MTEMÁTIC TRIGONOMETRI. TRIÂNGULO RETÂNGULO.. Definição Define-se como triângulo retângulo a qualquer triângulo que possua um de seus ângulos internos reto (medida de 90º). Representação e Elementos Catetos: lados e C. Hipotenusa: lado C (oposto ao ângulo reto).. RELÇÕES TRIGONOMÉTRICS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO C medida do cateto oposto a C C C = = =... = medida do cateto adjacente a III) n n n essa medida é denominada de tangente de e indicada por tg... Demais Razões sec = cos, com cos 0, a secante de representa o inverso multiplicativo do cosseno de, desde que o mesmo seja diferente de zero. cot g = tg, com tg 0, a cotangente de representa o inverso multiplicativo da tangente de, desde que a mesma seja diferente de zero. cos sec = sen, com sen 0, a cossecante de representa o inverso multiplicativo do seno de, desde que o mesmo seja diferente de zero... Conseqüências da Definição, c C n C C C c a C b Observe que os triângulos ( C, C,..., ncn ) são todos semelhantes entre si, critério r. Logo, as razões envolvendo seus elementos correspondentes é constante... Razões usadas com maior freqüência medida do cateto oposto a C C C = = = =, medida da hipotenusa C C C n n I)... n n essa razão é denominada seno de e indicada por sen. II) medida do cateto adjacente a medida da hipotenusa C C C = = = n... =, n essa razão é denominada cosseno de e indicada por cos. que: Relações: a sen = = cos (I) c b cos = = sen (II) c a tg = = (III) b tg Conclui-se, a partir das relações (I), (II) e (III), Sen = Cos( 90º ), o seno de um ângulo agudo é igual ao Cosseno de seu complemento. Tg =, a tangente de um ângulo tg( 90º ) agudo é igual ao inverso multiplicativo da tangente de seu complemento. Editora Eato 8
.. Relações Fundamentais a sen = c + = b cos = c ( I) sen cos c a b a sen = c b cos = tg = c a tg = b b c = + (Teorema de Pitágoras). sen cos. C a, lembre-se que Dividindo a relação (I) por sen, temos: cotg cos sec + =. Dividindo a relação (I) pois cos, temos: + tg = sec..5. Ângulos Notáveis Trabalhando com o triângulo eqüilátero e o triângulo isósceles retângulo, conseguimos calcular os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos a- baio. Esses ângulos são denominados ângulos notáveis. 0º 5º 0º Sen Cos Tg. ÂNGULO CENTRL Um ângulo é denominado de central quando possuir o vértice no centro da circunferência. medida de um ângulo central é igual à medida de seu arco correspondente. Ilustração:. UNIDDES DE MEDIDS DO ÂNGULO.. Unidade Grau Define-se como (um) grau, a medida do ângulo central cujo arco correspondente representa 0 partes da circunferência. Eemplo: E.) 0 0 0º centro Comprimento do arco indicado representa partes da circunferência, visto que o ângulo central correspondente é 0º... Unidade Radiano Define-se como radiano (unidade rad) a medida do ângulo central, cujo arco correspondente representa o mesmo comprimento do raio dessa circunferência. Eemplo: E.) rad centro O comprimento do arco é igual à medida do raio da circunferência. Conclui-se, pela definição acima, que o ângulo central em radiano representa a razão entre o comprimento de seu arco correspondente e a medida do raio. Observe a seguir. R 0 = Editora Eato 9
