Sebenta de exercícios de Álgebra II. Curso: Matemática

Sebenta de exercícios de Álgebra II Curso: Matemática Ano Lectivo 2007/2008 6 de Junho de 2008 (versão 1.4)

Conteúdo Notas Prévias Notações e terminologia Tabela de símbolos ii iii iv 1 Anéis 1 1.1 Anéis e subanéis.................................. 1 1.2 Mor smos de anéis................................ 6 1.3 Ideais....................................... 8 1.4 Relações de congruência. Anéis quociente.................... 12 1.5 Divisores de zero. Domínios........................... 14 1.6 Anéis de divisão. Corpos............................. 17 1.7 Divisibilidade................................... 18 2 Anéis de polinómios 19 2.1 Polinómios numa indeterminada......................... 19 2.2 Divisibilidade de polinómios........................... 20 2.3 Irredutibilidade de polinómios.......................... 22 3 Módulos 27 3.1 Módulos e submódulos.............................. 27 3.2 Submódulo gerado por um conjunto. Módulos livres.............. 30 3.3 Mor smos de módulos.............................. 31 3.4 Módulos quociente. Teoremas de isomor smos................. 33 Referências bibliográ cas 34 i

Notas Prévias Esta sebenta de exercícios juntamente com a matéria leccionada nas aulas teóricas formam um todo, i.e., são uma parte integrante do programa da disciplina e não meramente um conjunto de exercícios soltos. Em relação à resolução dos exercícios que constam nesta sebenta, chama-se a atenção de que, só tem sentido tentar resolvê-los, após um estudo, cuidadoso, da matéria leccionada nas aulas teóricas, tudo o resto, será uma mera tentativa de resolução mecânica dos exercícios, sem qualquer fundamentação. O material contido nesta sebenta de exercícios, foi elaborado com base nas referências [1, 2, 3, 4, 5] e de um conjunto de exercícios elaborados pelo próprio. Saliente-se que, alguns destes exercícios, foram revistos por alguns dos meus colegas do Departamento de Matemática com quem tenho trabalhado ao longo dos anos. A todos eles, os meus sinceros e profundos agradecimentos. N.B.: Na elaboração desta sebenta, e dentro do possível, houve o cuidado de se usar uma escrita matemática rigorosa e uma simbologia o mais actualizada possível, no entanto, esta sebenta pode não estar isenta de - apesar de involuntárias - omissões e incorrecções 1. 1 apesar de se encontrar em permanente actualização, aceitam-se e agradecem-se sugestões, comentários e correcções, de preferência, enviados para psemiao@ualg.pt. ii

Notações e terminologia Faremos uso dos seguintes símbolos para representar os conjuntos usuais: ; o conjunto vazio N = f0; 1; 2; 3; g o conjunto dos números naturais Z = f ; 2; 1; 0; 1; 2; g o conjunto dos números inteiros n o x Q = 2 R : x 2 Z ^ y 2 Z n f0g o conjunto dos números racionais y R C o conjunto dos números reais o conjunto dos números complexos Sendo X 2 fn; Z; Q; Rg, representaremos por X >0 ; X 0 seguintes conjuntos: e X 6=0, respectivamente, os X >0 := fx 2 X : x > 0g X 0 := fx 2 X : x 0g X 6=0 := fx 2 X : x 6= 0g. Como exemplos, o conjunto R 0 := fx 2 R : x 0g = [0; +1[, representa o conjunto dos números reais não negativos, enquanto que o conjunto R 6=0 := fx 2 R : x 6= 0g = R n f0g, representa o conjunto de todos os números reais, excepto o zero. Faremos também uso do símbolo C 6=0, para representar o conjunto C n f0 + 0ig. De um modo geral, o símbolo K representa um corpo qualquer e o símbolo := quer designar a igualdade de duas entidades por de nição. Iremos representar por card(a) o cardinal do conjunto A. O símbolo v representa uma subestrutura de uma dada estrutura algébrica. Por exemplo, sendo R um anel e A um subconjunto de R, para abreviar a expressão A é um subanel de R, usamos o simbolismo A v R. iii

Tabela de Símbolos Y X Inj(X; Y ) Surj(X; Y ) Bij(X; Y ) Mor(R; S) (= Hom(R; S)) End(R) Mono(R; S) Epi(R; S) Bim(R; S) Sect(R; S) Retr(R; S) Iso(R; S) Aut(R) Emb(R; S) UR l (A) (resp., U R r (A), U R(A)) IR l (A) (resp., Ir R (A), I R(A)) R (A) (resp., (A) R, (A)) P (R) Ann R (X) hai (resp., R hai) Idem(R) F k Frac R (R; S) o conjunto de todas as aplicações de X em Y o conjunto de todas as aplicações injectivas de X em Y o conjunto de todas as aplicações sobrejectivas de X em Y o conjunto de todas as aplicações bijectivas de X em Y o conjunto de todos os mor smos de R em S o conjunto de todos os endomor smos em R o conjunto de todos os monomor smos de R em S o conjunto de todos os epimor smos de R em S o conjunto de todos os bimor smos de R em S o conjunto de todas as secções de R em S o conjunto de todas as retracções de R em S o conjunto de todos os isomor smos de R em S o conjunto de todos os automor smos em R o conjunto de todos os mergulhos de R em S o conj. de todas as unidades esq. (resp., dir., bilat.) de A em R o conj. de todos os ideais esq. (resp., dir., bilat.) de A em R ideal esquerdo (resp., direito, bilateral) gerado por A o conjunto de todos os elementos primos de R o anulador de X em R o subanel (resp., R-submódulo) gerado por A o conjunto de todos os elementos idempotentes de R um corpo nito com k elementos o anel das fracções (direito) de R com respeito a S iv

1. Anéis 1.1. Anéis e subanéis 1.1.1) Mostre que num anel (R; +; ; 0 R ) com elemento identidade 1 R tem-se que 0 R = 1 R se, e só se, o conjunto suporte R tem um único elemento. 1.1.2) Mostre que se num conjunto singular de nirmos duas operações binárias, então ele é um anel multiplicativo e comutativo. 1.1.3) Veri que se os seguintes conjuntos com as operações indicadas são anéis e, indique, os que são comutativos e os que tem identidade: a) (M nn (R); +; ; O nn ), onde R é um anel. Em particular, com R := Z, obtemos o anel M nn (Z). b) Z n ; +; ; 0 n ; 1 n, onde n 2 N6=0. c) Q p p p p ; +; ; 0, onde Q p := x + y p 2 R : x; y 2 Q ^ p 2 P (N2 ) e as operações binárias são de nidas por: (a + b p p) + (c + d p p) := (a + c) + (b + d) p p (a + b p p) (c + d p p) := (ac + pbd) + (ad + bc) p p. Em particular, conclua que Z p p é um anel. d) 2Z com a soma usual e a operação binária de nida por: m n := 1 2 mn. e) R com as operações binárias e 0 de nidas por: xy := x + y e x 0 y := 2xy. f) A := f(x; 1) 2 R 2 : x 2 Rg e as operações e 0 de nidas por: (x; 1)(x 0 ; 1) := (x + y; 1) e (x; 1) 0 (x 0 ; 1) := (xy; 1). g) fa; bg com as operações binárias + e de nidas através das seguintes tabelas: + a b a a b b b a e a b a a a b a b. 1.1.4) Seja (R; +; 0 R ) um grupo abeliano no qual se introduz a operação binária de nida para todo o a; b 2 R por a b = 0 R. Mostre que R é um anel e veri que se este anel tem identidade. 1

