Sistemas Numéricos Tiago Alves de Oliveira
Sumário Sistemas Numéricos Binário Octal Hexadecimal Operações aritméticas binária e hexadecimal Operações lógicas binárias e decimais Representação Interna de Caracteres
Sistemas Numéricos Sistemas numéricos Sistemas de notação usados para representar quantidades abstratas denominadas números São definido pela base que utiliza base = número de símbolos diferentes (algarismos) necessários para representar um número qualquer Sistema Decimal Dez símbolos diferentes ou dígitos para representar um número (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Um sistema numérico de base 10
Sistemas Numéricos Sistema de Número Posicional Número é representado por uma sequência de dígitos onde cada posição de dígito tem um peso associado No sistema decimal Valor de d 3 d 2 d 1 d 0 d 3 *10 3 + d 2 *10 2 + d 1 *10 1 + d 0 *10 0 Cada dígito d i tem um peso de 10 i Exemplo: 3.098.323 representação de 3*10 6 +0*10 5 +9*10 4 +8*10 3 +3*10 2 +2*10 1 +3*10 0
Sistema Octal Sistema Octal ou Base 8 Apresenta oito dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Contagem é realizada como segue: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20,... Conversão Octal para Decimal Valor de um número octal de 4 dígitos o 3 o 2 o 1 o 0 o 3 *8 3 + o 2 *8 2 + o 1 *8 1 + o 0 *8 0 Cada dígito o i tem um peso de 8 i Valor octal 175 o 5*1+7*8+1*64 = 125 d
Sistemas Octal Exercício: Qual é a representação Decimal de 2154 o? Valor de um número octal de 3 dígitos o 2 o 1 o 0 o 3 *8 3 + o 2 *8 2 + o 1 *8 1 + o 0 *8 0 2154 o = 2*521+1*8 2 +5*8 1 +4*8 0 = 1024+64+40+4=1132
Sistema Octal Conversão Decimal para Octal Sistema decimal: 654 = 4 unidades, 5 dezenas e 6 centenas Para verificar isto, divide-se o número pela sua base (que é 10): 654/10 = 65 Resto 4 (*1) /10 = 6 Resto 5 (*10) /10 = 0 Resto 6 (*100) Para converter Decimal para Octal basta dividir por 8 200 d 200/8= 25 Resto 0 25/8 = 3 Resto 1 3/8 = 0 Resto 3 200 d =310 o Exercício: Qual é o valor na base 8 do número 1534 d?
Sistema Binário Sistema Binário (Base 2) Apresenta unicamente dois dígitos: 0,1 Contagem é realizada como segue: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000,... Conversão Binário para Decimal Valor de um número binário de 8 dígitos b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 b 7 *2 7 + b 6 *2 6 + b 5 *2 5 + b 4 *2 4 + d 3 *2 3 + d 2 *2 2 + d 1 *2 1 + d 0 *2 0 dígito b i tem um peso de 2 i Valor binário 10101010 b 10101010 b = 0*1+1*2+0*4+1*8+0*16+1*32+0*64+1*128 = 170 d Exercício: Qual é o valor decimal de 10001 b
Sistema Binário Conversão Decimal para Binário Mesmo processo para conversão de decimal para octal, mas dividindo por 2 200 d 200/2=100 Resto 0 100/2= 50 Resto 0 50/2 = 25 Resto 0 25/2 = 12 Resto 1 12/2 = 6 Resto 0 6/2 = 3 Resto 0 3/2 = 1 Resto 1 1/2 = 0 Resto 1 = 1 1 0 0 1 0 0 0 b
Sistema Binário Exercícios Qual é o valor binário de 1233 d? Qual é o valor decimal de 10101011 b?
Sistema Hexadecimal Sistema Hexadecimal Na base hexadecimal tem-se 16 dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Representam os números 10 d a 15 d Contamos os dígitos hexadecimais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12,..., 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21,...
Sistema Hexadecimal Conversão Binário para Hexadecimal Exemplo: 101011 b (1+2+8+32=43 d ) Passo 1: dividir o número binário em grupos de 4 bits (da direita para a esquerda) 0010; 1011 Passo 2: tomar cada grupo como um número independente e converter em dígitos decimais 0010;1011=2;11 Passo 3: substituir todos os números decimais maiores que 9 pelas suas respectivas representações em hexadecimal 00101011 b = 2B h Conversão Hexadecimal para Binário Inverter os passos Exercícios: Qual é o valor hexadecimal de 1110001 b? Qual é o valor binário de 2AF01?
