PROJETO E IMPLEMENTAÇÃO DO SISTEMA DE CONTROLE DE UM PÊNDULO INVERTIDO UTILIZANDO O MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES

Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 212. PROJETO E IMPLEMENTAÇÃO DO SISTEMA DE CONTROLE DE UM PÊNDULO INVERTIDO UTILIZANDO O MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES ARIEL S. BUZETTI, JEAN M. S. RIBEIRO, MARCELO C. M. TEIXEIRA, JOSÉ P. F. GARCIA, EDVALDO ASSUNÇÃO, EDILSON A. DA SILVA Laboratório de Pesquisa em Controle, Departamento de Engenharia Elétrica, Faculdade de Engenharia, UNESP Univ Estadual Paulista, Campus de Ilha Solteira Av. Carlos Rossi, 137, 138-, Ilha Solteira, SP, Brasil E-mails: arielsb@hotmail.com, jean@dee.feis.unesp.br, marcelo@dee.feis.unesp.br, jpaulo@dee.feis.unesp.br, edvaldo@dee.feis.unesp.br, edilson.silva@cba.ifmt.edu.br Abstract In this paper we studied the design and implementation of a control system for the Quanser s inverted pendulum, using the root-locus method. It has been proposed a control system considering available only the car's position and the angle of the rod, whose validity was verified in a laboratory implementation. Both the root locus method and the inverted pendulum are classical in control subjects. However, there are only few applications of the root locus method in the control design of inverted pendulums. Thus, the article may be useful for teaching automatic control. Keywords Root-locus, inverted pendulum, stability, control systems, transfer function. Resumo Nesse artigo foi estudado o projeto e a implementação do sistema de controle de um pêndulo invertido da Quanser, utilizando o método do lugar das raízes (root locus). Foi proposto um novo controlador considerando como disponíveis apenas a posição do carro e o ângulo da haste, cuja validade foi verificada em uma implementação em laboratório. Tanto o método do lugar das raízes, quanto o pêndulo invertido são assuntos clássicos em controle. Entretanto, o método do lugar das raízes foi pouco utilizado no projeto de sistemas de controle para o pêndulo invertido. Desta forma, o artigo pode ser útil no ensino de controle automático. Palavras-chave Método do lugar das raízes, pêndulo invertido, estabilidade, sistemas de controle, função de transferência. 1 Introdução O lugar das raízes (root locus) é um método clássico para análise e projeto de controladores para plantas lineares e invariantes no tempo descritas através de uma função de transferência (Ogata, 21; Dorf e Bishop, 21). Este fato tem motivado diversas pesquisas abordando o emprego desse método no ensino de controle automático, considerando, por exemplo, os ganhos negativos (Teixeira et al., 24; Teixeira et al., 29) e controladores Lag (Teixeira and Assunção, 22) e Lead-Lag (Teixeira, 1994). O pêndulo invertido é um exemplo didático de um sistema mecânico instável e tornou-se um sistema muito utilizado na verificação do comportamento de novas estruturas de controle. A função de transferência entre a tensão do motor de corrente continua que movimenta o carro do pêndulo (entrada) e a posição horizontal do carro é de fase não mínima, já que apresenta um zero no plano real positivo. A dificuldade do controle de sistemas de fase não mínima é conhecida na comunidade de controle. Para ilustrar esse fato, note que para estabilizar o sistema com realimentação não pode-se utilizar ganho alto, já que o lugar das raízes é atraído pelo zero (Ogata, 21). O controle do pêndulo invertido já foi estudado com diversas abordagens, por exemplo, utilizando a realimentação do vetor de estado (Ogata 21), utilizando lógica fuzzy (Teixeira and Zak, 1999) e com estrutura variável considerando atraso (Ribeiro et al., 211). ISBN: 978-8-81-69- Um fato interessante é que apesar de o pêndulo invertido ter sido muito utilizado como exemplo didático em sistemas de controle, o método do lugar das raízes foi pouco utilizado nele, sendo que após uma pesquisa em livros especializados, os autores encontraram uma aplicação deste tipo apenas no livro Castrucci et al. (211). Em Castrucci et al. (211), primeiramente é projetado um sistema de controle para o motor de corrente continua de forma a obter um ganho aproximadamente igual a 1, entre a tensão de entrada e a posição horizontal do pêndulo. A seguir, é obtida uma saída que é uma combinação da posição horizontal do carro e do ângulo da haste; esta nova saída é então realimentada negativamente, utilizando