Emerson Marcos Furtado Mestre em Métodos Numéricos pela Universidade Federal do Paraná (UFP). Graduado em Matemática pela UFP. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catarina desde 199. Professor do Curso Positivo de Curitiba desde 1996. Professor da Universidade Positivo de 000 a 005. Autor de livros didáticos destinados a concursos públicos nas áreas de matemática, matemática financeira, raciocínio lógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pesquisas e Projetos Educacionais Praxis de 00 a 007. Professor sócio do Colégio Positivo de Joinville desde 006. Sócio-diretor da Empresa Teorema Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 005. Autor de material didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 005 a 009. Professor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 199, lecionando as disciplinas de raciocínio lógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consultor da Empresa esult Consultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 000. Consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômica, qualidade, educacional, industrial e eleições desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde 008. Autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 00.
Nesta aula vamos estudar um dos assuntos mais importantes da Matemática: a geometria espacial, mais especificamente, a geometria dos sólidos. Um sólido geométrico é uma figura tridimensional, ou seja, uma figura que no espaço pode ser observada em três dimensões. Para nos familiarizarmos com os sólidos geométricos, vamos iniciar nosso estudo com os prismas. Prismas Mas, o que é um prisma? Para que possamos compreender exatamente o que vem a ser um prisma, vamos considerar dois planos paralelos distintos (α e β), e uma reta r que intersecta os planos e um polígono qualquer contido em um dos planos: β r α Denomina-se prisma o conjunto de todos os segmentos de reta paralelos à reta r, com uma extremidade na região poligonal e a outra no outro plano paralelo. β r α 55
Essa definição de prisma indica que os prismas estão presentes no nosso cotidiano de forma intensa. As caixas nas quais são vendidos os calçados, por exemplo, têm a forma prismática. Os elementos mais importantes de um prisma podem ser observados na ilustração: r Base Aresta lateral β D h Face lateral α D Diagonal Aresta da base Bases: são as regiões D e D, contidas nos planos α e β, respectivamente. Elas são caracterizadas por polígonos congruentes. Arestas das bases: são os lados das regiões D e D. Altura (h): é a distância entre os planos α e β. Arestas laterais: são os segmentos paralelos à reta r que unem vértices correspondentes das regiões D e D. Faces laterais: são paralelogramos determinados por dois vértices consecutivos da região D e os respectivos vértices correspondentes da região D. Diagonais: é todo segmento de reta que une dois vértices não pertencentes a uma mesma face. Os prismas podem ser classificados em retos ou oblíquos. No prisma reto as arestas laterais são perpendiculares às bases. Consequentemente, as faces laterais são retangulares, observe: 56
Prisma reto. No prisma oblíquo as arestas laterais não são perpendiculares às bases. Prisma oblíquo. Neste capítulo estudaremos apenas os prismas retos, devido à sua extensa utilização nas mais diversas formas geométricas encontradas no dia a dia. De acordo com a quantidade de lados das bases, existem formas diferentes de se denominar um prisma. Por exemplo, se as bases de um prisma são triângulos, ele é chamado de prisma triangular; se são quadriláteros, o prisma é quadrangular, e assim sucessivamente. Um prisma é chamado regular quando satisfizer duas condições: for reto e apresentar bases formadas por polígonos regulares. Observe alguns exemplos: Prisma triangular regular. Prisma hexagonal regular. 57
