Istitto Sperior de Edcação I S E Trabalho cietifico do fim do crso apresetado ao I S E Para obteção do gra de liceciatra em matemática Tema: Gia para o estdo das scessões º ao de escolaridade Orietador, Dotor Palio Fortes Ator: Alda Hortese M Correia
Praia, Jho de 007 Istitto Sperior de Edcação Departameto de ciêcias e tecologia Crso de Matemática Trabalho cietifico: Gia para o estdo das scessões º ao de escolaridade Elaborado por: Alda Hortese Medes Correia e aprovado pelos membros do Júri Foi homologado pelo coselho cietifico pedagógico, com o reqisito parcial à obteção do gra de: Liceciatra em Matemática Data: O Júri:
À miha família, professores e colegas qe icetivaram-me a trabalhar esse tema o mes agradecimetos
Este trabalho é dedicado a todos aqeles qe me rodeiam, pricipalmete as meias Haah, Helza e Hyrah, aos mes pais, às mihas irmãs, ao Clodomir, ao Dotor Palio, à Aa Lia e à Leie
Ídice Prefácio 5 Itrodção 7 3 Breve ota histórica 9 4 Eigmas 3 5 Scessões; scessões méricas 5 5 Defiiçõeseexemplos 5 5 Exercíciosdeaplicação: 9 5 Mootoia 0 53 ScessõesPeriódicas 5 54 Propriedades algébricas e topológicas das scessões 7 54 Operaçõescomscessões 7 54 Estrtradeaelitário 7 543 Propriedadetopológicas 9 544 Exercíciosdeaplicação 30 6 Scessões Usais 37 6 Progressãoaritmética 37 6 Represetação, propriedades e algs teoremas 38 6 Soma dos primeirostermos 40 63 Médiosaritméticos 4 64 Progressõesaritméticas:Resmo 44 65 Exercíciosdeaplicação 44 6 Progressõesgeométricas 46 6 Defiiçõesalterativas 46 6 Represetação, propriedades e algs teoremas 48 63 Mootoia 49
ÍNDICE 64 Exercícios 50 65 Prodtodostermosdmapg 5 66 Soma dos termos dma progressão geométrica 5 67 Exercícios 53 68 Médiosgeométricos 53 69 Progressõesgeométricas:Resmo 54 60 Progressões geométricas: tabela exastiva 54 6 Exercíciospropostos 55 7 Limite das scessões 59 7 Defiiçãoepropriedades 59 7 Exercícios 59 7 Limite 60 7 Scessõescovergetes 6 7 Defiição 6 73 Métododecomparação 63 74 Propriedades dos ifiitésimos 64 75 Scessõesdivergetes 67 76 Propriedades das scessões ifiitamete grades/peqeos 68 77 Exercícios: 68 78 Operações com scessões covergetes 69 79 Exercíciosdeaplicação 7 8 Scessões diversas 77 8 Comparação com as scessões geométricas e/o aritméticas e estdodasmesmas 77 8 Scessões do tipo f() 77 8 Scessões do tipo (a b) / 79 83 Scessões do tipo (a b)/(c d) 80 9 Séries 83 9 Defiição 83 9 Propriedades 83 93 Cálclo de S 84 94 Eqadrametodmasérie 85 95 Relação etre progessões geométricas e otras scessões 87 95 Scessões do tipo a b 87 95 Scessões do tipo a b 89 953 Scessões do tipo ab c d 90 954 Scessões do tipo a b 93
ÍNDICE 3 96 Estdo de das scessões cojtas 95 97 Exercíciosdeaplicação 96 0 Complemetos sobre scessões 99 0Represetaçãodosúmerosreais 99 0ScessõesdeCachy 00 03Nmerodeoro0 04Expoecial0 05 Series e Prodtos ifiitos0 06Itrodçãoaologaritmo 04 06 Defiiçãoepricipio04 06 Teorema05 063 Propriedades 06 064 Logaritmosvlgares 07 Coclsão e recomedações 09
4 ÍNDICE
CAPÍTULO Prefácio Este trabalho, ititlado "Gia para o estdo das scessões", pretede servir como gia o maal de referêcia para professores e alos do esio secdário Pois, o esio da matemática presspõe, além da formação académica adeqada, m domíio próprio para o se desempeho e preparar o idivído para efretar e resolver problemas da vida real Tedo em cota a grade importâcia das scessões o mdo do trabalho, pricipalmete o fiaceiro, e a sa iflêcia a tomada de decisões hove a preocpação a elaboração dm docmeto qe possa servir como m maal de referêcia a alos e professores do esio secdário, bem como a todos os profissioais qe tilizam as scessões como ferrameta de trabalho Com o itito de desevolver a capacidade metal do leitor, itrodziramse exercícios resolvidos e exemplos ao logo do texto A fim de facilitar a apredizagem da matemática Iseriram-se, também, algs exercícios propostos como forma de o leitor testar o ível de cohecimetos adqirido Estamos covecidos qe se se domiar este tema etão a apredizagem geral da disciplia terá mais scesso - o qe cotribirá certamete para o ameto da qalidade do esio da matemática 5
6 CAPÍTULO PREFÁCIO
CAPÍTULO Itrodção Um dos grades objectivos do esio da matemática, actalmete, é o desevolvimeto das capacidades de cálclo e de resolção de problemas Umavezqemadasgradesmetasdoesiodamatemáticaé cotribir para o ameto da capacidade de tomadas de decisão com fdameto matemático, portato certas e optimizadas A sociedade de hoje, caracterizada por crescetes e rápidas alterações, ecessita de idivídos qe pesem dma forma flexível, critica, eficaz e criativa O poder matemático adqirido o estdo da matemática ajda a preparação do cidadão activo do presete Neste caso, as scessões méricas, além de terem iflêcia o qe foi dito acima, costitem ma classe importate das fções reais e estão a fdametação de vários coceitos da matemática: desde a própria criação do corpo dos úmeros reais aos métodos aproximativos em geral Também, servem para modelar vários problemas e eigmas matemáticos e da vida real Daí a preocpação a elaboração deste maal de referecia para qem se iteresse pelo tema A preocpação a elaboração deste docmeto de apoio ão fica somete limitada a itrodção do estdo das scessões, mas, pricipalmete peso-se a cotribição qe este veha a ter a assimilação e estdo de otras cadeiras ode são aplicadas diversos tipos de scessões e valores aproximados A estatística, a matemática fiaceira, de etre otros, cjas aplicações depedem directamete das scessões, tem iflêcia e de qe maeiraasociedadeeatomadadedecisõesnaestatística,emespecial, o idivído terá qe aplicar as fções certas pricipalmete a previsão do crescimeto poplacioal afim de prever e ecotrar solções a demografia ftra 7