1.1.5) Sejam R um anel (resp., anel unitário) e X um conjunto qualquer. a) Mostre que R X é um anel (resp., anel unitário) para as operações usuais de adição e multiplicação de funções, ou seja, para todo o x 2 X: (f + g)(x) := f(x) + g(x) e (f g)(x) := f(x) g(x). b) Indique condições para que R X seja um anel comutativo. c) Mostre que, se X := R, então R R é um anel (resp., anel unitário). d) Mostre que, em particular, o conjunto de todas as funções reais de variável real, i.e., R R é um anel unitário comutativo. Estude ainda como caso particular o conjunto R [a;b], onde [a; b] R. 1.1.6) Sejam (R; + R ; R ; 0 R ) e (S; + S ; S ; 0 S ) (resp., (R; + R ; R ; 0 R ; 1 R ) e (S; + S ; S ; 0 S ; 1 S ) anéis unitários) e R S o produto cartesiano de R e S. a) Mostre que R S é um anel (resp., anel unitário) se de nirmos as seguintes operações binárias: 8a 1 ; a 2 2 R, 8b 1 ; b 2 2 S, (a 1 ; b 1 ) + (a 2 ; b 2 ) := (a 1 + R a 2 ; b 1 + S b 2 ) e (a 1 ; b 1 ) (a 2 ; b 2 ) := (a 1 R a 2 ; b 1 S b 2 ). Este anel (resp., anel unitário) é o produto cartesiano dos anéis R e S e é também conhecido por produto directo (externo) dos anéis R e S. b) Generalize para o produto cartesiano de n anéis (resp., anéis unitários) distintos. n z } { Conclua que, em particular, R n := R R R é um anel (resp., anel unitário). 1.1.7) Seja R um anel. Mostre que para todo o a; a 1 ; :::; a n ; b 1 ; b 2 ; :::; b n 2 R tem-se que: a) a(b 1 + b 2 + + b n ) = ab 1 + ab 2 + + ab n. b) (b 1 + b 2 + + b n )a = b 1 a + b 2 a + + b n a. n! P mp P c) a i b j = n mp a i b j. i=1 j=1 i=1 j=1 1.1.8) Sejam R um anel e a; b; c 2 R. a) Mostre que para o grupo aditivo do anel tem-se que: 1) O elemento neutro aditivo do anel, 0 R, é único. 2) Cada elemento de R tem um único simétrico. 3) ( a) = a. 4) (a + b) = ( a) + ( b). 5) Se a + b = a + c, então b = c (analogamente, b + a = c + a, então b = c). 6) Cada uma das equações a + x = b e x + a = b tem uma única solução. b) Mostre que para o semigrupo multiplicativo do anel tem-se que: 1) 0 R a = a0 R = 0 R. 2) Se o anel tem elemento unidade 1 R, então ( 1 R )a = a. 3) a( b) = ( a)b = (ab). 2

4) ( a)( b) = ab. 5) a(b c) = ab ac e (b c)a = ba ca. 1.1.9) Prove que num anel R são válidas as seguintes regras usuais da aritmética, para todo o m; n 2 Z e a; b 2 R: a) (m + n)a = ma + na. b) (mn)a = m(na). c) m(a + b) = ma + mb. d) n(ab) = (na)b = a(nb). e) (ma)(nb) = (mn)ab. 1.1.10) Prove que num anel R com elemento unidade são válidas as seguintes regras usuais da aritmética, para todo o m; n 2 N e a; b 2 R: a) a n a m = a n+m. b) (a n ) m = a nm. c) Se a e b comutam, então (ab) n = a n b n. d) Se a e b comutam, então a m b n = b n a m. 1.1.11) Sejam R um anel e a; b 2 R elementos permutáveis. Mostre que se tem: a) a( b) = ( b)a. b) ( a)( b) = ( b)( a). c) (a + b) n = a n + 1 n a n 1 b + n 2 a n 2 b 2 + + n n 1 ab n 1 + b n, onde n k := n! 1.1.12) Sejam R um anel e a; b 2 R. Mostre que: a) a 2 b 2 = (a + b)(a b) se, e só se, R é comutativo. b) a 2 b 2 = (a b)(a + b) se, e só se, R é comutativo. k!(n k)!. 1.1.13) Sejam R um anel (resp., anel unitário) e A R. Mostre que A é um subanel (resp., subanel unitário) de R se, e só se, veri ca o seguinte: i) 0 R 2 A (resp., 1 R 2 A); ii) 8x; y 2 R : x; y 2 A ) x + ( y) 2 A; iii) 8x; y 2 R : x; y 2 A ) xy 2 A. 1.1.14) Veri que nas alíneas seguintes se os subconjuntos são subanéis do respectivo anel e, indique, os que são comutativos e os que tem identidade: a) Considere o anel R [a;b] e o subconjunto A := f 2 R [a;b] : f(b) = 0. b) Considere o anel R R e o subconjunto C(R; R) de todas as funções contínuas reais de variável real. c) Considere o anel (M 22 (Z); +; ; O 22 ) e os seguintes subconjuntos dele: a b 1) 2 M c d 22 (Z) : c = d = 0. 3

a 2) c a 3) c a 4) c a 5) c b d b d b d b d 2 M 22 (Z) : c = 0. 2 M 22 (Z) : b = c = 0. 2 M 22 (Z) : b = d = 0. 2 M 22 (Z) : b = c = 0 ^ d = 1. 1.1.15) Seja R um anel unitário. Mostre que: 1.1.16) Determine: a) a; b 2 U(R) ) ab 2 U(R). b) a n 2 U(R) ) a 2 U(R). c) Se a; b 2 U(R), então não necessariamente se tem que a + b 2 U(R). a) U (Z 8 ). b) U (M 22 (Z)) (anel de nido no exercício 1.1.3 com R := Z e n := 2). c) U Z p 2 (anel de nido no exercício 1.1.3 com p := 2). 1.1.17) Mostre que no anel Z n, tem-se que para todo o n 2 Nn f0; 1g, n 1 2 U(Z n ). 1.1.18) Seja K um corpo. Mostre que: a) O conjunto U(M nn (K)), que se representa por: GL n (K) := fa 2 M nn (K) : A é invertívelg é um subgrupo do monóide multiplicativo do anel unitário M nn (K). b) O conjunto de todas as matrizes diagonais invertíveis, Diag(GL n (K)), é um subgrupo de GL n (K). 1.1.19) Sejam R um anel (resp., anel unitário) e A; B v R. Mostre que: a) A \ B v R, i.e, a intersecção de dois subanéis (resp., subanéis unitários) de R ainda é um subanel (resp., subanel unitário) de R. Generalize para uma família in nita (A i ) i2i de subanéis de R. b) A [ B v R, A B _ B A, i.e., a união de dois subanéis (resp., subanéis unitários) de R ainda é um subanel (resp., subanel unitário) de R se, e só se, um deles está contido no outro. c) Se A B A ^ B A B ) A + B v R, i.e., a soma de dois subanéis (resp., subanéis unitários) de R é um subanel (resp., subanel unitário) de R se o produto deles está contido em ambos os factores. d) Se B A A B ) A B v R, i.e., o produto de dois subanéis (resp., subanéis unitários) de R é um subanel (resp., subanel unitário) de R se o produto do segundo pelo primeiro está contido no produto do primeiro pelo segundo. Mostre que se tem a recíproca no caso de R ser anel unitário. 1.1.20) Sejam R um anel e X R. Mostre que hxi é um subanel de R. 4

1.1.21) Sejam R um anel e A R. O centralizador de A em R é de nido como sendo o conjunto C R (A) := fx 2 R : 8a 2 A, ax = xag. a) Mostre que o centralizador é um subanel de R. No caso particular de A := R, chama-se centro do anel R e representa-se por: Z(R) := fx 2 R : 8r 2 R, xr = rxg. b) Indique qual é o centro se o anel for comutativo. 1.1.22) Sejam (R; +; ; 0 R ; 1 R ) um anel unitário e R op := (R; +; op ; 0 R ; 1 R ), onde para todo o x; y 2 R, x op y := y x. Mostre que R op é um anel unitário. Ao anel unitário R op chama-se anel oposto do anel R. 1.1.23) Diga, justi cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes a rmações: a) Se A é subanel de um anel R que contém uma unidade b, então A contém b 1. b) Num anel de característica 2, qualquer elemento é simétrico de si próprio. c) Um anel nito pode ter característica zero. d) A característica de um anel é sempre um número primo. e) A característica de um corpo é sempre um número primo. 5

1.2. Mor smos de anéis 1.2.1) Indique, quais das seguintes aplicações são mor smos de anéis e, em cada caso a rmativo, determine o respectivo núcleo e classi que o respectivo mor smo: a) f : Z! Z de nida por f(a) := 3a. b) f : Z! Z de nida por f(a) := a 2. c) f : Z 6! Z 3 de nida por f([a] 6 ) := [a] 3. d) f : C! R de nida por f (z) := jzj. e) f : C! R de nida por f (z) := Re (z). f) f : C! C de nida por f (z) := iz. g) f : C! C de nida por f (z) := z. h) f : M nn (R)! M nn (R) de nida por f (A) := A t. i) f : M nn (R)! R de nida por f (A) := det(a). 1.2.2) Sejam R; S anéis (resp., anéis unitários) e f : R! S um mor smo de anéis (resp., mor smos unitários). Mostre que: a) f é injectiva se, e só se, f é um monomor smo. b) f é sobrejectiva, então f é um epimor smo. Será que a recíproca é verdadeira? 1.2.3) Sejam (R; + R ; R ; 0 R ), (S; + S ; S ; 0 S ) anéis e f : R! S um mor smo de anéis. Mostre que: a) f (0 R ) = 0 S. b) f( a) = f(a). c) 8n 2 Z; 8a 2 R, f (na) = nf (a). d) Se A v R, então f! (A) v S. e) Se B v S, então f (B) v R. f) f 2 Inj(R; S) se, e só se, Ker(f) = f0 R g. 1.2.4) Sejam R e S anéis (resp., anéis unitários). Mostre que: a) Mor(R; S) não é um subanel do anel S R para as operações + e de mor smos. b) End(R) não é um anel para as operações + e de mor smos. c) Mor(R; S) é um subanel do anel S R para as operações + e de funções (não de mor smos) (resp., anel unitário). Em particular, quando S := R, então End(R) é um anel (resp., anel unitário). 1.2.5) Sejam R e S anéis e S é comutativo. Indique, condições, para que se tenha o seguinte: a) f; g 2 Mor(R; S), então f + g 2 Mor(R; S). b) f; g 2 Mor(R; S), então f g 2 Mor(R; S). c) Com a(s) condição(ões) que deduziu será que Mor(R; S) é um anel, para as operações de + e de mor smos de anéis? Em particular, quando S := R, então End(R) é um anel. 6

