GEOMETRIA ANALÍTICA II

Conteúdo 1 O PLANO 3 1.1 Equação Geral do Plano............................ 3 1.2 Determinação de um Plano........................... 7 1.3 Equação Paramétrica do Plano........................ 11 1.4 Ângulo de Dois Planos............................. 13 1.4.1 Planos Perpendiculares......................... 14 1.4.2 Plano Paralelos............................. 16 1.5 Paralelismo e Perpendicularismo entre Reta e Plano............. 17 1.6 Reta contida em Plano............................. 18 1.7 Interseção de Dois Plano............................ 19 1.8 Interseção de Reta com Plano......................... 20 2 DISTÂNCIAS 21 2.1 Distância entre dois pontos........................... 21 2.2 Distância de um Ponto a uma Reta...................... 21 2.3 Distância de Ponto a Plano.......................... 22 2.4 Distância entre Duas Retas.......................... 22 2.4.1 Retas Concorrentes........................... 22 2.4.2 Retas Paralelas............................. 23 3 COORDENADAS POLARES 24 3.1 Mudança de Coordenadas........................... 24 3.1.1 Mudança de Coordenadas Cartesianas para Polares......... 24 3.1.2 Mudança de Coordenadas Polares para Cartesianas......... 26 1

GEOMETRIA ANALÍTICA II Ementa: O plano. Distâncias. Coordenadas polares. Cônicas. Superfícies Quádricas. Bibliograa Básica: Boulos, P. Camargo, I. Geometria Analítica - Um Tratamento Vetorial, São Paulo: MAKRON Books, 1987. Winterle, P. Vetores e Geometria Analítica, São Paulo, MAKRON Books, 2000. Caroli, A. Callioli, C.A. Matrizes, Vetores e Geometria Analítica: Teoria e Exercícios, Nobel, São Paulo,1984. Bibliograa Complementar: Murdoch, David C. Geometria Analítica. Editora LTC, Rio de Janeiro, 1980. Kletenik, D. Problemas de Geometria Analítica. Editora Mir Moscu, Belo Horizonte, 1967. Machado, A. S. Álgebra Linear e Geometria Analítica. Editora Atual, São Paulo, 1982. Riguetto, A. Vetores e Geometria Analítica. Editora IBLC. São Paulo, 1988. Professor Ms. Renan Fernandes Capellette 2

Capítulo 1 O PLANO 1.1 Equação Geral do Plano Seja um vetor formado pelos pontos A (x 1, y 1, z 1 ) e P (x, y, z) pertencentes a um plano π e um vetor n= (a, b, c) normal (ortogonal) ao plano, como ilustra a gura abaixo: Qualquer vetor AP representado em π (ou seja A e P π) é ortogonal a n, então: Assim, a equação geral do plano π é: n AP = 0 n (P A) = 0 (a, b, c) (x x 1, y y 1, z z 1 ) = 0 ax + by + cz ax 1 by 1 cz 1 = 0 ax + by + cz + d = 0 onde d = ax 1 by 1 cz 1 Observações: 3

(i) Assim, como n é um vetor normal, qualquer vetor k n, k 0, é normal ao plano. (ii) Considere a equação geral do plano π : 3x + 2y z + 1 = 0 os componentes do vetor normal n ao plano π é (3, 2, 1). (iii) Para obter pontos de um plano dado por uma equação geral do plano, basta atribuir valores aleatórios a duas variáveis e calcular. Tome o exemplo anterior e faça x = 4 e y = 2, tem-se 3(4) + 2( 2) z + 1 = 0 portanto, o ponto A(4, 2, 9) pertence a este plano z = 9 Exercícios Resolvidos: 1 - Obter um equação geral do plano π que passa pelos ponto A(2, 1, 3) e tem n= (3, 2, 4) como vetor normal. Solução: Como n é normal ao plano tem-se 3x + 2y 4z + d = 0 Como A é um ponto do plano, suas coordenadas devem satisfazer a equação: 3x + 2y 4z + d = 0 3(2) + 2( 1) 4(3) + d = 0 6 2 12 + d = 0 8 + d = 0 d = 8 Logo, uma equação geral do plano π é: π : 3x + 2y 4z + 8 = 0 É possível calcular a equação do plano utilizando a seguinte equação: 4

