Projeto de Controle Robusto à Falhas na Propulsão do Helicóptero 3-DOF da Quanser R

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1 Projeto de Controle Robusto à Falhas na Propulsão do Helicóptero 3-DOF da Quanser R Jefferson Leone e Silva, André Luiz A. de Paula, José Paulo F. Garcia, Lizete Marica C. F. Garcia Rodrigo Cardim e Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira Faculdade de Engenharia, Unesp - Univ Estadual Paulista Av. José Carlos Rossi, 137, CEP 138, Ilha Solteira - SP, Brasil Departamento de Engenharia Elétrica, Laboratório de Pesquisa em Controle jeffersonleone@hotmail.com, andrelexandre@bol.com.br, jpaulo@dee.feis.unesp.br, lizetega@mat.feis.unesp.br rcardim@dee.feis.unesp.br e marcelo@dee.feis.unesp.br Resumo O principal objetivo do projeto é explorar a técnica de Controle com Estruturas Variáveis e Modos Deslizantes (CEV- MD) para acomodação de uma falha na alimentação do motor que gera a propulsão de um helicóptero. Foi usado um modelo matemático não linear que representa um simulador de vôo (Helicóptero 3-DOF da Quanser R ), que é um ótimo equipamento para o ensino e desenvolvimento de técnicas de controle. Os resultados experimentais obtidos, mostram um bom desempenho do sistema com falha quando controlado pelo CEV-MD. I. INTRODUÇÃO Controle com Estruturas Variáveis e Modos Deslizantes vêm sendo estudado há alguns anos 1. Simulações em diferentes plantas já compravaram a robustez e a eficácia desta técnica 2. Resultados de aplicações experimentais existem e tem sido cada vez mais visados para se exemplificar essas simulações. O sistema simulador de vôo de um helicóptero é propício para o desenvolvimento de pesquisas na área de controle, pois é um sistema recente e de caráter altamente instável 3, o que torna ainda maior o desafio de aplicação da teoria e testes de novas técnicas de controle. Este trabalho aborda duas técnicas de controle. A primeira é a técnica que utiliza um Regulador Linear Quadrático (LQR) 4. A outra técnica utilizada é o Controle de Estrutura Variável com Modos Deslizantes (CEV-MD). A comparação de ambas as técnicas é feita através de resultados experimentais obtidos em laboratório. A ênfase é dada ao problema de acomodação de falha, sendo que essa falha foi inserida no torque dos motores propulsores, motores esses que influem diretamente na elevação do helicóptero. II. SISTEMA DE SIMULAÇÃO DE VÔO DE HELICÓPTERO A planta do Helicóptero 3-DOF está na Figura 1. Dois motores DC são dispostos nas extremidades de um quadro retangular e acoplados a duas hélices. Todo o sistema está detalhadamente descrito no manual do fabricante 3. Para uma melhor representação do sistema real, foi utilizado um sistema não linear, representado por equações diferenciais conforme mostrado em 6. As equações diferenciais que representam a dinâmica do helicóptero 3-DOF são mostradas a seguir, sendo que x 1, x 2 e x 3 representam respectivamente os ângulos de elevação, de inclinação e giro horizontal (em rad); x 4, x e x 6 representam as suas derivadas (em rad/s) 6. Os valores dos parâmetros do modelo do helicóptero representado pelas equações (1) - (8) são mostrados na Tabela 1. Motor traseiro Giro horizontal M w.g L h λ > Contra-peso F b M b.g ǫ > Ângulo de Inclinação p > F f L h M h.g L w Motor dianteiro M f.g Figura 1. Planta Simplificada do Sistema Helicóptero 3-DOF da Quanser R. Sejam, L a ẋ 1 = x 4, (1) ẋ 2 = x, (2) ẋ 3 = x 6, (3) ẋ 4 = x 2 6.{ξ 3.sen(2x 1 ) + ξ 4.cos(2x 1 )} + ξ.sen(x 1 ) + ξ 6.cos(x 1 ) + {ξ 7 (u u 2 2) + ξ 8 (u 1 + u 2 )}.cos(x 3 ), (4) ẋ = ξ 16.{ξ 1 (u 2 1 u 2 2 ) + ξ 2.(u 1 u 2 ) υ 2.x }, () ẋ 6 = {ξ 13 + ξ 14.sen(2x 1 ) + ξ 1.cos(2x 1 )} 1.{υ 1 υ 3.x ξ 9 (u u 2 2) + ξ 1 (u 1 + u 2 ).sen(x 2 )+ (6) + x 4.x 6.ξ 11.sen(2x 1 ) + ξ 12.cos(2x 1 )}, ẋ 7 = x 1, (7) ẋ 8 = x 3. (8)