8 CAPÍTULO INTRODUÇÃO Este maal cotém algs eigmas (relacioados com a realidade e qe possam servir de estimlo) por resolver, exercícios resolvidos qe podem cotribir a compreesão e apredizagem desta matéria, dicas para a resolção de certas scessões, algs problemas qe podem ser ecotradas o dia a dia e algs teoremas demostrados através de exercícios resolvidos e propostos ode o leitor é codzido a demostra-los No fim de cada capítlo ecotram-se vários exercícios de aplicações para serem resolvidos em grpo e desecadearem ovas qestões Também, foi abordado de forma sitética algmas scessões cosideradas importates e breve itrodção ao logaritmo de forma a haver maior compreesão da fção logarítmica Os eigmas foram itrodzidos com o objectivo de toar os alos mais pacietes, ametar a rapidez do raciocíio lógico matemático e ecotrar a melhor forma de resolvê-los Para isso, seria coveiete lê-los, ler o livro e resolvê-los o etão resolvê-los e comparar os resltados ecotrados após aleitradomaal Tedo em cota a limitação do mercado em qe estamos iseridos, além dos objectivos apresetados ateriormete, este docmeto visa complemetaroadqiridoasaladealaeservircomodocmetodeapoio/coslta pois, o esio da matemática presspõe ma formação académica adeqada e m domíio para o se desempeho Cosiderado os objectivos ateriormete apotados, srge a segite hipótese: - Se m idivído domiar algs coteúdos matemáticos, pricipalmete o deste maal, e aplicá-lo adeqadamete etão se melhoraria a qalidade do mdo laboral Com certeza o leitor vai cofirmar esta hipótese O trabalho costa de oito capítlos No primeiro capítlo falo-se dm poco de História, o qe facilitará a compresão desta matéria No segdo, a fim de despertar a criosidade do leitor, apreseto-se algs eigmas ão resividos, os terceiros a sexto capitlos trato-se de abordar as progressões aritméticas, progressões geométricas, algmas scessões já cohecidas, da covergêcia, do limite de scessões, e os dois ltimos capítlos trabalhose algmas séries e algmas scessões cosideradas úteis e fez-se a itrodção ao logaritmo Fialmete, qeria explicar algmas opções tomadas: opto-se por m texto leve, arejado (o qe ameto grademete o úmero de págias) com o objectivo de prodzir m texto ão casativo, de fácil referêcia, mas qe caiba também os apotametos rabiscados pelo próprio leitor; também opto-se por itrodzir vários temas através da proposta de exercícios, como forma de motivar à partida para a problemática em qestão
CAPÍTULO 3 Breve ota histórica O termo scessão o seqêcia está relacioado com m cojto de objectos dispostos ma dada ordem Porém a atigidade, o estdo de seqêcias foi aplicada o cálclo dos valores aproximados de: Áreas Neste caso, é aplicado ao cálclo da área do segmeto dma parábola, dma circferêcia, etc (observe a figra abaixo) Para poder ecotrar o valor aproximado dessa área, os matemáticos da atigidade dividiam o itervalo em partes igais e cosideravam pelo meos das scessões tal qe <A<v ode A represeta a área e e v são scessões crescete e decrescete respectivamete Assim, a área será o limite de cada ma dessas scessões ecotradas 9
0 CAPÍTULO 3 BREVE NOTA HISTÓRICA Do úmero π Ecotram o valor aproximado de π através do cálclo do perímetro de polígoos reglares iscritos e circscritos ma circferêcia de comprimeto π e diâmetro a idade ( represeta o úmero de lados do polígoo) De acordo com a figra acima represetada o valor aproximado de π depede do perímetro dos dois petágoos De k p Este valor é calclado fixado o valor de x Para qalqer real x o valor de k p está sitado etre x e p x ode x p ( k ) x k k ( x ) Um real qalqer O valor aproximado de a/b pertece ao itervalo ],v [ ode a primeira scessão é crescete e a segda decrescete, represetado os valores arredodados por defeito e por excesso respectivamete Isto permiti qe se descobrisse bem a regra de certas scessões como a das scessões geométricas e scessões formadas pela soma dos primeiros termos dma progressão geométrica (Arqimedes, 87- ac) foram itrodzidos a previsão do tamaho da poplação tedo em cota a taxa de fecdidade, das scessões aritméticas qe está directamete, qado maior for o, ligadaàestrtradocojtodosúmerosreaiseoresltadodeste é o axioma de Arqimedes Este foi ma das razoes pela qal Arqimedes fora cosiderado fdador da estatística, do cálclo itegral e da aálise ifiitésimal Além de Arqimédes, otros matemáticos se iteressaram pelo estdo de certas scessões Em particlar, Leoardo de Pisa mais cohecido por
Fiboacci (70-45) cjo o ome fico ligado a ma das scessões mais célebres da história da matemática: esta estda o crescimeto poplacioal dos coelhos (eigma 5), Taylor (685-675), Eler (707-783) e Cachy (789-857) Existem otros matemáticos qe deram o se cotribto o estdo de scessões mas ão serão citados este maal Pois, o objectivo é icetivar o alo a pesqisar o qe foi feito por eles e pelos qe foram citados o parágrafo aterior
CAPÍTULO 3 BREVE NOTA HISTÓRICA
CAPÍTULO 4 Eigmas A exploração didáctica, e mesmo cietífica, de eigmas é ma estratégia bastate rica ma vez qe: i) É motivadora pois m eigma traz sempre ma forma iteressate, por vezes até lúdica de apresetar m problema; ii) É itegradora pois a maior parte dos eigmas abarca vários aspectos de ma matéria e até várias matérias; iii) É completa pois leva ao hábito de aálise, sitese e otras estratégias de resolção de problemas Por isso, apresetamos abaixo algs eigmas evolvedo o coceito de scessão, com vista a costitir ma fote de recrso aos professores e criosos: Timóteo hesita etre das firmas qe lhe propõe trabalho A primeira oferece-lhe 80 cotos por ao com a promessa dm ameto de 0 cotos por semestre A segda oferece-lhe 80 cotos por ao com a promessa dm ameto de 40 cotos por ao Depois de mito pesar, Timóteo escolhe a primeira firma Porqê? Um govero decide apeas emitir das moedas de valor diferete: ma de 7 idades moetárias e otra de Assim, somas como 5 idades ão podem ser obtidas de maeira exacta Qal é a maior qatia qe ão pode ser paga com qalqer combiação das das moedas? 3 Timóteo compro ma balaça com dois pratos, mas sem pesos Etão resolve fazê-los, cortado em vários pedaços ma barra de g Obteve, assim, m sistema qe lhe permite pesar exactamete todos os objectos qe pesem m úmero iteiro de gramas de a Como dividi Timóteo a barra? Qatos pedaços são ecessários? 4 Calvi: Hobbes, ajdas-me os TPC? 3
