é um grupo abeliano.

Notas de aulas de Álgebra Moderna Prof a Ana Paula GRUPO Definição 1: Seja G munido de uma operação: x, y x y sobre G A operação sobre G é chamada de grupo se essa operação se sujeita aos seguintes axiomas: 1) Associatidade: x y z x y z, para x, y, z G. 2) Existência de Elemento neutro: e G/e x x e x, x G. 3) Existência de simétricos: x G,x G/x x e x x. Se a comutativa for válida, além dos axiomas anteriores, o grupo é chamado de grupo abeliano (Em honra ao matemático norueguês Niels Henrik Abel (1802-1829)). Se não for válida a comutativa, o grupo é chamado de grupo não-abeliano. Notação: G, G tem uma estrutura de grupo em relação à operação. G, grupo aditivo (simétrico é chamado de oposto x). G, grupo multiplicativo (simétrico é chamado de inverso x 1 ). Exemplos: 1), grupo aditivo dos números inteiros. 2), grupo aditivo dos números racionais. 3), grupo aditivo dos números reais. 4), grupo aditivo dos números complexos. 5) M n K, grupo aditivo de matrizes quadradas de ordem n com coeficientes em K,, ou, ou qualquer outro anel K. 6), grupo multiplicativoitivo dos números racionais. 7), grupo multiplicativo dos números reais. 8), grupo multiplicativo dos números complexos. 9), onde ab ab 2 é um grupo abeliano. 10), onde a b a b 5 é um grupo abeliano. 1

Contra-exemplos: 1), grupo multiplicativo dos números inteiros. 2), onde a, b c, d ac, bc d é um grupo não-abeliano. Propriedades Seja (G,*) um grupo. 1) O elemento neutro do G, é único. 2) O elemento simétrico de cada elemento de G é único. 3) Se e é o elemento neuntro, então o e e. 4) a a, a G. 5) a b b a. 6) a 1 a 2 a 3 a n a n a n1 a 2 a 1 7) Todo elemento de G é regular para a operação, ou seja, x, y G/a x a y x y e x a y a x y. 8) No grupo G, a equação a x b (ou x a b) tem conjunto solução unitário, constituído do elemento ab. GRUPOS FINITOS Definição 2: Um grupo G, em que G é finito, chama-se de grupo finito. Definição 3: og é o número de elementos de G, chamado de ordem do grupo. Exemplo: G 1, 1, G, um grupo multiplicativo é grupo finito e og OBS: 1) Todo grupo finito G, tal que og 6 é abeliano. 2) Se o grupo finito G, é abeliano, então a sua tábua é simétrica em relação à diagonal principal. Exemplo: Tábua de um grupo finito G, G a, b, c, e e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e A operação é comutativa, associativa, tem elemento neutro, todo elemento é simetrizável e regular. 2

GRUPOS IMPORTANTES 1) Grupos lineares de grau n (multiplicativo, não comutativo se n 1) M n k, onde K, ou não é grupo porque nem toda matriz tem um simétrico (é inversível). Seja GL n k A M n k/ det A 0. I n GL n k GL n k é um grupo não-abeliano, chamado de grupo linear racional, real ou complexo, de grau n conforme K, ou 2) Grupos aditivos de classes de restos (comutativo) m, é um grupo abeliano, chamado de grupo aditivo das classes de restos módulo m. Lembrando que m 0, 1,,m1 onde a, b m, chama-se soma a b a classe a b. 0 é o elemento neutro de m. O simétrico de a m é ma. Exemplo: 3, 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 3) Grupos multiplicativos de classes de resto. m, não é um grupo, apesar de 1 ser o elemento neutro, valer a associativa e comutatica, nem todo elemento é simetrizável. Exemplo: 4, 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 somente 1 e 3 são simétrizáveis. OBS: a, b m, chama-se produto a b a classe a b. 3

Exemplo: 4, 1 não é grupo porque não é uma operação binária. 2 2 0 2 3 3 2 1 OBS: m m 0 com operação nem sempre é grupo multiplicativo abeliano. Proposição 1: m, é um grupo multiplicativo abeliano se e somente se m é primo. Dem: 4