centro R P(,0) 0 sentido anti-horário (positivo) sentido horário (negativo) comp ( ) = R Eemplo: E.) Determine a medida do ângulo de uma volta em radiano. Resolução: O comprimento da circunferência de raio R é R. Logo, R = = rad. R E.) ilustração representa os arcos de 90º, 80º, 70º e 0º. Resolução: 5.. Elementos 80º λ 90º origem 0º 0º 70º de volta: 90 ou rad de volta: 70 ou rad de volta: 80 ou rad volta: 0 ou rad Considere o ciclo trigonométrico acima. Os eios cartesianos limitam a circunferência trigonométrica (λ) em quatro partes denominadas quadrantes e numeradas de a, no sentido anti-horário. º quadrante: arcos entre 0º e 90º, medidos a partir da origem. º quadrante: arcos entre 90º e 80º, medidos a partir da origem. º Quadrante: arcos entre 80º e 70º, medidos a partir da origem. º Quadrante: arcos entre 70º e 0º, medidos a partir da origem. Eemplos: E.) 5. CICLO TRIGONOMÉTRICO Define-se como ciclo trigonométrico a toda circunferência orientada, de raio unitário e centro no sistema de coordenadas cartesianas. Por convenção, o ponto P(,0) é a origem da orientação, o sentido positivo é o sentido anti-horário e negativo no sentido horário. Observe a representação. 80 90 70 0 0 p p p =,57 =, p=,8 =,7 Editora Eato 0
5 7 7 5 5 5 5 5 7 0 0 7 0 80 a 7. PRIMEIR DETERMINÇÃO POSITIV Um arco θ é chamado de primeira determinação positiva ao arco, se satisfaz as condições abaio: I) θ é côngruo a. II) 0 rad θ < rad. Eemplo: E.) 0º é a primeira determinação positiva dos arcos 90º, pois, 90º = 0º + 0º. E.) Determine a primeira determinação positiva do ângulo 90º. Resolução 90 0º 0º 5 Número de voltas ª determinação positiva E.) Encontre a primeira determinação positiva do ângulo 70º. Resolução: 80 + a 0 a + 70º 0º 80º Número de voltas a em graus (0 < a < 90 ) ângulos correspondentes a a no ºQ, ºQ e ºQ. RCOS CÔNGRUOS a em radianos 0 < a < ângulos correspondentes a a no ºQ, ºQ e ºQ Como os arcos no ciclo trigonométrico possuem a mesma origem, então dois arcos no ciclo são côngruos quando a diferença entre suas medidas possui a forma k ( com k z ), ou seja, podemos epressar todos os arcos côngruos a, no ciclo, na forma + k (com k z ). De modo análogo, representamos os arcos côngruos ao ângulo, em graus, na forma + k0º (com k z ). Eemplo: E.) Os arcos 0º, 90º e 90º são congruentes ao arco de 0º, pois as diferenças 0 ( 0º ), 0º 90º e 90º 0º são múltiplas de 0º. E.) Os arcos 0º e 70º são côngruos ao arco 50º, pois 0º 50º.0º 70º = 50º +.0º. = e ª determinação positiva 8. DEFINIÇÃO DE SENO, COSSENO E TN- GENTE DE UM RCO Considere no ciclo trigonométrico um arco P de medida e uma reta t paralela ao eio das ordenadas, que passa pelo ponto, origem do ciclo. Observe a figura. 0 P t Define-se como seno do arco P (indicado por sen) a medida algébrica do segmento OP, em que P é a projeção ortogonal do Editora Eato
ponto P no eio vertical. O eio vertical será chamado de eio dos senos. Define-se como cosseno do arco P (indicado por cos) a medida algébrica do segmento OP, em que P é a projeção ortogonal do P no eio horizontal. O eio horizontal será chamado de eio dos cossenos. Define-se como tangente do arco P (indicado por tg) a medida algébrica do segmento T, em que T é o ponto de intersecção da reta suporte do raio OP com a reta t. O eio t será chamado de eio das tangentes. s definições acima podem ser ilustradas na figura a seguir. P 0 sen P P tg cos Sen = medida algébrica de