4 CAPÍTULO 4 ENIGMAS Hobbes: Diz Calvi: Hobbes, prova, por idção qe a soma dos primeiros úmeros atrais é () 5 Cerca de 00, Leoardo de Pisa coloco a qestão de saber qatos casais de coelho se prodzem m ao a partir dm casal se ão ocorrerem mortes e cada casal origiar m ovo casal em cada mês, casal qe se tora fértil a partir do segdo mês Leoardo ão fez mais do qe colocar o problema e dar a resposta: 377 6 Spoha o leitor qe, adado para trás o tempo, ecotra em média ma ova geração de atepassados por cada 5 aos qe reca Etão, há 5 aos tiha atepassados, os ses pais; há 50 aos tiha 4 atepassados, os ses avós; há 75 aos tiha 8 atepassados, os ses bisavôs e assim por diate, dplicado os 5 aos Este argmeto parece sgerir qe há 000 aos teria tido 80 atepassados, m úmero de loge sperior ao úmero total de pessoas qe já algma vez existiram Ode falha o argmeto? 7 Um relógio bate as 6 em 5 segdos Qato tempo demora bater as? 8 Ecotre úmeros atrais x, y, z tais qe x y z 5,emqe x<y<z Poderá srpreedê-lo o úmero de solções qe existem 9 O orglho e a alegria de Mstafá eram os ses bois bracos Após a sa morte, a sa mlher pricipal fez saber qe o se falecido marido qeria os bois partilhados etre os ses filhos mais velhos, Ysf, Raheem e Ibrahim, de modo qe ficassem com, 4 e 6, respectivamete Não qeredo ter de acabar por talhar m daqeles belos aimais, foram cosltar o oráclo da aldeia Este depressa acabo com os problemas daqela família, acrescetado o se úico boi aos otros Depois etrego 6 ao Ysf,3aoRaheem,aoIbrahime,fialmete, tiro de volta o se próprio! Há aqi qalqer coisa qe ão bate certo Cosegirá o leitor deslidar o caso? 0 Spoha qe possi mitos selos de correio de 0 e 0 escdos De qatas formas diferetes pode colar os selos m bilhete-postal (lado a lado e direitos) para totalizarem 0, 0, 30, 40, 50, etc, escdos? Por exemplo, para totalizar 40 escdos são possíveis cico combiações
CAPÍTULO 5 Scessões; scessões méricas 5 Defiições e exemplos Vai-se iiciar apresetado exemplos de scessões e problemas qe geram scessões Exemplo 5 Adisposiçãoabaixoémascessão:, 0, 50, 0, 00, 3, 4, 5, 535, 5, 00, 3 Exemplo 5 Spodo qe a taxa aal de ameto dos preços é de 8%, isto é se m prodto qe csta 00 escdos este ao, o próximo cstará 00 00 8 00, etc Sejav o preço desse mesmo prodto ao logo de aos Calcle o valor aproximado de v a 00, para {,, 3, 5} Solção: v 00 00 8 00 08 v 08 00 8 08 664 3 v 3 597 597 5 v 5 470 Exemplo 53 Cosidere-se a fção f(x) x5 x Para todo o iteiro atral, f() O orgaograma abaixo idicado resme os cálclos efectados para calclar os valores de para todo iteiro atral meor do qe 50 Defiição 5 (scessão) Seja a m iteiro atral Desiga-se por N a {a, a,a,} de atrais maiores o igais a a Chama-se scessão 5
6 CAPÍTULO 5 SUCESSÕES; SUCESSÕES NUMÉRICAS Figra 5: mérica ma aplicação de N a em R Ode () a imagem de, ota-se da segite forma: Oreal é m termo da scessão; este caso, é o termo de ordem Otermo a é o primeiro termo da scessão E, ( ) a o ( ) Na represeta a scessão Nota 5 Qado a 0a scessão pode ser represetada das segites maeiras: ( )( ) 0 o ( ) N0 Nota 5 Às vezes, para precisar a forma dos termos scessivos, a scessão é otada da segite forma: ( ) a ( a, a,,,) Exemplo 54 Tomemoscomoexemploascessão para todo iteiro ão lo Esta scessão será represetada da segite forma: ( ) (,, 3,,,) Podemos, também, ecotrar a otação segite:, istoédevidoaofactodomesmoãoserdefiido em 0coseqüetemete o primeiro termo jamais pode ser lo Nota 53 Represeta-se ma scessão fiita da segite forma: ( ) a¹¹b ( a, a,, b )
5 DEFINIÇÕES E EXEMPLOS 7 Nota 54 É importate saber determiar a posição dm termo Por exemplo, a 3 éoqartotermodascessão( ) a Nota 55 As scessões são represetadas, a maioria das vezes, por:, v, w, Nota 56 Adefiição de scessão de elemetos de A, podedox ser igal a N, N 0, N a o X { N : a<<b,a,b N} represeta-se da segite forma: U : X N A Exemplo 55 A scessão defiida por ( ) ( ) pode ser represetada das segites maeiras: ( ) v ( ) ; ; ( ) 6 0 ; 30 4 ;; ; ( ) 5 ; ;; ; ( ) Como para qalqer fção a defiição de ma scessão depede do domíio, cojto de chegada e o processo de trasformar objectos em images Assim defiir ma scessão cosiste em forecer meios para calclar os ses termos Há várias formas de ecotrar ma scessão: a) Dado ma fórmla qe permite calclar a imagem de Recorrerse-á sempre qe possível a este método b) O meio de cálclo do termo geral (termo de ídice ) podeser ecotrado através dos termos iferiores Neste caso, o cohecimeto dos primeiros termos permitirá calclar todos os termos da scessão Diz-se qe o termo geral da scessão é ecotrado por recorrêcia, e qe a scessão está defiida por recorrêcia; c) Existem otras formas de ecotrar o termo geral da scessão Como por exemplo através de orgaogramas, o combiar etre elas scessões já cohecidas
8 CAPÍTULO 5 SUCESSÕES; SUCESSÕES NUMÉRICAS Nota 57 Seja ( ) ascessãotalqe f(), odef émafção mérica Se édefiido em D f logo o termo geral de o é também b) Seja (v ) defiida por v a e a recorrêcia v f(v ) Otermo v édefiido se e só se v D f Passemos a apresetar algs exemplos: Exemplo 56 Sedo ( ) defiida pela relação e 0 6 Logo tem-se scessivamete: 4; ; 3 ;etc Exemplo 57 Seja a scessão (v ) Para satisfazer a relação de recorrêcia v v v ter-se-á qe cohecer v e v para a defiir a scessão Se v v etão: v 3 ; v 4 3; v 5 ;etc Exemplo 58 Seja 3 e O termo geral desta scessão é 3( ) 3
5 DEFINIÇÕES E EXEMPLOS 9 Ela foi ecotrada por recorrêcia Etretato, este processo em sempre é possível 5 Exercícios de aplicação: Exercício 5 Sejam: v ( ) ( )( ) 6 e ( ) a) Calcle, v e w para 0 b) Calcle, v e w c) Calcle, v e w d) Calcle, v v e w w Cocla Exercício 5 Seja: q q Calcle 8 para q 3 Calcle 8 para 3 Para q,calcle :0 0 Exercício 53 Seja f :R\{0} R, f ( x) x e : f( ) a) Dado 0, calcle : 0 0 CometeDedzaosvalores de 5 e
0 CAPÍTULO 5 SUCESSÕES; SUCESSÕES NUMÉRICAS b) O mesmo para 0 3 c) Demostre qe, para qalqer qe seja os valores de 0 (excepto {0, }) os valores de 0 e são igais d) Seja v : v v v Calcle v ( {, 3, 4} )emqev 0 56 e v 9 Exercício 54 Seja ( ): ( )! Calcle, 3, 4 e 5 (cosiderado ) 5 Mootoia Recorde-se qe m par formado por m cojto A emarelação< em A, (A, >) diz-se bem ordeado se, e só se, tem-se m e m só dos casos: x<y, y<xe x y (propriedade tricotómica) Um sbcojto A de N é cojto idtivo se, e só se: A a A, a A Proposição 5 Para qe ma scessão seja crescete é ecessário qe: N, Demostração: Seja ma scessão Seja a {m N : m }, N,, 3 N, 3 3 p, p N, p p, m N, m Como (N, ) e (R, ) são cojtos bem ordeados etão tem-se: Defiição 5 Diz-se qe ma scessão écresceteseesóse: N, m N, m m e, decrescete qado: N, m N, m m
5 MONOTONIA Sedo N m cojto totalmete ordeado e a A m sbcojto idtivo de N logo, pelo teorema: Corolário 5 Se A é totalmete ordeado e B A, etãob é totalmete ordeado Por isso A é m cojto bem ordeado o seja o cojto dos termos de ma scessão é bem ordeado Exemplo 59 Seja m {, 4, 6, 8,,, } é m sbcojto de N totalmete ordeado Logo o cojto dos termos da scessão, é totalmete ordeado ( ) } { x R : N x } { N Defiição 53 Diz-se qe ma scessão é crescete, a partir do termo b se, e só se, para qalqer iteiro b,tem-se Uma scessão é decrescete, a partir de b se, e só se, para qalqer iteiro b,tem-se Uma scessão é costate, o estacioária, a partir de b se, e só se, para qalqer iteiro b,tem-se Defiição 54 (scessão moótoa) Uma scessão ( ) N diz-se moótoa qado ela for crescete o decrescete Coforme o qadro abaixo idicado, ma scessão moótoa pode ser: Exemplo 50 Para qalqer a R, a scessão : a b é moótoa crescete se a for positivo e decrescete se a for egativo Exemplo 5 v : v () ão é em crescete em decrescete Neste caso a scessão ão é moótoa