4) Grupos das permutações Permutação é o termo específico usado na teoria dos grupos para designar um bijeção de um conjunto nele mesmo. Definição 4: Seja E. Chama-se permutação de E toda função bijetora f de E em E f : E E. OBS: Se E é finito, toda função injetora ou sobrejetora f : E E é bijetora e, portanto, f é uma permutação em E. Exemplo: A função idêntica de E. I E : E E. I E x x,x E é bijetora. Portanto, I E é uma permutação de E. Definição 5: O conjunto de todas as permutações de um conjunto E indica-se por SE. SE f : E E/f é bijetora onde E 1, 2,,n. Exemplo: SE, o é um grupo. 1) Associativa: fogoh fogoh, f, g, h SE. 2) Elemento neutro: foi E I E of f,f SE. 3) Todo elemento f SE é simetrizável e seu simétrico é a permutação inversa f 1 SE. fof 1 f 1 of I E Portanto, SE, o é chamado o grupo das permutações sobre E. 5

OBS: SE, o onde E 1, 2,,n é de ordem n!,isto é, ose n!. Definição 6: Chama-se S n para SE, o o grupo das permutações de ordem n ou grupo simétrico de grau n. OBS: SE, o é um grupo não-abeliano para n 2. Exemplos: 1) n 1 ose 1 e E a. fa a,a E. Então SE I E é um grupo abeliano. 2) n 2 ose 2! 2 e E a, b. SE f 1, f 2 onde f 1 a b b a e f 2 a a b b. A tábua fica: o f 1 f 2 f 1 f 2 f 1 f 2 f 1 f 2 Portanto, SE, o é um grupo abeliano. 3) n 3 ose 3! 6 e E 1, 2, 3. SE f 0, f 1, f 2, g 1, g 2, g 3 onde f 0, f 1 2 3 1, f 2 3 1 2, g 1 1 3 2, g 2 3 2 1 e g 3 2 1 3 A tábua fica: o f 0 f 1 f 2 g 1 g 2 g 3 f 0 f 0 f 1 f 2 g 1 g 2 g 3 f 1 f 1 f 2 f 0 g 3 g 1 g 2 f 2 f 2 f 0 f 1 g 2 g 3 g 1 Tábua não é simétrica. g 1 g 1 g 2 g 3 f 0 f 1 f 2 g 2 g 2 g 3 g 1 f 2 f 0 f 1 g 3 g 3 g 1 g 2 f 1 f 2 f 0 Portanto, SE, o é um grupo abeliano. Mas C 3 f 0, f 1, f 2 é um grupo. 6

GRUPOS DA SIMETRIA 1) Simetria do triângulo equilátero Definição 7: Denomina-se simetria de um triângulo equilátero T qualquer aplicação bijetora f : T T que preserva distãncias. Preservar distâncias significa que, se a e b são pontos arbitrários do triângulo, então a distância de fa e fb é igual a distância de a e b. FIGURA 1 - Simetria do triângulo equilátero (Rotação no sentido anti-horário) Define-se T 1, 2, 3 o conjunto dos vértices do triângulo, D 3 R 0, R 1, R 2, X, Y, Z o conjunto das simétrias do triângulo: R 0, R 1, R 2 as rotações de 0º, 120º e 240º em torno do seu centro O, no sentido anti-horário; X, Y, Z as reflexões de radianos em torno das retas x, y e z. dadas por R 0 X 1 3 2, Y, R 1 3 2 1 e Z 2 3 1, R 2 2 1 3 3 1 2 D 3, o é um grupo não-abeliano, pois R 0 é o elemento neutro, todos os elementos são simétrizáveis, a associativa vale por se tratar de particular composição de aplicações e não é válida a comutativa. A tábua fica: o R 0 R 1 R 2 X Y Z R 0 R 0 R 1 R 2 X Y Z R 1 R 1 R 2 R 0 Z X Y R 2 R 2 R 0 R 1 Y Z X X X Z Y R 0 R 2 R 1 Y Y X Z R 1 R 0 R 2 Z Z Y X R 2 R 1 R 0. A composta de duas rotações é uma rotação. A composta de duas reflexões é uma rotação.a composta de uma rotação com uma reflexão e vice-versa é uma reflexão., 7

