) Se z = x +, então z = x + + x x + = z x II) Se a 0, então zero não é raiz da equação. III) ax + bx + cx + bx + a = 0 ax b a + bx + c + + = 0 x x x + x + a + b + c = 0 x x a (z ) + bz + c = 0 az + bz + (c a) = 0, que é uma equação do ọ grau. b) I) x + x x + x + = 0 x + x + + = 0 x x x + x + x + = 0 x x z + z = 0 z + z = 0 z = ou z = II) x + x = x + x + = 0 x = ± = ± III) x + = x x + = 0 x = x Respostas: a) demonstração b) { + ; ; + i ; i } ± i ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
8 Considere as circunferências λ : x + y 8x + y = 0 e λ : x + y x 8y = 8. O triângulo ABC satisfaz as seguintes propriedades: a) o lado AB coincide com a corda comum a λ e λ ; b) o vértice B pertence ao primeiro quadrante; c) o vértice C pertence a λ e a reta que contém AC é tangente a λ. Determine as coordenadas do vértice C. I) A circunferência λ : x + y 8x + y = 0 possui centro C (; ) e raio R = 0 e a cir - cunferência λ : x + y x 8y = 8 possui centro C (; ) e raio R =. II) x + y 8x + y = 0 x + y x 8y = 8 x y = x + y x 8y = 8 x = y x + y x 8y = 8 (y ) + y. (y ) 8y = 8 y 0y = 0 y = 0 e x = ou y = e x = 6 Logo, a corda comum a λ e λ possui extremos A( ; 0) e B(6; ), pois B pertence ao primeiro quadrante. ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
III) O coeficiente angular da reta que passa por 0 A( ; 0) e C (; ) é = + IV) A reta (t), tangente a λ em A( ; 0), é perpen - dicular à reta que passa por A e C e, portanto, tem coeficiente angular y = (x + ) e equação V) Os vértices A e C pertencem a λ e à reta (t). Logo: x + y 8x + y = 0 y = (x + ) x +. (x + ) 8x +.. (x + ) = 0 x 8x 76 = 0 x = ou x = Para x =, tem-se y = 0 e ( ; 0) são as coordenadas do ponto A. Assim, ponto C tem x = que resulta 6 y =, portanto, o ponto C é 8 6 ; Resposta: C 8 6 ; 8 8 ITA (º DIA) DEZEMBRO/0
9 Determine o termo constante do resto da divisão do polinômio ( + x + x ) 0 por ( + x). I) Como ( + x + x ) 0 = [x (x + ) + ] 0 = 0 = [x (x + )] 0 0 + [x (x + )] 9 +... + 0 0 + [x (x + )] 0 + [x (x + )] + 7 8 0 0 + [x (x + )] + = 9 0 = (x + ) 0 x 0 (x + ) 7 0 + x 9 (x + ) 6 +... + 0 0 + x + 780 x (x + ) + 0 x (x + ) +, o 7 resto da divisão de ( + x + x) 0 por ( + x) é o mes mo resto da divisão de 780 x ( + x ) + 0 x ( + x) + por ( + x). II) 780x ( + x) + 0 x ( + x) + = = 780 x + 60 x + 80 x + 0 x + e ( + x) = x + x + x + Dividindo um pelo outro utilizando o método da chave, resulta: 780x + 60x + 80x + 0x + x + x + x + 780x 0x 0x 780x 780x 780 780x 0x 70x + 780x + 0x + 0x + 780 80x + 600x + 78 III) Desta forma, o resto da divisão de ( + x + x ) 0 por ( + x) é 80x + 600x + 78, cujo termo independente é 78. Resposta: 78 ITA (º DIA) DEZEMBRO/0