Existem duas medidas principais que precisamos saber calcular quando estamos observando um prisma: a medida de sua área e a medida de seu volume. Para entendermos como podemos obter a medida da área de um prisma, considere como exemplo uma caixa de bombons na forma de um prisma quadrangular, cujas dimensões são apresentadas na ilustração: 8cm 0cm 10cm Se a base é um retângulo de dimensões 0cm e 10cm, e a altura mede 8cm, qual a quantidade de material utilizada para a construção dessa caixa? Vamos desmontá-la e planificá-la para visualizar quais faces compõem o prisma. 0cm 10cm 8cm 10cm 0cm 10cm 0cm Para calcular a medida da superfície da caixa, basta adicionar as medidas das áreas dos dois retângulos das bases com a área de um retângulo formado pela junção das faces laterais. Assim, lembrando que a área de um retângulo é igual ao produto da medida da base pela altura, e sendo S t a medida da superfície total do prisma reto que representa a caixa de bombons, temos: S t = (10. 0). + (0 + 10 + 10 + 0). 8 S t = 400 + 480 S t = 880cm 58
Portanto, são necessários 880cm de material para confeccionar essa caixa. Observe que a superfície lateral de um prisma reto é sempre um retângulo no qual uma das dimensões é a altura do prisma e a outra é a soma dos comprimentos dos lados da base, ou seja, o perímetro dessa base. Quanto ao volume, podemos dizer que volume de um corpo é o espaço ocupado por ele. Da mesma maneira que para medir o comprimento da sua sala podemos usar o metro como unidade de medida, o volume também precisa de uma unidade de medida. Vamos convencionar a unidade de medida de volume como sendo o cubo de aresta unitária, ou seja, o cubo cuja medida da aresta seja igual a 1 unidade de comprimento. 1 u 1 u 1 u Portanto, se for conveniente utilizarmos o centímetro como unidade de medida de comprimento, o volume será medido em cm (centímetros cúbicos), se for o metro a unidade de medida de comprimento, o volume será medido em m (metros cúbicos), e assim sucessivamente. Pode-se provar que o volume de um prisma qualquer, cuja altura mede h e cuja superfície da base tem área S B, é dado por: Exemplo: V = S B. h Um prisma reto tem por base um triângulo retângulo cujos catetos medem cm e 4cm. Se a altura desse prisma tem a mesma medida da hipotenusa do triângulo da base, qual é a medida do seu volume em cm? 59
A medida da hipotenusa do triângulo retângulo pode ser encontrada por meio do teorema de Pitágoras: h = + 4 h = 9 + 16 h = 5 h = 5cm Assim, o volume do prisma V é dado por: V = S. h B V = æ è ç. 4ö ø. 5 V = 6. 5 V = 0cm Agora que já conhecemos mais os conceitos geométricos, podemos explorar outros sólidos geométricos que se destacam. Um sólido geométrico de grande importância é o cilindro. Cilindro Você consegue imaginar algum sólido geométrico de contato quase que diário possuindo a forma de um cilindro? Shutterstock. A caneca de café que você vê, por exemplo, tem a forma de um cilindro. 60
Para fundamentar melhor o que vem a ser um cilindro, vamos considerar dois planos α e β e uma reta que intersecta esses dois planos determinando entre os planos um segmento AB, em que A é um ponto de α e B um de β. β B α A O Dado um círculo C contido em α, definimos como cilindro circular o conjunto de todos os segmentos de reta paralelos e congruentes ao segmento AB com origem no círculo C e extremidade no plano β. Eixo β B Geratriz h α A O Os principais elementos do cilindro são: Bases: são os círculos contidos nos planos α e β. Altura (h): é a distância entre os planos α e β. Geratrizes (g): são os segmentos paralelos ao segmento AB que têm extremidades nos pontos das circunferências que limitam as bases. Eixo (e): é a reta determinada pelos centros das bases. Se o eixo for perpendicular aos planos das bases, o cilindro é dito reto. Caso o eixo não seja perpendicular ao plano das bases, o cilindro é oblíquo. Devido à sua importância, estudaremos apenas os cilindros retos. 61
Área superficial de um cilindro reto Para entendermos como se pode obter a medida da área de um cilindro reto, considere um cilindro reto e oco, feito com cartolina, cuja altura mede 10cm e cujo raio da base mede 5cm: h = 10cm = 5cm Se você recortasse as bases e desenrolasse a superfície lateral, iria obter três figuras planas: 5cm 10cm (π 5)cm 5cm As bases são circulares. Logo, a área de cada uma das bases pode ser obtida por meio de: S B = π S B = π. 5 S B = 5πcm 6