n AP = a(x x1 ) + b(y y 1 ) + c(z z 1 ) = 0 Substituindo as coordenadas do ponto A(2, 1, 3) e n= (3, 2, 4), tem-se a(x x 1 ) + b(y y 1 ) + c(z z 1 ) = 0 3(x 2) + 2(y ( 1)) + ( 4)(z 3) = 0 3x 6 + 2y + 2 4z + 12 = 0 3x + 2y 4z + 8 = 0 com isso a equação do plano é: π : 3x + 2y 4z + 8 = 0 2 - Escreva uma equação geral do plano π que passa pelo ponto A(2, 1, 3) e é paralelo ao plano: α : 3x 4y 2z + 5 = 0 Solução: Como os planos são paralelos, o vetor nomal n do plano α também é normal ao plano π, assim, a equação geral do plano π é da forma: 3x 4y 2z + d = 0 Como A pertence ao plano π, suas coordenadas devem vericar a equação: 3x 4y 2z + d = 0 3(2) 4(1) 2(3) + d = 0 6 4 6 + d = 0 d = 4 Dessa forma uma equação de π é π : 3x 4y 2z + 4 = 0 5

3 - A reta { x = 5 + 3t r : y = 4 + 2t z = 1 + t é ortogonal ao plano π que passa pelo ponto A(2, 1, 2). Determinar uma equação geral de π e representá-lo gracamente. Solução: Como r π, qualquer vetor diretor de r é um vetor normal ao plano. Sendo n= (3, 2, 1) um destes vetores, uma equação de π é da forma: 3x + 2y + z + d = 0 Como A pertence ao plano π, deve-se vericar: Porntanto, uma equação de π é 3x + 2y + z + d = 0 3(2) + 2(1) + ( 2) + d = 0 6 + 2 2 + d = 0 d = 6 π : 3x + 2y + z 6 = 0 Em resumo, para determinar a equação geral de um plano é necessário um ponto do plano e um vetor normal a ele. Exercício 1: Determinar a equação geral do plano que é paralelo ao plano π : 2x 3y z + 5 = 0 e que contenha o ponto A(4, 2, 1). Resposta: π 1 : 2x 3y z 13 = 0 Exercício 2: Determine a equação geral do plano π sabendo que ele é perpendicular a reta: { x = 2 + 2t r : y = 1 3t z = 4t e que contenha o ponto A( 1, 2, 3) Resposta: π : 2x 3y + 4z 4 = 0. 6

1.2 Determinação de um Plano Anteriormente viu-se que a equação geral de um plano pode ser determinada por um ponto ao plano π e um vetor normal a ele, porém, exitem outras maneiras de se determinar um plano, pois, existe apenas um plano que: (i) Passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores v 1 e v 2 não colineares. Neste caso: n= v 1 v 2 Exemplo Resolvido: Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(1, 3, 4) e é paralelo aos vetores v 1 = (3, 1, 2) e v 2 = (1, 1, 1). Solução: Um vetor normal ao plano obtido a partir dos vetores-base v 1 e v 2 é: n= v1 v i j k 2 = 3 2 1 = ( 1, 5, 4) 1 1 1 Assim, um vetor normal ao plano é: n= ( 1, 5, 4) A equação do plano é dada pela seguinte equação: x 5y 4z + d = 0, e para encontrar o valor de d, tem-se: x 5y 4z + d = 0 (1) 5( 3) 4(4) + d = 0 1 + 15 16 + d = 0 d = 2 Assim, a equação do plano é: x 5y 4z + 2 = 0 ou x + 5y + 4z 2 = 0 (ii) Passa por dois pontos A e B e é paralelo a um vetor v não colinear ao vetor AB Colinear: pertencem a mesma reta e/ou são paralelos. Neste caso: n= v AB. Exemplo Resolvido: Determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos A(1, 3, 4) e B = (3, 1, 2) e é paralelo ao vetor v = (1, 1, 1). Solução: Um vetor normal ao plano obtido a partir dos vetores-base AB= (2, 4, 6) e v é: 7