CAPÍTULO 5 SUCESSÕES; SUCESSÕES NUMÉRICAS Assim, do poto de vista práctico, para estdar a mootoia dma scessão é ecessário: - Comparar dois termos cosectivos da scessão dada; - Estdar o sial da difereça etre dois termos cosectivos; - No caso, da scessão ter apeas termos positivos, pode-se fazer o qociete etre o dois termos cosectivos comparado o resltado com a idade Nesse caso 0 e são eqivaletes Exemplo 5 Seja ( ) defiida por e 0 5 Comparado os ses termos cosectivos, o qe se pode coclir? Por recorrêcia ecotramos o termo geral da scessão dada: 0 5; 3; ; 0 5 0 5 3 p 5 p Tem-se etão: N, 5 5 ( ) 5 0 Logo a scessão dada é estritamete crescete Exemplo 53 Seja (v ) defiida por v v e 0 v
5 MONOTONIA 3 Tem-se v v v v v O sial de da sbtracção depede do sial de v Ora é egativo etão os termos scessivos também o são, coseqetemete a difereça etre os termos cosectivos é positiva Logo, para todo atral a scessão dada é crescete Exemplo 54 Seja ( ) ma scessão de termos positivos defiida por: 4 Sabe-se qe para estdar a mootoia desta scessão, calcla-se a difereça etre dos termos cosectivos: ( ) ( ) 4 4 4 4 Neste caso ão se cosege chegar a ehma coclsão Por isso, é preferível aalisar o qociete da divisão etre os termos cosectivos: 4 q Calclado scessivamete os valores de q obter-se-ão os segites resltados: q ; q 0,4; q3 0,63; q4 0,8; q5 0,96; q6,08 8 Para 6 qociete tora-se maior do qe a idade Logo, a scessão é crescete a partir de 6 Exemplo 55 Seja v defiida por: v v
4 CAPÍTULO 5 SUCESSÕES; SUCESSÕES NUMÉRICAS e v 0 Tem-se v v v v ( v v )( v v ) v v v v v v Ora, v v 0 etãoosialv v de depede do de v v Cosidere-se etão o poliómio P(x) defiido por P( x) x x ( x)( x) e P( x) 0 x Agora, ter-se-à qe provar qe : Tem-se scessivamete: 0 < v < ] [ v, v 0, < v < 4 < v < [, ] < < v < 0 < v ] 0,[ v Etão v ], [ Dedz-se qe para qalqer atral, v écrescete Exemplo 56 Seja : Ora 0 Logo a scessão é decrescete
53 SUCESSÕES PERIÓDICAS 5 Defiição 55 Diz-se qe a scessão ( ) N qalqer N, é costate qado, para Exemplo 57 Ascessão( ), N, écostate Defiição 56 Ascessão( ) N, é estacioária se: p : N p, O seja a partir dma certa ordem, Exemplo 58 Ascessão344444 Exercícios: Exercício 55 Estde a mootoia das segites scessões: a) b) c) (,5) 6 d)! e), 0 f), 0 g), 0 4 Exercício 56 Escreva das scessões ão são moótoas, sedo ma de termos positivos De etre as scessões ão moótoas, existem scessões de termos qe se repetem periodicamete Estas serão o objecto de estdo a próxima secção 53 Scessões Periódicas Defiição 57 Diz-se qe ma scessão é periódica de período t (t N ) se: N, t Defiição 58 Uma scessão ( ) é periódica a partir do termo 0,seesó se, existe ma ordem p N, 0 : p O meor p com esta propriedade é dito o período da scessão dada
6 CAPÍTULO 5 SUCESSÕES; SUCESSÕES NUMÉRICAS Vamos ver algs exemplos: Exemplo 59 Seja () ma scessão defiida em N por: si(π/ π) Mostre qe se trata dma scessão periódica Resolção: Se par, p para N si(π/π) si(π/)cos(pπ)si(pπ)cos(π/) x0x0 Se ímpar, p para N si(π/(p )π) si(π/pπ π) si(π/ π) si(3π/) Etão para N temos () () () () () pela defiição t Logo a scessão dada é ma scessão periódica de período Para compreedermos melhor, observemos a figra segite: Observado a figra acima coclímos qe de em a imagem de matém-se, daí o ser o período da scessão
54 PROPRIEDADES ALGÉBRICAS E TOPOLÓGICAS DAS SUCESSÕES7 54 Propriedades algébricas e topológicas das scessões Nesta secção vamos estdar a estrtra algébrica do cojto das scessões Seja K émcorpoee m cojto qalqer Seja K E ocojtodas fções de E em K K E tem a estrtra dm espaço vectorial sobre K No caso das scessões méricas : N R, comor émcorpoer N ém espaço vectorial real etão têm-se as operações com scessões: 54 Operações com scessões Defiição 59 A adição de das scessões e v é: ( v) v, N Defiição 50 Ao mltiplicar ma scessão por m real β tem-se: (β) β Exemplo 50 Seja () ( ) e v () ( ) Determiar v Resolção: N, () ( ) () ( ) para par para ímpar logo v () Exemplo 5 Sedo β m real qalqer, mostre qe mltiplicado a scessão aterior por este real, o mesmo obedece à segda regra Resolção: β β() ( ) () (β β )(β) 54 Estrtra de ael itário Matedo a adição, a mltiplicação em R N édefiida da segite forma: (v) v, Proposição 5 R N, mido das operações de adição e mltiplicação acima, tem a estrtra de ael itário
8 CAPÍTULO 5 SUCESSÕES; SUCESSÕES NUMÉRICAS Demostração: (R N, ) é grpo comtativo? Seja,v R N Tem-seqe,v R N, w R N : w v graças à defiição de adição de scessões, a partir da soma dos termos correspodetes Assim, é associativa, pois a adição em R oé Existe elemeto etro, e é a scessão costate 0 (zero): 0, Toda scessão ( ) têm oposto: ( ), atral A operação () também é comtativa: v v v v ( v )( v ) ( v ) (v )(v ) (v ) (v v v )( ) v logo (R N, ) é grpo comtativo (R N, ) é semi-grpo?, v R N w R N : w v (v),v,w R N ( v )w (v) w (vw) (vw) como a operação mltiplicação é associativa etão (R N, ) émsemigrpo Será a operação distribtiva em relação à?,v,w R N ( v )w ( v) w [( v)w] (w) (vw) w v w etão a operação é distribtiva em relação à operação Tedo em cota qe a operação é comtativa, etão: ( v )w w ( v )
54 PROPRIEDADES ALGÉBRICAS E TOPOLÓGICAS DAS SUCESSÕES9 o elemeto idade é a scessão costate () logo R N mido das operações e é m ael itário Exercício 57 Em R N, dê m exemplo de divisores de zero Solção: Seja,,,,e v 0, 0,, 0,,0,Etão (v) 0, 0, 0, Nota 58 OcojtoR N mido da estrtra vectorial e da mltiplicação é ma álgebra 543 Propriedade topológicas (R N, ) é m cojto ordeado Defiição 5 Seja e v das scessões de úmeros reais Diz-se qe émioratedevoqevémajoratedeseesése: O estdo da scessão N : v v 0 v v mostro qe, às vezes, é ecessário saber a qe itervalo a scessão pertece Defiição 5 Umascessão( ) a é majorada (resp miorada) se, e só se, existe m real M (resp m) tal qe, para todo o ídice atral: M (resp m) Neste caso, M (resp, m) é majorate (resp miorate) da scessão dada Defiição 53 Uma scessão é limitada se for miorada e majorada Proposição 53 Dada das scessões ( ) a e (v ) b, se existe m iteiro p: m N, m > p : v etãoascessão( ) a é majorada pela scessão (v ) b apartirdep(o o iverso),