2 Tabela I PARÂMETROS FÍSICOS DO SISTEMA HELICÓPTERO 3-DOF 6. Parâmetro Valor ξ 1, 1117 N/V 2 ξ 2, 449 N/V ξ 3, 4843 ξ 4, 113 ξ 1, 389 N/(m.Kg) ξ 6 1, 317 N/(m.Kg) ξ 7, 66 N/(m.Kg.V 2 ) ξ 8, 264 N/(m.Kg.V ) ξ 9, 718 N.m/V 2 ξ 1, 289 N.m/V ξ 11 1, 67 Kg.m 2 ξ 12, 21 Kg.m 2 ξ 13, 44 Kg.m 2 ξ 14, 128 Kg.m 2 ξ 1, 283 Kg.m 2 ξ 16 4, 1832 (m.kg) 1 υ 1, 17 N.m υ 2, 18 N.s υ 3, 47 N.m.s A representação no espaço de estados é dada na forma ẋ = Ax + Bu, sendo que o vetor de estado para o Helicóptero 3-DOF é definido por x T = ε,p,λ, t ε, t p, t λ, e o vetor de saída é y T = ε,p,λ, εdt, εdt, λdt, (9) λdt, (1) sendo as variáveis ε, p e λ os ângulos de elevação, inclinação e giro horizontal, respectivamente. As correspondentes matrizes no espaço de estados do modelo linearizado em torno do ponto de operação ε,p,λ = 27,,, são dadas a seguir. Os valores numéricos foram obtidos a partir da Tabela 1 e do comando linmod do software MATLAB/SIMULINK R 7. A T = 1, 389, , , 733 1, 4377 B= 1, , , 331 9, 331, (11). (12) III. CONTROLE CONVENCIONAL PROPOSTO PELO FABRICANTE O projeto de um controle linear Proporcional-Integral- Derivativo (PID), é feito de forma a regular o ângulo de elevação do helicóptero para as posições desejadas. Os ganhos de controle PID são computados utlizando-se o algoritmo LQR. O controlador com realimentação de estado que comanda o motor frontal (V f ), e o motor traseiro (V b ), é definido por Vf Vop = K PD (x d x) + K PI v i +, (13) V b sendo que K T PD = k 1,1 k 2,1 k 1,2 k 2,2 k 1,3 k 2,3 k 1,4 k 2,4 k 1, k 2, k 1,6 k 2,6 são os ganhos do controle PID, x T d = ε d p d λ d e K PI = V op k1,7 k 1,8 k 2,7 k 2,8 (14) εdt λdt, (1) o estado desejado, x o vetor de estado definido em (9), k1,7 (x K PI v i = d,1 x 1 )dt + k 1,8 (x d,3 x 3 )dt k2,7 (x d,1 x 1 )dt + k 2,8 (x d,3 x 3 )dt (16) o controle integral e o V o p a tensão necessária para manter o helicóptero no ponto de operação ε,p,λ. As variáveis ε d, p d e λ d são respectivamente os ângulos de elevação, inclinação e giro horizontal desejados para o helicóptero. No controle, o comando de inclinação é colocado em zero, assim p d =. Com a lei de realimentação u = K x = K(x x d ) = K PD (x d x) + K PI (17) sendo k1,1 k 1,2 k 1,3 k 1,4 k 1, k 1,6 k 1,7 k 1,8 K = k 2,1 k 2,2 k 2,3 k 2,4 k 2, k 2,6 k 2,7 k 2,8 tem-se, de acordo com 3 as seguintes matrizes Q= , 1 R=,,, (18), (19) (2)

3 e usando as matrizes de espaço de estados A e B, o ganho de controle é obtido minimizando-se a função de custo, J = O ganho K T do LQR é dado por K T = (x T Qx + u T Ru)dt. (21) 37, , , , , , , 942 2, 942 4, , , , 993 1, 1, 1, 1,. (22) IV. CONTROLE COM ESTRUTURA VARIÁVEL CONTÍNUO NO TEMPO Nesta seção, o projeto de um CEV contínuo no tempo é brevemente revisado. Considere um sistema linear contínuo no tempo representado por ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t), (23) onde u(t) R m é o sinal de controle, x(t) é um vetor de n estados disponível, y(t) é um vetor de p saídas, A R n n, B R n m e C R p n são matrizes constantes. A superfície de deslizamento é dada por S(t) = {x(t) Gx(t) = }, onde G R n m é uma matriz constante, que é projetada tal que o sistema seja estável, mantendo assim os estados sobre a superfície de deslizamento. A. Projeto da Superfície de Deslizamento Suponha que a dinâmica da planta, em (23), tem a seguinte forma regular, ẋ 1 (t) = A 11 x 1 (t) + A 12 x 2 (t), ẋ 2 (t) = A 21 x 1 (t) + A 22 x 2 (t) + bu(t), (24) onde x 1 R (n m) 1, x 2 R m 1 e b R m m. As demais matrizes têm as dimensões apropriadas e a superfície de deslizamento é dada por x1 (t) S(t) = G 1 G 2 =, (2) x 2 (t) sendo que G 1 R m (n m) e G 2 R m m é não nula. De (2) para a condição de