PROGRAMA DO CURSO USO DO SOFTWARE GEOGEBRA COMO AUXÍLIO NA CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES Público alvo: Acadêmicos do curso de Engenharia da UTFPR Campus Ponta Grossa. Carga horária: o curso será ofertado em duas turmas com duração total de 6:00h. Número de encontros: Turma 1 Datas: 11/04; 13/04; 15/04 Horário: 08:20h às 10:00h; 08:20h às 10:00h; 13:50h às 15:30h Turma 2 Data: 11/04; 13/04; 14/04 Horário: 10:20h às 12:00h; 10:20h às 12:00h; 10:20h às 12:00h Justificativa: Tendo em vista a dificuldade dos alunos de Engenharia Mecânica e Eletrônica em interpretações gráficas das funções matemática na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II, o presente Curso visa trazer contribuições para essa aprendizagem. 1. O que é o GeoGebra? O GeoGebra é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido por Markus Hohenwarter. Criado principalmente para o ensino e aprendizagem da matemática no ensino básico, o GeoGebra também é utilizado no ensino superior para o estudo de cálculo, álgebra e geometria (INSTITUTO SÃO PAULO). De acordo com Rezende, Pesco e Bortolossi (2012, p. 78) apud Borba Silva e Gadanidis (2014, p. 48) No GeoGebra, pontos podem ser criados sobre gráficos de funções de modo que, ao movê-los, eles continuem sempre sobre o gráfico da função. Os valores das coordenadas desses pontos podem ser então recuperados e usados em cálculos ou na criação de outros elementos geométricos (pontos, segmentos e retas). Esse tipo de recurso permite ao usuário estudar (graficamente, algebricamente e numericamente) como, por exemplo, características locais da função (taxas de variação média instantânea) mudam de acordo com a posição do ponto sobre o gráfico da função. Por meio de atividades com o GeoGebra a visualização e a verificação dos gráficos é propiciada. Dessa forma, compreende-se que o trabalho com os conteúdos da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II pode trazer melhores benefícios ao processo de ensino e aprendizagem dos estudantes. 2. Download do software Para obter o programa basta acessar o seguinte site e efetuar o download gratuitamente: http://www.geogebra.org/ 3. Materiais de apoio Nos links selecionados a seguir há vídeos e textos de apoio sobre o software GeoGebra: http://www.geogebra.org/ 1
https://tube.geogebra.org/?lang=pt_br https://www.youtube.com/watch?v=9-orpbr1txo&list=pl8884f539cf7c4de3 http://www.geogebra.im-uff.mat.br/ 4. Principais comandos para operações aritméticas no GeoGebra QUADRO 1: Comandos GeoGebra Operação Introduzir Soma + Diferença - Multiplicação, Produto escalar * Divisão / Potenciação ^ Fatorial! Função gama Gamma () Parêntesis ( ) Coordenada x x ( ) Coordenada y y( ) Valor absoluto abs( ) Sinal sign( ) Raiz quadrada sqrt( ) Função exponencial exp( ) Logaritmo natural log ( ) Seno sin( ) Co-seno cos ( ) Tangente tan( ) Arco-coseno acos( ) Arco-seno asen( ) Arco tangente atan( ) Co-seno hiperbólico cosh ( ) Seno hiperbólico sinh( ) Arco coseno hiperbólico acosh( ) Arco seno hiperbólico asinh( ) Arco tangente hiperbólico atanh( ) Maior número interior menor ou igual a floor ( ) Arredondamento Round( ) Menor número inteiro maior ou igual a ceil( ) Maior ou igual >= Menor ou igual <= 2