2) Simetria do quadrado Definição 8: Denomina-se simetria de um quadrado Q qualquer aplicação bijetora f : Q Q que preserva distãncias. FIGURA 3 - Simetria do quadrado (Rotação no sentido anti-horário) Define-se Q 1, 2, 3, 4 o conjunto dos vértices do quadrado, D 4 R 0, R 1, R 2, R 3, X, Y, Z, W o conjunto das simétrias do quadrado: R 0, R 1, R 2,R 3 as rotações de 0º, 90º, 180º e 270º em torno do seu centro O, no sentido anti-horário; X, Y, Z, W as reflexões de radianos em torno das retas x e y, e z e w. dadas por R 0 4 4, R 1 4 4, R 2 4 3 4 1 2, R 3 4 2 3 4 1 X 4 1 4 3 2, Y 4 3 2 1 4, Z 4 2 1 4 3, W 4 4 3 2 1 D 4, o é um grupo não-abeliano, pois R 0 é o elemento neutro, todos os elementos são simétrizáveis, a associativa vale por se tratar de particular composição de aplicações e não é válida a comutativa. A tábua fica: o R 0 R 1 R 2 R 3 X Y Z W R 0 R 0 R 1 R 2 R 3 X Y Z W R 1 R 1 R 2 R 3 R 0 Z W Y X R 2 R 2 R 3 R 0 R 1 Y X W Z R 3 R 3 R 0 R 1 R 2 W Z X Y X X Z Y W R 0 R 2 R 1 R 3 Y Y W X Z R 2 R 0 R 3 R 1 Z Z Y W X R 3 R 1 R 0 R 2 R 3 W X Z Y R 1 R 3 R 2 R 0 A composta de duas rotações é uma rotação. A composta de duas reflexões é uma rotação.. 8

A composta de uma rotação com uma reflexão e vice-versa é uma reflexão. PRODUTO DIRETO Sejam G e L grupos multiplicativos (ou aditivos). G L, é um grupo. Se G e L forem abelianos, então G L, também será. GL, onde (a,b)c, d ac, bd,a, b,c, d GL. Provando que é um grupo. 1) Associativa: a. b c, d e, f ac, bd e, f ace,bdf ace, bdf a, b ce, df a, b c, d e, f 2) Elemento neutro: se e G e e L são elementos neutros de G e L, respectivamente, então e G, e L é o elemento neutro de GL. 3) Elemento oposto: Se a, b GLea e b os inversos de a e b em G e L. Então a, b a, b aa, bb e G, e L Exercícios do livro: Página 155: 1 a 6, 8,11,14 a 20. 9

SUBGRUPOS Definição 8: Seja G, um grupo. Diz-se que um subconjunto não-vazio H G é subgrupo de G se: a) H é fechado para operação, isto é, a, b H, a b H. b) H, também é um grupo. Exemplos: 1) é fechado para a operação em., é um grupo. Portanto,, é um subgrupo de. 2) P, dos números inteiros pares é um subgrupo de,. 3) I, dos números inteiros ímpares não é um subgrupo de,. 4), é um subgrupo de,, que é de,. 5), é um subgrupo de,. 6) Sejam S 3 f 0, f 1, f 2, g 1, g 2, g 3, conjunto das permutações, e C 3 f 0, f 1, f 2 S 3. C 3 é fechado para a composição de funções. C 3 é subgrupo de S 3. OBS: 1) A associatividade da operação em G garante a associatividade desta operação em H, porque H G. 2) O elemento neutro e de um grupo G, também é o elemento neutro de todos os seus subgrupos. 3) O simétrico de a H no subgrupo H, coincide com o simétrico de a G no grupo G,. 10

OBS: Todo grupo G, em que o conjunto G tem mais de um elemento admite pelo menos dois subgrupos: G, e, chamados de subgrupos triviais ou impróprios de G. Exemplos: 1) Todos subgrupos de 4, : 4,. 2) Todos subgrupos de 6, : 4, 0, 0, 2, 6, 0, 0, 3, 0, 2, 4,..Mas 0, 3, não é subgrupo de 3) Todos os subgrupo de e, a, b, c, onde e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e são e, a, b, c, e, e, a, e, b, e, c, par e, a, b, não é subgrupo pois a b c e, a, b, c. 4) Todos os subgrupos do grupo D 3, o das simetrias do triângulo equilátero, onde D 3 R 0, R 1, R 2, X, Y, Z são: D 3, o R 0, o R 0, X, o R 0, Y, o R 0, Z, o R 0, R 1, R 2, o.. O Teorema 1: Sejam G, um grupo e H uma parte não vazia de G. O par H, é um subgrupo de G, se, e somente se, são válidas as duas seguintes condições: 1) a, b H a b H. 2) a H a H. Dem: 11

