Retas: Paralelas, Perpendiculares, Inequações de retas, Sistema de inequações de retas, Distância entre ponto e reta e Distância entre duas retas paralelas. 1. (Insper 014) No plano cartesiano da figura, feito fora de escala, o eixo x representa uma estrada já existente, os pontos A(8, ) e B(3, 6) representam duas cidades e a reta r, de inclinação 45, representa uma estrada que será construída. Para que as distâncias da cidade A e da cidade B até a nova estrada sejam iguais, o ponto C, onde a nova estrada intercepta a existente, deverá ter coordenadas 1 a), 0. b) 1, 0. 3 c), 0. d), 0. 5 e), 0.. (Espm 013) Seja A = (4, ) um ponto do plano cartesiano e sejam B e C os simétricos de A em relação aos eixos coordenados. A equação da reta que passa por A e é perpendicular à reta que passa por B e C é: a) x y = 6 b) x y = 0 c) x y = d) x + y = 8 e) x + y = 6 www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 10
3. (Unioeste 013) Os valores de k para que as retas x + ky = 3 e x + y = 1 sejam paralelas e perpendiculares entre si, respectivamente, são 3 a) e 1. b) 1 e 1. c) 1 e 1. d) e. e) e. 4. (Fgvrj 01) A distância entre duas retas paralelas é o comprimento do segmento de perpendicular às retas que tem uma extremidade em uma reta e a outra extremidade na outra reta. No plano cartesiano, a distância entre as retas de equações 3x 4y 0 e 3x 4y 10 0 é: a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) e),5 5. (Mackenzie 01) Na figura, as retas r e s são paralelas. Se (x,y) é um ponto de s, então x y vale a) b) c) 4 d) e) 4 6. (G1 - ifal 01) As retas r e s, das equações, respectivamente, x y + 5 = 0 e x + y = 5 a) são perpendiculares. b) são paralelas. c) formam, entre si, um ângulo de 30º. d) formam, entre si, um ângulo de 45º. e) formam, entre si, um ângulo de 60º. 7. (Fgv 01) Considere a região do plano cartesiano cujos pontos satisfazem simultaneamente as inequações: x y 6 x y 4 x 0 y 0 A área dessa região é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 www.nsaulasparticulares.com.br Página de 10
8. (Ufsj 01) Dados o ponto P(-1, ) e as retas r: x 5y + 7 = 0 e s: x + y + 7 = 0, é CORRETO afirmar que 7 a) o ponto de interseção das duas retas tem coordenadas,0. b) o ponto P pertence à reta r. c) as retas r e s são paralelas. d) as retas r e s não têm ponto comum. 9. (Ucpel 011) As retas x + 3y = 1 e 6x ky = 1 são perpendiculares. Então, k vale a) b) 1 c) 3 d) 4 e) 5 10. (Ufu 009) Se r e s são as retas perpendiculares, conforme esboçadas a seguir, determine a ordenada do ponto P, que é a interseção de r e s. 11. (Ufc 008) Dada a reta r : y = x do plano cartesiano xy, determine a equação da reta s, a qual é paralela à r, e está, de r, a uma distância igual a 1 e não intercepta o quarto quadrante do plano cartesiano. 1. (G1 - cftmg 008) As retas (r) x - 3y + 6 = 0 e (s) x + 3y - 15 = 0 estão representadas, graficamente, a seguir. Se P é o ponto de interseção entre (r) e (s), então a distância de P à origem é a) 3 b) 3 3 c) 5 d) 4 3 www.nsaulasparticulares.com.br Página 3 de 10
13. (Pucrs 008) Duas retas "r" e "s" têm equações y = x - 1 e y = ax + b, respectivamente. Se o ponto de intersecção dessas retas está sobre o eixo das ordenadas e elas são perpendiculares, então a equação da reta "s" é a) y = 1 - x b) y = x + 1 c) y x 1 d) y x 1 e) y 1 x 14. (Uel 007) Os pontos A = (6, ), B = (-, 6) e C = (, 6) são representados no plano cartesiano no qual O é a origem. Considere as afirmativas a seguir: I. Os segmentos de reta OA e OB são perpendiculares. II. O cosseno do ângulo entre os segmentos de reta OB e OC é 1 5. III. O ponto médio do segmento de reta AB é (4, -). IV. O ponto P = (3-3, 1 + 3 3 ) é equidistante dos pontos O e A. A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é: a) I e II b) II e III c) I e IV d) III e IV e) II, III e IV 15. (Fgv 006) A área da região triangular limitada pelo sistema de inequações 3x 5y 15 0 x 5y 10 0 x 0 a),5 b) 7,5 c) 5 d) 1,5 e) 3 www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 10