n= v AB= i j k 2 4 6 1 1 1 = ( 2, 8, 6) Assim, um vetor normal ao plano é: n= ( 2, 8, 6) A equação do plano é dada pela seguinte equação: 2x 8y 6z + d = 0, e para encontrar o valor de d, tem-se: x 5y 4z + d = 0 2(1) 8( 3) 6(4) + d = 0 1 + 15 16 + d = 0 d = 2 Assim, a equação do plano é: 2x 8y 6z + 2 = 0 ou 2x + 8y + 6z 2 = 0 (iii) Passa por três pontos A B e C que não pertencem a mesma reta (não colineares). Nesta caso: n= AB AC. Exemplo resolvido: Estabelecer a equação geral do plano determinado pelo pontos A(2, 1, 1), B(0, 1, 1) e C(1, 2, 1). Solução: Os vetores base do plano são: um vetor,normal do plano é: n= v1 v 2 = AB= ( 2, 2, 2) e AC= ( 1, 1, 2) e, portanto, i j k 2 2 2 1 1 2 Assim, o vetor normal ao plano é: n= ( 6, 2, 4) = ( 6, 2, 4) A equação do plano é dada pela seguinte equação: 6x + 2y 4z + d = 0, e para encontrar o valor de d, tem-se: 6x + 2y 4z + d = 0 6(2) + 2(1) 4( 1) + d = 0 12 + 2 + 4 + d = 0 d = 6 8

Então a equação do plano é: 6x + 2y 4z + 6 = 0 ou 3x y + 2z 3 = 0 (iv) Contém duas retas concorrentes r 1 e r 2 (concorrentes: que se cruzam). Neste caso os vetores diretores das retas r 1 e r 2 são v 1 e v 2 e vale n= v 1 v 2 (vetor normal ao plano). Vetores diretores da reta: Tem a mesma direção e determinam o sentido da reta (v) Contém duas retas paralelas r 1 e r 2. Neste caso tem-se que o vetor normal é: n= v1 A 1 A 2 Assim v 1 é um vetor diretor de r 1 (ou r 2 ) e A 1 r 1 e A 2 r 2. Exemplo resolvido: Determinar a equação geral do plano que contém as retas { { x = 1 + 2t y = 2x + 1 r 1 : e r z = 3x 2 2 : y = 4t z = 3 6t Solução: Primeiramente deve-se determinar os vetores diretores das retas r 1 e r 2. Vetor diretor de r 1 Dois pontos pertencentes a reta r 1 são os pontos A 1 (0, 1, 2) e B 1 (1, 3, 5). Utilizando o ponto A 1, obtem-se as equações paramétricas de r 1 : { x = 0 + ta r 1 : y = 1 + tb z = 2 + tc o vetor diretor da reta r 1 é v 1 = (a, b, c), cuja coordenadas são encontradas fazendo t = 1 e utilizando as coordanas do ponto B. a = x = 1 b = y 1 = 3 1 = 2 c = z + 2 = 5 + 2 = 3 Assim o vetor diretor de r 1 é v 1 = (1, 2, 3) 9