Teorema 2: Sejam G, um grupo e H uma parte não vazia de G. O par H, é um subgrupo de G, se, e somente se, é válida aseguinte condição: a, b H a b H. Dem: Exemplo: Consideremos 2, onde a, b c, d a c, b d e o conjunto H x, y 2 /y 2x. Mostrar que H, é um subgrupo do 2,. Exercícios do livro: Página 158: 28,29,31 a 34, 36 a 39, 41,42,44. 12

HOMOMORFISMO E ISOMORFISMOS DE GRUPOS Definição 9: Dá-se o nome de homomorfismo de um grupo G, num grupo J, a toda aplicação f : G J tal que, quaisquer que sejam x, y G tem-se fx y fxfy. OBS: Se J G e a operação é a mesma, chama-se homomorfismo de G. Definição 10: Seja f : G J um homomorfismo de grupos. Se f for também uma bijeção, então será chamado de isomorfismo do grupo G, no grupo J,. Neste caso, diz-se que f é um isomorfismo de grupo.s OBS: Se J G e a operação é a mesma, f é um isomorfismo de G. Notação: G, J,. Exemplos: 1) Sejam, um grupo aditivo e, grupo multiplicativo. A função f : dada por fx 2 x é um homomorfismo de, em,. É um homomorfismo injetor? sim É um homomorfismo sobrejetor? sim É um isomorfismo de grupos? sim 2) Sejam, um grupo multiplicativo e, grupo multiplicativo. A função f : dada por fz z é um homomorfismo de, em,. É um homomorfismo injetor? não É um homomorfismo sobrejetor? sim É um isomorfismo de grupos? não 3) Sejam, um grupo aditivo e m, grupo aditivo com m 1. A função f : m dada por fx x é um homomorfismo de, em m,. É um homomorfismo injetor? não É um homomorfismo sobrejetor? sim É um isomorfismo de grupos? não 4) Sejam M 2, um grupo aditivo e, grupo aditivo com m 1. A função f : M 2 dada por f É um homomorfismo injetor? não É um homomorfismo sobrejetor? sim É um isomorfismo de grupos? não a c b d a d é um homomorfismo de M 2, em,. 5) Sejam, grupo multiplicativo e, um grupo aditivo. A função f : dada por fx logx é um isomorfismo de, em,. 13

6) Sejam 4, um grupo aditivo e G, grupo multiplicativo onde G i,1 cuja a tábua é dada por: 1 1 i i 1 1 1 i i 1 1 1 i i i i i 1 1 i i i 1 1. A função f : 4 G dada por f 0 1, f 1 i, f 2 1 e f 3 i é um isomorfismo de 4, em G,. Mas não é única: g : 4 G dada por g 0 1, g 1 i, g 2 1 e g 3 i é um isomorfismo de 4, em G, também. Propriedades Sejam G, e J, dois grupos cujos elementos neutros respectivos são e 1 e e 2 e f : G J um homomorfismo de G, em J,. 1) fe 1 e 2 2) Se a G, então fa 1 fa 1. 3) fab 1 fafb 1 4) Se H é um subgrupo de G, então fh é um subgrupo de J. Dem: 14

Proposição 1: Sejam G, J, e L grupos. Se f : G J e g : J L são homomorfismos de grupos, então o mesmo se pode dizer de gof: G L. Dem: Corolário 1: Se f e g são homomorfismo injetores (sobrejetores) então gof também é homomorfismo injetor (sobrejetor). I Proposição 2: Se f : G J é um isomorfismos de grupos, então f 1 : J G também é um isomorfismo de grupos. Dem: Exercícios do livro: Páginas 171: 48,49,52,54, 55, 56, 58 (sem fazer o núcleo quando é pedido), 59, 60,62,68,71 e 72 15

