VTB 008 ª ETAPA Sluçã Cmentada da Prva de Matemática 0 Em uma turma de aluns que estudam Gemetria, há 00 aluns Dentre estes, 0% fram aprvads pr média e s demais ficaram em recuperaçã Dentre s que ficaram em recuperaçã, 70% fram aprvads Determine percentual de aluns aprvads nessa disciplina Sluçã: Aprvads pr média: M = 0 Ficaram em recuperaçã: R = 70 Aprvads na recuperaçã: M = 70 0,7 = 49 Ttal de aprvads: M = 0 + 49 = 79 Cm a turma tinha 00 aluns, percentual de aprvads na disciplina fi de79% Pntuaçã: Até dez pnts 0 A matriz quadrada A de rdem é tal que A = A) Calcule A I, em que I é a matriz identidade de rdem B) Sabend-se que A cumpre a prpriedade A A = I, determine a matriz inversa de A Sluçã: A) Calcule A I, em que I é a matriz identidade de rdem 0 0 A I = 0 0 = 0 0 B) Sabend-se que A cumpre a prpriedade A A = I, determine a matriz inversa de A Cm A A = I; fatrand membr esquerd dessa igualdade pr A, tems a expressã ( A I ) A = I Daí, segue que ( A I ) A = I Da mesma frma, fatrand pr A, chegams a A ( A I ) = I ( A I ) Iss implica que A = Pel item anterir, btems: A = Pntuaçã: A questã vale dez pnts, tem dis itens, send que item A vale até três pnts, e B vale até sete pnts CCV/UFC/Vestibular 008 Matemática Pág de 5
0 Os lads a, b, e c d triângul ABC sã psts as ânguls interns α, β e γ, respectivamente, e as medidas, em graus, ds ânguls α, β e γ estã, nessa rdem, em prgressã aritmética cm razã psitiva A) Determine a medida d ângul β B) Sabend-se que a medida d lad a é a metade da medida d lad c, determine as medidas ds ânguls α e γ Sluçã A) Determine a medida d ângul β Se a razã da prgressã aritmética é r > 0, tems α = β r e γ = β + r Vist que a sma 0 ds ânguls interns de um triângul vale 80, cncluíms, imediatamente, que β =60 B) Sabend-se que a medida d lad a é a metade da medida d lad c, determine as medidas ds ânguls α e γ Pela Lei ds c-sens, tems b = a + c ac cs60 Substituind s valres a = c e cs 60 =,btems a relaçã b = c 4 senβ senγ Pela Lei ds sens, tems = Substituind s valres b = c e b c sen β =, chegams a sen γ =, u seja, γ =90 Cm s ânguls estã em prgressã aritmética, cncluíms que α = 0 Pntuaçã: A questã vale dez pnts, tem dis itens, send que item A vale até quatr pnts, e B vale até seis pnts 04 Cnsidere cnjunt de dígits C = {,,, 4, 5, 6} A) Dentre tds s númers naturais cm quatr dígits que se pde frmar utilizand smente elements de C, calcule quants sã múltipls de 4 B) Dentre tds s númers naturais cm três dígits distints que se pde frmar utilizand smente elements de C, calcule quants sã múltipls de Sluçã: A) Um númer natural cm mais de um dígit é múltipl de 4 se, e smente se, ele termina em 00 u quand númer natural frmad pels dis últims dígits da direita é divisível pr 4 Send assim, s númers naturais de quatr dígits, abcd, múltipls de 4 cm a, b, c e d C devem terminar em, 6, 4,, 6, 44, 5, 56 u 64 Cm pdems esclher qualquer um ds seis dígits em C para a e qualquer um ds seis dígits em C para b, dentre s númers cnsiderads existem 6 9 = 4 múltipls de 4 B) Um númer natural é divisível pr se, e smente se, a sma ds valres absluts ds seus dígits é um númer natural divisível pr Os númers naturais cm três dígits, abc, e divisíveis pr que pdem ser escrits cm s elements de C em rdem crescente de valres absluts, a < b < c, sã:, 6, 4, 46, 45 e 456 Permutand-se s dígits em cada um desses númers btems tds s múltipls de prcurads Lg, ttal é 6! = 6 Pntuaçã: A questã vale dez pnts, send que cada item vale até cinc pnts CCV/UFC/Vestibular 008 Matemática Pág de 5