O vetor diretor da reta r 2 é v 2 = (2, 4, 6) Observe que as retas são paralelas, pois v 2 = 2 v 1 Um ponto pertencente a reta r 2 é A 2 ( 1, 0, 3). Então: A 1 A 2 = ( 1, 1, 5) pode-se determinar o vetor normal n ao plano em questão: i j k n= 1 2 3 = (7, 2, 1) 1 1 5 Após alguns cálculos tem-se que a equação geral do plano é: 7x 2y + z + 4 = 0 (vi) É determinado por uma reta r e um ponto B r (não pertence a reta). O vetor normal a este plano é determinado pela expressão: n= v AB. onde v é um vetor diretor de r e A r. Exemplo resolvido: Determine a equação do plano que contém a reta r : { x = 4 y = 3 e o ponto B( 3, 2, 1) Solução: Primeiramente deve-se encontrar o ponto A r e o vetor diretor v. Como não aparece a variável z o plano é paralelo a este eixo, assim, pode-se escolher qualquer valor real para representar z, neste caso, por conveniencia escolhe-se z = 0, assim, o ponto A(4, 3, 0) r. O vetor diretor é: v = (0, 0, 1) AB= ( 7, 1, 1). Cálculo do vetor normal. n= v1 v 2 = i j k 0 0 1 7 1 1 = (1, 7, 0) Assim, um vetor normal ao plano é: n= (1, 7, 0) A equação do plano é dada pela seguinte equação: x 7y 0z+d = 0, e para encontrar o valor de d, tem-se: 10

x 7y + d = 0 4 7(3) + d = 0 4 21 + d = 0 Assim, a equação do plano é: x 7y + 17 = 0 d = 17 Outra forma de obter a equação geral de um plano é utilizando a denição de vetores coplanares, ou seja, o produto misto entre eles é nulo. Considere o exemplo do item (iv), neste problema temos um ponto A(1, 3, 4) que é paralelo aos vetores v 1 = (3, 1, 2) e v 2 = (1, 1, 1). Assim, tome um ponto P (x, y, z) ao plano, dessa forma os vetores AP, v 1, v 2 são coplanares, ou seja, o produto misto entre eles é igual a zero. Ou seja: x 1 y + 3 z 4 3 1 2 1 1 1 ( AP, v 1, v 2 ) = 0 = x 5y 4z + 2 Dessa forma, a equação geral do plano é x + 5y + 4z 2 = 0 Este método é aplicável a todos os outros exemplos. Exercício: Encontre a equação geral do plano dos exemplos anteriores embasando-se na denição de vetores coplanares. 1.3 Equação Paramétrica do Plano Dado um ponto A(x 0, y 0, z 0 ) petencente ao plano π e u= (a 1, b 1, c 1 ) e v = (a 2, b 2, c 2 ) não paralelos, porém, paralelos ao plano. Qualquer que seja o ponto P π, ou vetores AP, u e v são coplanares. O ponto P (x, y, x) pertence ao plano se, e somente se existem números reais tais que: 11

P A = h u +t v P = A + h u +t v (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + h(a 1, b 1, c 1 ) + t(a 2, b 2, c 2 ) onde h, t R, e os vetores u e v são vetores diretores do plano π. Dessa maneira a Equação Paramétrica do plano é: podendo ser escrita como: (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + h(a 1, b 1, c 1 ) + t(a 2, b 2, c 2 ) { x = x0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t Exemplo: Seja o plano π que passa pelo ponto A(2, 2, 1) e é paralelo aos vetores u= (2, 3, 1) e v = ( 1, 5, 3). Obter uma equação vetorial, um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de π. Solução: Equação vetorial: (x, y, z) = (2, 2, 1) + t(2, 3, 1) + v( 1, 5, 3) Equações paramétricas { x = 2 = 2t v y = 2 3t + 5v z = 1 + t 3v Para obter a equação geral do plano é necessário calcular o vetor normal ao plano ou utilizar a idéia de vetores coplanares, ou seja, o produto misto entre os vetores é igual zero. Considere o ponto P (x, y, z) π, assim o vetor AP = (P A) = (x 2, y 2, z + 1) x 2 y 2 z + 1 2 3 1 1 5 3 = 0 9x 5x y + 6y + 10z 3z 6 5 = 0 Assim a equação geral de π é: 4x + 5y + 7z 11 = 0. Exercício 1: Dado um plano π determinado pelos pontos A(1, 1, 2), B(2, 1, 3) e C( 1, 2, 6) não alinhados. Encontre um sistema de equações paramétricas e uma equação geral do plano π. 12