30 CAPÍTULO 5 SUCESSÕES; SUCESSÕES NUMÉRICAS Corolário 5 E R,a R é poto aderete de E se, e só se: ] a ε, a ε[ E {} ε > 0 Um poto a aderete de E é poto de acmlação de E se, e só se, a é aderete de E\{a} Exemplo 5 Ascessão 0 é majorada por qe scessão? Note-se qe o poliómio 0 (sedo atral) é sempre positivo 0 > < 0 Para qe seja majorate da scessão é ecessário igalar os ses deomiadores Logo: 0 0 0 Neste caso, a scessão dada é majorada, a partir de p 0,por : 0 > 0 < 0 0 0 0 0 0 Por otro lado vê-se qe a scessão dada ão é majorada, a partir de p 0, porqe p e são úmeros atrais 544 Exercícios de aplicação Exercício 58 Estde as scessões defiidas por f(), através das alíeas segites: a) Calclar em fção de :,, 3,
54 PROPRIEDADES ALGÉBRICAS E TOPOLÓGICAS DAS SUCESSÕES3 b) Represetar as scessões da alíea a) e dada m gráfico ortoormado c) Estdar a mootoia da scessão dada d) Saber se a scessão dada é majorada, miorada o limitada e) Saber idetificar a scessão majorate o miorate da scessão dada se( π 6 ) 3 4 cos( π 3 ) 5 4 7 6 5 3 7 5 3 8 ( ) 9 0, 003 4 0 (, 0) 5 3 (0, ) 3 3 4 () 5 0, 05 6 7 5 9 8 3 3 9 9 4 0 5 4 3 4 5 5 (0, 09) 6 5 3 7 7 9 3 Exercício 59 Cosiderado a scessão : a) Calcle 0,, 3, 4 e b) Determie m itervalo tal qe, para todo o atral, esteja iserido ele c) Estde a mootoia da scessão Iterprete o se gráfico
3 CAPÍTULO 5 SUCESSÕES; SUCESSÕES NUMÉRICAS 49 53 3 9 3 4 43 7 5 7 45 Exercício 50 Seja v 3 Mostre qe, existe a e b reais tal qe b v a Exercício 5 Nosexercíciossegitesascessão(v ) édefiida tal qe, v f(v ) a) Calcle (v ) para 0 b) Ilstre através dm gráfico e iterprete o comportameto da scessão dada c) Diga se a scessão dada é majorada e/o miorada d) Estde a mootoia dessa scessão e 0 ; { 0 0 ; 4 3 e 0 0; 4 e 0 ; 5 6 7 3 e 0 ; e 0 0; e 0;
54 PROPRIEDADES ALGÉBRICAS E TOPOLÓGICAS DAS SUCESSÕES33 8 9 5 0 e 4; 3 e 5; 4 e 3 ; e 0 5; e 3; 3 e 4; 3 4 e ; 3 5 e 0; 6 7 8 9 0 5 6 6 e ; e 5; e ; e ; e ; e 3; e 0
34 CAPÍTULO 5 SUCESSÕES; SUCESSÕES NUMÉRICAS Exercício 5 Mostreqeseforcresceteãomajoradaevdecrescete ão miorada, etão v será decrescete a partir de p atral e esta scessão ãoterámiorate Exercício 53 Das scessões são comparáveis se, e só se, ma for majorate da otra Mostre qe e v ão são comparáveis se, e só se, existe p e q atrais tal qe ( p v p )( q v q ) < 0 Dedza qe elas são comparáveis se, e so se, Dê exemplos ( p v p )( q v q ) 0 Exercício 54 Mostre qe se v e w z, etão w v z E, para qalqer δ real positivo, etão δ δv Exercício 55 Qal é o elemeto etro da adição em R N ( ) ( ) Exercício 56 Seja ( ) v ( ) e Determie v Classifica a scessão ecotrada e ecotre o se termo geral Exercício 57 Mostre qe se e v são moótoas etão v, x (x real) são moótoas Exercício 58 Mostre qe se das scessões dadas são limitadas etão a soma dela é ma scessão limitada Exercício 59 Dadas as scessões e v Estde as scessões v, v, k (k real) 5 v a) e v b) e 3 4; 0 c) v e 4 ; 0 d) 3 3 v e 3v 4; 5 v v ; v
54 PROPRIEDADES ALGÉBRICAS E TOPOLÓGICAS DAS SUCESSÕES35 e) f) ; ( ) e v 0 e v ; > ( ) Exercício 50 Problemas Seja : 0 7e { ; : par ; : impar a) Demostre qe existe ma ifiidade de tal qe b) Estde a mootoia de c) Retome as alíeas ateriores para 0 {5,, 9} Seja : () e 0 a) Calcle para 0 b) Apresete os resltados ecotrados m qadro e m gráfico c) Calcle v e w Estde-as d) Exprima em fção de 3 Seja f defiida em R e a scessão : f() a) Prove qe se f for crescete etão também é crescete b) Dê exemplos ode é crescete o periódica e f ão 4 Um vídeo clbe possi três tarifas: Tarifa : deposito de 400 escdos e 8 escdos por DVD Tarifa : sem deposito; 40 escdos por DVD Tarifa 3: ao pagar 400 escdos tora-se sócio e pode levar até DVD a) Uma pessoa qe alga 8 DVD por ao Em fção das tarifas, qato pagará? b) Com 500 escdos, em fção das tarifas, qatos DVD poderá algar? c) Calcle as tarifas em fção de cassetes algadas d) Qal a opção mais iteressate (faça gráfico) 4 A taxa, aal, de jros de depósito a Prazo é de 5% Se a iicialmete a cota tiver 000 escdos Qal será o saldo da cota ao fim de 8 aos
36 CAPÍTULO 5 SUCESSÕES; SUCESSÕES NUMÉRICAS
CAPÍTULO 6 Scessões Usais 6 Progressão aritmética Defiição 6 Diz-se qe ma progressão é progressão aritmética (o por difereça) ma scessão de termos tais qe cada m deles é igal ao termo precedete ametado dma costate deomiada razão da progressão (e ota-se r) Defiição 6 Uma scessão ( ) a é scessão aritmética se, e só se, a difereça etre dois termos cosectivos desta ssseçăo é igal a ma costate r chamada razão da ssseçăo aritmética Exercício 6 Idetifiqe qal das segites scessões são progressões aritméticas (),4,6,8, () 8,7,9,3,,/3, (3) 96,9,88, (4),,4,8,6,3, Resolção: Aplicadoadefiição: ()4 6 4 8 6 a razão r é igal a dois e é costate Daí podem coclir qe esta é mascessãoaritmética ()8 754 7 98 9 36 37
38 CAPÍTULO 6 SUCESSÕES USUAIS 3 /3/3 Ao aalisar a difereça etre os termos segites e os precedetes ecotrase vários resltados Como ma progressão aritmética a razão é costate etão pode-se coclir qe esta ão é ma progressão aritmética (3) 9 96 4 88 9 4 a razão r -4, etão trata-se dma progressão aritmética (4) 4 8 44 6 88 A razão ão é costate Etão, assim como a segda alíea, ão se tratadmaprogressãoaritmética A progressão (), de razão, é crescete porqe < < 3 << Eqato qe, a progressão (3), de razão 4, é decrescete Teorema 6 Umaprogressãoaritméticaécresceteseesóseasarazão rformaiordoqezeroeocotrarioédecrescete E,searazãoforla ascessãoécostate 6 Represetação, propriedades e algs teoremas Uma progressão aritmética ( ) a é represetada da segite forma: a a a a 3 Isto é, ates do primeiro termo coloca-se o e os termos scessivos são separados por () Cotiado com a ossa progressão aritmética () de razão e represetada correctamete: 4 6 8 0 Pela defiição dma progressão aritmética temos: 4 64 86
6 PROGRESSÃO ARITMÉTICA 39 geeralizado: r 3 r sbtraido as das eqações obtemos os segite: 3 r ( r) 3 ( ) ( 3 ) 3 ( 3 )/ logo : ( )/ Teorema 6 Seja ( ) a progressãoaritméticadeprimeirotermo a,e razão r Paratodoiteiro a, tem-se a ( a)r Demostração: (por idção) Para qalqer de razão r: a a r a a r a ( a r)r a r a3 a 3r : para a p p a ap a pr logo o termo geral da scessão aritmética é: a ( a)r Caso particlar: Seja maprogressãoaritmética, N, ( )r o N, 0 r Do teorema aterior dedzimos qe a scessão é idêtica à a ra ra 3ra ( a) ra ( a ) ra Daí, a ( a)r (fórmla geral da progressão aritmética) a ( a)r a (a )r (fórmla do primeiro termo em fção do último) ( a)r a a ( a )/r ( a )/r a ( úmero de termos dma dada p a)
