Mecânica dos Fluidos I Aula prática 1 EXERCÍCIO 1 Em Mecânica dos Fluidos é muito frequente que interesse medir a diferença entre duas pressões. Os manómetros de tubos em U, que são um dos modelos mais comuns e mais simples de manómetros diferenciais, utilizam a diferença de elevação de um líquido entre os dois braços do U para determinar a diferença de pressão entre as duas tomadas. Os manómetros de tubos inclinados são apenas uma variante, destinada a aumentar a sensibilidade da leitura da pressão. Considere o exemplo concreto de um escoamento de ar na atmosfera, em que o objectivo é medir a pressão p B em relação à hidrostática local da atmosfera. A tomada de pressão em A está montada de tal modo que a pressão p A é a pressão hidrostática dessa zona (A e B estão à mesma cota). Entre A e A e B e B os tubos contêm ar em repouso e com a mesma massa volúmica da atmosfera exterior. O manómetro tem uma inclinação tal que sen(θ) = 0, 2 e o comprimento molhado é l = 145 mm. O fluido manométrico é álcool, com massa volúmica ρ = 780 kg/m 3. 1. Calcule a diferença de pressão (p B p A ). 2. Em que medida a diferença de cota entre o manómetro e os pontos A e B afecta a diferença de pressão (p B p A ) em relação a (p B p A )? 3. Normalmente, se se pretende medir a diferença entre uma pressão p B e a pressão hidrostática local (que é p A ), costuma-se deixar a extremidade A do manómetro aberta directamente para a atmosfera, eliminando o tubo A A. Qual o erro cometido, pelo facto de A e A estarem a cotas diferentes e, portanto, terem pressões hidrostáticas diferentes?
2 (p B p A ) = 222 Pa. A diferença de cota não afecta a diferença de pressão. Eliminar o tubo A A, deixando a extremidade A do manómetro aberta para a atmosfera, não introduz nenhum erro, porque a distribuição hidrostática de pressão da atmosfera é igual à distibuição hidrostatica dentro do tubo A A. EXERCÍCIO 2 As comportas de barragens costumam ter a forma de um segmento de cilindro, articulado no seu eixo, e por isso se designam por comportas de segmento. Com esta geometria, a operação de abertura e fecho é mais estável, porque a força f de abertura depende do peso próprio da comporta, mas é independente da distribuição de pressão na face da comporta em contacto com a água. Em repouso, esta distribuição de pressão é hidrostática, alterando-se substancialmente quando há escoamento de água. Utilize o valor de ρ = 1 10 3 kg/m 3. 1. Considere uma comporta de segmento 10 m de largura, 6 m de altura, com uma curvatura de 10 m de raio e o centro a meia altura. Qual é a cota do ponto de aplicação da resultante das forças de pressão da água quando a comporta está fechada (não havendo escoamento, a distribuição de pressão é hidrostática) e o nível da água chega até à altura máxima da comporta? Calcule as componentes horizontal e vertical da resultante, sem esquecer que uma das faces da comporta está em contacto com a atmosfera. 2. Mostre que a resultante das forças de pressão da água sobre um segmento cilíndrico passa sempre pelo eixo do cilindro, qualquer que seja a distribuição de pressão. A cota da resultante em relação à base da comporta é 2 m. Com a comporta fechada e cheia até cima, a componente horizontal da resultante é f x = ρ g l h2 2 = 1, 764 10 6 N, a componente vertical é f y = ρ g l R 2 [ Θ sin(θ) cos(θ) ] = 1, 814 10 5 N, em que Θ é o ângulo indicado na figura e l é a largura da comporta.