OP. Cos = medida algébrica de OP. Tg = medida algébrica de T. Observação: Se a reta suporte de OP coincidir com a reta suporte do eio dos senos, não teremos o ponto T, suur pois OP // t. tangente de um arco só está definida se R e + k, com k Z. 9. FUNÇÃO SENO 9.. Definição Define-se como função seno a toda função f : R R que associa a cada D( f) um número { D( f) { CD( f) ( ) CD( f ) na forma: f ( ) = sen. f 9.. Gráfico y 0 - Período / / 9.. Propriedades Os valores máimo e mínimo da função seno são, respectivamente, iguais a e. função seno é positiva no º e º quadrante e negativa no º e º quadrante. função seno e periódica de período igual a. 0. FUNÇÃO COSSENO 0.. Definição Define-se como função cosseno a toda função f : R R que associa a cada D( f) um número { D( f) { CD( f) ( ) CD( f ) na forma: f ( ) = cos. f 0.. Gráfico y -/ 0 / - Período / 0.. Propriedades Os valores máimo e mínimo da função cosseno são, respectivamente, iguais a e. função cosseno é positiva no º e ºquadrante e negativa no º e º quadrante.. função cosseno é periódica de período igual a. Editora Eato
. FUNÇÃO TNGENTE.. Definição Define-se como função tangente a toda função f : + k,comk R Z} R que associa a cada D( f) { CD( f) X D( f ) um número f ( ) na forma: t ( ) = tg... Gráfico: y Período rco no º quadrante 90º M 80º 70º 0º 0º / O / / Quanto falta para 80º? Verifique o sinal da função. rco no º quadrante 90º.. Propriedade: tangente é positiva nos quadrantes º e º e negativa no º e º quadrante. O período da função tangente é. imagem da função tangente é o conjunto dos reais.. RELÇÕES FUNDMENTIS E UXI- LIRES Se é um ângulo agudo num triângulo retângulo. De acordo com as definições das funções trigonométricas, podemos verificar que: F.) F.) F.) F.) F.5) sen = cos sen + cos = cos = sen sen tg = cos cos cot g = = tg sen sec = cos cossec = sen.) sec = + tg.) cossec = + cot g. REDUÇÃO O º QUDRNTE Reduzir um arco do ºQ, ºQ ou ºQ. ao ºQ é obter um novo arco, entre 0º e 90º (ºQ), que possui os mesmos valores para as funções trigonométricas que o arco dado ao mesmo sinal. 80º M 70º Quanto passa de 80º? Verifique o sinal da função. rco no º quadrante 80º 90º 70º Quanto falta para 0º? Verifique o sinal da função. M 0º 0º 0º 0º Editora Eato
[. RCOS COMPLEMENTRES Sejam e dois ângulos complementares ( + = 90º ) pertencentes ao º quadrante, então: Eemplos: sen0º = e cos 0º sen = cos =, portanto: sen0 = cos 0º em que 0º e 0º são arcos complementares. Observação: Utilizando as relações fundamentais e as funções inversas, concluímos que essa mesma relação é válida também para as demais funções trigonométricas. ssim: Se sen = cos + = 90º tg = cot g sec = cos sec 5. MENOR DETERMINÇÃO DE UM R- CO Um arco, cujo valor ultrapassa 0º, é representado, na circunferência trigonométrica, por um certo número de voltas múltiplo de 0º e outro número menor que 0º, que é a menor determinação deste arco. Veja, como eemplos, os arcos de 750º e 90º. 750º = 70º + 0º.0º ( voltas) M.D. (menor determinação) - Eventualmente, a menor determinação de um arco deve ser reduzida ao º quadrante.. SOM E DIFERENÇ DE RCOS Conhecendo os valores de senos, cossenos e tangentes dos ângulos notáveis, podemos calcular essas razões para alguns ângulos não notáveis. Veremos, então, algumas epressões que nos permitem encontrar o