40 CAPÍTULO 6 SUCESSÕES USUAIS ( a)r a r ( a )/( a) (razão da p a ) 6 Soma dos primeiros termos Teorema 63 A soma de dois termos eqidistates, dma progressão aritmética fiita ( ) a, dos extremos é costate e igal à soma dos extremos Demostração: Seja a a a a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 Cosiderado os termos a e a6 eqidistates dos extremos: a a r() e a8 a6 r a6 a8 r() Adicioado () e () obteremos: a6 a a8 r a r a a8 Geeralizado: Para p com p N, b N e b a (b a)r p b p (b a)r Adicioado as das eqações obteremos: p b b a p Proposição 6 Qado o úmero de termos é ímpar, o termo do meio é igal à metade da soma dos termos dos extremos Demostração: Seja a a a a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8
6 PROGRESSÃO ARITMÉTICA 4 O termo do meio é: a 4 a 3re a 4 a8 3r Adicioado membro a membro as das eqações teremos: a 4 a a8 a4 ( a a8 )/ para (úmero de termos) ímpar ( ( ) / a )/ Exercício 6 Calcle a soma dos termos dma scessão aritmética limitada Resolção: Para qalqer N e limitada temos: O S a a a S a a a Adicioado as das eqações teremos: S ( a )( a ) ( a ) Pelo teorema: soma de dois termos eqidistates dos extremos S ( a )( a ) ( a )( a ) S ( a ) S ( a )/ (fórmla da soma dos termos dma p a ) Ao sbstitir por a ( a)r obteremos a segite formla: S [ a ( a)r]/
4 CAPÍTULO 6 SUCESSÕES USUAIS Exercício 63 Seja S scessão mérica: S 3 5 ( ) a) Calcle S,S 3,S 4,S 5 b) Calcle S (segido os passos da demostração) c)dedzaaexpressãodes em fção de Cocla Exercício 64 Calcle a soma dos primeirostermosdascessão( ) 0 : 3 Exercício 65 Calcle a soma dos primeiros úmeros atrais 63 Médios aritméticos Defiição 63 São chamados médios aritméticos, os termos qe ficam etre dois extremos dma scessão limitada Exercício 66 Seja o cojto de úmeros ímpares maiores do qe e meores do qe Determie os ses médios aritméticos Solção: U {3, 5, 7, 9, } Os extremos são 3 e por isso os ses médios são: 5, 7 e 9 Exercício 67 Iserir etre a e b, m médios aritméticos: Resolção: o passo: procrar a razão da progressão Cosideradoaebosdoisextremosemosmédiosetãoascessão terá m termos Sedo assim: b a [(m ) ]r b a (m )r r (b a)/(m ) o passo: a ossa pa seria: aa (b a)/(m )a (b a)/(m )b Nota 6 se,etredoistermoscosectivosa e b, dmapa,foriserido ma mesma qatidade de médios aritméticos, as sb scessões obtidas formam ma só p a r (ba)/(m ) o r/(m) sedo b e a termos cosectivos da p a dada Logo o o termo da a p aéo o da a eoúltimoda a é o primeiro da terceira, assim scessivamete
6 PROGRESSÃO ARITMÉTICA 43 Figra 6: Teorema 64 a, becsãotermoscosectivosdmaprogressãoaritmética se, e só se, b for média aritmética de a e c (isto é, b a c) A demostração será feita através dos segites exercícios Exercício 68 Determie os valores de a, b e c (termos cosectivos dma p a): a b c 9e a b c 0 Exercício 69 Determie os três primeiros termos da scessão sabedo qe a difereça etre soma dos dois primeiros termos e o terceiro termo é 7eqe 3 4 3 Exercício 60 Isira, etre e 4, 0 médios aritméticos Exercício 6 Seja ( ) progressão aritmética: 5 e razão r 6 Ecotre o termo geral da scessão dada Determie o valor de : > 05 Exercício 6 Seja (v ) progressão aritmética: v e razão r 5 Ecotrev em fção de Ecotre o valor de : v > 05 e: 5 v > 0
44 CAPÍTULO 6 SUCESSÕES USUAIS 64 Progressões aritméticas: Resmo Progressões aritméticas: tabela exastiva Nas p a, para as formlas são cosideradas cico variáveis:,, r, e S ode: - o termo -ésimo termo r razão ordem o úmero de termos S soma Nas alíeas ateriores obtivemos as segites fórmlas: ()r e S ( )/ Através destas poderemos dedzir otras qe os podem ser úteis a resolção de certos problemas Por isso, tetamos ecotrá-las e apresetá-las o qadro abaixo idicado: (cosltar fixeiro tabela_exastiva_paritmética) 65 Exercícios de aplicação Exercício 63 Ecotrar o 30 o termo dm cojto de úmeros impar maiores do qe zero Exercício 64 Ecotrar o o termodasegitep a 8075706560 Exercício 65 Calcle a soma dos termos da p a 3838 composto por 4 termos Exercício 66 Ecotre a soma dos primeiros úmeros ímpares Exercício 67 Ecotre o termo geral e classifiqe as segites scessões: a) 4 3e 0 53 b) r e 0 5 c) S 45; r 3e 0 Exercício 68 Qal é o úmero de termos da p a 009896?
6 PROGRESSÃO ARITMÉTICA 45 Exercício 69 Se ma p a o 5 o termo é 30 e o 0 o é 60 Qal é a sa razão? Exercício 60 Uma p a de razão 5 e 0 o termo é 8, qal é o 3 o termo? Exercício 6 Calcle a soma dos 00 primeiros úmeros ímpares positivos Exercício 6 As medidas dos lados dm triâglo são expressas por x, x, x x 3 e estão em p a, esta ordem Qal é o perímetro deste triâglo? Exercício 63 Se ma p a, s 40e Calcle a razão destaprogressãoemfçãode Exercício 64 Qal é a soma dos múltiplos positivos de 8 formados por três algarismos? Exercício 65 Determie o cetésimo termo da p a a qal a soma do terceiro termo com o sétimo é igal a 30 e a soma do qarto com o oo são 60? Exercício 66 Ecotre ma p a tal qe a soma dos primeiros termos é Exercício 67 Proveqe,seaprogressão /( ) e, é egativa etão oétambém Exercício 68 Diga se as segites scessões são p aritméticas e classifiqeas qato a sa mootoia: a) 6 3 b) v c) w 5e w w Exercício 69 Determie os três primeiros termos dma scessão aritmética sabedo qe: 0 7e 0 3 4 3 Exercício 630 Acheaprogressãoaritméticaemqe: a a a 3 7e a 4 a 5 a 6 56
46 CAPÍTULO 6 SUCESSÕES USUAIS Exercício 63 Ecotrea,bectrêstermoscosectivosdmap atal qe: a b c 9e a b c 0 Exercício 63 Seja w : a Calcle s,s 3,s 4,s 5 b Calcle S c Dedza S em fção de Exercício 633 O perímetro dm qadrilátero irreglar é igal a 8 idades Sabedo qe o comprimeto dos lados obedece à lei dma p a (,, 3, 4 ) de razão r Escreva a eqação do primeiro termo a Cosiderado r 3 Qal é o comprimeto de cada lado b Cohecedo 6 0 Calcle o comprimeto dos lados Exercício 634 Diga qal das das scessões é ma progressão aritmética: a b 6 e 0, e, v v Exercício 635 Seja (a ) progressão aritmética de razão r Prove qe: 3 a a a a a3 a a a Exercício 636 Dadas das p a e v Mostre qe v étambém ma p a Exercício 637 Um egociate empresta a m amigo 00000 escdos Porém este deverá pagá-lo o motate acrescido de % de taxa de jros mltiplicado pelo úmero de meses a Calcle S em fção de b Qatopagaráoamigomespaçodedoisaos 6 Progressões geométricas 6 Defiições alterativas Defiição 64 É ma scessão cjo scessor é o resltado do prodto do termo precedete e ma costate q chamada razão geométrica