deslizamento, tem-se x 2 (t) = G 1 2 G 1x 1 (t). (26) A dinâmica de ordem reduzida para o sistema em modo deslizante é ẋ 1 (t) = A 11 A 12 G 1 2 G 1 x1 (t), (27) que tem a estrutura de realimentação A 11 + A 12 F com F = G 1 2 G 1. Se o par (A 11,A 12 ) é controlável, então é possível usar a técnica clássica de projeto de controle com realimentação para calcular um F tal que A 11 + A 12 F tenha características desejadas durante o modo deslizante. B. Projeto da Lei de Controle Depois de projetar a superfície de deslizamento, o próximo passo é garantir a existência de um modo deslizante. Um modo deslizante existe se na vizinhança da superfície de deslizamento, em (2), a tangente ou o vetor velocidade das trajetórias dos estados sempre apontam em direção à superfície deslizante. O problema de existência se assemelha a um problema de estabilidade generalizado, conseqüentemente o segundo método de Lyapunov pode ser usado para análise. Assim a estabilidade para a superfície de deslizamento requer a seleção de uma função de Lyapunov V (t) que é positiva definida e tem uma derivada negativa no tempo, na região de atração. Quando uma função de Lyapunov existe, é dito que as condições de alcançabilidade e atratividade são satisfeitas. Uma estrutura muito usada para o controle é u (t) = u eq (t) + u ± n (t), (28) onde u eq (t) é o controle equivalente (que é contínuo no tempo) e u ± n (t) é a parte do controle que mantém os estados no deslizamento (que poderá ser chaveada ou não). Para o sistema em modo deslizante, a lei de controle equivalente deve satisfazer a condição Ṡ (t) = Gẋ(t) = GAx(t) + GBu eq (t) =. (29) De (29) segue que u eq (t) = F eq x(t) ;F eq = (GB) 1 GA, (3) sendo que GB é assumido não-singular. Agora, a lei de controle u ± n (t), que leva o estado para o modo deslizante, é projetada. Suponha que S (t) = Gx(t),S R m 1 e G R m n, (31) e a candidata a função de Lyapunov é definida por V (t) = 1 2 S(t)T S (t). (32) A derivada no tempo de V (t) pode ser escrita como V (t) = S(t) T Ṡ (t). Assim, a condição de existência para o modo deslizante é satisfeita se V (t) = S(t) T Ṡ (t) <. (33) Para o sistema da equação (23), com o controlador da equação (28), tem-se que Ṡ (t) = G Ax(t) + B ( u eq (t) + u ± n (t) ). (34) Substituindo (3) em (34) vem que Ṡ (t) = GAx(t) GB(GB) 1 GAx(t) + GBu ± n (t), (3) logo Ṡ (t) = GBu ± n (t). (36) Uma lei de controle não chaveada que pode ser utilizada é u ± n (t) = ρ(gb) 1 S (t),ρ <. (37)

4 A condição de existência é S(t) T Ṡ(t) = ρ S(t) <, se S(t), (38) então, V é negativa para x e o vetor de estado do sistema é transferido para a superfície deslizante S (t) =. Assim, segue que u (t) = (GB) 1 GAx(t) ρ(gb) 1 S (t). (39) Usando esta técnica de controle e o Software MATLAB/SIMULINK R 7, as seguintes matrizes são obtidas: S T = F eq = 2, 31 2, 29, 4181, 4172, 44, 448, 3736, 3736, 24, 24, 486, 481 1, 687 1, 694, 11, 113 1, , 3227, 277, 223, 339, 33 2, 129 2, 1293, 3261, 322, 24, 244 1, 687 1, 694, 11, 113, (4). (41) Uma das características mais importantes do CEV-MD é que quando o sistema entra em modo deslizante, o mesmo permanece insensível as perturbações que ocorrem nos canais de entrada, as quais são chamadas de perturbações casadas 8. Este fato será explorado na aplicação experimental, através de uma falha nos sinais de tensão que geram os torques dos motores do sistema simulador de vôo do helicóptero. V. RESULTADOS EXPERIMENTAIS Os experimentos foram realizados utilizando o helicóptero 3-DOF, como mostrado na Figura 2 e o projeto dos controladores foram feitos utilizando o modelo linearizado, obtido a partir do modelo não linear através do comando linmod do Software MATLAB/SIMULINK R 7. Planta O objetivo é o controle do ângulo de elevação do