Dica: Encontrar os vetores diretores de π. Os pontos A, B e C π e não estão alinhados, dessa maneira, dene-se os dois vetores diretores como segue: u= AB= (1, 2, 5) e v = AC= ( 2, 1, 4). os vetores acima são vetores diretores de π. Resposta: { x = 1 + h 2t Equações paramétricas: y = 1 + 2h t z = 2 5h + 4t Equação geral do plano: π : 3x + 6y + 3z 3 = 0 ou π : x + 2y + z 1 = 0. Exercício 2: Dado o plano π de equação 2x y z + 4 = 0, determinar um sistema de equações paramétricas de π. Dica: Encontrar três pontos distintos A, B e C não alinhados e encontrar os vetores diretores. A(0, 0, 4), B(1, 0, 6) e C(0, 1, 3) { x = h Equações paramétricas: y = t z = 4 + 2h t 1.4 Ângulo de Dois Planos Dados dois planos π 1 e π 2 e n 1 = (a 1, b 1, c 1 ) e n 2 = (a 2, b 2, c 2 ) vetores normais aos planos π 1 e π 2 respectivamente, como ilustra a gura abaixo: O Ângulo entre esses dois planos é o menor ângulo formado entre os seus respectivos vetores normais. Denominando este ângulo de θ, tem-se: 13

cos(θ) = n 1 n 2 n 1 n2 com 0 θ π 2 Exemplo: Determine o ângulo entre os planos: π 1 : 2x + y z + 3 = 0 e π 2 : x + y 4 = 0 Solução: n 1 = (2, 1, 1) e n 2 = (1, 1, 0) cos(θ) = cos(θ) = cos(θ) = (2, 1, 1) (1, 1, 0) (2, 1, 1) (1, 1, 0) 2 + 1 + 0 (22 + 1 + ( 1) 2 ) (1 2 + 1 2 + 0 2 ) 3 12 (12 + 1 2 + 0 2 ) 3 cos(θ) = 2 θ = arccos θ = π 6 ( ) 3 2 1.4.1 Planos Perpendiculares Dois planos são perpendiculares se, e somente se o ângulo formado entre seus respectivos vetores diretores for igual a noventa graus (θ = 90 ), ou seja, π 1 π 2 n 1 n 2 n 1 n 2 = 0 14

Exemplo: Verique se os planos são perpendiculares. Solução: π 1 : 3x + y 4z + 2 = 0 e π 2 : 2x + 6y + 3z = 0 ou π 1 : x + y 4 e π 2 : (i) π 1 : 3x + y 4z + 2 = 0 e π 2 : 2x + 6y + 3z = 0 { x = 2 h + 2t y = h + t z = t n 1 = (3, 1, 4) e n 2 = (2, 6, 3) são vetores normais aos planos π 1 e π 2 respectivamente. n 1 n 2 = (3, 1, 4) (2, 6, 3) n 1 n 2 = 3.2 + 1.6 + ( 4).3 n 1 n 2 = 0 Portanto os planos π 1 e π 2 são perpendiculares. { x = 2 h + 2t (ii) π 1 : x + y 4 e π 2 : y = h + t z = t Em π 1 tem-se o vetor normal n 1 = (1, 1, 0). Porém em π 2 tem-se os vetores diretores: u= ( 1, 1, 0) e v = (2, 1, 1), através do produto misto entre eles determina-se o vetor normal ao plano π 2. n 2 = u i j k v = 1 1 0 = (1, 1, 3) 2 1 1 15

