Introdução à Teoria dos Números - Notas 1 Os Princípios da Boa Ordem e de Indução Finita 1 Preliminares Neste curso, prioritariamente, estaremos trabalhando com números inteiros mas, quando necessário, utilizaremos as propriedades já conhecidas dos números racionais e reais. As notações para conjunto numéricos a serem utilizadas serão: Z= conjunto dos números inteiros, N = {1,, 3,...}= conjunto dos números inteiros positivos ou números naturais, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0}=conjunto dos números inteiros não-negativos, Q=conjunto dos números racionais, R=conjunto dos números reais e R\Q= conjunto dos números iracionais. Em todos os conjuntos acima estaremos supondo suficientemente conhecidas as operaçoes usuais neles definidas, juntamente com a relação de ordem (a b). Lembramos que um número racional é um número que pode ser escrito na forma p com p, q números inteiros e q 0. Em q R, consequentemente em Q e Z, temos a importante noção de módulo, ou seja, { x se x 0 x = x se x < 0 para todo x R. Exercício 1 1) Mostre que o produto de qualquer número racional por um número irracional produz como resultado um número irracional. ) Mostre que a soma de qualquer número racional com um número irracional produz como resultado um número irracional. 3) Exiba um exemplo de dois números irracionais cuja soma seja um número racional. 4) Exiba um exemplo de dois números irracionais cujo produto seja um número racional. 5) Mostre que um número real positivo r é racional se, e somente se, existe um número natural n tal que nr seja um número natural. 1
6) Mostre que para quaisquer números reais x, y temos: (a) xy = x y (b) x + y x + y ( Chamada Desigualdade Triangular!) Dois axiomas equivalentes Enunciaremos, agora, dois axiomas equivalentes 1 que praticamente caracterizam N dentre os conjuntos acima. Axioma (Princípio da Boa Ordem - PBO) Todo subconjunto não vazio de N possui um menor elemento. Aplicação 3 Mostre que não é um número racional. Solução 4 Feito em sala! Exercício 5 1) Mostre que o axioma acima não é verdadeiro para Z. ) Mostre que 3 não é um número racional. 3) Seja n um número natural tal que n / N. Mostre que n / Q. 4) Seja f : N N uma função não-crescente, isto é, para quaisquer números naturais n m teremos f(n) f(m). Mostre que f é constante a partir de um certo número natural, ou seja, existe n 0 N tal que f(n) = f(n 0 ) pata todo n n 0. Axioma 6 (Axioma de Indução) Seja X um subconjunto de N satisfazendo as seguintes condições: C1: 1 X C: k X teremos k + 1 X. Então X = N. Aplicação 7 Mostre que n > n para todo número natural n Solução 8 Em sala! 3 As duas formas do Princípio de Indução Finita O método utilizado acima pode ser formalizado através do seguinte teorema. 1 Não é difícil provar que os dois axiomas são equivalentes, isto é, admitindo o primeiro, obtemos o segundo como consequência deste e vice-versa.
Teorema 9 (Primeira Forma do Princípio de Indução Finita ) Seja p(n) uma sentença aberta em n (vide exemplo acima!). Suponhamos que P1: p(1) é verdadeira P: Para todo número natural k tenhamos p(k + 1) verdadeira se p(k) for verdadeira. Então p(n) é verdadeira para todo número natural n. Prova. Seja X = {n N; p(n) é verdadeira}. Mostremos que X = N. Pela condição P1, temos que 1 X. A condição P nos diz que se k X teremos k + 1 X e, portanto, pelo axioma 6 temos que X = N. Observação 10 Se desejamos utilizar o teorema acima para provarmos que uma certa proposição é válida para todos os números naturais, devemos mostrar que: 1. Tal proposição é válida para k = 1.. Supondo que a proposição é válida para k, devemos mostrar que, neste caso, teremos a proposição verdadeira para k + 1 Exemplo 11 Mostre que para todo número natural n teremos Solução 1 Em sala! 1 + 3 + 5 +... + (n 1) = n. Em muitas aplicações uma certa proposição não é válida para todos os números naturais, mas é verdadeira a partir de um certo número natural n 0. Nestes casos, uma generalização do teorema acima quase sempre se mostra muito útil. Teorema 13 (Primeira Forma do Princípio de Indução Finita - Geral) Seja p(n) uma sentença aberta em n (vide exemplos acima!). Suponhamos que P1: Para um certo número natural n 0 ela seja verdeira P: Para todo número natural k n 0 tenhamos p(k + 1) verdadeira se p(k) for verdadeira. Então p(n) é verdadeira para todo número natural n n 0. Prova. Considere, como na prova do teorema anterior, o conjunto Complete a prova mostrando que X = N. X = {n N; p(n 0 n + 1) é verdadeira}. Exemplo 14 Estudar a validade da desigualdade n > n + 1. 3
Solução 15 Em sala! Exercício 16 1) Mostre que cada sentença abaixo é verdadeira para todos os números naturais n. a) + 4 + 6 +... + n = n(n + 1) b) 1 + + 3 +... + n = n(n+1)(n+1) 6 c) 1 3 + 3 + 3 3 +... + n 3 = ( n(n+1) ) d) 1 1. + 1.3 +... + 1 n(n+1) = n n+1 e) 1 1..3 + 1.3.4 +... + 1 n(n+1)(n+) = n(n+3) 4(n+1)(n+) f) 1 + 3 4 +... + ( 1) n 1.n = ( 1) n 1. n(n+1) )(Desigualdade de Bernoulli) Seja a > 1 um número real fixado. Mostre que para todo n natural temos (1 + a) n 1 + na. 3) (a) Mostre que 5 não é um número racional. (b) Mostre que para cada número natural n existem números naturais a n e b n tais que (1 + 5) n = a n + b n 5. (c) Mostre que para cada número natural n o número (1 + 5) n não é racional. 5) Mostre que para qualquer número natural n e quaiquer números reais x 1, x,..., x n temos x 1 + x + ldots + x n x 1 + x +... + x n. 6) Estudar a desigualdade n > n. 7) Sendo n um número natural, definimos n! = 1..3.4.....(n 1).n. Estude a desigualdade n! > n. 8) Mostre que n! > 3 n para todo número natural n 7. Teorema 17 (Segunda Forma do Princípio de Indução Finita ) Seja p(n) uma sentença aberta em n. Suponhamos que P1: p(n 0 ) é verdadeira P: Para todo número natural k n 0 tenhamos p(k + 1) verdadeira se p(n 0 ), p(n 0 + 1),..., p(k) for verdadeira. Então p(n) é verdadeira para todo número natural n n 0. 4
Prova. Consideremos o conjunto X = {n N; p(n 0 +n 1) não é verdadeira}. Mostremos que X =. Se X, pelo PBO, seja k o menor elemento de X, isto é, k é o menor número natural tal que p(n 0 + (k 1)) não é verdadeira. Por P1, temos que k > 1. Como k é o menor elemento de X temos que p(n 0 + 1), p(n 0 + ),..., p(n 0 + (k 1 1) são todas verdadeiras, mas isto implicaria, por P que p(n 0 + (k 1)) seria verdaderia, contrariando o fato de k estar em X. Logo, X = e o resultado está provado. 5