A área lateral é um retângulo cuja altura é a do cilindro e cuja base é o perímetro da base do cilindro. Assim, o retângulo que constitui a área lateral tem área igual a: S L = π. h S L = π. 5. 10 S L = 100πcm Assim, a medida da superfície total de um cilindro reto é igual à soma das medidas das áreas de dois círculos com a medida da área de um retângulo, cujas dimensões são a altura do cilindro e o comprimento da circunferência que limita a base, ou seja: S T =. π + π. h S T =. S B + S L S T = 150πcm Em termos de volume, o cilindro pode ser interpretado como um prisma de base circular. Assim, o volume de um prisma é igual ao produto das medidas da área da base pela altura: V = π. h Pirâmides A palavra pirâmide normalmente nos evoca o formato das famosas construções egípcias, monumentos fantásticos que documentam historicamente a extraordinária capacidade arquitetônica daquela civilização e que vêm encantando a humanidade há milhares de anos. No entanto, nosso estudo parte de um conceito mais amplo para pirâmide. Seja D uma superfície poligonal contida em um plano α e V um ponto não pertencente a esse plano. 6
v α D O conjunto de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra em D é denominado pirâmide. v α D Os principais elementos da pirâmide são: Vértice v Aresta lateral h Face lateral α Aresta da base D Base Vértice: é o ponto V não pertencente ao plano α. Base: é a região D contida no plano α. Arestas da base: são os lados da região D. Arestas laterais: são os segmentos que unem os vértices da região D e o ponto V. 64
Faces laterais: são triângulos determinados pelo ponto V e dois vértices consecutivos da região D. Altura(h): é a distância entre o ponto V e o plano α. De acordo com o número de lados da base de uma pirâmide, esta recebe um nome especial. Se a base for um triângulo, chama-se pirâmide triangular, se for um quadrilátero, a pirâmide é quadrangular, e assim sucessivamente. Para que uma pirâmide seja denominada regular, é necessário que satisfaça duas condições: a base seja um polígono regular e a projeção ortogonal do ponto V seja um ponto V tal que V esteja no centro da base. v Apótema da pirâmide v ' Em uma pirâmide regular, as arestas laterais são congruentes e, em consequência disso, as faces laterais são triângulos isósceles congruentes. Nesse caso, costuma-se chamar apótema da pirâmide a altura de cada face lateral. Para aprendermos como podemos obter a medida da área de uma pirâmide, considere, como exemplo, uma pirâmide quadrangular regular, cuja altura e apótema medem 8cm e 10cm, respectivamente. Qual é a medida da área total dessa pirâmide? Observe que é possível visualizar um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o apótema da pirâmide, um dos catetos é a altura e o outro cateto é a metade da aresta da base: 65
v 8cm 10cm 8cm 10cm l l Utilizando o Teorema de Pitágoras, temos: esolvendo, obtemos: 10 = 8 + æ è ç lö ø l =1cm A base é um quadrado de lado medindo 1cm. Logo, a medida da área da base é igual a: S B = 1 = 144cm Observe que a superfície lateral da pirâmide é formada por quatro triângulos isósceles e congruentes. Assim, a medida da superfície lateral da pirâmide é igual a: æ1 10ö 4 40 è ç ø = cm Assim, a medida da superfície total da pirâmide é igual à soma das medidas da área da base com a área lateral: 144 + 40 = 84cm Para calcular a expressão do volume de uma pirâmide, vamos inicialmente decompor um prisma triangular reto em três pirâmides, observe: 66
A I B II B III B C C D D E D F F F As pirâmides I e II têm bases congruentes (ABC e DEF) e alturas congruentes ( AD e BE ). Logo, seus volumes são iguais. Por outro lado, as pirâmides I e III têm bases congruentes (ACD e FDC) e alturas congruentes (distância entre o vértice B e o plano que contém a face ACDF). Portanto, seus volumes também são iguais. Assim, sendo V 1, V e V os volumes das pirâmides I, II e III, temos: V 1 = V = V Mas, se o volume do prisma é igual ao produto das medidas da área da base pela altura e as três pirâmides possuem o mesmo volume, então, necessariamente, o volume de cada pirâmide é igual a um terço do volume do prisma que possui a mesma base e a mesma altura: V = 1 SB h.. Cones Outro sólido geométrico de destaque é o cone. Um cone pode ser interpretado como sendo uma pirâmide de base circular. Evidentemente, algumas adaptações nos formulários serão importantes. Observe a ilustração na qual podemos identificar os principais elementos formadores de um cone: 67