Assim: n 1 n 2 = (1, 1, 0) (1, 1, 3) n 1 n 2 = 1.1 + 1.1 + 0.( 3) n 1 n 2 = 2 0 portanto os planos π 1 e π 2 não são perpendiculares. 1.4.2 Plano Paralelos Considere os planos π 1 e π 2, estes planos serão paralelos se, e somente se, seus respectivos vetores normais forem paralelos: Dois planos são coincidentes se: π 1 //π 2 n 1 // n 2 portanto a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2. a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 = d 1 d 2. Porém, se a 1 = a 2, b 1 = b 2, c 1 = c 2 e d 1 d 2, os planos também são paralelos. Exemplo: Calcule os valores de m e n para que o plano: seja paralelo ao plano π 1 : (2m 1)x 2y + nz 3 = 0 Solução: Os vetores normais são: isto é: π 2 : 4x + 4y z = 0 n 1 = (2m 1, 2, n) e n 2 = (4, 4, 1). 2m 1 4 = 2 4 = n 1, 2m 1 4 = 1 2 m = 1 2 16

e n = 1 2 n = 1 2 Assim os planos π 1 : 2x 2y + 1 2 z 3 = 0 e π 2 : 4x + 4y z = 0 são paralelos. Note que: n 1 = 1 2 n 2 1.5 Paralelismo e Perpendicularismo entre Reta e Plano Considere uma reta r na direção de um vetor v e um plano π, seja n o vetor normal ao plano, como ilustram as guras abaixo: (i) Se r//π v n v n= 0 (ii) Se r π v // n v = α n { x = 1 + 2t Exemplo: A reta r : y = 3t z = t é paralela ao plano π : 5x + 2y 4z 1 = 0? Se a reta é paralela ao plano, implica que o vetor diretor da reta r, v = (2, 3, 1) é ortogonal ao vetor normal n= (5, 2, 4) veja: (2, 3, 1) (5, 2, 4) = 0. 17

Porém, esta mesma reta é perpendicular ao plano π 1 : 4x 6y + 2z 5 = 0, pois o vetor diretor v = (2, 3, 1) de r é paralelo ao vetor nomal n 1 = (4, 6, 2) de π, veja: v = 1 2 n 1 para isso basta dividir as componente de v e n 1 : ( 2 4 = 3 6 = 1 ) ( 1 = 2 2 = 1 2 = 1 ). 2 1.6 Reta contida em Plano Uma reta r esta contida em uma plano π se: (i) Dois pontos A e B da reta r pertencerem ao plano π, ou (ii) Dado vetor diretor v da reta r e o vetor normal n do plano π satisfazer a seguinte igualdade: v n= 0 ou seja, se r está contida em π o vetor diretor de r é normal ao vetor normal de π. Exemplo: Determinar os valores de m e n para que a reta: { x = 3 + t r : y = 1 t z = 2 t esteja contida no plano π : 2x + my + nz 5 = 0 Solução: Fazendo t = 0 e t = 1 e substituindo na equação paramétrica de r obtem-se os pontos A(3, 1, 2) e B(4, 2, 3), e substituindo na equação do plano tem-se o seguinte sistema linear: { 2(3) + m( 1) + n( 2) 5 = 0 donde m = 3 n = 1. 2(4) + m( 2) + n( 3) 5 = 0 Observação: Se a reta esta contida no plano, então os pontos da reta pertencem ao plano, portanto eles devem satisfazem a igualdade da equação geral do plano. 18