1.2.6) Seja R um anel. Mostre que: a) (R R ; +; ; c 0R ) não é um anel. b) (End(R); +; ; c 0R ) não é um anel. 1.2.7) Considere o grupo comutativo (M; +; 0 M ). Mostre que: a) (End(M); +; ; c 0M ; id M ) é um anel unitário, a que se chama o anel dos endomor- smos de M. b) Se R é um anel (resp., anel unitário) e temos uma acção esquerda de R em M, então a relação : R! End( R M) de nida por (r) := r, onde para todo o a 2 M, r (a) := ra, é um mor smo (resp., unitário) de anéis. (Se A v End( R M), então diz-se que : R! A é uma representação do anel R em A.) 1.2.8) Mostre que as seguintes aplicações são mor smos e classi que-os: a) f : Z p 2! Z p 2 de nida por a + b p 2 7! a b p 2. b) f n : (Z; +; ; 0)! (Z n ; + n ; n ; [0] n ), onde n 2 N 6=0 um elemento arbitrário mas xo e de nida por x 7! [x] n. a b c) f : C! M 22 (R) de nida por f(a + bi) =. b a d) f : M nn (R)! M nn (R) de nida por f(a) = P 1 AP, onde P 2 U(M nn (R)). 1.2.9) Sejam R, S e T anéis. Mostre que: a) R = R. b) Se R = S, então S = R. c) Se R = S e S = T, então R = T. 1.2.10) Sejam R e S anéis. Mostre que se R = S, então char(r) = char(s). 1.2.11) Sejam R e S anéis (resp., anéis unitários). Mostre que para qualquer mor smo de anéis (resp., mor smo unitário) f 2 Mor(R; S) tem-se que: a) Se A v R, então f (f! (A)) = A + Ker(f) e Ker(f) A + Ker(f). Em particular, se b := f(a) 2 Im(f), então f b) Se B v S, então c) Se g 2 Mor(S; T ), então f! (f (B)) = B \ Im(f). (fbg) = fag + Ker(f). Ker(g f) = f (Ker(g)) e Im(g f) = g! (Im(f)). 1.2.12) Sejam R, S anéis e f : R! S um isomor smo de anéis. Prove que: a) R é comutativo se, e só se, S é comutativo. b) R tem identidade 1 R se, e só se, S tem identidade f (1 R ). c) a 2 U(R) se, e só se, f (a) 2 U(S). d) R é corpo se, e só se, S é corpo. 1.2.13) Mostre que não existe nenhum isomor smo (de anéis) entre os anéis (Z; +; ; 0) e (2Z; +; ; 0). 7

1.3. Ideais 1.3.1) Sejam R um anel, A v R e I E R. Mostre que: a) f0 R g e o próprio anel R são ideais de R. b) Se I A, então I E A. 1.3.2) Sejam R um anel unitário e I E R. Mostre que as seguintes condições são equivalentes: i) 1 R 2 I. ii) I contém uma unidade. iii) I = R. 1.3.3) Sejam R um anel, A v R e I; J E R. Mostre que: a) A + I v R. b) I \ A E A. c) Se I A, então I E A. 1) A I E l R (resp., I B E r R). 2) Se R é um anel comutativo, então I A E R (resp., A I E R). d) Se I; J A, então I + J E A. 1.3.4) Sejam R um anel e I; J E R. Mostre que: a) I + J E R. b) I J E R. c) I \ J E R. Generalize para uma família ( nita ou in nita) de ideais de R. 1.3.5) Sejam R um anel e I; J; K E R. Mostre que se tem: a) I + (0 R ) = (0 R ) + I = I. b) I + (J + K) = (I + J) + K. c) I (J K) = (I J) K. d) I (J + K) = (I J) + (I K) e (I + J) K = (I K) + (J K). e) I (J \ K) (I J) \ (I K). f) Se J I, então I \ (J + K) = J + (I \ K). 1.3.6) Sejam R um anel e X; Y R. Mostre que: a) X (X). b) X Y =) (X) (Y ). 1.3.7) Seja R um anel unitário comutativo. Determine: a) (1 R ) e (0 R ). b) (u), onde u 2 U(R). 1.3.8) Sejam R um anel unitário e a; b 2 R. Mostre que: a) Se a; b 2 Z(R), então (a b) = (a) (b). 8

b) (fa; bg) = (a) + (b). c) (fag fbg) (a) (b). 1.3.9) Seja I (R) o conjunto de todos os ideais do anel (R; +; ; 0 R ). Classi que I (R) como estrutura algébrica, relativamente às operações de soma e produto de ideais de R. 1.3.10) Sejam R um anel e A 2 P(R). Os conjuntos Ann l R(A) := fr 2 R : 8a 2 A, ra = 0 R g e Ann r R(A) := fr 2 R : 8a 2 A, ar = 0 R g chamam-se, respectivamente, anulador esquerdo e anulador direito de A em R. Mostre que: a) Ann l R(A) E R. b) Ann r R(A) E R. c) Se A E R, então Ann l R(A) e Ann r R(A) são ambos ideais (bilaterais) de R. d) Se R é um anel unitário, então Ann l R(A) = Ann r R(A) = f0 R g. 1.3.11) Sejam R um anel e a; b 2 R. Mostre que (fa; bg) = (a) + (b). Generalize para fx 1 ; x 2 ; : : : ; x n g R, i.e., (fx 1 ; x 2 ; : : : ; x n g) = (x 1 ) + (x 2 ) + + (x n ). 1.3.12) Sejam R um anel e a 2 R. a) Prove que (a) R E r R (resp., R (a) E l R). b) Mostre que é o menor (no sentido de contido) ideal direito (resp., esquerdo) que contém o elemento a. c) Se a é um elemento idempotente, então a 2 (a) R. d) Se R tem identidade, então a 2 (a) R. e) Se I E R tal que a 2 I, então R (a) I. 1.3.13) Seja R um anel. Mostre que para qualquer elemento a 2 R tem-se que: a) (a) = na + at + pa + k P i=1 r i as i 2 R : n 2 Z, t; p; r i ; s i 2 R, k 2 N 6=0. b) Dê um aspecto mais simpli cado no caso de R ser um anel unitário. 1.3.14) Mostre que para qualquer anel unitário R e a 2 R tem-se que: ( kx ) (a) = r i as i 2 R : s i ; r i 2 R, k 2 N 6=0 = RaR. i=1 1.3.15) Seja R um anel comutativo. Mostre que: a) 8a 2 R, (a) = (a) R = R (a). b) se I; I 0 E R tais que I + I 0 = R, então I \ I 0 = I I 0. c) Z(R) = R. O que conclui quanto à recíproca, i.e., se Z(R) = R, então R é um anel comutativo? 1.3.16) Considere o anel unitário (M 22 (Z) ; +; ; O 22 ; I 22 ). 9

a) Determine Z (M 22 (Z)). b) Será que Z (M 22 (Z)) E M 22 (Z)? 1.3.17) Prove que no anel dos inteiros (Z; +; ; 0; 1) todo o ideal é principal. 1.3.18) Mostre que para todo o n 2 N, o conjunto nz := fnk 2 Z : k 2 Zg é ideal de (Z; +; ; 0; 1). 1.3.19) Em Z, determine os seguintes ideais indicando qual o seu gerador: a) (2) + (5). b) (2) + (6). c) (2) \ ((5) + (6)). d) (2) ((5) \ (6)). e) (8) \ (12). f) (8) (12). 1.3.20) Determine todos os ideais do anel unitário Z n ; +; ; 0 n ; 1 n no seguintes casos: a) n = 4. b) n = 11. c) n = 12. d) n = 6, mas somente para 4 6 e 36. 1.3.21) Considere os seguintes subconjuntos de matrizes em (M 22 (Z); +; ; O 22 ; I 22 ): a b a b B := 2 M c d 22 (Z) : a = b = 0. C := 2 M c d 22 (Z) : c = d = 0. a D := c b d a 2 M 22 (Z) : a = c = 0. E := c b d 2 M 22 (Z) : b = d = 0. a) Mostre que D e E são ideais esquerdos mas não direitos de M 22 (Z). b) Mostre que B e C são ideais direitos mas não esquerdos de M 22 (Z). c) Dê exemplos de subconjuntos de matrizes que não sejam nem ideais esquerdos nem direitos de M 22 (Z). d) Determine em M 22 (Z), os elementos do ideal esquerdo do exercício 1.3.10.a), 0 1 considerando para tal A :=. 0 0 1.3.22) Sejam R um anel, X R, I E R e Mostre que: a) C R (X) v R. C R (X) := fa 2 R : 8x 2 X, ax = xag. b) X C R (X), os elementos de X comutam. Em particular, Z(R) = R, R é comutativo. c) I C R (I) ) C R (I) E I. Em particular, Z(R) = R ) Z(R) E R. d) I C R (I), I é comutativo. 1.3.23) Sejam R; S anéis, I; I 0 E R, J E S e f : R! S um mor smo de anéis. Mostre que: a) Ker(f) E R. 10