Objetivo geral: Capacitar os alunos a trabalharem com as ferramentas de plotagem no Geogebra. Objetivos específicos: Apresentar o software Geogebra, seus principais recursos e aplicações; Habilitar os alunos na plotagem de gráficos de funções (em 2 ou 3 dimensões), inequações e domínios de funções no Geogebra; Facilitar a compreensão gráfica de cônicas e quádricas; Expor aos alunos como calcular limites, derivadas e integrais (definidas e indefinidas) no Geogebra. Conteúdo: Plotagem no GeoGebra de gráficos de funções; inequações e domínios de funções; limites; derivadas, integrais, cônicas e quádricas. Desenvolvimento: Aula 01: Apresentação do software e sua aplicação em Funções e Introdução a cônicas Apresentar o software, os materiais de apoio e os principais comandos para a plotagem dos gráficos. Curiosidade outras funções do GeoGebra; Demonstrar no software a plotagem de funções; Revisitar conceitos de cônicas. Apresentação: Exemplos: Plotar as funções abaixo no GeoGebra. O que você pode observar? a) a(x) = x 4; b) b(x) = x² 8x + 18; c) c(x) = x³ 1; d) d(x) = 2x 4 + 2; e) e(x) = e x ; f) f(x) = sen(x); g) d(x) = cos (ln(x)). Aplicação: abra o software e digite no campo de entrada a função f(x) = sen(x), como está ilustrado na Figura 01. 3
Fonte: Software GeoGebra Figura 01: Campo de Entrada - arquivo pessoal Após digitar a função no campo de entrada pressione a tecla Enter e imediatamente o software plotará o gráfico da função na janela de visualização. Introdução Cônicas: Identificação da Parábola: i) Uma equação do tipo Ax²+By=0, representa uma parábola com vértice na origem e eixo de simetria coincidente ao eixo da ordenada y. ii) Analogamente uma equação do tipo Ay²+bx=0, representa uma parábola na origem e com eixo de simetria sobre o eixo da abscissa. Exemplos: Plotar as funções abaixo no GeoGebra. a) y²=-8x (y²+8x=0) b) x²=3/2y (2x²-3y=0). Aplicação: No campo de entrada digita a função da alínea a, depois a função da alínea b, como indicado na Figura 01. Solução: a) as coordenadas do foco sendo x o eixo de simetria, então F=(P/2,0). A equação y²=-8x é da forma y²=2px. Comparando os coeficientes do 2º membro temos: 2p=-8 donde p=-2, logo F=(-2,0). Sendo sua reta diretriz dado por x-2=0 como ficará o gráfico? Digitar em entrada a equação, aperta Enter, sobre a equação na janela de álgebra clique com lado direito do mouse e selecione o item equação. Identificação da elipse: 4
Uma equação do tipo Ax²+By²=F representa uma elipse com centro na origem e eixos paralelos aos eixos cartesianos se: -A e B concordam em sinal; -A diferente de B; Obs.: Podendo ser: a) Real: se A, B e F concordam em sinal, Ex.: 2x²+3y²=1. b) Imaginária (não há lugar geométrico): se F tem sinal contrário ao de A e B. Ex.: 2x²+3y²=-1. c) Puntiforme (a elipse se reduz a um ponto em O): se F=0. Ex.:2x²+3y²=0 i) Elipse cujo eixo maior coincide com o eixo das abscissas: x² + y² a² b² = 1 onde a > b. ii) Elipse cujo eixo maior coincide com o eixo das ordenadas: x² + y² = 1 onde b > a. b² a² Exemplos: 1) Dada a equação da elipse 16x²+9y²=144, pede-se a equação canônica usando o software GeoGebra. Aplicação: digitar em entrada a equação, aperta Enter, sobre a equação na janela de álgebra clique com lado direito do mouse e selecione equação (x-m)²/a²+(y-n)²/b²-1 Figura 02. Fonte: Software GeoGebra Figura 02: equação geral - arquivo pessoal 2) A excentricidade: da equação canônica a²=16 e b²=9, logo temos a=4 e b=3; Ademais c²=a²-b² assim, c=sqrt(7) 5