Sistema Hexadecimal Conversão Hexadecimal em Decimal Mesma fórmula utilizada na conversão binário para decimal sendo que a base 2 é trocada por 16 Converter B2A h em decimal: B -> 11*16 2 = 2816 d 2 -> 2*16 1 = 32 d A -> 10*16 0 = 10 d 2858 d
Sistema Hexadecimal Conversão Decimal para Hexadecimal Mesma fórmula utilizada na conversão de um número decimal para binário dividindo por 16 em vez de 2 Converter 1069 d em hexadecimal 1069/16= 66 Resto 13 d = D h 66/16 = 4 Resto 2 d = 2 h 4/16 = 0 Resto 4 d = 4 h 1069 d = 42D h
Sistemas Hexadecimal Exercícios Converta o número 011101 b para hexadecimal Converta o número A10 h para binário Converta o número 120 d para hexadecimal Converta o número FACA h para decimal
Operações Aritméticas: Aritmética Binária Adição binária Fazem-se as contas coluna a coluna, da direita para a esquerda, fazendo o transporte de um (<e vai um>) quando for o caso Observando-se as seguintes operações básicas: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 (1 mais 1 é igual a 0 e vai 1) 1 + 1 + 1 = 11 (1 mais 1 mais 1 é igual a 1 e vai 1) Exemplos: 1 1 101 +1101 10010 11 11001 +10011 101100
Operações Aritméticas: Aritmética Binária Subtração binária Como o conjunto de símbolos contém apenas 2 dígitos ao se efetuar a subtração parcial entre 2 dígitos se o segundo (diminuidor) exceder o primeiro (diminuendo) subtrai-se uma unidade ao dígito imediatamente à esquerda no diminuendo (se existir e o seu valor for 1), convertendo-o a 0 substituímos o diminuendo por 10 b (2 d ) Se o dígito imediatamente à esquerda for 0 procura-se nos dígitos consecutivos
Operações Aritméticas: Aritmética Binária Subtração binária Exemplos: 11101 111 2 0 0 2 1 1 1 0 1-1 1 1 1 0 1 1 0 Exercício: 100001-101
Operações Aritméticas: Aritmética Binária Subtração Binária (Método do Complemento de Dois) a-b = a+(-b) Complemento de dois transforma um número positivo em negativo Para realizar o complemento de dois Número de dígito dos operandos devem ser o mesmo trocar os uns pelos zeros e vice-versa e adicionar um ao resultado 0101001 (41 d ) 1010110+1 = 1010111 Exemplo: 1110-101 (14 d -5 d ) 1. Completa-se o número de dígitos do diminuidor: 0101 2. Realiza-se o complemento de dois do diminuidor: 1010+1=1011 3. Soma-se os dois operandos 1110+1100=11010 4. Despreza-se o transporte final: 1010 (10 d ) Exercício: 11001-1010
Operações Aritméticas: Aritmética Binária Multiplicação (1 a Opção) Pode fazer-se por adições sucessivas para calcular A*B basta somar A a si própria B vezes Exemplo: 101 b *100 b =? Lembrado que 100 b = 4 d, então 101 * 100 =
Operações Aritméticas: Aritmética Binária Multiplicação (2 a Opção) Semelhante à multiplicação decimal exceto pelo fato da soma final dos produtos se fazer em binário As seguintes igualdades devem ser respeitadas: 0*0=0; 0*1=0; 1*0=0; 1*1=1 Exemplos: multiplicar os números 1011 e 1101 Exercício: multiplicar 10101 e 101
Operações Aritméticas: Aritmética Binária Divisão(1 a Opção) Pode ser feita por subtrações sucessivas até obtermos uma diferença menor que o divisor (resto) Exemplo:
Operações Aritméticas: Aritmética Binária Divisão (2a Opção) Pode ser feita de maneira idêntica à divisão decimal exceto pelo fato das multiplicações e subtrações internas ao processo serem feitas em binário
Operações Aritméticas: Aritmética Binária Divisão (2ª opção)
Operações Aritméticas: Aritmética Binária Divisão (2a Opção) Exercício: Dividir 11111 por 110
Tipos de dados tratados pelo computador Dados e as instruções armazenados em memória são codificados sob a forma de sinais elétricos do tipo ligado e desligado representado pelos números 1 e 0 sistema binário cada unidade de informação é chamada de bit abreviação de Binary digit
Tipos de dados tratados pelo computador Unindo dois ou mais bits Um bit pode representar dois valores: 1 ou 0, ou então verdadeiro ou falso Pode-se unir dois ou mais bits para representar mais de dois valores quantidade de valores representáveis por uma sequência de n bits é de 2 n Algumas strings de bits têm nomes próprio: uma sequência de 8 bits são chamados de byte uma sequência de 4 bits é chamada de nibble um grupo de 16 bits é chamado de word um grupo de 32 bits é chamado de double word um grupo de 64 bits é chamado de quad word
Tipos de dados tratados pelo computador K = 1024 Na vida cotidiana e na física, o "k" vale 1000 1 km = 1000 metros 1 kg = 1000 gramas 1 kv = 1000 volts Número 1024 foi o escolhido para representar o "k" da computação por razões de simplificação de hardware M = 1024 K "M" normalmente vale 1.000.000, na computação vale: 1 M = 1024 k = 1024x1024 = 1.048.576 G = 1024 M "G" que normalmente vale 1 bilhão, na computação vale 1 G = 1024 M = 1024x1024x1024 = 1.073.741.824
Representação de Caracteres Um caractere normalmente é representado por um byte maioria dos códigos alfanuméricos representam caractere através de um byte código ASCII a letra 'A' é representada pelo byte 0100 0001 uma sequência de caracteres é expressa por uma cadeia de bytes sucessivos Nem todos os tipos de códigos utilizam os 8 bits de um byte para a representação de caracteres
Representação de Caracteres Código de 7 bits (ASCII) apareceu com as linguagens de alto nível
Representação de Caracteres
Representação de Caracteres ASCII Estendido caracteres extras representam caracteres de línguas mortas e caracteres especiais para desenhas figures