05 Dada a reta r : y = x d plan cartesian xy, determine a equaçã da reta s, a qual é paralela à r, e está, de r, a uma distância igual a e nã intercepta quart quadrante d plan cartesian Sluçã A equaçã prcurada da reta tem a frma s : y = x + b cm b > 0, pis ela é paralela à reta r : y = x e nã intercepta quart quadrante A distância d pnt P ( 0, b) para a reta r é igual a, prtant b = secα= tg α+ = + = 5 Daí, segue a equaçã da reta s, s : y = x + 5 Pntuaçã: Até dez pnts 06 Calcule valr numéric da expressã lgtg 5 + lgtg, 0 em que lg indica lgaritm na base 0 e tg indica a tangente d ângul Sluçã: Observe que s ânguls sã cmplementares, = + e 0 < < < Send assim, 0 5 5 0 cs = sen e sen = cs 0 5 0 5 CCV/UFC/Vestibular 008 Matemática Pág de 5
Essas igualdades implicam que tg = tg 5 0 Agra, utilizand as prpriedades d lgaritm, pdems calcular valr pedid, lg tg + lgtg = lgtg tg = lg= 0 5 0 5 0 Pntuaçã: Até dez pnts 07 As arestas de um cub medem unidade de cmpriment Esclhid um vértice V d cub, cnsidera-se um tetraedr VABC de md que as arestas VA, VB e VC d tetraedr estejam cntidas nas arestas d cub (cm descrit na figura) e tenham a mesma medida, x = VA = VB = VC, cm 0 < x A) Calcule vlume d tetraedr VABC em funçã de x B) Cnsidere a esfera inscrita nesse cub Determine valr de x para que plan determinad pels pnts A, B e C seja tangente a essa esfera Sluçã: A) Cnsiderand a face ABV d tetraedr cm a sua base, a altura fica send a aresta VC Cm ABV é um triângul retângul cm medida ds catets igual a x e a medida da altura é x = VA, entã área( ABV ) = x x e vlume é vl ( VABC ) = x 6 B) Calculems vlume desse tetraedr cnsiderand triângul eqüiláter ABC de lads x cm a base Seja x valr prcurad Send assim, área ( ABC) = x x = x O dbr da medida h da altura d tetraedr em relaçã a vértice V será a medida da diagnal l d cub mens a medida d d diâmetr da esfera Pel Terema de Pitágras, l =, e pel fat de a esfera ser inscrita a cub, tems d = Lg, Calculand vlume d tetraedr, chegams a vl( VABC) = x 6 Pel item anterir, pdems escrever a igualdade x = x 6 6 h = ( ) Reslvend essa equaçã, encntrams valr x = Pntuaçã: A questã vale dez pnts, tem dis itens, send que item A vale até três pnts, e B vale até sete pnts CCV/UFC/Vestibular 008 Matemática Pág 4 de 5
08 Os númers a, b, c e d sã reais Determine s ceficientes d plinômi P( = ax + bx + cx + d, sabend-se que plinômi Q( = ax + bx + divide P( e que P(a) = Q(a) = a 0 Sluçã: Efetuand a divisã de P ( pr Q ( cncluíms que P ( = Q( x + ( c ) x + d Pr hipótese, Q ( divide P (, lg, devems ter c = e d = 0 Reescrevams s plinômis: P( = ax + bx + x Q( = ax + bx + Da cndiçã P ( a) = a, chegams à igualdade ( ) = a a +b 0, de nde segue que b = a Substituind valr de b n ceficiente de Q ( e reescrevend esse plinômi, btems Q ( = ax a x + Nvamente, pela hipótese Q ( a) = a, btems valr a =, e, cnseqüentemente, b = Pntuaçã: Até dez pnts CCV/UFC/Vestibular 008 Matemática Pág 5 de 5