Exercícios: 1) Plotar as seguintes funções no software GeoGebra: a) f(x) = x 2 b) g(x) = x c) h(x) = sen(x) cos(3x) d) i(x) = senh(x) e) j(x) = e x2 f) k(x) = x ln x g) l(x) = log x 3 h) m(x) = cotg(x) i) n(x) = x 3 j) o(x) = x 2) Explore as ferramentas bidimensionais oferecidas pelo software :malha, cor do gráfico, espessura da linha, controle deslizante, etc. 3) Obter as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola 7y²+3x=0. Fazer o gráfico utilizando o software. 4) Dada elipse de equação x² + 0.64y² = 16, obtenha através do software a sua respectiva equação canônica. Aula 2: Continuação cônicas exercícios, revisitar conceitos de Inequações e Domínio de Funções Identificação da Hipérbole: A hipérbole é uma curva com dois ramos e o valor absoluto pode ser desconsiderado desde que adotemos a diferença entre a maior e a menor distância a) O eixo real coincide com o eixo x: x² a² y² b² = 1 b) O eixo real coincide com o eixo y: y² a² x² b² = 1 Exemplos: 1) Dada equação da hipérbole 16x²-25y²=400, através do software obtenha sua equação canônica. Aplicação análogo a resolução das cônicas anteriores. 2) Sua excentricidade. Da equação canônica temos; a=5 e b=4, ainda c²=a²+b² donde c=sqrt(41). Portanto sua excentricidade= c/a, ou seja ξ=sqrt(41)/5 Inequação: 6
Exemplo: plotar a inequação 3 + 2x > 5 no GeoGebra. Aplicação: digite a inequação no campo de entrada conforme a Figura 03. Em seguida pressione a tecla Enter para ser plotada na janela de visualização. Fonte: Software GeoGebra Figura 03: Inequação - arquivo pessoal Domínio de funções Exemplo: plotar o domínio da função f(x, y) = no GeoGebra. x 2 y2 Aplicação: analisando a função conclui-se que seu domínio é: x 2 y 2 > 0 Logo, para se plotar o domínio da função no GeoGebra, basta utilizar do método da plotagem de inequações visto anteriormente. Exercício: 1) Determinar a equação canônica da hipérbole cuja equação é dado por 9x²- 16y²=144. 2) Determinar a equação geral da hipérbole cuja equação é dado por x² 4 y² 16 = 1. 3) Plotar as seguintes inequações no software GeoGebra. a) 5 + 3x < 11 b) 5 < 2x + 7 < 13 c) x 2 x > 0 e y 2 > 0 d) x 3 5x + 9 > 0 e y 9 5x > 10 4) Plotar o domínio das seguintes funções no GeoGebra. a) p(x, y) = 4 x2 y 2 y b) q(x, y) = y x + 1 y c) r(x, y) = sen(x) y d) s(x, y) = tg(x)cos (y) e) t(x, y) = x+y+1 x 1 f) u(x, y) = ln(x 2 y) g) v(x, y) = x 2 log(xy) + 25 x 2 y 2 5) Dada as equações abaixo, identifique o tipo de cônica e sua equação canônica através do software. a) 9y² 25x² 90y 50x = 25 b) x² y² 8x + 4y + 11 = 0 c) 4x² + 9y² 8x 36y + 4 = 0 xy 7
d) 4x² + 9y² 24x + 18y + 9 e) y² + 4y + 16x 44 = 0 Introdução: Aula 3: Funções em R³ e Introdução de quádricas Exemplo: plotar a função f(x, y) = x no GeoGebra. y Aplicação: Primeiramente clique na seta da barra vertical que está no canto direito da janela de visualização, na qual abrirá uma janela em que deve ser selecionado o item Janela 3D. Como ilustrado na Figura 04. Fonte: Software GeoGebra Figura 04: Janela para visualização 3D - arquivo pessoal Após ter clicado em Janela 3D aparecerá na janela de visualização três eixos. Em seguida digite no campo de entrada a função e pressione a tecla Enter. A plotagem poderá ser visualizada. Exemplo: Plotar a função h(x,y), onda(x,y) e j(x,y) no GeoGebra. a. h(x, y) = x 2 log(xy) + 25 x 2 y 2 ; b. onda(x, y) = cos(x) + e y ; c. j(x, y) = 2 + x 2 + 1 4 y Quádricas Uma quádrica ou superfície quádrica é o conjunto dos pontos do espaço tridimensional, cujas coordenadas cartesianas verificam uma equação do 2º Grau a, no máximo 3 variáveis. Ax²+By²+Cz²+Dxy+Eyx+Fxz+Gz+Hy+Iz+J=0 8