b) Se f 2 Surj(R; S), então Im(f) E S. c) f! (I) E Im(f). d) Se f 2 Surj(R; S), então f! (I) E S. e) f (J) E R. f) f! ((a) R ) = (f(a)) Im(f). g) f! (I + I 0 ) = f! (I) + f! (I 0 ). h) f! (I I 0 ) = f! (I) f! (I 0 ). i) f! (I \ I 0 ) f! (I) \ f! (I 0 ), tem-se a igualdade se Ker(f) I _ Ker(f) I 0. 11

1.4. Relações de congruência. Anéis quociente 1.4.1) Sejam R um anel e uma relação de congruência de nida em R. Sendo [0 R ] a classe do zero, mostre que [0 R ] E R. 1.4.2) Sejam R um anel, uma relação de congruência de nida em R, I E R e X R. Mostre que: a) Se [0 R ] = I, então X = X + I. b) Se [0 R ] = I e A v R, então A = A + I. c) Se J E R, então J= E R=. d) Se A v R, então A = A + I se, e só se, I A. 1.4.3) Sejam R um anel (resp., anel unitário) e I E R. Mostre que R=I é um anel (resp., anel unitário). 1.4.4) Sejam R um anel e I E R. Mostre que: a) se R é comutativo, então R=I é comutativo. b) se R tem identidade, então R=I tem identidade. c) se R é domínio, então R=I não é necessariamente um domínio. 1.4.5) Sejam R um anel e I E R. Mostre que R=I é comutativo se, e só se, para todo o a; b 2 R, ab ba 2 I. 1.4.6) Sejam R; R 0 anéis (ou anéis unitários) e I E R. Mostre que: a) A relação : R! R=I é um mor smo sobrejectivo. b) Se I Ker(f), então para todo o mor smo f : R! R 0, existe um mor smo g : R=I! R 0 tal que o seguinte diagrama R - R=I f g R 0? é comutativo. Mostre ainda que, nestas condições: 1) I = Ker(f) se, e só se, g 2 Inj(R=I; R 0 ). 2) f 2 Surj(R; R 0 ) se, e só se, g 2 Surj(R=I; R 0 ). 3) Coim(f) = Im(f). 1.4.7) Sejam R um anel e f 2 Surj (Z; R). Mostre que, Z n = R. 1.4.8) Considere a relação f : Z 12! Z 4, de nida por f (a 12 ) := a 4. a) Mostre que f assim de nida é uma aplicação. b) Veri que que f é um mor smo de anéis. 12

c) Veri que que Z 12 = 4 12 = Z4. d) Construa as tabelas de Cayley para o anel Z 12 = 4 12. 1.4.9) Sejam R um anel e I; J E R tais que I J. Mostre que: a) I E J. b) J=I E R=I. c) Será que todos os ideais de R=I são da forma J=I nas condições do enunciado? 1.4.10) (2: o teorema do isomor smo) Sejam R um anel e I; J E R tais que I J. Seja f : R=I! R=J a relação de nida por f ([a] I ) = [a] J. Mostre que: a) f é uma aplicação. b) f é um mor smo de anéis. c) Ker(f) = J=I. d) f é sobrejectiva. e) Conclua, usando o teorema do homomor smo, que R=I J=I = R=J. 13

1.5. Divisores de zero. Domínios 1.5.1) Considere o anel unitário (M 22 (Z 3 ) ; +; ; O 22 ; I 22 ), com a soma e o produto usuais a3 b de matrizes e, seja A := 3 2 M c 3 d 22 (Z 3 ) : c 3 = 0 3. 3 a) Veri que se M 22 (Z 3 ) é um domínio. b) Mostre que A é um subanel de M 22 (Z 3 ) e veri que se A E M 22 (Z 3 ). c) Determine a característica de M 22 (Z 3 ). 1.5.2) Veri que se as seguintes estruturas algébricas são domínios de integridade. a) R R ; +; ; c 0R. Será que o subanel (C (R; R) ; +; ; c 0R ) é um domínio de integridade? b) R [a;b]. c) Z p 2 ; +; ; 0 Z[ p 2]. 1.5.3) Considere o anel R 2 onde estão de nidas as operações binárias e 0 de nidas por: (x; y)(z; t) := (x + z; y + t) e (x; y) 0 (z; t) := (xz + 4yt; xt + yz). Averigúe se o anel tem divisores de zero. 1.5.4) Sejam R um anel sem elemento identidade esquerdo (resp., direito) e b 2 R 6=0 um elemento idempotente. Mostre que b é um divisor de zero esquerdo (resp., direito). 1.5.5) Indique um anel R e elementos a; b; c 2 R 6=0 para os quais se tem ab = ac mas, não obrigatoriamente, b = c. 1.5.6) Determine os divisores de zero dos seguintes conjuntos: a) Z 4. b) Z 10. c) Z Z. 1.5.7) Mostre que um anel unitário R 6= f0 R g no qual se tem 8a 2 R 6=0, ar = R é um domínio. 1.5.8) Prove que um anel unitário R 6= f0 R g é um domínio se, e só se, qualquer um dos seus elementos diferentes de zero é simpli cável. 1.5.9) Seja R um anel. Mostre que R é um domínio se, e só se, (R 6=0 ; ; 1 R ) é um monóide. 1.5.10) Prove que se R é um domínio, então é válida a lei do corte para o produto no monóide multiplicativo (R 6=0 ; ; 1 R ). 1.5.11) Mostre que um anel R é um domínio se, e só se, a solução (admitindo que ela existe) de qualquer equação do tipo ax = b (ou xa = b), com a 6= 0 R, é única. 14

a di c + bi 1.5.12) Considere no anel M 22 (C), o subconjunto H := c + bi a + di e as seguintes matrizes: I := Veri que que: 1 0 0 1, J := a) I; J; K; L 2 H. b) J 2 = K 2 = L 2 = I. c) JK = L. d) KL = J. e) LJ = K. f) KJ = L. g) LK = J. h) JL = K. 0 i i 0 0 1, K := 1 0 i) H = fai + bj + ck + dl 2 M 22 (C) : a; b; c; d 2 Rg. j) H é fechado para a adição e multiplicação de matrizes. Conclua que, (H; +; ; O 22 ; I 22 ) é um anel unitário. k) 8A 2 H, det(a) 6= 0 () A 6= O 22. l) H é um anel de divisão., e L := 2 M 22 (C) : a; b; c; d 2 R i 0 0 i 1.5.13) Sejam R um anel unitário, S um submonóide do monóide multiplicativo de R e todo o elemento de S não é divisor de zero em R, ou seja, para todo o s 2 S e para todo o r 2 R 6=0, rs 6= 0 R e sr 6= 0 R. Considere a seguinte relação em R S de nida por: (a; s) (b; s 0 ) () 9t 2 S : t(s 0 a sb) = 0 R. a) Mostre que é uma relação de equivalência em R S. b) De na-se em RS as seguintes relações: a s + b := (as0 + sb) s 0 ss 0 e a s b := ab s 0 ss, 0 onde a := [(a; s)]. Mostre que: s 1) As relações dadas são operações binárias em RS. 2) O conjunto Frac R (R; S) := RS é um anel unitário. Ao anel unitário Frac R(R; S), chama-se o anel das fracções direito de R com respeito a S. 3) Se R é um domínio, então a relação reduz-se a (a; s) (b; s 0 ) () s 0 a = sb. Conclua que, se R for um domínio, então Frac R (R; S) é um domínio. 4) Se R é um domínio de integridade, então Frac R (R; R 6=0 ) é um corpo. A este corpo chama-se o corpo das fracções clássico. No caso particular do domínio de integridade R := Z e S := Z 6=0 de ne-se Q := ZZ 6=0. 15.