6 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 47 Defiição 65 A scessão ( ) a a é progressão geométrica de razão q se, e só se, para todo o iteiro maior o igal a a : q Istoé,para qalqer ão lo q / Defiição 66 Progressão Geométrica (pg) é toda seqêcia de úmeros ão los a qal é costate o qociete da divisão de cada termo (a partir do segdo) pelo termo aterior, esse qociete é chamado de razão (q) da progressão Como defiir ma progressão geométrica? Para defiirmos ma scessão geométrica ( ) a de razão q teremos qe ter iformações sobre o primeiro termo: Temos: a q a a q a a q a : ap q p a admitiremos a fórmla ap q p a como hipótese de idção Se a p etão q (a) a Acabo-se de demostrar o segite: Teorema 65 Seja ( ) a ma scessão geométrica de primeiro termo a e de razão q Para todo o iteiro maior o igal a a, temos q (a) a Deve-se ateteder às segites otas: Nota 6 Caso particlar: q 0 q () Nota 63 Semap gderazãoqadmitemtermolo,arelação q ospermitecoclirqeostermossãotodoslosapartirdma determiada ordem (do primeiro se q 6 0edosegdoseq 0) Nota 64 Otermo éo( a )-ésimotermodascessão( ) a Vejamos a ilstração abaixo:
48 CAPÍTULO 6 SUCESSÕES USUAIS Exemplo 6 Estde as segites scessões: a) A scessão 3 para todo o iteiro e 60, 3 3 Este qociete ão depede de Logo podemos coclir qe se trata dma progressão geométrica de primeiro termo 3 0 e de razão 3 b) w Resolção: w ( ) w /w ( )/ / / w /w 4 w 3 /w //4 9/4 w /w 6 w 3 /w O qociete depede de Por isso, cocli-se qe a scessão ão é ma progressão geométrica c) v 3ev v Resolção: v 36 v 3 ( 3) v 4 4 v 3() v /v 3() /3() Logo trata se dma progressão geométrica de razão q 6 Represetação, propriedades e algs teoremas Assim como a pa tem a sa represetação a progressão geométrica (pg) também tem a dela qe é a segite: 3 : : 3 : : : o (,, 3, 4, 5,,,,) ode, pela defiição temos q,, q
6 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 49 e podemos dedzir q /,, q / e diferetes de zero sse,,, ( ) 3 3 Teorema 66 Nma progressão geométrica fiita, o prodto de dois termos eqidistates dos extremos é ma costate igal ao prodto dos extremos Demostração: Seja ( ) b ma pg e 60 3 b q q (b) q (b) q b b Obs: Qado a scessão geométrica tem m úmero ímpar de termos, o termo do meio é igal à raiz qadrada do prodto dos extremos Ilstremoscommexemplo Exemplo 6 Seja (,, 3, 4, ) ma progressão geométrica Calcle Resolção: q q q ( ) e ( segdo o teorema aterior) logo, ( ) para 0 63 Mootoia - Se ma progressão geométrica ( ) a tem o primeiro termo e razão positivos, etão todos os ses termos serão positivos e, este caso, a sa mootoia depede da sa razão q (para todo e q ão los) - Se todos os termos dma pg ( ) a são egativos etão o se primeiro termo o é a sa razão é positiva Esta scessão será estdada,
50 CAPÍTULO 6 SUCESSÕES USUAIS como o caso aterior Terá qe ecotrar ma scessão (v ) a tal qe v - Caso a razão for egativa, os termos da scessão se alteram sedo ma egativa e a otra positiva assim scessivamete Logo esta pg ão é moótoa Nota: Observe-se qe se tem q (q ) a q a (q ) Logo a mootoia da pg depede do sial do primeiro termo a,da razão q edeq Oqadroqeesegeresmeafraseaterior: 64 Exercícios Exercício 638 Represete m gráfico os potos de coordeadas (, ) em qe é ma scessão geométrica de primeiro termo 0 e razão q: a) 0,q / b) 0,q /3 c) 0 /8,q d) 0 /9,q 3
6 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 5 e) 0 /9,q 3 65 Prodto dos termos dma pg Teorema 67 O prodto dos termos dma p g é igal à raiz qadrada do prodto dos extremos elevados pelo úmero de termos da scessão Demostração: exercício abaixo Exercício 639 Calcle Seja P o prodto dos termos dma pg etão: P o P Mltiplicado membro a membro estas igaldades teremos: P P P ( ) P p ( ) Ao sbstitir por q obtém-se o segite: P p ( q ) P p ( q ) P q()/ Geeralizado ter-se-à P aq (a)/ 66 Soma dos termos dma progressão geométrica Comecemos pelo segite Exercício 640 Cosidere S a soma dos primeiros termos dma pg defiida por: S 48 a) Calcle S,S 3,S 4,S 5 b) Calcle S, S S DedzaaexpressãodeS em fção de c) Mostre qe S éasomados( ) primeiros termos dma pg qalqer Solção: a) S 3,S 3 7,S 4 5,S 5 3
5 CAPÍTULO 6 SUCESSÕES USUAIS b) S 48 S S ( )S S ( )/( ) No caso geral tem-se o teorema abaixo, qe se demostra da mesma forma: Teorema 68 Para todo real q (razão dma progressão geométrica) diferete de, q q q (q )/(q ) Exercício 64 Seja map g derazãoqtalqeqépositivoemaior do qe Exercício 64 ( 0,,, 3, 4, 5,, ) e S 0 3 4 5 S 0 3 4 5 0 ( 3 4 5 ) 0 S (qado N) S Exercício 643 Ecotre a soma dos primeirostermosdmapgqalqer Solção: "(,, 3, 4, 5,, ) ma progressão geométrica e S 3 4 5 Mltipliqe S por q (razão da progressão dada): qs q q q 3 q 4 q 5 q q - se a progressão for crescete terá o segite : qs S q S (q ) q S (q )/(q ) S (q q )/(q ) S (q )/(q ) S (q )/(q ) - se a progressão for decrescete terá o segite: este caso q S qs q S ( q) q S ( q )/( q) S ( q )/( q) S ( q )/( q)
6 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 53 Nota 65 Se q, pela formla da ecotrada, obterá 0/0 (ma idetermiação) Por isso, deve dividir a soma por q : S [(q )/(q )] Neste caso, para todo o iteiro atral, obterá (q )(q )( q q q ) Logo: S ( q q q ) S ( ) S ( ) S 67 Exercícios Exercício 644 Calcle: Z 6854 3 0 Y 484 3 3 Z //4 /8 (/) Exercício 645 Cosidere a scessão v defiida por: v /3/9 (/3) X (/3) k a) Calcle v 0,v,v 0 e classifiqe v qato à sa mootoia b) Demostre qe para todo iteiro atral, v está pertece ao itervalo [, 3/] (cosidere 0) 68 Médios geométricos Defiição 67 Assim como os médios aritméticos, são chamados médios geométricos, os termos qe ficam etre dois extremos dma scessão geométrica limitada Teorema 69 Três reais positivos ão los; a, b, c; são termos cosectivos dma progressão geométrica se, e só se, b é meio geométrico de a e c; isto é b ac Demostração: (problema abaixo) k0 Exercício 646 Isira etre a e b, m médios geométricos
54 CAPÍTULO 6 SUCESSÕES USUAIS Figra 6: Resolção: - m (úmero de termos da scessão) - Procrar q (razão da progressão) b aq m aq m b q m a logo a progressão será represetada da segite forma: (a, aq, aq, b) 69 Progressões geométricas: Resmo 60 Progressões geométricas: tabela exastiva Nas p g, para as formlas são cosideradas cico variáveis:,, r, e S ode: - o termo q razão -ésimo termo ordem o úmero de termos S soma (cosltar ficheiro tabela_exastiva_p geométrica)