v g h α e Vértice: é o ponto V. Base: é a região circular contida no plano α. Altura (h): é a distância entre o ponto V e o plano α. Geratrizes (g): são os segmentos com extremidades no ponto V e em um ponto da circunferência que limita a base. Eixo (e): é a reta determinada pelo ponto V e pelo centro da base. Se o eixo for perpendicular ao plano da base, o cone é dito reto. Caso o eixo não seja perpendicular ao plano da base, o cilindro é oblíquo. Estudaremos aqui apenas os cones retos. Para calcular a medida da superfície total de um cone reto, podemos realizar um procedimento análogo àquele realizado para um cilindro reto. Considere um cone reto e oco, cuja altura mede 8cm e cujo raio da base mede 6cm: 8cm 6cm Utilizando o Teorema de Pitágoras, podemos obter a medida da geratriz do cone: 68
g = 8 + 6 g = 64 + 6 g = 100 g = 10cm Se planificássemos esse sólido, separando a base da área lateral e abrindo essa área lateral, teríamos as seguintes figuras planas: 10cm 6cm 10cm (π. 6)cm Se a base é um círculo de 6cm de raio, a medida da área da base é dada por: S B = π S B = π. 6 S B = 6πcm A planificação da área lateral determina um setor circular cujo arco tem comprimento igual ao perímetro da base do cone. Assim, a área lateral de um cone é dada por: esolvendo, obtemos: Al = p r g A l = p 610 A l = 60pcm 69
A conclusão é a de que a medida da superfície total de um cone é igual à soma da medida da área de um setor circular, cujo raio é igual à geratriz do cone e cujo comprimento do arco é igual ao perímetro da base do cone, com a medida da área do círculo da base. Da mesma forma que relacionamos prismas e cilindros, podemos relacionar pirâmides com cones. O volume de um cone pode ser obtido considerando-o como sendo uma pirâmide regular em que a base é um círculo e o apótema da pirâmide é a geratriz do cone. O volume de um cone qualquer, cuja altura mede h e cujo raio da base mede, é dado por: V= 1 p.. h Esferas O formato esférico está presente nas bolas da maioria dos esportes, em algumas frutas e em diversas situações. Até mesmo nosso planeta é aproximadamente esférico. Para compreendermos o conceito de esfera, vamos considerar um ponto P do espaço e um segmento de medida. Chama-se esfera com centro no ponto P e raio de medida o conjunto dos pontos do espaço cuja distância ao ponto P é menor do que ou igual a. O Esfera de centro O e raio 70
Pode-se provar que a medida da área de uma esfera de raio e a medida do volume de uma esfera são dadas, respectivamente, por: S = 4p V= 4. p Inscrição e circunscrição de sólidos geométricos O objetivo desse conteúdo é desenvolver as relações espaciais entre dois sólidos geométricos em que um deles está inscrito em outro. Esfera e cubo Considere uma esfera cujo raio mede inscrita em um cubo cujas arestas têm medida a. a Existe uma relação entre as medidas das arestas do cubo e do raio da esfera. Como a superfície esférica intersecta o cubo em seis pontos, localizados nos centros das faces, temos três pares de pontos diametralmente opostos. Assim, a medida de cada aresta do cubo é igual ao dobro da medida do raio da esfera. a = 71
Em uma outra situação, considere um cubo cujas arestas medem A, inscrito em uma esfera cujo raio tem medida A Observe que os vértices do cubo pertencem à superfície esférica. Assim, a medida da diagonal do cubo é igual ao dobro da medida do raio da esfera. D cubo = ou a = Esfera e cilindro Considere uma esfera, cujo raio mede, inscrita em um cilindro circular reto. Como a superfície esférica intersecta as bases do cilindro nos seus centros e o círculo máximo da esfera é congruente às bases do cilindro, então as medidas do raio e da altura do cilindro são iguais, respectivamente, a e, ou seja, o cilindro é equilátero. 7
Vamos analisar agora outra situação. Observe a figura a seguir: Geometria espacial h r Nesse caso, como podemos estabelecer uma relação entre as medidas do raio da esfera, do raio do cilindro e da altura do cilindro? A partir do triângulo retângulo, de catetos medindo h e r, onde h e r são as medidas da altura e do raio do cilindro, e de hipotenusa medindo, podemos escrever: ( ) =( ) + r h 4 = 4r + h Esfera e cone reto Da mesma forma como o cubo e o cilindro, em um cone também é possível inscrever ou circunscrever uma esfera. Vamos, inicialmente, considerar uma esfera de raio r inscrita em um cone de raio e altura h. h - r r g r 7