Exemplos de Quádricas: Esferas, paraboloides, elipsoides, hiperboloides, cilindros (do 2º Grau), cones (do 2º grau) são as superfícies mais conhecidas. a) x 2 + y 2 = z² b) x² + y² + z² 4x 6y 10z + 13 = 0 ; c) (x²/9) + (y²/25) + (z²/16) = 2; d) xy + yz + xz 2x + 2 = 0; e) x² + y² z = 4; f) x² + 2y² y + z 3xy + xz yz = 0; g) x² + y² + z² 3xy 2xz 2yz = 0; h) x³ z³ + 3xz² 3x²z z y = 0; i) x² 25 = 0; j) x² + y² + z² 4x y + 2z + 10 = 0; k) x² + y² + z² + 3 = 0. Interceptação de planos em superfícies quádricas: A intersecção das superfícies quádricas com planos, geram no plano uma imagem em duas dimensões, que pode ou não representar uma cônica. 1) Trace os planos coordenados com cada superfície utilizando o GeoGebra, o que pode observar? x 2 a) { = 1 b 2 ; z = 0 x 2 b) { z2 = 1 a 2 c 2 ; y = 0 y 2 c) { + z2 = 1 b 2 c 2. x = 0 a 2 + y2 Exercício: 1) Plotar as seguintes funções no GeoGebra: a. x(x, y) = x 2 + y 2 b. w(x, y) = x 2 y 2 c. y(x, y) = 5 + y 3 d. z(x, y) = 9 x 2 y 2 e. a(x, y) = 3x2 y x 2 +y 2 f. b(x, y) = x 2 + y 2 g. c(x, y) = e x2 y 2 (x 2 + 3y 2 ) h. d(x, y) = 4 x2 y 2 y i. e(x, y) = y x + 1 y j. f(x, y) = x+y+1 x 1 k. g(x, y) = ln(x 2 y) 9
2) Identifique as quádricas e não quádricas abaixo, utilizando o software. a) 3x + 4y 5z + 2 = 0; b) x² + 2xy + 3yz + x 2 = 0; c) z 2 = 0; d) x 3 + y 3 + z 3 3xyz 8; e) z² + x y + 3 = 0; f) (x 2)(x 5) = 0; g) x² + y² + 2z² 25 = 0. 3) Determine quais das sentenças é (v) verdadeira ou f (falsas). a) A superfície quádrica x²+2y²+3z²-2x-4z+2=0 é simétrica ao plano xz; b) A superfície x³+y-3z=0 não é simétrica em relação a origem; c) A superfície quádrica x²+y²+z²-4x=0 passa pela origem, é simétrica em relação aos planos xz e xy e em relação ao eixo x; d) A superfície quádrica 2x²+3y²-2z²-4=0 não passa pela origem e é simétrica em relação aos eixos e planos coordenados e em relação à origem; e) A equação x²-y²=2 representa no R³ uma hipérbole; f) A superfície quádrica y²+z²=2x é simétrica em relação aos planos xz e xy, em relação ao eixo x e não passa pela origem. Vamos refletir: Usando o software verifique se os pontos A=(1,1,0) e B(1,1,3) pertencem à superfície quádrica S:x²+y²+z²-2x+3y-z-3=0? Resp.: A pertence; B não pertence. REFERÊNCIAS: BORBA, Marcelo de Carvalho; SILVA, Ricardo Scucuglia R. da; GADANIDIS, George. Frases das tecnologias digitais em educação matemática: sala de aula em movimento. Belo Horizonte: Aitêntica Editora, 2014. DOS SANTOS, N. M. Vetores e Matrizes. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editôra LTDA, 1972. INSTITUTO SÃO PAULO. Possibilidades que se apresentam no software GeoGebra. Disponível em: <http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html>. Acesso em 03 nov. 2015. VENTURI, J. J. Cônicas e Quádricas 5ª ed. Curitiba: Copyrigth by Jacir J. Venturi, 2003. 10