um controlador em avanço (Lead) para atender as especificações do sistema controlado. A proposta deste artigo é apresentar um novo método de controle do pêndulo invertido da Quanser, bem como sua implementação em laboratório, considerando como entradas disponíveis apenas a posição horizontal do carro e o ângulo da haste, assim como em Castrucci et al. (211), sendo a posição controlada pela tensão no motor cc do carro, utilizando o modelo não linear do pêndulo, descrito pelo manual da Quanser (1998), sem aproximações. Os autores acreditam que este artigo pode ser útil no ensino de controle automático, pois aborda um sistema já muito conhecido (pêndulo invertido) utilizando um método clássico (lugar das raízes), fato pouco descrito na literatura especializada. Adicionalmente à analise teórica, foi feita a implementação em laboratório, o que comprova a validade do projeto. 3288

Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 212. 2 Sistema Pêndulo Invertido Nesta seção é apresentado o modelo matemático do Pêndulo Invertido, que será utilizado nas simulações e implementações práticas. O sistema pêndulo invertido é mostrado na Figura 1, onde o pêndulo invertido é montado sobre um carrinho com motor, que está sobre um trilho (Quanser, 1998). O objetivo do controle é manter a haste do pêndulo equilibrada na posição vertical e posicionar o carrinho sobre uma referência desejada. Na Figura 1, u é a força de controle, M é a massa do carro, m é a massa do pêndulo, x(t) é a posição do carro sobre o trilho, θ(t) ângulo do pêndulo e o comprimento da haste é 2l. É considerado que a massa da haste está localizada no centro de seu comprimento. Os valores numéricos do sistema pêndulo invertido, utilizado neste trabalho, são dados na Tabela1(Quanser, 1998). (3) Por simplicidade, a variável t, que indica o domínio do tempo, foi omitida das equações anteriores e será omitida nas demais equações. Tabela 1. Parâmetros do sistema pêndulo invertido. Descrição Símbolo Valor Unidade Comprimento haste 2l,61 m Massa do pêndulo m,21 kg Massa do carro M,473 kg Const. Gravitacional g 9.8 m/s 2 Dado de placa 1,7378 - Dado de placa 7,6872 - Considerando o sistema em equilíbrio ou com pequenas variações em torno do ponto de equilíbrio, pode-se linearizar o sistema em torno deste ponto,, sabendo-se que θ em estado de equilíbrio possui um valor próximo de zero. Desta forma,,1 ² (4) que substituindo nas equações (2) e (3), resulta em: () Figura 1. Sistema pêndulo invertido. A força u descrita na Figura 1 é imposta por um motor cc, alimentado pelo sinal de tensão que será gerado pelo controlador. O manual da Quanser (1998) fornece a relação da força em função da tensão e as constantes e (ver Tabela 1) do sistema pêndulo invertido como sendo: (1) O sistema pêndulo invertido, além de ser um sistema naturalmente instável, possui não linearidades que são interessantes para aplicações de técnicas de controle. As equações diferenciais que representam a dinâmica do sistema pêndulo invertido em função do tempo e os parâmetros do sistema são dados nas equações e tabela a seguir (Quanser, 1998). (2) (6) Aplicando a transformada de Laplace em () e (6), considerando as condições iniciais nulas e os parâmetros apresentados na Tabela 1, é obtida a função de transferência da posição do carrinho em relação ao sinal de tensão da entrada de controle, e a função de transferência da posição da haste em função do sinal de controle, conforme equações apresentadas a seguir. 3,78 121,6 16,88 46,96 42,684 12,38 16,88 46,96 42,684 (7) (8) Também por simplicidade, a variável, que indica o domínio da frequência, foi omitida das equações. As equações linearizadas (7) e (8) serão utilizadas no projeto do controlador através do método do lugar das raízes. Já as equações não lineares (2) e (3) serão utilizadas na simulação através do software Matlab/Simulink. ISBN: 978-8-81-69- 3289

Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 212. 3 Método do Lugar das Raízes O método do lugar das raízes (root locus) permite estudar graficamente a evolução das raízes de malha fechada de uma equação, conhecidos os pólos e zeros de malha aberta, quando um ganho é variado continuamente de zero ao infinito. Desta forma é possível verificar se existe um ganho que estabilize o sistema e qual o valor adequado do mesmo, para que o sistema atinja um comportamento dinâmico desejado. Para encontrar as raízes do sistema, é necessário primeiro encontrar os zeros e polos da função de transferência em malha aberta. Subtraindo-se a quantia de polos pela quantia de zeros, encontra-se a quantia de zeros no infinito. As regiões que estão à esquerda de um número ímpar de polos mais zeros pertencem ao root locus. Conforme o ganho é aumentado, as raízes se deslocam na direção dos zeros, se afastando dos polos. Maiores detalhes sobre o procedimento para traçar o lugar das raízes de uma função de transferência podem ser obtidas no livro do Ogata (21). 3.1 Projeto utilizando o Método do Lugar das Raízes Para o projeto do controlador foi utilizado o modelo linearizado em torno do ponto de operação. Através do software Matlab é possível traçar o lugar das raízes das funções de transferência apresentadas nas equações (7) e (8), indicando os compensadores necessários para poder estabilizar o sistema e fornecer um desempenho esperado. Da equação (7) verifica-se que os zeros da função de transferência em malha aberta são.67 e.67, e os pólos em malha aberta são, 17.86, 6.3 e.77. Assim é comprovada a instabilidade do sistema com a presença de um polo com parte real positiva. Na Figura 2 é apresentado o lugar das raízes da posição do carrinho em função do sinal de controle, representada pela equação (7). 2 1 1 - -1-1 Lugar das Raízes de X/V -2-2 -1-1 - 1 Figura 2. Lugar das raízes na função de transferência X/V. Da equação (8) verifica-se que a função de transferência em malha aberta possui 2 zeros na origem e os pólos, 17.86, 6.3 e.77, comprovando a instabilidade do sistema. O lugar das raízes da equação (8) é apresentado na Figura 3. 4 3 2 1-1 -2-3 -4 Lugar das Raízes de Θ/V - -6-4 -2 2 4 6 Figura 3. Lugar das raízes na função de transferência θ/v. As Figuras 2 e 3 mostram que além de polo, existem zeros no semi plano positivo e na origem, impossibilitando encontrar, da maneira clássica de análise de estabilidade através do método do lugar das raízes, um controlador puramente proporcional que estabilizasse o sistema descrito nas equações (7) e (8). Mesmo com o emprego de compensadores do tipo Lead e Lag, não foi possível estabilizar o sistema de malha fechada, nestes dois casos. Optou-se por modificar o modelo do sistema pêndulo invertido, sem modificar os parâmetros físicos e a dinâmica do mesmo, através de um compensador, de forma que seja possível utilizar o método do lugar das raízes. Em Castrucci et al. (211) foi proposta uma representação do modelo dinâmico do pêndulo utilizando o centro gravitacional do pêndulo ( e ), tal que próximo ao ponto de equilíbrio, (9) (1) Estando o pêndulo em equilíbrio, é aproximadamente igual a zero e. Neste trabalho foi proposta a criação de uma variável virtual, que se relaciona com variáveis de estado, e que seja capaz de modificar o sistema de maneira que o mesmo possa ser compensado com a escolha adequada dos zeros do sistema e de um ganho. A proposta de implementação de uma variável virtual, é apresentada no diagrama de blocos descrito na Figura 4 e na equação (11). (11) ISBN: 978-8-81-69- 329

Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 212. Figura 4. Diagrama de blocos contendo a variável virtual. Analisando este diagrama tem-se que, com o pêndulo em estado de equilíbrio ( ), c. Assim é possível controlar a posição do carrinho, através do controle da variável virtual. O diagrama de blocos, apresentado na Figura 4, pode ser simplificado para Analisando os polos do sistema em malha fechada, verifica-se que para esta escolha não há um ganho que estabilize o sistema. Contudo, da análise da Figura 6 vê-se a possibilidade de estabilizar o sistema inserindo zeros reais no semi plano esquerdo de forma a atrair os polos em malha fechada também para o semi plano esquerdo. Neste trabalho foram impostos dois zeros em malha aberta posicionados em 1 e 3. Para este posicionamento de zeros foi necessário ajustar os valores,439,,1646 e,1234. Como resultado desta escolha é obtido o lugar das raízes apresentado na Figura 7. 1 Lugar das Raízes de σ/v (com locação de zeros) 1 Figura : Diagrama de blocos simplificado. Os zeros do sistema são escolhidos bastando selecionar adequadamente os valores de a, b e c. A equação do pêndulo invertido controlado é a seguinte: 1 (12) - -1 k=38-1 -2-1 -1-1 Figura 7. Método do lugar das raízes utilizando os zeros em -1 e -3 na função de transferência /. Sendo que é: 1 (13) O lugar das raízes, apresentado na Figura 7, mostra que o ganho assumindo valor superior a 38 torna o sistema estável. 