5) A relação v : R! Frac R (R; S) de nida por v(a) := [(a; 1 R )] é um mor smo unitário injectivo tal que para todo o s 2 S, v(s) é invertível. i) Im(v) = Frac R (R; f1 R g). ii) R = Frac R (R; f1 R g). 6) Se f : R! R 0 é um mor smo de anéis unitários tal que para todo s 2 S, f(s) é um elemento invertível, então existe um e um só mor smo g : Frac R (R; S)! R 0 tal que o seguinte diagrama R v - Frac R (R; S) f g? R 0 é comutativo. Ao par (Frac R (R; S); v) chama-se localização de R em S. 7) Ker(g) = Frac R (Ker(f); S). 1.5.14) Seja R um anel unitário comutativo. Prove que: a) Se u 2 U(R), então u não é divisor de zero. b) O produto de um divisor de zero por qualquer outro elemento de R ou é nulo ou é um divisor de zero. c) Se o produto de dois elementos de R é um divisor de zero, então algum dos factores o é. 1.5.15) No anel Z n, mostre o seguinte: a) Se [a] n 6= [0] n, então [a] n 2 U (Z n ), gcd (a; n) = 1. b) Zdiv (Z n ) = (Z n n f[0] n g) n U (Z n ), ou seja, os divisores de zero são precisamente os elementos não nulos de Z n que não são invertíveis. c) Se Z n não é domínio de integridade, então n 2 Nn f0; 1g não é primo. 16

1.6. Anéis de divisão. Corpos 1.6.1) Seja R 6= f0 R g um anel unitário e comutativo. Mostre que: a) Se os únicos ideais de R são (0 R ) e o próprio R, então R é corpo. b) Se R é um corpo, então os únicos ideais de R são (0 R ) e R. c) Conclua que, se R é um corpo, então os únicos corpos quociente são R R e R (0 R ). 1.6.2) Mostre que um anel R 6= f0 R g é um anel de divisão se, e só se, para todo o a 2 R 6=0 e para todo o b 2 R as equações ax = b e ya = b são solúveis. 1.6.3) Mostre que todo o domínio nito (resp., domínio de integridade nito) é um anel de divisão nito (resp., corpo nito). 1.6.4) Seja R 6= f0 R g um anel. Mostre que, se para todo o a 2 R 6=0, ar = Ra = R se, e só se, R é um anel de divisão. 1.6.5) Mostre que um subconjunto A de um anel de divisão R é um subanel de divisão se, e só se, tem-se que: i) 0 R ; 1 R 2 A; ii) 8a; b 2 R : a; b 2 A ) a + ( b) 2 A; iii) 8a; b 2 R 6=0 : a; b 2 A ) ab 1 2 A. 1.6.6) Sejam R um anel de divisão e a 2 U(R). Veri que se a relação f : R! R de nida por f(x) := axa 1 é um automor smo de anéis de divisão. 1.6.7) Sejam K um corpo, R anel e f : K! R é um mor smo de anéis. Mostre que: a) ou f é injectiva ou f = c 0R. b) Se R := K e f 2 Surj (K; K), então f 2 Aut (K). c) Se R := K e card (K) < @ 0, então f 2 Aut (K). d) Se R := K 0 é corpo, então f 2 Inj(K; K 0 ). Em particular, f 2 Iso(K; Im(f)). 1.6.8) Mostre que, p é primo se, e só se, Z p é um corpo. 17

1.7. Divisibilidade 1.7.1) Considere um anel unitário R 6= f0 R g comutativo e principal. Mostre que: a) Se a; b 2 R 6=0 e gcd (a; b) = 1 R, então (fa; bg) = R e é único. b) No anel Z, o único ideal que contém 2 e 3 é Z. c) No anel Z, se m; n 2 Z 6=0 e gcd (m; n) = 1, então o único ideal que contém m e n é Z. 1.7.2) Considere o anel Z e a; b 2 Z. a) Mostre que, (a) + (b) = (gcd (a; b)). b) Mostre que, (a) \ (b) = (lcm (a; b)). c) Dê uma nova interpretação às alíneas do exercício 1.3.19 na página 10. 1.7.3) Sejam R um anel unitário comutativo e a; b 2 R. Mostre que: a) (a) (b) se, e só se, existe um elemento r 2 R tal que a = rb. b) Se R é um domínio de integridade, então (a) = (b) se, e só se, existe u 2 U(R) tal que a = ub. 1.7.4) Mostre que se n 2 N n f0; 1g, então (n) é ideal primo de Z se, e só se, n é um número primo. 1.7.5) Sejam R 6= f0 R g um anel unitário comutativo, I E R e I 6= R. Mostre que R=I é um domínio de integridade se, e só se, I é um ideal primo. 1.7.6) Sejam R 6= f0 R g um anel, I E R e I 6= R. O ideal I diz-se um ideal maximal em R se I 6= R e não existe nenhum ideal J, tal que I 6= J, I 6= R e I J R. Mostre que se R é um anel unitário comutativo, R=I é um corpo se, e só se, I é um ideal maximal de R. 1.7.7) Sejam R 6= f0 R g um anel unitário comutativo e I um ideal maximal de A. Mostre que I é um ideal primo. 1.7.8) Sejam R 6= f0 R g um anel, D um domínio e f : R! D um mor smo de anéis não nulo. Prove que Ker(f) é um ideal primo de R. 18

2. Anéis de polinómios 2.1. Polinómios numa indeterminada 2.1.1) Mostre que os polinómios constantes em Z[x] formam um subanel dele que não é ideal. 2.1.2) Mostre que: a) Se R é um anel (resp., anel unitário), então R [x] é um anel (resp., anel unitário). b) Se R é um anel (resp., anel unitário) comutativo, então R [x] é um anel (resp., anel unitário) comutativo. 2.1.3) Simpli que cada uma das seguintes expressões (resp., das expressões correspondentes), no anel Z [x] (resp., no anel Z 2 [x], Z 3 [x] e Z 4 [x]): a) (1 + 2x) + (2 x + 2x 2 ). b) (2x + x 3 ) + (x + 2x 4 ). c) (1 + 2x) (2 x + 2x 2 ). d) (2x + x 3 ) (x + 2x 4 ). e) (2x + x 2 ) 3. 2.1.4) Determine todos os polinómios de grau 2 nos seguintes anéis: a) Z 2 [x]. b) Z 3 [x]. 2.1.5) Em Z n [x], e considerando m 2 N, determine: a) Quantos polinómios existem de grau m? b) Quantos polinómios existem de grau m? c) Quantos polinómios mónicos existem de grau m? 2.1.6) Sejam R e S anéis. Mostre que: a) Se I E R, então I[x] E R[x]. b) Se R = S, então R[x] = S[x]. c) char(r [x]) = char(r). d) R é um domínio de integridade se, e só se, R [x] é um domínio de integridade. 2.1.7) Seja R um anel unitário. Mostre que: a) a 2 U (R) ) p := a + 0 R x + 2 U (R [x]). b) Se R é um domínio, então a 2 U (R), p := a + 0 R x + 2 U (R [x]). c) Se R não é um domínio, a equivalência anterior não necessariamente se veri ca. d) Se R é um domínio, então U (R) = U (R [x]). 19

2.2. Divisibilidade de polinómios 2.2.1) Sejam a := x 4 + 3x 2 + 2x + 1 e b := 2x 2 + 3x + 2. Efectue, se possível, a divisão do polinómio (resp., polinómio correspondente) a por b nos anéis Z [x], Q [x] e R [x] (resp., no anel Z 2 [x], Z 3 [x] e Z 4 [x]). 2.2.2) Para cada um dos anéis Z [x], R [x] e C [x] (resp., no anel Z 2 [x], Z 3 [x] e Z 8 [x]), determine: a) as raízes e respectivas multiplicidades dos polinómios (resp., polinómios correspondentes) a, b e c: 1) a := x 4 1. 2) b := x 4 16. 3) c := x 8 256. b) (apenas no anel Z 8 [x]) as raízes dos polinómios a, b e b 2 sendo: 1) a := x 2 + 2x. 2) b := x 2 + 6x + 5. 2.2.3) No anel Z [x], mostre que é possível efectuar a divisão do polinómio a := 4x 2 + 2x 1 pelo polinómio b := 2x+1. Este facto contradiz o teorema demonstrado sobre a divisão de polinómios? 2.2.4) No anel Z 9 [x], considere os polinómios p 1 := 3x + 5 e p 2 := 6x + 3. a) Determine, caso exista, um polinómio q 2 Z 9 [x], tal que deg(q) = 1 e p 1 q = 1. b) Determine, caso exista, um polinómio q 2 Z 9 [x], tal que deg(q) = 1 e p 2 q = 0. 2.2.5) No anel Z 8 [x], considere os polinómios a := x 2 + 2x e b := x 2 + 6x + 5. Determine as raízes de a, b e b 2. 2.2.6) Mostre que, em Z 2 [x], um polinómio a é divisível por x 1 se, e só se, a tem um número par de coe cientes não nulos. 2.2.7) Determine qual a multiplicidade de 1, 1 e 0 como raízes do polinómio (resp., polinómio correspondente) a := x 6 x 2 em Z [x], R [x] e C [x] (resp., no anel Z 2 [x], Z 3 [x] e Z 5 [x]): a) Z 2 [x]. b) Z 3 [x]. c) Z 5 [x]. d) Z [x]. e) R [x]. f) C [x]. 2.2.8) No anel R [x], determine o número de raízes reais dos seguintes polinómios: a) x 3 3x + 5. b) x 3 3x 2 + 2x 1. c) x 3 + 9x 2 1. 2.2.9) No anel Z [x] determine, se existirem, as raízes racionais de: a) 2x 3 3x + 4. b) 2x 4 4x + 3. c) 2x 3 + 4x 2 + 5x + 1. d) 3 2 x3 2x 2 + x + 1 2. 20