1.7 Interseção de Dois Plano A interseção de dois planos não paralelos é uma reta r cuja equações reduzidas ou paramétricas deve-se determinar. Para determinar uma reta é necessário conhecer dois de seus pontos, ou um ponto e um vetor diretor de r. Exemplo: Consideremos os planos não paralelos π 1 : 5x y + z 5 = 0 e π 2 : x + y + 2z 7 = 0 Um ponto da reta determinada pela intereseção entre os dois planos, é o ponto cuja coordenadas satisfazem o sistema { 5x 2y + z + 7 = 0 3x 3y + z + 4 = 0 Resolvendo o sistema, tem-se innitas soluções em função de x. { y = 2x 3 z = 9x 13 ou seja, a solução acima são as equações reduzidas da reta obtida pela intersecção dos planos π 1 e π 2. Seus pontos são: (x, y, z) = (x, 2x 3, 9x 13) Para determinar as equações paramétricas da reta r atribui-se dois valores distintos para x de modo a determinar os pontos A e B, assim se x = 0 e x = 1, tem-se respectivamente A(0, 3, 13) e B(1, 5, 22), com isso é possível determinar o vetor diretor da reta r: v = AB= B A = (1, 2, 9) As equações paramétricas de r utilizando o ponto A e o vetor diretor são: { x = t r : y = 3 2t z = 13 9t 19

1.8 Interseção de Reta com Plano Neste caso deseja-se encontrar um ponto da reta r em comum com o plano π. Exemplo 1: Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π, onde: Solução: { x = 1 + 2t y = 1 + 3t z = 4 2t e π : 2x y + 3z 4 = 0 Qualquer ponto de r é da forma: (x, y, z) = ( 1 + 2t, 5 + 3t, 3 t), estas coordenadas deve satisfazer a equação do plano, assim, este ponto será a interseção entre r e π: 2x y + 3z 4 = 0 2(2t 1) (5 + 3t) + 3(3 t) 4 = 0 donde resulta t = 1. Substituindo esses valores nas equações paramétricas de r tem-se as coordenadas da interseção de r com π. r π = ( 3, 2, 4) Exemplo 2: Determinar a interseção da reta r com o plano π onde: { x 2y 2z + 2 = 0 r : e π : x + 3y + 2z 5 = 0 2x + y z = 0 Nesse caso deve-se solucionar o sistema: { x 2y 2z + 2 = 0 2x + y z = 0 x + 3y + 2z 5 = 0 obtendo-se x = 2, y = 1 e z = 3. Logo a interseção (I) é I(2, 1, 3). 20

Capítulo 2 DISTÂNCIAS 2.1 Distância entre dois pontos A distância d entre dois pontos P 1 (x 1, y 1, z 1 ) e P 2 (x 2, y 2, z 2 ) é dada pela expressão: P 1 P 2 = P2 P 1 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) d(p 1, P 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 Exemplo: Calcular a distância entre P 1 (2, 1, 3) e P 2 (1, 1, 5). d(p 1, P 2 ) = (1 2) 2 + (1 ( 1)) 2 + (5 3) 2 = 9 = 3 2.2 Distância de um Ponto a uma Reta Para calcular a distância de um ponto P a uma reta r utiliza-se a expressão: v AP d(p, r) = v onde v é o vetor diretor da reta r e A e um ponto petencente a reta. Exemplo: Calcular a distância do ponto P (2, 1, 4) à reta 21

r : { x = 1 + 2t y = 2 t z = 3 2t Soluçao: A reta r passa pelo ponto A( 1, 2, 3) e tem direção do vetor v = (2, 1, 2). O vetor AP é (3, 1, 1). Assim: d(p, r) = v AP = ( 3, 8, 1) (2, 1, 2) = i j k 2 1 2 3 1 1 = ( 3, 8, 1) ( 3)2 + ( 8) 2 + 1 2 22 + ( 1) 2 + ( 2) 2 = 74 3 u.c. 2.3 Distância de Ponto a Plano A distância de um ponto P 0 a um plano π, ou seja d(p 0, π) é dado pela expressão: d(p 0, π) = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a2 + b 2 + c 2 onde (a, b, c) são as coordenadas do vetor normal n. Exemplo: Calcular a distância do ponto P 0 (4, 2, 3) ao planoπ : 2x + 3y 6z + 3 = 0 Solução: d(p 0, π) = 2(4) + 3(2) 6( 3) + 3 22 + 3 2 + ( 6) 2 = 5 2.4 Distância entre Duas Retas 2.4.1 Retas Concorrentes A distância d entre duas retas r e s concorrentesé nula, por denição. 22