Sendo g a medida da geratriz do cone, podemos, por meio de uma semelhança de triângulos, estabelecer a seguinte proporção: r h r = - g Se o cone for equilátero, não há necessidade de utilizar a proporção anterior. Basta lembrar que a medida do raio da esfera é igual a 1 da medida da altura do cone, ou seja, h = r. A figura a seguir ilustra essa situação: r r Assim, por meio do teorema de Pitágoras, temos: ( ) = +( r) 4 = + 9r = 9r = r Em uma nova situação, considere agora uma esfera de raio, circunscrevendo um cone de raio r e altura h. h - r 74
No triângulo retângulo em destaque, podemos escrever: = r + (h ) Existem outras relações entre as medidas do raio da esfera, do raio da base do cone, da altura e da geratriz do cone. Porém, não existe necessidade de conhecê-las, pois, por meio da relação anterior, podemos obter quaisquer outras medidas. Se o cone é equilátero, a medida do raio da esfera é igual a da altura do cone, ou seja, h =. da medida r r Logo, por meio do teorema de Pitágoras, temos: 9 ( r) = r + æ 4r r è ç ö ø = + 4 r 9 = r = r = 4 4 Cilindro e cone retos Considere um cilindro de altura h e raio da base. Inscrevendo-se nele um cone reto, temos a seguinte figura: 75
h Note que o vértice do cone coincide com o centro de uma das bases do cilindro e a base do cone coincide com a outra base do cilindro. Sendo assim, os raios das bases do cone e do cilindro são, evidentemente, congruentes, da mesma forma que as medidas das alturas. Observe um cilindro reto, com raio da base r e altura h, inscrito em um cone reto de raio da base e altura H: g H H - h r G h h G - g r - r Pela semelhança existente entre três triângulos da figura, podemos escrever as seguintes proporções: r H h g = - = H G r H h g - r = - = h G - g - r h G-g = = H G 76
esolução de questões 1. (Esaf) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5cm de raio está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5cm e 5cm de altura. De quantos centímetros é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfície? a) 5. b) 7,5. c) 5+ 5 d) 5. e) 10... (UFU) Sabendo-se que a intersecção entre um plano α e uma esfera S de raio 10cm é uma circunferência de raio 6cm, então, a distância do centro da esfera S até o plano α é igual a: a) 4cm. b) 5cm. c) 7cm. d) 8cm.. (UFC) Um vaso em forma de cilindro circular reto tem medida de raio da base 5cm, altura 0cm e contém água até a altura de 19cm (despreze a espessura das paredes do vaso). Assinale a alternativa na qual consta o maior número de esferas de aço, de 1cm de raio cada, que podemos colocar no vaso a fim de que a água não transborde. a) 14. b) 15. c) 16. d) 17. e) 18. 77
4. (UFSM) A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone circular reto são iguais. Se o raio da base do cone mede 4cm e o volume do cone é 16πcm, o raio da esfera é dado por: a) cm. b) cm. c) cm. d) 4cm. e) 4 + cm. 5. (UFPE) Derretendo uma peça maciça de ouro de forma esférica, quantas peças da mesma forma se pode confeccionar com esse ouro, se o raio das novas peças é um terço do raio da anterior? Admita que não houve perda de ouro durante o derretimento. a). b) 9. c) 18. d) 1. e) 7. 6. (UECE) Um cone circular reto, cuja medida da altura é h, é seccionado, por um plano paralelo à base, em duas partes: um cone cuja medida da altura é h e um tronco de cone, conforme a figura. 5 78
A razão entre as medidas dos volumes do cone maior e do cone menor é: a) 15. b) 45. c) 90. d) 15. 7. (UECE) Como mostra a figura, o cilindro reto está inscrito na esfera de raio 4cm. 4cm Sabe-se que o diâmetro da base e a altura do cilindro possuem a mesma medida. O volume do cilindro é: a) 18p cm. b) 4p cm. c) p cm. d) 6p cm. 8. (Fatec) A intersecção de um plano α com uma esfera de raio é a base comum de dois cones circulares retos, como mostra a região sombreada da figura a seguir. G 79
Se o volume de um dos cones é o dobro do volume do outro, a distância do plano α ao centro O é igual a: a) b) c) d) 5. 4... 5 e). 9. (MACK) A área da superfície lateral de um cone equilátero inscrito numa esfera de raio é: a) b) p. p. c) p. 4 d) p. e) p. 10. (PUC-Campinas) Considerando-se a Terra como uma esfera cujo diâmetro equatorial é 1 800km, e a Lua também uma esfera cujo diâmetro equatorial é 7% do da Terra, a razão entre as superfícies terrestre e lunar, nessa ordem, é um número: a) maior que 1,9. b) compreendido entre 1,8 e 14,1. c) compreendido entre 1,5 e 1,6. d) compreendido entre 1,6 e 1,8. e) inferior a 1,5. 80