2.2.10) Determine para que elementos primos o polinómio x 4 + x 3 + x 2 + x 2 Z p [x], com p primo, admite a raiz 2. 2.2.11) Seja R um anel nito com k elementos. Determine, justi cando, quantos polinómios de grau menor ou igual a n em R [x] admitem a raiz zero. 2.2.12) Sejam R um domínio de integridade e p := x 2 + bx + c 2 R [x]. a) Mostre que, se p tem raízes x 1 e x 2, então (x 1 + x 2 ) = b e x 1 x 2 = c. b) Encontre um resultado análogo ao da alínea anterior mas para um polinómio mónico de grau 3. 2.2.13) Seja p := a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n 2 Z [x]. Mostre que p admite a raiz r 2 Q, s com gcd (r; s) = 1 se, e só se, sx r divide p em Z [x]. 2.2.14) Se R é um corpo e a; b 2 R [x], mostre que existe um único máximo divisor mónico entre a e b. 2.2.15) Em R [x], considere os seguintes polinómios: p := x 4 2x 3 + 2x 2 2x + 1 e q := x 6 + 2x 5 2x 4 6x 3 7x 2 8x 4. Determine um máximo divisor comum de p e q e escreva-o na forma ap + bq, onde a; b 2 R [x]. 2.2.16) Em Z 2 [x], considere os polinómios p 1 := x 5 + 1 e p 2 := x 2 + 1. Determine o máximo divisor comum de p 1 e p 2 e escreva-o na forma ap 1 + bp 2, onde a; b 2 Z 2 [x]. 2.2.17) Em Z 3 [x], considere os polinómios p 1 := x 2 x + 1 e p 2 := x 3 + 2x 2 + 2. Determine todos os máximos divisores comuns de p 1 e p 2. 21

2.3. Irredutibilidade de polinómios 2.3.1) Sejam R e S anéis tais que R S e p 2 R [x]. Diga, justi cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das a rmações: a) Se deg (p) > 1 e p admite uma raiz em R, então p é factorizável em R. b) Se p é factorizável em R, então p admite uma raiz em R. c) Se deg (p) = 1, então p admite uma raiz em R. d) Se R é um corpo e deg (p) = 1, então p admite uma raiz em R. e) Se p é irredutível em R também é irredutível em S. f) Se p é factorizável em R também é factorizável em S. g) Se p é factorizável em S também é factorizável em R. 2.3.2) Prove que se deg (p) > 1 e p é irredutível em Z 2 [x], então p tem termo independente 1 e um número ímpar de coe cientes não nulos. 2.3.3) Dê exemplos, se possível, de: a) Um polinómio de grau 3, não factorizável, em R [x]. b) Um polinómio de grau 1, factorizável, em Z [x]. c) Um polinómio em R [x], não mónico, de grau 5, que admita como raízes reais apenas os números p 5, 17 e 20 3. d) Um polinómio de grau 2, irredutível, em R [x]. e) Um polinómio de grau 2, irredutível, em C [x]. f) Um polinómio irredutível em R [x], mas redutível em C [x]. g) Um polinómio redutível em R [x], mas irredutível em C [x]. h) Um polinómio de grau 2 irredutível em Q [x], mas redutível em R [x]. 2.3.4) Sejam R um corpo e p 2 R [x]. Mostre que: a) Se deg (p) = 2, p é factorizável se, e só se, p tem uma raiz em R. b) Se deg (p) = 3, p é factorizável se, e só se, p tem uma raiz em R. c) Veri que que se R não é corpo os resultados anteriores não são válidos. 2.3.5) Em Z 2 [x], determine: a) Todos os polinómios irredutíveis de grau 1. b) Todos os polinómios irredutíveis de grau 2. c) Todos os polinómios irredutíveis de grau 3. d) Todos os polinómios irredutíveis de grau 4. 2.3.6) Em Z 3 [x], determine: a) Todos os polinómios irredutíveis de grau 1. b) Todos os polinómios irredutíveis de grau 2. 22

2.3.7) Para p primo, quantos polinómios mónicos de grau 2, redutíveis, existem em Z p [x]? 2.3.8) Para p primo, quantos polinómios mónicos de grau 2, irredutíveis, existem em Z p [x]? 2.3.9) Determine em R [x] um polinómio p que satisfaça simultaneamente as seguintes condições e apresente-o, justi cando, na forma do produto de factores irredutíveis em R [x]: a) O coe ciente director de p é 4. b) deg (p) = 7. c) 2 i p 3 é raiz de p. d) A equação p = 0 admite as raízes 0 e. e) p é divisível por x 3 2x 2 + 3x 6. 2.3.10) Em R [x], considere o polinómio p := x 7 + 2x 5 8x 3. Decomponha-o em factores irredutíveis em R, e indique as suas raízes reais e as respectivas multiplicidades. 2.3.11) Considere o polinómio p := x 8 256. Decomponha-o, justi cando, em factores irredutíveis em: a) C [x]. b) R [x]. 2.3.12) Diga, justi cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes a rmações: a) A divisão de polinómios é sempre possível em Z 23 [x] : b) O polinómio x 2 + x + 1 divide x 6 1. c) (x 2 + 1) (x 2 + 2) é irredutível em R. d) O produto dos polinómios x 4 e x 6 em Z 7 [x] é x 3. e) x 3 12x 6 tem apenas uma raiz real. 2.3.13) Se possível, dê exemplos de: a) Um polinómio sem raízes em R, factorizável em Z. b) Dois polinómios p e q em R [x] distintos, irredutíveis, tais que pjq. c) Um elemento m 2 N para o qual o polinómio x 4 + x 3 + x 2 + x 2 Z m [x] admita como divisores x 2 e x 1. d) Um polinómio mónico associado de 2x 5 3x 2 + 1 em Z 7 [x]. e) Dois polinómios distintos, associados em Z 8 [x]. 2.3.14) Diga quais dos seguintes polinómios são primitivos: a) p 1 := x 5 10x 4 + 40x 3 80x 2 + 80x 32. b) p 2 := 14x 24 10x 23 + 40x 21 80x 18 + 80x 16 32x 10 + 40x 8 80x 7 + 80x 32. c) p 3 := 14 23 x24 10 7 x23 + 32 5 x21 80x 18 + 80x 16 32x 10 + 40x 8 80x 7 + 80x 32. d) p 4 := 48x 10 45x 8 + 81x 6 63x 4 + 213x 2 51. 2.3.15) Em Z [x], se possível dê exemplos de: 23

a) Um polinómio primitivo e redutível. 1 b) de um polinómio mónico, que admita como raízes os números 2, 3 e 0. c) Um polinómio de grau 6 que admita a raiz 1 com multiplicidade 3, a raiz 4 com multiplicidade 2 e que seja múltiplo de x 2 + 3x + 2. 2.3.16) Em Q [x], se possível dê exemplos de: a) Um polinómio de grau 2, irredutível e com coe ciente director 1. b) Um polinómio de grau 5, irredutível e com coe ciente director 7. 2.3.17) Em R [x], se possível dê exemplos de: a) Um polinómio de grau 3 redutível, que admita só duas raízes reais. b) Um polinómio de grau 5 redutível, que admita só duas raízes reais. 2.3.18) Seja p := 7 2 x3 + 7 3 x2 + 14 3 x + 7 2 Q [x]. a) Determine um polinómio primitivo q em Z [x] associado a p. b) Mostre que q é irredutível em Z [x] e em Q [x]. 2.3.19) Considere o polinómio p := 4x 3 + 4x x 2. a) Diga, justi cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes a rmações: 1) p é primitivo. 2) p é redutível em Q [x]. 3) p é irredutível em Z [x]. b) Decomponha p em factores irredutíveis em R [x]. 2.3.20) Mostre que são irredutíveis em Z [x]: a) x 4 + x + 1. b) x 4 + 3x + 5. c) 3x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 5x + 1. d) x 5 + 5x 2 + 4x + 7. e) 15x 5 2x 4 + 15x 2 2x + 15. 2.3.21) Diga, justi cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das a rmações: a) Um polinómio primitivo em Z [x] é irredutível em Q [x]. b) Qualquer polinómio em Z [x] de grau positivo, que seja irredutível, é primitivo. c) Um polinómio em Z [x] que não admita raízes racionais é irredutível em Q [x]. d) Um polinómio em Z [x] que admita raízes racionais é redutível em Q [x]. e) Um polinómio em Z [x] que admita raízes complexas é redutível em Q [x]. f) Um polinómio em Z [x] que admita uma raiz complexa a + bi 2 Q [i] é redutível em Q [x]. 24