2.4.2 Retas Paralelas A distância entre duas retas paralelas se reduz ao cálculo da distância de um ponto a uma reta. A fórmula apresentada anteriormente é: v AP d(r, s) = v onde v é o vetor diretor da reta e A e um ponto desta mesma reta, P é um ponto pertencente a outra reta. Exemplo: Calcular a distância entre as retas: r : { y = 2x + 3 z = 2x e s : { x = 1 2t y = 1 = 4t z = 3 4t Solução: O vetor diretor da reta s é v 2 = ( 2, 4, 4) e A(3, 2, 1) um ponto pertencente a esta reta. P (0, 3, 0) é um ponto r, então AP = (1, 2, 3). v AP = i j k 1 2 3 2 4 4 = ( 20, 2, 8) d(r, s) = d(r, s) = ( 20)2 + ( 2) 2 + 8 2 ( 2)2 + 4 2 + ( 4) 2 400 + 4 + 64 4 + 16 + 16 468 d(r, s) = 36 d(r, s) = 6 13 6 d(r, s) = 13u.c. 23

Capítulo 3 COORDENADAS POLARES 3.1 Mudança de Coordenadas 3.1.1 Mudança de Coordenadas Cartesianas para Polares Vimos anteriormente que dado um ponto P no plano, utilizando as coordenadas cartesianas, ou retangulares é possível descrever sua localização no plano P (x, y), porém também representar este mesmo ponto a partir da distância da origem 0 do sistema cartesiano até o ponto P e o ângulo formado pelo eixo x, denotado P (r, θ), onde r é a distância da origem do plano até o ponto P e θ é o ângulo formado com o eixo x. A partir das propriedades aplicadas no triângulo retângulo e o teorema de Pitágoras, tem-se: r = x 2 + y ( 2 y θ = arctang x) Exemplo 1: Transforme as coordenadas cartesianas em coordenadas polares os seguintes pontos: 24

(a) P ( 5 3 2 ) 5 2 (b) Q(1, 1). Solução. (a) r = ( 5 ) 2 3 + 2 ( ) 5 2 r = r = r = 5 25 3 4 100 4 θ = arct g θ = arct g + 25 4 5 3 2 5 2 ( 5 3 2 ) 2 5 ( ) θ = arct g 3 = 60 Assim, P (5, 60 ) Solução (b): De maneira análoga ao anterior, tem-se: Q( 2, 45 ) Exemplo 2: A circunferência de centro na origem e raio 3 tem equação cartesiana x 2 + y 2 = 9, encontre a equação polar: Solução: Sabe-se: assim, x = rcos(θ) y = rsen(θ) (rcos(θ)) 2 + (rsen(θ)) 2 = 9 r ( 2 cos 2 (θ) + sen 2 (θ) ) = 9 r 2 = 9 r = 3 25

ou seja, a equação polar dessa circunferência é r = 3. 3.1.2 Mudança de Coordenadas Polares para Cartesianas Seja P um ponto com coordenadas polares (r, θ). Considerando inicialmente 0 < θ < π 2 do triângulo retangulo OP X, obtem-se as seguintes relações: x = rcos(θ) y = rsen(θ) Se θ = 0 tem-se P no eixo das abscissas, portanto P tem coordenadas cartesianas (x, 0), para os casos em que θ = π, tem-se P no eixo das ordenadas, portanto P tem 2 coordenadas cartesianas (0, y). Exemplo: Se P tem coordenadas polares ( 2, π 3 ), então: x = 2cos( π 3 ) = 1 y = 2sen( π 3 ) = 3 logo P tem coordenadas cartesianas ( 1, 3). 26