3 A força de pressão exercida sobre uma superfície elementar é sempre ortogonal à superfície; se a superfície for cilíndrica é um vector com a direcção radial; portanto, tem momento nulo relativamente ao eixo. O integral de todos eses momentos infinitesimais nulos, ao longo da superfície do cilindro, é um momento resultante nulo. Como o momento resultante é nulo em relação ao eixo do cilindro, a resultante passa pelo eixo. Isto não implica que o centro de pressão (ponto de aplicação da força de pressão) esteja sobre a superfície da comporta. Efectivamente, encontra-se num ponto 2 m acima da base da comporta e no interior, na parte côncava. Para calcular o centro de pressão é preciso calcular os momentos das forças de pressão. O momento da componente horizontal f x em relação à aresta inferior da comporta é o momento das componentes horizontais da pressão: M fx = ρ g l h 0 (h y) y dy = 1 6 ρ g l h3. Portanto, a componente f x está aplicada a uma altura Y fx = M fx /f x = h/3 a partir da aresta inferior. O momento da componente vertical f y em relação ao centro da comporta é o momento das componentes verticais da pressão: M fy = ρ g l R 3 2 Θ 0 sin 2 (θ) cos(θ) dθ = 2 3 ρ g l R3 sin 3 (Θ). Portanto, a componente f y está aplicada à distância X fy = M fy = 2 R f y 3 sin3 (Θ)/ [ Θ sin(θ) cos(θ) ] do centro. As coordenadas do centro de pressão em relação ao centro da comporta são h (X fy, Y 2 fx) ou ( 9, 724, 1). Podemos confirmar que a resultante passa pelo centro verificando a proporção: 9, 724 1 = f x f y = 1, 764 106 1, 814 10 5. EXERCÍCIO 3 Considere um cilindro fechado em cima e aberto em baixo (semelhante a um copo virado para baixo), parcialmente mergulhado na água de um
4 tanque cuja superfície livre está em contacto com a atmosfera. A diferença entre o nível dentro do cilindro e no tanque é h 2 = 200 mm, a altura do cilindro acima do nível no tanque é h 1 = 500 mm. O diâmetro do cilindro é D = 500 mm. Admita que a pressão do ar dentro do cilindro é praticamente uniforme e que a pressão atmosférica exterior também é praticamente uniforme, igual a 1, 013 10 5 Pa. A massa volúmica da água é ρ = 10 3 kg/m 3. 1. Calcule a pressão do ar no interior do cilindro. 2. Calcule a componente vertical da força de pressão exercida sobre o cilindro. Não esqueça a face interior nem a face exterior do cilindro. 3. Calcule a força resultante horizontal exercida sobre um arco de 180 da parede vertical do cilindro. Tenha em conta a força exercida no exterior e no interior do cilindro. A pressão absoluta da superfície livre da água dentro do copo é p 0 = 1, 013 10 5 + ρ g h 2 = 1, 033 10 5 Pa (a pressão relativa à atmosfera ρ g h 2 = 1, 96 10 3 Pa). Sendo a pressão do ar dentro do copo aproximadamente uniforme, todo o ar estará à pressão desta superfície livre. Na realidade, a pressão do ar diminui desde a superfície livre até ao topo do copo: tomando a massa volúmica do ar igual a 1,2 kg/m 3, a variação de pressão absoluta é de 1, 2 g (h 1 + h 2 ) = 8 Pa, valor efectivamente muito pequeno comparado com as outras diferenças de pressão. Se a pressão interna do ar é uniforme, a componente vertical da força de pressão exercida sobre as faces internas e externas do copo é (p 0 p atm ) π R 2 = 385 N (a força é para cima, porque a pressão interna p 0 é superior à atmosférica). Para calcular a componente horizontal pedida, convém representar a diferença de pressão entre a face interna e externa da parede. Tomemos como referência z = 0 o nível da água no interior do cilindro. Na parte inferior z [0, h 2 ], a diferença de pressão é p(z) = ρ g h 2 ρ g (h 2 z) = ρ g z. Na parte superior z [h 2, h 1 +h 2 ], a diferença de pressão é uniforme p(z) = ρ g h 2. A resultante horizontal pedida é f H = (ρ g h 2 2/2 + ρ g h 2 h 1 ) D = 588 N.
