Geometria Plana I 1. Um triângulo isósceles tem dois lados congruentes (de medidas iguais) e o outro lado é chamado de base. Se em um triângulo isósceles o ângulo externo relativo ao vértice oposto da base mede 10, então os ângulos internos deste triângulo medem: a) 10, 40 e 10. b) 5, 5 e 10. c) 50, 60 e 70. d) 60, 60 e 60. e) 50, 65 e 65.. Uma pessoa pegou um mapa rasgado em que constava um terreno delimitado por quatro ruas. Na parte visível do mapa, vê-se que o ângulo formado pela rua Saturno e pela rua Júpiter é 90 ; o ângulo formado pela rua Júpiter e pela rua Netuno é 110 e o ângulo formado pela rua Netuno e pela rua Marte é 100. Nessas condições, a medida de um ângulo formado pelas ruas Marte e Saturno, na parte rasgada do mapa, é de a) 50. b) 60. c) 70. d) 0. e) 90.. Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a metros a leste de um hidrante, andou 6 metros na direção norte e parou. Assim, a distância entre a bicicleta e o hidrante passou a ser: a) metros b) 10 metros c) 1 metros d) 14 metros e) 16 metros 4. No loteamento Recanto Verde, um professor comprou uma chácara, cujo terreno tem forma retangular e dimensões 40m 90m. Ele pretende cercar essa área com estacas de cimento distanciadas de,5m uma da outra. O número de estacas necessário para cercar todo esse terreno é a) 10 b) 10 c) 104 d) 10 5. Júlia começou a estudar Geometria na sua escola. Com dúvida em um exercício passado pelo professor de matemática, ela pediu ajuda ao seu tio. O enunciado era: As retas r e s são paralelas; as retas u e t, duas transversais. Encontre o valor do ângulo x na figura abaixo. Portanto, o valor de x é: a) 10º b) 15º c) 10º d) 15º e) 140º 6. Para melhorar a qualidade do solo, aumentando a produtividade do milho e da soja, em uma fazenda é feito o rodízio entre essas culturas e a área destinada ao pasto. Com essa finalidade, a área produtiva da fazenda foi dividida em três partes conforme a figura. Considere que os pontos A, B, C e D estão alinhados; os pontos H, G, F e E estão alinhados; os segmentos AH, BG, CF e DE são, dois a dois, paralelos entre si; AB 500 m, BC 600 m, CD 700 m e HE 190 m. Nessas condições, a medida do segmento GF é, em metros, a) 665. b) 660. c) 655. d) 650. e) 645. 7. A tela de uma TV está no formato widescreen, no qual a largura e a altura estão na proporção de 16 para 9. Sabendo que a diagonal dessa tela mede 7 polegadas, qual é sua largura e a sua altura, em centímetros? (Para simplificar os cálculos, use as aproximações 7 1,5 e 1 polegada =,5cm). A figura abaixo representa um paralelepípedo reto-retângulo de medidas AF = 4, FC = e CE =, sendo B o ponto médio de DE. O perímetro do triângulo ABC é igual a: a) 1 b) 14 c) 1
d) 15 e) 11 9. Para uma engrenagem mecânica, deseja-se fazer uma peça de formato hexagonal regular. A distância entre os lados paralelos é de 1 cm, conforme a figura abaixo. O lado desse hexágono mede cm. a) 1 b) c) 5 d) 5 e) 1 10. Uma bola de tênis é sacada de uma altura de 1 dm, com alta velocidade inicial e passa rente à rede, a uma altura de 9 dm. Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com o ar e do seu movimento parabólico, considere a trajetória descrita pela bola como sendo retilínea e contida num plano ortogonal à rede. Se a bola foi sacada a uma distância de 10 dm da rede, a que distância da mesma, em metros, ela atingirá o outro lado da quadra? 11. Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura ao lado. Os suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura. Os ângulos ^ ^ X e Y resultantes da dobradura medem, respectivamente, em graus a) 40 e 90. b) 40 e 140. c) 45 e 45. d) 45 e 15. 1. Observe os discos de raios e 4, tangentes entre si e às semirretas s e t, representados na figura abaixo. A distância entre os pontos P e Q é a) 9. b) 10. c) 11. d) 1. e) 1. 