16. (Ufsm 006) Supondo agora que o percurso feito por você e o Sr. Jones é descrito pela reta r, cuja equação é x - 3y + 5 = 0, então, a equação da reta perpendicular a r e que passa pelo ponto P(5, 10), é a) 3x + y - 35 = 0 b) x + 3y - 5 = 0 c) x + 3y + 35 = 0 d) x - 3y + 5 = 0 e) 3x - y + 35 = 0 17. (G1 - cftmg 005) As retas x + ky = 3 e x - y = - 5 são paralelas; logo o valor de k é a) - b) -1/ c) 1/ d) 18. (Ufrrj 004) Sabendo que as retas mx + (m - )y = m e (m + 3)x + (m + 5)y = m + 1 são paralelas, o valor de m será: a) 1/. b) - 1/. c) 3/. d) - 3/. e) 5/. 19. (Ufv 004) Na figura a seguir, estão numeradas as regiões determinadas pelas inequações de 1 0. grau: x - 5y + 11 < 0, 4x + 3y - > 0 e 5x - y - 14 < 0. As coordenadas dos pontos (x, y) que verificam, simultaneamente, as inequações, pertencem à região: a) 4 b) c) 3 d) 1 e) 5 www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 10
0. (Fgv 003) A região do plano cartesiano determinada pelas inequações x + y 5 y 3 x 0 y 0 tem uma área A. O valor de A é: a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 1 1. (Mackenzie 001) Na figura, a distância entre as retas paralelas r e s é ponto de s é: a) (17, -15) b) (-8, 6) c) (7, -3) d) (-9, 5) e) (3, 1) e o triângulo OAB é isósceles. Um. (Puccamp 000) São dadas as retas r, s e t, de equações x - y + 1 = 0, x - 4y + 3 = 0 e x + y - 3 = 0, respectivamente. É correto afirmar que a) r, s e t concorrem em um único ponto. b) r e t são concorrentes e r é coincidente com s. c) r, s e t são duas a duas, paralelas entre si. d) r é paralela a s e s é perpendicular a t. e) r é paralela a t e s é perpendicular a r. www.nsaulasparticulares.com.br Página 6 de 10
Gabarito: Resposta da questão 1: [C] Seja M o ponto médio do segmento de reta AB. Se da, r db, r d, então M pertence à reta r. Logo, 8 3 6 11 M,, 4 e, portanto, a equação de r é 11 3 y 4 tg45 x y x. Em consequência, tomando y 0, segue-se que Resposta da questão : 3 C, 0. Temos B (4, ) e C ( 4, ). Logo, o coeficiente angular da reta que passa por B e C é ( ) 1. 4 4 A reta cuja equação queremos determinar passa por A e é perpendicular à reta que passa por B e C. Logo, sua equação é y (x 4) xy 6. Resposta da questão 3: [E] (r) x ky 3 mr k (s) x y 1 ms 1 Para que r seja paralela a s: mr ms 1 k k Para que r seja perpendicular a s: mr ms 1 ( 1) 1 k k Resposta da questão 4: [D] O ponto O (0,0) pertence à reta (r) 3x + 4y = 0, para calcular a distância entre as retas paralelas deve-se calcular a distância entre a origem e a reta (s) 3x + 4y + 10 = 0. 3 0 4 0 10 10 dr,s 3 4 5 www.nsaulasparticulares.com.br Página 7 de 10
Resposta da questão 5: [C] Seja A (, 0) o ponto de interseção da reta s com o eixo das abscissas. Como a distância de A até a reta r é igual e o ângulo que a reta r forma com o eixo das abscissas mede 45, segue que 4. Portanto, x y 0 4 0 4. Resposta da questão 6: Sejam m r e m s os coeficientes angulares das retas r e s, respectivamente. As retas r e s são perpendiculares, pois m r =, m r = -1/ e m r.m s = -1. Resposta da questão 7: [B] x6 x y 6 y x y 4 y x 4 x 0 y 0 Localizando a região no plano e determinando o ponto P x6 y y x 4 logo P (,) Calculando a área A assinalada, temos: A = A 1 + A + A 3 1 A A = 7. www.nsaulasparticulares.com.br Página 8 de 10
Interbits Resposta da questão 8: Verdadeira Resolvendo o sistema [B] Falsa Pois.( 1) 5.() 7 0. [C] e [D] Falsas Pois elas se intersectam em Resposta da questão 9: [D] ( r ) x 3y 1 mr 3 6 ( s ) 6x ky 1 ms k x 5y 7 0 x y 7 0, temos: 7 x e y 0. 7,0. m r. m s 1 6 1 3 k 1 3k k 4 Resposta da questão 10: Sejam H e A, respectivamente, o pé da perpendicular baixada do ponto P sobre o eixo x e o ponto de intersecção da reta s com o eixo das abscissas. Como r s e o ângulo que r forma com o eixo das abscissas mede 60, segue que PAH ˆ 90 60 30. Se y P é a ordenada do ponto P, então PH 3 tg30 y P (3 3 3). HA 3 Resposta da questão 11: s : y = x + 5 www.nsaulasparticulares.com.br Página 9 de 10
Resposta da questão 1: [B] Resposta da questão 13: [C] Se r s, então a 1. Logo, x 0 y b 1 ( s) : y 1 x 1. Resposta da questão 14: [C] Resposta da questão 15: Resposta da questão 16: Resposta da questão 17: [B] Resposta da questão 18: [D] Resposta da questão 19: [B] Resposta da questão 0: [B] Resposta da questão 1: Resposta da questão : [D] www.nsaulasparticulares.com.br Página 10 de 10