seno, o cosseno e a tangente de um arco, transformando-o em uma soma ou uma diferença de arcos. Dados dois arcos e, temos: sen ( + ) = sen. cos + sen. cos sen ( ) = sen. cos sen. cos cos ( + ) = cos. cos sen. sen cos ( ) = cos. cos + sen. sen tg ( + ) = tg ( ) tg + tg tg.tg tg tg = + tg.tg Condição de eistência da tangente:, + k rad. 7. RCO DUPLO Estas epressões nos permitem encontrar o seno, o cosseno e a tangente de arcos que medem o dobro de um arco dado. sen = sen. cos cos = cos sen tg = tg tg cos = cos ou cos = sen Observe como se calcula a menor determinação: 750º 0º 0º ( voltas) 90º = 0º + 0º. 0º ( volta) M.D. (menor determinação) Observação: - Os arcos de 90º e 750º são denominados arcos côngruos a 0º, porque suas menores determinações são iguais. - Se o arco for negativo e maior que 0º, procedemos da mesma forma e somamos a menor determinação (negativa) com 0º. Editora Eato
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Encontre, na figura abaio: EXERCÍCIOS (UFRS) Um barco parte de para atravessar o rio. direção de seu deslocamento forma um ângulo de 0º com a margem do rio. 8cm 0m 0º C 0º Resolução: Cateto oposto ao ângulo 0º= (hipotenusa) h=8cm (maior lado). co senθ = h sen0º = (vide tabela de valor do sen 0º) 8 = = 8 Encontre na figura abaio: Sendo a largura do rio 0m, a distância, em metros, percorrida pelo barco foi de: a) 0 b) 0 c) 5 d) 50 e) 0 (UFP) Num triângulo retângulo C tem-se  = 90, =5 e C=. Pede-se a tangente do ângulo. a) 5 b) 5 C 5m Resolução: X = cateto adjacente cos θ = (vide tabela cos0º) 5 = =,5 5 0º c) 5 5 d) e) 5 (P) Um arame de 8 metros de comprimento é esticado do nível do solo (suposto horizontal) ao topo de um poste vertical. Sabendo que o ângulo formado pelo arame com o solo é de 0º, calcule a altura do poste. a) 8m. b) m. c) 9m. d),5m. e) Nenhuma. Editora Eato 5
(UNISNTOS) Uma pessoa na margem de um rio vê, sob um ângulo de 0º, uma torre na margem oposta. Quando ela se afasta 0m, esse ângulo é de 0º. largura do rio é: a) 5m b) 0 m c) 0m d) 0 m e) Nenhuma. 5 Converta 5 em graus: a) 50º b) 0º c) 00º d) 70º e) 50º Converta 5º em radianos: a) rad 0 b) rad c) rad 5 d) rad e) rad 7 9 (UFP) Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 50 minutos? a) 9 b) 5 c) d) 0 e) 7 0 Simplifique a epressão a) sen b) c) sen.cos d) cos e) tg tg cos cot g sen y = (PUC) O valor numérico da epressão y = cos + sen + tg sec para = é: a) 0 d) b) e) c) 7 (IT) Transformando º em radianos, obtemos: a) rad 5 b) 5 rad c) 0 d) rad 5 e) rad 8 (PUC) Dê o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às horas e 5 minutos. a) 90º b) 85 c) 8º0 d) 80º e) º (FGV) Simplificando a epressão a) sec b) sen c) tg c) cos d) cos e) cotg cos sen cot g tg, obtemos: Reduza tg00º ao º quadrante: a) cotg 0º b) tg 0º c) tg0º d) cotg0º e) Nenhuma. Editora Eato
(UFP) menor determinação positiva de um arco de 000º é: a) 70º b) 80º c) 90º d) 00º e) 0º 5 O valor de sen70º é: a) sen0º b) tg0º c) sen0º d) cos0º e) cos0º cos sen + tg y = tg sen + cos Sendo a) b) c) / d) / e) / =, calcule o valor da epressão 7 (PUC) O valor de sen00º é igual a: a) cos0º b) sen0º c) cos0º d) sen0º e) cos5º. C C 5 7 8 C 9 0 D C 5 E C 7 C 8 GRITO 8 Sabendo que sen = e seny 5 =, com,y º quadrante. Determine o valor de cos( y) a) 5 5 b) 5 c) 5 5 5 d) 5 e) Nenhuma. : Editora Eato 7