14. Uma passarela construída em uma BR no Pará tem um vão livre de comprimento 4L. A sustentação da passarela é feita a partir de cabos de aço presos em uma coluna à esquerda a uma altura D da passarela. Esta coluna por sua vez é presa por um cabo de aço preso a um ponto na mesma altura da passarela, e a uma distância L da passarela, conforme representa a figura a seguir. A altura do suporte em B é, então, de: a) 4, metros. b) 4,5 metros. c) 5 metros. d) 5, metros. e) 5,5 metros. 1. Uma folha retangular de papel ofício de medidas 7 x 10 mm foi dobrada conforme a figura. Supondo L=9m e D=1m, comprimento total dos quatro cabos de aço utilizados é, em metros,: a) 57 b) 111 c) 1 141 d) 0 6 1 97 e) 0 1 97 15. A área do quadrado assinalado na figura é igual a a) 15 b) 0 c) 1 d) 1 e) 16
16. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e os triângulos sombreados são triângulos semelhantes tais que as alturas correspondentes formam uma progressão geométrica de razão 1. Se o perímetro do triângulo ABC é 1, a soma dos perímetros dos quatro triângulos sombreados é a) 9. c) 1. e) 17. b) 11. d) 15. 1. Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no ponto P reflete internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere que o comprimento do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de cm, o polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ? a) 1 cm. b) 15 cm. c) 16 cm. d) 1 cm. 17. Quadros interativos são dispositivos de interface humana que permitem ao usuário interagir com as imagens projetadas sobre uma tela grande, geradas por um computador. O uso desses quadros é cada vez mais comum em instituições de ensino, substituindo o quadro para giz ou o quadro branco. Uma das tecnologias que possibilita essa interação funciona a partir de um sensor instalado em um dos cantos da tela onde a imagem é projetada, e de uma caneta eletrônica especial que, ao ser acionada, emite dois sinais simultâneos: um pulso sonoro (ultrassom) e um pulso luminoso (infravermelho). O pulso de ultrassom é usado para calcular a distância da ponta da caneta até o sensor, enquanto o pulso de infravermelho indica ao sistema o ângulo entre a base da tela e o segmento de reta que une o sensor à ponta da caneta. Considere um quadro interativo de metros de largura por metros de altura, representado no primeiro quadrante de um plano cartesiano, com o sensor instalado na origem. Um usuário aciona a caneta em três pontos distintos da tela, gerando as leituras de distância e de ângulo apresentadas na tabela: Ponto Distância Ângulo A m 60 B m 0 C 1 m 0 O triângulo com vértices nos pontos A, B e C é: a) escaleno. b) equilátero. c) isósceles de base BC. d) isósceles de base AB. e) retângulo em A. 19. Nos séculos XVII e XVIII, foi desenvolvida no Japão uma forma particular de produzir matemática. Um dos hábitos que a população adotou foi o de afixar em templos placas contendo problemas, em geral de geometria. Essas placas, conhecidas como sangaku, apresentavam o problema com ilustrações e a resposta, sem registrar a solução dos autores. O seguinte problema foi adaptado de um desses sangakus: considere ABCD um retângulo com AB 160 e AD 0; tome uma circunferência de centro O tangente aos lados AB, BC e CD do retângulo, e seja BD uma de suas diagonais, interceptando a circunferência nos pontos P e Q. Considerando essas informações, a) DETERMINE o raio QO da circunferência. b) DETERMINE o comprimento do segmento PQ. 0. Uma reta r tangencia uma circunferência num ponto B e intercepta uma reta s num ponto A exterior à circunferência. A reta s passa pelo centro desta circunferência e a intercepta num ponto C, tal que o ângulo ABC ˆ seja obtuso. Então o ângulo CAB ˆ é igual a a) 1 ˆ ABC. c) ABC. ˆ e) ABC ˆ π. b) ˆ ABC. π d) ABC ˆ π.