5 Exercícios adicionais, além dos anteriores que são os mais directamente recomendados como preparação para a aula de problemas EXERCÍCIO 4 Considere um tambor cilíndrico fechado, de altura muito grande comparada com o seu diâmetro, cheio de um líquido cuja massa volúmica é ρ = 800 kg/m 3, uniforme em todo o espaço. O cilindro tem raio R = 1 m. No ponto de coordenadas cilíndricas r = 0 m, z = +3 m é imposta uma pressão absoluta de 7, 648 10 4 Pa. A pressão atmosférica reinante no exterior do cilindro é uniforme, igual a 1 10 5 Pa. 1. Calcule a pressão absoluta num ponto genérico do fluido. 2. Determine a pressão relativa à hidrostática local no líquido, num ponto genérico. 3. Calcule a componente vertical e a componente horizontal da resultante da força de pressão exercida sobre a parede do cilindro entre a cota z = 1 m e z = +1 m de um arco de 180 da parede vertical do cilindro. Esta porção da parede é a que está indicada na figura acima. Não esqueça a face interior nem a face exterior do cilindro. A pressão absoluta é p(r, θ, z) = 7, 648 10 4 + 800 9, 8 (3 z) Pa. O fluido está em condições hidrostáticas, portanto a pressão relativa à hidrostática local é nula.
6 A componente vertical é nula. Sendo z 1 = 1 m, z 2 = +1 m, a componente horizontal é f H = (2 R) [ (7, 648 10 4 + 800 9, 8 3 1 10 5) (z 2 z 1 ) + ρ g ( )] z 2 2 2 z2 1 = 0. 2 Repare-se que, sendo a geometria de largura constante, a variação hidrostática em relação à pressão média não afecta a força resultante porque a variação é linear. De facto, com z 2 = z 1, o termo (2 R) ρ g (z 2 2 z 1 )/2 é nulo, na expressão de f H. Repare-se também que a pressão interna em z = 0 é igual à pressão atmosférica. É por estas razões que a resultante horizontal é nula. EXERCÍCIO 5 Pretende-se que um cilindro hidráulico (1) accione um determinado equipamento (2) com uma força de 5 10 4 N. Pretende-se bombear o óleo numa pequena bomba manual aspirante-premente (3), que não exija um esforço superior a 200 N para movimentar o êmbolo. A bomba é constituída por um cilindro de 3 cm de diâmetro interno com um curso de 30 cm. A bomba manual (2) e o cilindro hidráulico (1) encontram-se a uma distância vertical z de bastantes metros, muito superior à dimensão dos elementos principais do sistema. Quando o cilindro hidráulico desce, o óleo é recolhido num reservatório, mantido aproximadamente à pressão atmosférica. Um conjunto de válvulas de controlo e alguns outros acessórios completam a instalação. A massa volúmica do óleo é 870 kg/m 3. 1. Determine o diâmetro do cilindro (1) e a pressão máxima do óleo. Não precisa de ter em conta o atrito do óleo no circuito hidráulico.
7 2. Calcule a amplitude do movimento vertical do cilindro (1) produzido pelo deslocamento da bomba (3) ao longo do seu curso. 3. A diferença de cota z da bomba (3) relativamente à bomba (1) pode alterar significativamente a força de bombagem? Faça uma estimativa para z = 15 m. 4. que modificação introduziria na instalação para o esforço de bombagem se tornar independente da diferença de cota z? Com z = 0 m, a pressão máxima do óleo é 2, 83 10 5 Pa, para não exceder a força de 200 N no êmbolo da bomba (3). O diâmetro mínimo do cilindro (1) é 0,474 m (seria prudente prever um diâmetro um pouco maior). Um deslocamento de 0,3 m do êmbolo da bomba movimenta o cilindro 1, 2 10 3 m. Com z = 15 m, a força de elevação aumenta 2, 26 10 4 N para a mesma força aplicada na bomba; a força na bomba diminui 90,4 N para a mesma força de elevação do cilindro 1. A força de bombagem torna-se independente da diferença de cota se o depósito acumulador de óleo não estiver à pressão atmosférica, mas a uma pressão tanto maior quanto maior for a diferença de cota até ao cilindro hidráulico (1).