Dica de estudo A maioria dos problemas relacionados com a Geometria, quer seja no plano, quer seja no espaço, requer sempre do estudante a resolução de uma boa dose de exercícios para que a visão espacial e a habilidade em observar as relações geométricas sejam desenvolvidas. Para iniciar, procure dominar a geometria plana, sobretudo as figuras geométricas elementares (triângulo retângulo, triângulo equilátero, quadrado, hexágono regular e círculo). Procure entender a origem das fórmulas e pratique resolvendo muitos exercícios. Em seguida, estude a geometria espacial, principalmente as figuras desta aula. Não é raro ocorrer de a solução de uma questão de geometria espacial estar baseada na geometria plana. eferências BOYE, Carl B. História da Matemática. 1. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 1996. GAETNE, osinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. Blumenau: FUB. (Coleção Aritthmos.) LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. io de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.) LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. io de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 001. v. 1. LINTZ, ubens G. História da Matemática. Blumenau: FUB, 1999. v. 1. TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. io de Janeiro: ecord, 1995. 81
Gabarito 1. Observe a ilustração: C D T A B O triângulo CDT é retângulo, pois a tangente à circunferência forma ângulo reto com o raio ( CT ) no ponto de tangência T. O triângulo CDT é isósceles, pois os ângulos TCD e TDC têm a mesma medida. Como CT = 5, então DT = 5. Logo, CD pode ser obtido por meio do teorema de Pitágoras no triângulo CTD: (CD) = (CT) + (DT) (CD) = 5 + 5 (CD) = 5 + 5 (CD) = 50 CD = 50 CD = 5. CD = 5 Como BD = AC, necessariamente, AB = CD. Assim, a distância entre o centro da base do cone e o ponto em que a esfera toca a superfície plana é igual a 5 cm. esposta: D 8
. A r = 6 B C r = 10 Sendo d a distância do centro da esfera ao plano α, temos: esposta: D 10 = 6 + h d = 64 h = 8cm. O volume não ocupado pela água no interior do cilindro é igual a p. 5. 1= 5pcm O volume de cada esfera é igual a 4 4p. p. 1 = cm Assim, a maior quantidade de esferas que podem ser colocadas no vaso sem que a água transborde é igual a 5 p 75 = 5p. = = 18, 75 4p 4p 4 esposta: E 4. Sendo h a medida da altura do cone, temos que: 1 16p=. p. 4.h h= cm Sendo g a medida da geratriz do cone, temos que g = + 4 g = 5cm 8
Sendo a medida do raio da esfera, temos que: 4. p. = p. 4 + p. 4. 5 = 4+ 5 = cm esposta: C 5. O volume de uma esfera cujo raio mede é igual a 4. p. O volume de uma esfera cujo raio mede é igual a 4 æ 4. p.. p. è ç ö ø = 7 Assim, podem ser feitas 7 peças com o ouro derretido. esposta: E 6. Toda secção em um cone reto, efetuada por meio de um plano paralelo à base, determina um cone reto menor, semelhante ao primeiro. Utilizando o conceito de semelhança entre figuras geométricas, observadas no cone maior e no menor, é possível provar que a razão entre os volumes dos cones maior e menor é igual ao cubo da razão entre as medidas correspondentes das alturas dos cones. Dessa forma, sendo V e v os volumes dos cones maior e menor, respectivamente, temos: esposta: D V v æ ö çh = çh è ç ø 5 V = 15 v 84
7. Observe a figura a seguir: 8cm Por meio do teorema de Pitágoras, temos: 8 = () + () 64 = 8 = 8 = Assim, o volume do cilindro é igual a p.( ). 4 = p cm. esposta: C 8. O volume do cone maior é igual ao dobro do volume do cone menor. Sendo d a distância do plano ao centro da esfera e r a medida do raio da base comum dos dois cones, temos: esposta: C 1 1. p. r.( + d) =.. p. r.( -d) + d= - d d= d = 85
9. Sendo h a medida da altura do cone equilátero, g a medida da geratriz do cone e r a medida do raio da sua base, temos: æ 9 (r) = r + r r = r = è ç ö ø 4 4 Assim, a área lateral do cone é igual a esposta: D p p. r. g= p. r. r= p.. = 10. A medida do raio da Terra é aproximadamente igual a 6 400km e a medida do raio da lua é aproximadamente igual a 0,7. 6 400 = 1 78 km. Assim, a razão entre as áreas das superfícies terrestre e lunar é igual a esposta: D ( ) ( ) @( ) = 4. p. 6 400 4. p. 178 7, 1, 69 86