TRIGONOMETRIA 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Uma escada está apoiada em um muro de 2 m de altura, formando um ângulo de 45º. Forma-se, portanto, um triângulo retângulo isósceles. Qual é o comprimento da escada?
2m 45 x 2m 45 2 1 Resposta: O comprimento aproximado da escada é de 2,83 m
2m x A questão também poderia ser respondida através da aplicação do Teorema de Pitágoras. 2m Resposta: O comprimento aproximado da escada é de 2,83 m
2) Usando os triângulos retângulos a seguir, determine as razões trigonométricas para o ângulo x. 3) No exercício anterior, o que podemos concluir sobre o ângulo x? Quanto mede esse ângulo?
2) 3) O ângulo mede 45
4) Observe a figura a seguir e determine a altura h do edifício, sabendo que AB mede 25m e cos ϴ= 0,6.
Hipotenus a ϴ No caso, precisamos calcular a medida do cateto oposto ao ângulo ϴ, conhecendo a medida da hipotenusa, ou seja, o ideal seria Para ângulos agudos, termos o valor de sen ϴ e, para isso, as razões aplicaremos a Relação Fundamental da trigonométricas são Trigonometria: positivas e, portanto, não há necessidade de usar Cateto ± Oposto ao ângulo ϴ h O problema informa o valor de cos ϴ, mas para utilizar a razão trigonométrica cosseno, deveríamos relacionar a medida do cateto adjacente ao ângulo ϴ com a medida da hipotenusa. A partir daí, o cálculo da altura tornase bastante simples: Resposta: A altura do prédio é de 20 m
5) Em certa hora do dia, os raios do Sol incidem sobre um local plano com uma inclinação de 60 em relação à horizontal. Nesse momento, o comprimento da sombra de uma construção de 6m de altura será aproximadamente igual a: a) 10,2 m b) 8,5 m c) 5,9 m d) 4,2 m e) 3,4 m
Os raios do Sol incidem sobre um local plano com uma inclinação de 60 em relação à horizontal. Calcular o comprimento 6m da sombra de uma construção de 6m de altura. Cateto oposto ao ângulo de 60 Conhecemos a medida do cateto oposto ao ângulo de 60 e desejamos calcular a medida do cateto adjacente a esse mesmo ângulo. x A melhor escolha é trabalhar com a tangente de 60! x 60 2 Cateto adjacente ao ângulo de 60 1 Resposta: Opção E
6) A figura representa um barco atravessando um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A forte correnteza arrasta o barco em direção ao ponto C, segundo um ângulo de 60º. Sendo a largura do rio de 120 m, a distância percorrida pelo barco até o ponto C, é: a) 240 m b) 240 m c) 80 m d) 80 m e) 40 m
B C 120m x Cateto adjacente ao ângulo de 60 A Hipotenusa Conhecemos a medida do cateto adjacente ao ângulo de 60 e desejamos calcular a medida da hipotenusa do triângulo ABC. Dessa vez é melhor escolher trabalhar com o cosseno de 60! Resposta: Opção C
7) Para permitir o aceso a um monumento que está em um pedestal de 2m de altura, vai ser construída uma rampa com inclinação de 30 com o solo, conforme a ilustração. O comprimento da rampa será igual a: a) /2 m b) m c) 2 m d) 4 m e) 4 m
Hipotenusa x 2m Cateto oposto ao ângulo de 30 30 Conhecemos a medida do cateto oposto ao ângulo de 30 e desejamos calcular a medida da hipotenusa do triângulo esboçado acima. Sem dúvida é um caso para aplicar o seno de 30! Resposta: Opção D
8) Um observador, no ponto O da figura, vê um prédio segundo um ângulo de 75. Se esse observador está situado a uma distância de 12m do prédio e a 12m de altura do plano horizontal que passa pelo pé do prédio, então qual é a altura do prédio, em metros?
C x 12 B 12 A 45 30 75 45 O O triângulo AOB é isósceles e, portanto, o ângulo AÔB é igual ao ângulo OÂB Vamos trabalhar então no triângulo retângulo BÔC onde Ô = 30. O ângulo AÔC, que mede 75 ficou dividido em duas partes: m(aôb) = 45 m(bôc) = 30 Desejamos calcular a medida do cateto oposto a esse ângulo e conhecemos a medida de seu cateto adjacente. Sendo o triângulo AOB isósceles e retângulo, temos  = Ô = 45 Um caso claro de utilização da tangente! 1 4 Finalmente, a altura total do prédio é a medida do segmento AC, ou seja: Resposta: A altura aproximada do prédio é 18,93 m
9) Determine a área do triângulo abaixo de base igual a 6 cm:
O triângulo AHB é retângulo e tem um ângulo medindo 45, logo é isósceles com AH = BH c A 75 h b No triângulo ABC, se  = ^ 75 e B = 45, como ^ ^  + B + C = 180, ^ então C = 60 B 45 h H 6 h 60 C a = 6 Sabendo que BH= h, como BC = 6, podemos escrever que HC = 6 h
A h b H 6 h 60 C 3 1
10) Um turista vê o topo de uma torre construída em um terreno plano, sob um ângulo de 30. Aproximando-se da torre mais 374 m, passa a vê-la sob um ângulo de 60. Considerando que a base da torre está no mesmo nível do olho do turista, calcule a altura da torre. (Você imagina por onde anda esse turista?)
T 30 30 60 h 30 60 A 374m B C BCT é retângulo em C com CBT = 60 CTB = 30 ACT é retângulo em C com CÂT = 30 CTA = 60 ^ ^ ^ Sendo CTA = 60 e CTB = 30 BTA = 30 e ABT é isósceles com AB = BT = 374 m Aplicando agora o seno de 60 no BCT, temos: ^ ^ ^
30 30 T h 30 60 A 374m B C 1 187 Resposta: 324 m de altura, e só pode ser a Torre Eiffel...
Professora Telma Castro Silva ISERJ 2012