2.3.22) Diga, justi cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das a rmações: a) Seja R um anel unitário comutativo. Então: 1) Se p é um polinómio irredutível em R [x], então para todo o q 2 R [x], pq também é irredutível em R [x]. 2) Se p é um polinómio redutível em R [x], então para todo o q 2 R [x], pq também é redutível em R [x]. 3) Se p é um polinómio irredutível em R [x], então existe um polinómio q 2 R [x] tal que pq ainda é irredutível em R [x]. b) Sejam q := a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 2 Z [x] e p um primo que não divide a n. Então: 1) Se q é redutível em Q [x], então f (p) é redutível em Z p [x]. 2) Se q (p) é redutível em Z p [x], então q é redutível em Q [x]. 3) Se q é irredutível em Q [x], então q (p) é irredutível em Z p [x]. c) Um polinómio p 2 Z [x], no qual o coe ciente director é ímpar e para o qual, em Z 2 [x], p (2) = x 2 + x + 1, é irredutível em Q. 2.3.23) Em Q [x], veri que se os seguintes polinómios são irredutíveis: a) 3x 5 4x 4 + 2x 3 + x 2 + 18x + 31. b) x 5 + 4x 4 + 2x 3 + 3x 2 x + 5. c) x 3 + 2x + 10. d) x 3 2x 2 + x + 15. e) x 5 21x 3 + 49x 2 + 7x 14. f) 1 6 x3 2 3 x2 + x + 1 2. g) 4 3 x4 10x 3 + 5 9 x2 + 15 2 x + 1 2. h) x4 + 2x 3 6x + 2. 2.3.24) No anel Z [x], considere o polinómio p := x 7 + 2x 5 8x 3. a) Decomponha-o em factores irredutíveis como elemento de R [x] e, indique, as suas raízes reais e as respectivas multiplicidades. b) Determine gcd (p; x 5 + 4x 3 ). 2.3.25) Se possível, dê exemplos de: a) Um polinómio redutível, em Z 2 [x], que seja máximo divisor comum de dois polinómios de graus 4 e 5. b) Um polinómio p, de grau 5, mónico, irredutível em Z [x] e tal que p (3) que redutível em Z 3 [x]. c) Um inteiro m para o qual o polinómio x 4 + x 3 + x 2 + x 2 Z m [x] admita como divisores x 2 e x 1. d) Em Z [x], um polinómio mónico que admita como raízes os números 1, 1 5 e 3. e) Dois polinómios distintos, de grau 2 e irredutíveis em Z 2 [x]. 2.3.26) Seja p := x 7 + 2x 6 2x 5 4x 4 + 6x 3 9x 2 + 9x 3. a) Mostre que p é divisível por x 1 em Q [x] e por x i em C [x]. b) Decomponha-o, justi cando, em factores irredutíveis em Q [x] e diga se essa decomposição em factores irredutíveis é também válida em R [x]. 2.3.27) Considere o polinómio p := (x 8 9) (x 4 8x 2 + 16). 25

a) Decomponha-o, justi cando, em factores irredutíveis em: 1) Z [x]. 2) R [x]. b) Indique as suas raízes racionais, indicando as respectivas multiplicidades. c) Em Z [x], determine gcd (p; x 7). 26

3. Módulos 3.1. Módulos e submódulos 3.1.1) Mostre que R é um anel unitário se, e só se, tem-se que: a) R R é um R-módulo. b) R R é um módulo-r. c) R R R é um R-bimódulo-R. 3.1.2) Mostre que se R é um anel unitário comutativo, então todo o R-módulo (resp., módulo- R) é um módulo-r (resp., R-módulo). 3.1.3) Sejam R; S anéis unitários, S v R e R M um R-módulo. Mostre que S M é um S- módulo. 3.1.4) Sejam K um corpo ( xo) e V um espaço vectorial sobre K. Mostre que: a) Todo o espaço vectorial V sobre o corpo K é um K-módulo. Conclua que é um K-bimódulo-K. b) Qualquer corpo K é um K-módulo. Conclua que, Q (resp., R e C) é um módulo sobre Q (resp., R e C). 3.1.5) Sejam R M um R-módulo e A um conjunto qualquer. Mostre que: a) M A é um R-módulo para a operação de adição de funções e operação binária externa de nidas, para todo o x 2 A e 2 R, por: (f + g)(x) := f(x) + g(x) e (f)(x) := (f(x)). b) Se A := M, então M M é um R-módulo. c) End(M) é um R-submódulo do módulo M M. d) Em particular, o conjunto de todas as funções reais de variável real, i.e., R R é um R-módulo. Estude ainda como caso particular o conjunto R [a;b]. 3.1.6) Sejam M 1 ; M 2 ; : : : ; M n, R-módulos. Considere o produto cartesiano M 1 M 2 M n munido das seguintes operações para todo o (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ); (y 1 ; y 2 ; : : : ; y n ) elementos de M 1 M 2 M n e 2 R: (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ) + (y 1 ; y 2 ; : : : ; y n ) := (x 1 + y 1 ; x 2 + y 2 ; : : : ; x n + y n ) (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ) := (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ). a) Prove que estas operações conferem ao conjunto M 1 M 2 M n uma estrutura de R-módulo. 27

n z } { b) Utilize a alínea anterior, para provar que M n := M M M é um R- módulo. 3.1.7) Veri que se cada um dos seguintes conjuntos de polinómios numa indeterminada e com coe cientes reais é um R-módulo em relação às operações ordinárias de adição de polinómios e multiplicação de um polinómio por um elemento de R: a) Conjunto dos polinómios de grau menor ou igual a n, i.e., R n [x]. b) Conjunto dos polinómios de grau n (n xo). 3.1.8) Seja R um anel unitário. Mostre que: a) M mn (R) é um R-módulo, se considerarmos a soma e a operação binária externa de nidas por: [a ij ] + [b ij ] := [a ij + b ij ] e [a ij ] := [a ij ]. b) M mn (R) é um módulo-r, se considerarmos a soma e a operação binária externa de nidas por: [a ij ] + [b ij ] := [a ij + b ij ] e [a ij ] := [a ij ]. Conclua que, M mn (R) é um R-bimódulo-R, para as operações acima introduzidas. c) M mn (R op ) é um R-módulo, onde R op é o anel oposto do anel R. 3.1.9) Em R n, de na-se as operações: com a; b 2 R n e 2 R. a + b := a b e a := a Quais dos axiomas da de nição de R-módulo são satisfeitos por R R n para a operação binária + e a operação binária externa sobre R n? 3.1.10) Considere o conjunto R >0 dos números reais positivos e as operações: de nidas, respectivamente, por: : R >0 R >0! R >0 e : R R >0! R >0 (a; b) 7! a b := a b (produto usual) e (; a) 7! a := a (potência usual). a) Mostre que R >0 para as operações e é um R-módulo. b) Veri que se R com as operações 0 e 0 (operações análogas às anteriores mas de domínio R R e codomínio R), é R-módulo? Justi que. 3.1.11) Considere os R-módulos R M, R M 0 e as operações binária e binária externa de nidas em M M 0 por: (a; b) + (c; d) := (a + c; b + d) e (a; b) := (a; 0 M 0). Veri que quais dos axiomas da de nição de R-módulo são satisfeitos. 28