6 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 55 6 Exercícios propostos Exercício 647 Calcle: a) o o termodascessãogeométrica(,,4,8) b) o 9 o termodapg(9,3,,/3) c) o 7 o termodocojtodosmúltiplosde5 d) o 30 o termodapgcjarazãoé/eoprimeirotermo e) o o e6 o termodapgderazão esegdotermo 4 f) 6 sabedo qe 3 e q - / Exercício 648 Ecotre os oito primeiros termos da pg decrescete (/, /4,) Exercício 649 Diga se as segites progressões são p g o ão Caso a seqêcia é pg: Exercício 650 Calcle os cico primeiros termos, ilstre-as m gráfico e determie a sa mootoia e se é o ão limitada g) h) 5 4 3 i) 9 3 j) () k) l) 5 9 7 3 Exercício 65 a)seja ( )mapgderazãoq3e Calcle 5 e S 5 b) Seja ( )mapgderazãoq-/e 3Calcle 6 es 6 c) Seja ( )mapgderazãoq/3e 0 4Calcle 6 es 6 d) Seja (w )mapgderazãoqe Determie q e S 4, sabedo qe 4 54 e) Seja (w )mapgderazãoqe 0 080 Determie q e S 5, sabedo qe 5 5/36 Exercício 65 a) Calcle a soma dos dez primeiros múltiplos de b) Calcle a soma dos oito primeiros termos da scessão (7,9, 3) Exercício 653 a) Iterpolar o iserir três meios geométricos etre 3 e 48 b) Iterpole etre e 6 três meios geométricos
56 CAPÍTULO 6 SUCESSÕES USUAIS Exercício 654 Dar o valor de x a igaldade x 3x 79x 5465, sabedo-se qe os termos do membro formam ma pg Exercício 655 Seja defiida por ( 8)/5 e 0 m) Calcle e Seráascessãomapg? ) Represete graficamete as rectas D e Q com as segites eqações respectivamete y x e y (x 8)/5 (ilstrado os termos da scessão a recta) o) As rectas se itersectam m poto P Idetifiqe essepoto p) Cosideremos v mascessãodefiida por v p q) Será v 0,v ev Trata-sedmapg? r) Calcle v em fção de Dedza v /v Cocla s) Dedza a expressão de em fção de Exercício 656 Respoda as qestões do exercício aterior Cosiderado as segites scessões: t), 0,v ) 6,, v 3 v) /,, v ( )/( ) w), 0, v Exercício 657 Das firmas apresetaram ma proposta de cotracto ao Sr José, com os segites salários: - A firma A propõe pagá-lo 3000 escdos por dia - A firma B propõe começar por escdos Mas o valor do dia aterior será dobrado diariamete QecotratodeveráoSrJoséassiar?Ajde-oadecidir Exercício 658 Nmtbodeesaiohámacélla,qeporhorasedivide em três igais Nm período de 5 horas o tdo está cheio Qal é o espaço ocpado ao fim de4horas? Exercício 659 A pressão atmosférica ao ível das ágas do mar é 760 mm de mercúrio (Spodo qe o ar é m gás homogéeo) À medida qe sbimos 5,5 km a pressão redz-se pela metade Qal é a pressão às segites altitdes: km, 50 m, 6,5 km e 0 km Exercício 660 Seja e 3 Calcle e estde a scessão
6 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 57 Exercício 66 Existem vidros qe dimiem a lmiosidade de 0% Calcleoúmerodeplacasdevidroqeecessárioparaqesepossaobterma lmiosidade de 5% Exercício 66 Sabedo qe, por radioactividade, m pedaço d rádio perde a sa massa em 500 aos, qal a massa dm pedaço de 30g há 4000 aos ac? Exercício 663 Cosidere a figra segite formada por das rectas perpediclares e bissectrizes dos respectivos âglos formados pelas rectas perpediclares A distacia do segmeto [ao] éde3cm, [ab] D sedo b a imagem de a E assim scessivamete, cotiado a traçar os segmetos de rectas, diga qal será o comprimeto da liha qebrada de [aj] 8 Cosidera-se ( ): e 0 3
58 CAPÍTULO 6 SUCESSÕES USUAIS a) Calcle e b) Seja v Mostre qe v é ma scessão geométrica c) Calcle, em fção de, o termo geral de d) Calcle Exercício 664 Seja S i 0 i 0 { v 3 v 3v e 0 ; v 0 x v e y v a) Mostre qe x é ma progressão geométrica e y ma scessão costate b) Calcle o termo geral de ev Exercício 665 Calcle, em fção de a,b,req, S i a b i i sedo (a ) ma p a de razão r e (b ) mapgderazãoq Exercício 666 Em 985 o preço de cada qilo de care era 500 escdos Sabedo qe o ameto de preço é de 0% por ao Calcle, sabedo qe f(0) 500 (preço em 985); f() é o preço o ao segite e f() é o preço em (985 ): a) Calcle f( ) em fção de f(x) e f() em fção de b) Qal foi o preço em 990? c) A partir de qe ao, o preço do qilo, dobro?
CAPÍTULO 7 Limite das scessões 7 Defiição e propriedades Seja ma scessão m cojto K diz-se limitada speriormete se o cojto dos ses termos, isto é, o cojto { K : N}, forlimitado speriormete em K Adefiiçãodescessãolimitadaiferiormete é aáloga Uma scessão diz-se limitada se for limitada speriormete e iferiormete 7 Exercícios Exercício 7 Seja ( ) ; v ; r ; t ( 0,) a) Calcle os dez primeiros termos de cada ma das scessões dadas e apresete os resltados ma tabela b) Represete-os m gráfico ortoormado c) Prove qe as scessões e v são decrescetes e estde a mootoia de r et d) Estde a mootoia de r ; t e) Prove qe existe m iteiro m tal qe: r m < 0 ; t m < 0 ; r m t m <0 ; < 59 0 -
60 CAPÍTULO 7 LIMITE DAS SUCESSÕES f) Mostre qe para todo o maior qe m tem-se: r m < 0 ; t m < 0 ; r m t m <0 ; < 0 - g) Resolva as alíeas e) e f) para 0 5 Exercício 7 Mostre qe: a) x max{ x, x} b) x x x c) x a é eqivalete às desigaldades a x a etambémàafirmação simltâea de qe x a e x a 7 Limite Defiição: Defiição 7 Seja K m corpo ordeado, a K e ma scessão de elemetos em K Diz-seqe tede o coverge para a, qado, para qalqer >0em K, sepodedetermiarmmerop N tal qe para qalqer p se teha a < E ota-se: e/o a,lim a a, lim a lim a
7 SUCESSÕES CONVERGENTES 6 Exercício 73 Prove qe: a) coverge para zero ( ) d b) tede para zero x c) ão tede para zero d) w () ão tem limite 7 Scessões covergetes 7 Defiição Notemos por Cv(N, R) è o cojto das scessões covergetes Determiemos o limite da soma dos primeiros termos dma progressão geométrica decrescete: A soma dos primeiros termos dma progressão geométrica é S tal qe: S ( q )/( q) S /( q) q /( q) Com esta fórmla obteremos ma parte fixa: /( q), e ma otra qe varia de acordo com (úmero de termos): q /( q) Tedo em cota qe q<, etão qato maior for meor será q e tederá para zero Logo : q /( q) 0 e lims /( q) Nota 7 A soma dos primeiros termos dma progressão geométrica depede sempre o sial do primeiro termo da p g o q> : (q )/(q ) épositivopoisqeq são maiores do qe Logooprodto (q )/(q ) toma o sial de o q : S Nestecasotambémasomatomaosialdoprimeiro termos Pois, é sempre positivo 3 o q<: (q )/(q ) é positivo porqe (q ) e (q ) são ambos egativos Logo s toma o sial do primeiro termo da progressão Teorema 7 Uma scessão geométrica é limitada se, e só se: q