12 121,6121,6 16,88 46,96 42,68 (14) Escolhendo e 1 o sistema, em malha aberta, não possuirá zeros, logo o lugar das raízes deste sistema é apresentado na Figura 6. 3 2 1-1 -2-3 Lugar das Raízes de σ/v (sem zeros) -3-2 -1 1 2 3 Figura 6. Método do lugar das raízes sem zeros na função de transferência /. Tabela 2. Parâmetros de projeto. Parâmetro Valor a -,439 b -,1646 c -,1234 k > 38 As simulações foram feitas no software Matlab/Simulink com o sistema não linearizado, Equações 2 e 3. Considerando que não existe derivador ideal, utilizou-se o filtro derivativo 2/2, recomendado no manual da Quanser (1998), para eliminar ruídos de alta frequência. Também, na simulação e implementação prática, adicionou-se um saturador que permite apenas sinais de a de tensão, que é a tensão que o motor de corrente contínua do carro do pêndulo suporta. ISBN: 978-8-81-69- 3291

Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 212. 4 Simulações e Implementação.2 Utilizando as equações não lineares (2) e (3) e o modelo descrito na Figura 4, foram realizadas as simulações do sistema, controlado através do ganho e compensador determinados no projeto que utiliza o método do lugar das raízes. Para realização das simulações e implementação prática foi utilizado um filtro derivativo sugerido pelo fabricante do sistema pêndulo invertido (Quanser, 1998), que é uma boa aproximação para a derivada apresentada na Figura 4. Em nível de simulação, foram realizadas comparações do sistema controlado utilizando a derivada ideal e o filtro derivativo e os resultados foram exatamente os mesmos, validando a utilização do filtro derivativo. As Figuras 8 e 9 apresentam o resultado das simulações destacando-se a posição do carro, o ângulo da haste e o sinal de controle para os casos de uma onda quadrada e senoidal na referência. Nas simulações e implementação em laboratório foi utilizado um ganho 1. Essa escolha foi feita porque com esse ganho o sistema apresentou um desempenho adequado, mesmo com a saturação do controlador em alguns instantes de tempo. Com este ganho os pólos de malha fechada são os seguintes: 6.393768.818 6.393768.818 3.97 1.329 Para aproximar a simulação aos resultados esperados em bancada, foi inserido um saturador de ± no sinal enviado ao motor cc e também foi adicionado um sinal de ruído branco, de amplitude máxima de,vcc, ao sinal de tensão na saída do controlador, para simular pequenos ruídos que deverão ocorrer em bancada. Após efetuadas as simulações, o sistema foi implementado em bancada de laboratório, conforme a representação esquemática apresentada na Figura 1..1 -.1 -.2 2 4 6 8 1 1 - -1 2 4 6 8 1-2 4 6 8 1 Figura 8. Simulação do sistema de controle do pêndulo invertido para um ganho de 1 e onda quadrada como referência..1. -. -.1 2 4 6 8 1 2 1-1 -2 2 4 6 8 1-2 4 6 8 1 Figura 9. Simulação do sistema de controle do pêndulo para um ganho de 1 e onda senoidal como referência. ISBN: 978-8-81-69- 3292

Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 212. Para comparações com os resultados obtidos em simulações (Figuras 8 e 9), foram utilizados os mesmos sinais de referência quadrada e senoidal de,1m de amplitude. As Figuras 12 e 13 apresentam os resultados obtidos em bancada de laboratório..2.1 -.1 Figura 1. Esboço esquemático do sistema de controle do pêndulo invertido montado em laboratório. Na Figura 1, e representam os sinais contínuos no tempo de entrada e saída da planta, respectivamente, enquanto que e indicam os sinais discretizados utilizados pelo computador digital. Os equipamentos utilizados para implementação prática são descritos a seguir. Computador Pentium MMX, 2MHz; Sistema de aquisição de dados e conversores A/D D/A da MultiQ TM ; Sistema Pêndulo Invertido da Quanser Consulting, e Softwares Matlab/Simulink, Real Time, Wincon v3.. A foto apresentada na Figura 11 mostra a montagem experimental realizada em bancada do Laboratório de Pesquisa em Controle (LPC). -.2 2 4 6 8 1 1 - -1 2 4 6 8 1-2 4 6 8 1 Figura 12. Resultado experimental do sistema de controle do pêndulo invertido para um ganho de 1 e onda quadrada como referência..1. -. -.1 2 4 6 8 1 2 1-1 -2 2 4 6 8 1 Figura 11. Foto da montagem experimental, em bancada, do sistema pêndulo invertido. A seguir são apresentados os resultados obtidos em bancada de laboratório para o ganho 1 e os valores de, e iguais aos apresentados na Tabela 2. - 2 4 6 8 1 Figura 13. Resultado experimental do sistema de controle do pêndulo para um ganho de 1 e onda senoidal como referência. ISBN: 978-8-81-69- 3293

Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 212. 3 Conclusão Este trabalho apresentou a análise e desenvolvimento de um controlador para o sistema pêndulo invertido através do método de lugar das raízes. Para a análise e projeto do controlador, o sistema pêndulo invertido foi linearizado em torno do seu ponto de operação e para simulações, do sistema controlado, foi utilizado o modelo não linear do pêndulo invertido. O sistema pêndulo invertido é uma planta bastante interessante para aplicações de técnicas de controle devido sua natureza não linear, e a presença de polo e zero com parte real positiva (sistemas de fase não-mínima) torna o projeto, através do método por lugar das raízes, um desafio. Em primeira análise de estabilidade, não foi possível determinar um ganho puramente proporcional que pudesse estabilizar o sistema, sendo necessária a utilização de um compensador através da criação de uma variável virtual. Com a inserção do compensador foi possível impor novos zeros ao sistema em malha aberta capaz de atrair os polos em malha fechada para o semi plano esquerdo do plano complexo. Desta forma foi utilizada a análise de estabilidade através do método de lugar das raízes e determinado um ganho que estabilizasse o sistema com um desempenho desejado. Os resultados em bancada foram muito parecidos com os resultados obtidos em simulação, comprovando a eficácia do método. Contudo, os autores acreditam que os resultados ainda podem ser melhorados se fossem abordadas técnicas de controle digital durante o projeto do controlador, já que toda etapa de controle é desenvolvida em um computador digital. Das Figuras 8, 9, 12 e 13, nota-se que o sistema trabalha em diferentes pontos de operação, com entre -,1m e,1m, mas permanece em aproximadamente rad. Desta forma, o modelo matemático linearizado descrito nas equações ()-(8) é ainda válido, assegurando o bom desempenho do sistema controlado. Pode-se observar a existência de ruídos nos resultados experimentais descritos nas Figuras 12 e 13. Adicionalmente, o sinal de controle satura, em +V e -V, em alguns instantes de tempo. Entretanto, de acordo com as simulações e resultados experimentais, estes fatores não comprometem o desempenho do sistema controlado. Outro ponto em destaque para este método é que o compensador utiliza apenas a saída do sistema ( e ) não havendo a necessidade de estimar variáveis de estado não acessíveis e. Por fim, os autores entendem que este trabalho tem um forte apelo didático sendo possível sua utilização durante a educação e exemplo de resolução de problemas de engenharia de controle. Agradecimentos Os autores agradecem ao CNPq, FAPESP e a FUNDUNESP pelo apoio e suporte financeiro. s Bibliográficas Castrucci, P; Bittar, A. and Sales, R (211). Controle Automático. Rio de Janeiro, LTC. Dorf, R. C. & Bishop, R. H (211). Sistemas de controle modernos. Rio de Janeiro; Livros Técnicos e Cientificos, 8 a ed. Ogata, K (21). Engenharia de Controle Moderno. Person, 4 a ed. São Paulo. Quanser Consulting Inc. Inverted pendulum (1998). User s Manual. Ribeiro, J.M.S; Garcia, J. P. F; Garcia, L. M. C. F; Apolinário, G. C (211). Controle Experimental do Pêndulo Invertido Considerando Atraso Computacional. In: X Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente - X SBAI, São João del Rei. Teixeira, M. C. M (1994). Direct Expressions For Ogata's Lead-Lag Design Method Using Root Locus. IEEE Transactions on Education, New York, NY, USA, v. 37, n. 1, p. 63-64. Teixeira, M. C. M; Zak, S. H (1999). Stabilizing Controller Design for Uncertain Nonlinear Systems Using Fuzzy Models. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, New York, NY, USA, v. 7, n. 2, p. 133-142. Teixeira, M. C. M; Assunção, E (22). On Lag Controllers: Design and Implementation. IEEE Transactions on Education, New York - NY, v. 4, n. 3, p. 28-288. Teixeira, M. C. M; Assunção, E; Machado. A (24). Method for Plotting the Complementary Root Locus Using Root Locus (Positive Gain) Rules. IEEE Transactions on Education, New York, NY, USA, v. 47, n. 3, p. 4-49. Teixeira, M. C. M; Assunção, E; Cardin, R (29). On Complementary Root Locus of Biproper Transfer Functions. Mathematical Problems in Engineering, v. 29, p. 1-1. ISBN: 978-8-81-69- 3294