3.1.12) Sejam R M um R-módulo, x; y; z 2 R M e ; 2 R. Prove que: a) 0 R x = 0 M. b) 0 M = 0 M. c) ( )x = ( x) = x. d) ( )x = x x. e) (x y) = x y. f) ( x) = x. g) se 2 U(R) e x = 0 M ) x = 0 M. h) x + y = z + y ) x = z. 3.1.13) Sejam R M um R-módulo e A M. Mostre que R A é um R-submódulo se, e só se, veri ca o seguinte: i) 0 M 2 A; ii) 8x; y 2 M : x; y 2 A ) x + y 2 A; iii) 8 2 R 8x 2 M : x 2 A ) x 2 A. 3.1.14) Sejam R M um R-módulo e A M. Mostre que R A é um R-submódulo se, e só se, veri ca o seguinte: i) 0 M 2 A; ii) 8; 2 R 8x; y 2 M : x; y 2 A ) x + y 2 A. 3.1.15) Dos seguintes subconjuntos, determine quais são submódulos do respectivo módulo: a) A := f 2 R [a;b] : f(x) = c, c 2 R ( xo). b) B := p 2 R [a;b] : p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, com a i 2 R ( xos). c) C := f 2 R [0;1] : f(x) = f(1 x). d) D := f 2 R [0;1] : f(0) = f(1) = 0. e) E := f 2 R [0;1] : f(0) + f(1) = 0. f) F := f 2 R R : f( x) = f(x). g) G := f 2 R R : f( x) = f(x). h) H := f 2 R R : f(x) 0. i) I := f 2 R R : f é limitada em R. j) J := f 2 R [a;b] : f é integrável à Riemann em [a; b]. k) K := f 2 R [a;b] : f é contínua em [a; b]. 3.1.16) Sejam R M um R-módulo e A; B; C v M. Se C A, então tem-se que: A \ (B + C) = (A \ B) + C. Obteria o mesmo resultado se C " A? 29

3.2. Submódulo gerado por um conjunto. Módulos livres 3.2.1) Sejam R M um R-módulo, A; B R M, F; G v R M e 2 Z(R). Então, tem-se que: a) F \ G v M. b) F [ G v M, F G _ G F. c) F + G v M. d) F v M. e) hai + hbi = ha [ Bi. 3.2.2) Sejam R M um R-módulo e A M. Mostre que: ( nx ) hai = i x i 2 M : i 2 R ^ x i 2 M ^ n 2 N 6=0. i=1 3.2.3) Sejam R M um R-módulo e A; B M. Mostre que: a) Se A B, então hai hbi. b) hhaii = hai. 3.2.4) Seja M um R-módulo. Mostre que se (x i ) i2j é uma subfamília de (x i ) i2i, então hfx i 2 M : i 2 Jgi hfx i 2 M : i 2 Igi. 3.2.5) Mostre que todo o anel unitário R é um módulo R R com base. 3.2.6) Mostre que I R é um I R-módulo com base. 3.2.7) Sejam R e R 0 anéis unitários. Mostre que: a) R R 0 é um RR 0R R 0 módulo com base. b) R f0 R 0g é um RR 0R f0 R 0g submódulo do módulo RR 0R R 0. c) o submódulo R f0 R 0g não tem base. 30

3.3. Mor smos de módulos 3.3.1) Sejam R M e R M 0 módulos. a) Indique qual(is) dos axiomas da de nição de R-módulo não é (são) satisfeito(s) de modo que Mor( R M; R M 0 ) seja um R-módulo. b) Indique condições que o anel unitário R deve satisfazer, para que Mor( R M; R M 0 ) seja um R-módulo. 3.3.2) Sejam R, S e T anéis unitários ( xos). Mostre que: a) Mor(M S ; R N S ) S é um R-módulo. b) Mor( R M; R N S ) é um módulo-s. c) Mor( R M S ; R N) é um S-módulo, se de nirmos (f)(x) := f(x). d) Mor( R M S ; N S ) S é um módulo-r, se de nirmos (f)(x) := f(x). e) Mor( R M S ; R N T ) é um S-bimódulo-T. f) Mor( R M S ; T N S ) S é um T -bimódulo-r. 3.3.3) Sejam R M, R N e R P módulos. Mostre que: a) se f 2 Mor(M; N) e g 2 Mor(N; P ), então g f 2 Mor(M; P ). b) para todo f; g 2 Mor(M; N), todo o h; k 2 Mor(N; P ) e todo o 2 R tem-se que: 1) h (f + g) = (h f) + (h g). 2) (h + k) f = (h f) + (k f). 3) (h f) = (h) f = h (f). 3.3.4) Seja M R é um módulo-r. Mostre que: a) Se f é um anti-automor smo, então M R é um R-módulo, se para todo o 2 R, x := xf(). b) Se f 2 Mor(R) será que se pode concluir que M R é um R-módulo? Indique condições que R deva satisfazer para que M R seja um R-módulo. 3.3.5) Seja R um anel unitário ( xo). Mostre que: a) o dual de um módulo-r, i.e., M R := Mor(M R; R R R ) R é um R-módulo. b) o dual de um R-módulo, i.e., R M := Mor( R M; R R R ) é um módulo-r. c) Conclua que, se R é um anel unitário comutativo, então MR e RM são R- bimódulos-r. 3.3.6) Seja M R um módulo-r, então mostre que End(M) M é um End(M)-módulo. 3.3.7) Sejam R um anel unitário e M um grupo comutativo. Mostre que o mor smo : R! End(M) de ne uma estrutura de R-módulo em M se de nirmos x := (x) e vice-versa, ou seja, se R M é um R-módulo, então : R! End( R M) é uma representação, i.e., um mor smo de anéis. 3.3.8) Seja R M um módulo, então mostre que Mor( R R; R M) = Z- Mod R M através da aplicação f : Mor( R R; R M)! R M de nida por f(g) := g(1 R ). 31

3.3.9) Sejam R um anel unitário comutativo, R M um módulo e A End( R M) um subanel unitário. Mostre que M é um A-módulo, se de nirmos a operação binária externa por (f; x) 7! f(x). 3.3.10) Sejam R M um módulo e f 2 End(M). Mostre que: a) g : R[t]! End(M) é um mor smo de módulos, dado por p t 7! p f, onde p t := a 0 + a 1 t + + a n t n 2 R[t] e p f := a 0 id M +a 1 f + + a n f n. b) R[f] é um R-submódulo de End(M). c) g : R[t]! R[f], de nido por p t 7! p f é um mor smo de módulos. d) M é um R[f]-módulo, se de nirmos a operação binária externa por: (p f ; x) 7! p f x := p f (x). e) M é um R[t]-módulo se de nirmos a operação binária externa para todo o x 2 M, por p t x 7! p f x. 32

3.4. Módulos quociente. Teoremas de isomor smos 3.4.1) Sejam R M um módulo cíclico gerado por x (i.e., R M = R hxi = Rx) e a relação x : R! Rx de nida por x () := x. Mostre que: a) x é um mor smo sobrejectivo. b) s : R! R Ker( x ) c) R Ker( x ) = Rx. é um mor smo sobrejectivo. d) De ne-se o anulador do elemento x de R M por Ann(fxg) := Ker( x ) e tem-se o isomor smo Rx =. Mais geralmente, sendo A M de ne-se R Ann(fxg) Ann M (A) := Ker() = f 2 R : A = fo M gg, sendo : R! R M de nido por (x) := x. e) Se F é um corpo e M um F-módulo cíclico não-nulo, então F M = F. 3.4.2) Sejam R M; R M 0 ; R N; R N 0 módulos, f : M! M 0, g : N! N 0 e fg : MN! M 0 N 0 mor smos. Mostre que: a) f g é um mor smo. b) Ker(f g) = Ker(f) Ker(g). c) Im(f g) = Im(f) Im(g). d) f g é um mor smo injectivo se, e só se, f e g são mor smos injectivos. e) f g é um mor smo sobrejectivo se, e só se, f e g são mor smos sobrejectivos. f) f g é um bimor smo se, e só se, f e g são bimor smos. g) f g é um isomor smos se, e só se, f e g são isomor smos. h) MN Ker(fg) = M Ker(f) N. Ker(g) 3.4.3) Sejam R um domínio e x 2 R 6=0. Mostre que: a) existe uma cadeia descendente Rx n+1 Rx n Rx 2 Rx R de submódulos do módulo R R. b) para cada n 2 N se tem R Rx = Rxn Rx n+1. 33

Referências bibliográficas [1] A. Monteiro e I. Matos. Álgebra - Um primeiro curso. Livraria Escolar Editora, 1995. [2] J. Durbin. Modern Algebra, An Introduction. John Wiley, 1992. [3] W. Adkins and S. Weintraub. Algebra, An Approach via Module Theory. Springer- Verlag, 1992. [4] S. Lang. Undergraduate Algebra. Springer-Verlag, 1990. [5] N. Jacobson. Basic Algebra I. W. H. Freeman, 1985. [6] M. Sobral. Álgebra. Universidade Aberta, 1996. [7] P. Cameron. Introduction to Algebra. Oxford University Press, 1998. [8] T. Hungerford. Algebra. Springer-Verlag, 1974. [9] C. Gardiner. Algebraic Structures. Ellis Horwood, 1986. [10] A. Kostrikin. Exercises in Algebra: A collection of exercises in Algebra, Linear Algebra and Geometry. Gordon and Breach Publishers, 1996. [11] F. Ayres. Álgebra Moderna (Colecção Schaum). McGraw-Hill, 1965. 34