Gabarito: Resposta da questão 1: [E] Na figura y = 10 10 = 50 10 = x x = 65 Portanto os ângulos internos do triângulo medem 50, 65 e 65. Resposta da questão : No quadrilátero formado pelas ruas, temos: 90 + 110 + 100 + x = 60 x = 60 00 x = 60 Resposta da questão 5: [E] Traça-se u // r // s y = 0 (correspondentes) x = 10 + y (alternos internos) x = 10 + 0 x = 140 Resposta da questão 6: Resposta da questão : Sejam A o ponto onde se encontrava inicialmente a bicicleta e B o ponto a 6 metros ao norte de A. Chamando de C o ponto onde se encontra o hidrante, segue que a distância pedida corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo ABC, reto em A. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, vem BC AC AB BC 6 BC 100 BC 10 m. Utilizando o Teorema de Tales, temos: GF 600 GF 1 GF 660 m 190 100 190 Resposta da questão 7: Resposta da questão 4: [C] Número de estacas = 40 40 90 90 104,5 Representação gráfica da solução: L 16 16 L H H 9 9
Portanto, H 1,5 45 cm e L,5 0 cm Resposta da questão 11: Resposta da questão : Traçando DF P AC, temos que os triângulos DHE e DGF são semelhantes por AAA. Se HE x, vem: x 1 x 1, m. 0 AC 4 5 5 BC 16 4 GB 16 4 Assim, a altura do suporte em B é: 4 x 4 1, 5, m. Resposta da questão 1: A única maneira possível para a dobradura é: Logo, o perímetro será: P = 5 + 4 + 4 = 1. Resposta da questão 9: Como o raio r do círculo inscrito no hexágono é a metade da distância entre os lados paralelos, 1 segue que r cm. Logo, o lado do hexágono regular é dado por 1 cm. ΔABC é isósceles BAE ˆ BEA ˆ 45 Portanto, x = 45 e y =90 + 45 = 15. Resposta da questão 1: Resposta da questão 10: Considere a figura abaixo. Os triângulos retângulos ABC e DEC são semelhantes por AA. Portanto, sabendo que AB 1dm, DE 9dm e BE 10dm, vem AB BC 1 10 EC DE EC 9 EC 7 EC 60 EC EC 90 dm 9 m. Por semelhança de triângulos, temos: x 4x x 16 x 4. x 4 Portanto, a distância de P até Q vale 1. Resposta da questão 14: Considere a figura.
Como BC CD e AC BD, segue que AB AD. Queremos calcular AB AE AF. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, vem AB BC AC 9 1 5 AB 15 m. Analogamente, para os triângulos ACE e ACF, obtemos AE CE AC 1 1 46 AE 6 1 m e AF CF AC 7 1 7 AF 97 m. Perímetro (01) L L L 1 L L L 1 Perímetro (0) L L L 1. Perímetro (0) 4 4 L L L 1 Perímetro (04) Logo, P(01)+P(0)+P(0)+P(04) = 1 1 1 15 1. 4 Resposta da questão 17: [A] Considere a figura. Portanto, o resultado pedido é: AB AE AF 15 6 1 97 (0 6 1 97) m. Resposta da questão 15: [A] Sabendo que OA m, OB m e OC 1m, temos que BC OB OC 1m. Além disso, o triângulo OAB é isósceles de base AB. Logo, OBA $ OAB µ 75. Aplicando a lei dos cossenos no triângulo OAB, segue que AB OA OB OA OB cos0 AB x Δ1 ~ Δ x 15 x 5 AB 4 AB ( 6 ) m. Logo, a área do Quadrado é 15 unid Como AC é mediana do triângulo ABO, vem Resposta da questão 16:
1 AC (OA AB ) OB 1 ( 4 ) 1 4 (5 ) 5 m. Portanto, como AB AC BC, segue que o triângulo ABC é escaleno. Resposta da questão 1: a) O raio da circunferência é 0 40. b) Admita PQ = x BQ 40 0 BQ 40 5 ΔPOM ~ ΔMQB, logo: MQ 40 0 40 5 5MQ 0 MQ 16 5 Logo, MQ 5 Resposta da questão 0: ΔHPQ ΔFQP(L.A.A ) HP FQ K e PF HQ o ΔBHG ΔAFG(L.A.A o ) AG BG e HG = GF 6 K ΔAGF~ ΔQPF K 4 K 5 No ΔGBH : GH GH No Δ HPQ: HQ 4 HQ 5 Logo, a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ é PF + FG + GH + HQ = 5 + 5/ + 5/ + 5 = 15 cm. Resposta da questão 19: Considerando que o ponto O é o centro da circunferência e CÂB = x, temos: OBC é isósceles, logo OBC ˆ OCB ˆ y AÔC=y (ângulo externo do OBC) No ABO: x y 90 x 90 y (1) ABC ˆ 90 y.abc ˆ 10 y () Fazendo (1) + (), temos: x.abc ˆ 70 x 70.ABC, ˆ ou seja π x.abc ˆ (em radianos)