GRUPOS CÍCLICOS Definição 10: Seja G, grupo multiplicativo. Se a G e m, então a m G definido da seguinte maneira: Se m 0, então a 0 e elemento neutro de G e a m a m1 a se m 1. Se m 0, então a m a m 1 OBS: e m e. Exemplo: 5,. Proposição 3: Seja G, grupo multiplicativo. Se m e n são números inteiros e a G, então: 1) a m a n a mn 2) a m a m 1 3) a m n a mn Definição 11: Seja G, grupo aditivo. Se a G e e m, a m G definido da seguinte maneira: Se m 0, então 0 a e elemento neutro de G e ma m1 a a se m 1. Se m 0, então ma m a Proposição 4: Seja G, grupo aditivo. Se m, n e a G, então: 1) ma na mna 2) ma ma 3) nma nma Definição 12: Se a G onde G, é um grupo multiplicativo. Define-se a a m /m a 0, a 1, a 2,,a m, onde a G e a Proposição 5: 1) O subconjunto a é um subgrupo abeliano de G. 2) Se H é um subgrupo de G ao qual a pertence, então a H. OBS: De 2), tem-se que a é o menor subgrupo de G que inclui o elemento a. Dem: 16

Definição 13: Um grupo multiplicativo G será chamado de grupo cíclico se, para algum elemento a G, se verificar a igualdade a G. Nessas condições, o elemento a é chamado gerador do grupo G. G a m /m para algum a G. OBS: 1) No caso do grupo aditivo G ma/m,2a,a, e 0. a, a, 2a, 2) a não é necessariamente infinito. 3) Um grupo cíclico pode ter mais do que um gerador. Teorema 3: Todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico. Dem: Exemplos: 1), grupo multiplicativo 1 e temos 1 1 m /m 1,1. Portanto, 1,1, é um grupo cíclico de, gerado pelo elemento 1. é. 2), é um grupo cíclico pois 1 é um elemento gerdor, assim com 1 também 1k/k,3,2,1, 0, 1, 2, 3, 3), grupo aditivo. 3 3k/k,9,6,3, 0, 3, 6, 9, 3, é um subgrupo cíclico de, gerado pelo elemento 3 ou 3. 4) 1,1, i,i, é um grupo cíclico pois i é um elemento gerador, assim com i também é. 17

5) 3, 5, 7, 9, definido pela tábua é um grupo cíclico, gerador. 9 também é. 3 5 7 9 3 3 5 7 9 5 5 7 9 3 7 7 9 3 5 9 9 3 5 7. 5 é o elemento 6) 5, é um grupo cíclico. 3 é o elemento gerador. Mas 1, 2 e 4 também são. 7) Devido à teorema anterior, são subgrupo cíclicos de 0 0 1 1 2 2,6,4,2, 0, 2, 4, 6, 3 3,9,6,3, 0, 3, 6, 9, Teorema 4: Em um grupo cíclico finito G, de ordem n (og n), para qual a é o elemento gerador, se tem a n e sendo e o elemento neutro de G,. Isto é, G a, a 2,a n1, a n e. Dem: 18

Corolário 2: Em grupo cíclico finito de ordem n, para o qual a é o elemento gerador, n é o menor número natural tal que a n e Definição 14: Sejam G, um grupo e a um elemento de G a G, chama-se ordem de a a ordem do subgrupo cíclico a, gerado por a. A ordem de a indica-se por oa. Portanto, oa oa. Se o subgrupo cíclico a, gerado por a for finito, então a ordem de a é finita. Caso contrário, a ordem a é infinita. Todo elemento de um grupo finito G, tem ordem finita, porque a é uma parte de G, qualquer que seja a G, mas a recíproca não é verdadeira. Exemplos: 1), grupo multiplicativao. Subgrupo cíclico gerado por -1 é 1, 1, 1,. o1 o1 2. Portanto, 1, tem ordem finita. 2) 6, grupo aditivo. 2, 0, 2, 4, o 2 3 tem ordem finita. E o 0 1, o 3 2, o 1 o 5 6, o4 3 3) No grupo das permutações S 3, o, a ordem do elemento g 2 S 3 é 3, onde S 3 f 0, f 1, f 2, g 1, g 2, g 3 g 2, o f 0, g 2, g 3, o E o f 0 1, o f 1 o f 2 og 3 2, og 1 3. Exercícios do livro: Página 183: 74, 75,76, 78 a 82, 84 a 87, 94 a 98. 19