helicóptero mesmo diante de uma falha nos propulsores, pois este ângulo é o que sofre maior influência a esse tipo de perturbação. A falha imposta foi um sinal senoidal de 1, e 2, Volt respectivamente, na alimentação de ambos os motores. Como pode ser visto nas Figuras 3 e 4. Volts Volts Perturbação Figura 3. Perturbação de 1, V. Perturbação Figura 4. Perturbação de 2, V. A. Aplicação Experimental Utilizando CEV-MD Amplificadores de Potência u(t) x(t) A/D Um controlador contínuo (39) foi implementado utilizando o software MATLAB/SIMULINK R 7. Realizaram-se dois experimentos considerando sinais de tensão de 1, Volt e 2, Volt para o ângulo de elevação. Os resultados experimentais são mostrados nas Figuras e 6. Figura 2. D/A Microcomputador com Matlab Simulink Real-Time Esquema de Controle do Helicóptero 3-DOF. Pela análise dos resultados experimentais observa-se que o controlador é insensível a essa classe de perturbação. Os resultados indicam que o sistema teve uma boa resposta para ambos experimentos.

5 Figura Ângulo de para Perturbação de 1, V com CEV-MD. Figura Ângulo de para Perturbação de 2, V com LQR Figura Ângulo de para Perturbação de 2, V com CEV-MD. B. Aplicação Experimental Utilizando LQR Agora os experimentos foram realizados utilizando o controle convencional LQR (22), proposto pelo fabricante. Os resultados experimentais são mostrados nas Figuras 7 e 8. Pela análise dos resultados experimentais observa-se que o controlador LQR não proporcionou uma resposta adequada ao ângulo de elevação, uma vez que a perturbação afetou diretamente seu desempenho Figura Ângulo de para Perturbação de 1, V com LQR. VI. CONCLUSÕES Neste trabalho explorou-se a característica do Controle com Estrutura Variável e Modos Deslizantes (CEV-MD) de tornar o sistema imune a determinados tipos de incertezas e/ou perturbações, ditas casadas. O enfoque dado foi a acomodação de possíveis falhas na alimentação de propulsores de aeronaves. Para isto foi utilizado um simulador de vôo, o Helicóptero 3-DOF da Quanser R, que foi usado para realizar os experimentos. Neste modelo considerou-se a existência de uma perturbação senoidal nos sinais que alimentam os motores traseiros e dianteiros do helicóptero. Para efeito de visualização, os resultados obtidos foram comparados a técnica de projeto do controle convencional LQR. Nos experimentos realizados pode-se comprovar a boa performance do sistema quando controlado por CEV-MD, mesmo diante da existência deste tipo de falha, o que não ocorreu com o controlador LQR. AGRADECIMENTOS Este trabalho contou com o apoio da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP), projeto n o 9/64-4 e do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq). REFERÊNCIAS 1 V. I. Utkin. Sliding modes and their applications in variable structure systems. Mir-Publishers, Moscow, J. P. F. Garcia, L. M. C. F. Garcia, G. C. Apolinário, and F. B. Rodrigues. Sliding Mode for Detection and Accommodation of Computation Time Delay Fault. Mathematics and Computers in Simulation, 8:449 46, DOF Helicopter - Reference Manual. S.l.: S.n., K. Ogata. Engenharia de controle moderno. Prentice Hall do Brasil, Rio de Janeiro, 3 edition, R. A. DeCarlo, S. H. Zak, and G. P. Matthews. Variable structure control of nonlinear and multivariable systems: a tutorial. Institute of Electrical and Electronics Engineers, 76(3): , M. H. Maia. Controle preditivo robusto de um helicóptero com três graus de liberdade sujeito a perturbações externas f. Master s thesis, Instituto Tecnológico da Aeronáutica, São José dos Campos, MATLAB user s guide. S.l.: S.n., 2. 8 B. Drazenovic. The Invariance Conditions in Variable Structure Systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 46(3):46 464, 1969.