SÉRIE INFINITA HARMÔNICA E AS NOTAS MUSICAIS BORO, M. C. mayaraboro@hotmail.com FRANCISCON, H. M. heidefranciscon@hotmail.com MERLI, R. F. renato.francisco@fap.com.br Resumo: Este trabalho traz um estudo sobre as séries infinitas harmônicas, algumas das suas propriedades, e também uma aplicação. Explica o conceito de divergência e convergência e aplica nestas séries, contém uma breve apresentação histórica do trabalho bem sucedido de grandes matemáticos para desenvolver, não só as séries harmônicas, como também todas as séries infinitas. Palavras-Chave: divergência, infinito, música. Abstract: This paper presents a study of the infinite harmonic series, some of its properties, and also an application. Explains the concept of convergence and divergence and applies these series, contains a brief historical presentation of the successful work of great mathematicians to develop not only the harmonic series, as well as all the infinite series. Keywords: divergence, infinite, music. 1. INTRODUÇÃO As séries infinitas são conhecidas desde a antiguidade, pois relatos apontam que os matemáticos Arquimedes e Pitágoras foram os seus grandes precursores. Como apresenta Ávila (1996, p. 2) a primeira série de quem se tem notícia é a série geométrica de razão 1/4, que intervém no cálculo da área da parábola feito por Arquimedes. Séculos mais tarde, Newton também desenvolveu alguns trabalhos nessa área, que culminou com uma expressão que exprimisse potências racionais de binômios por meio de séries. Thomas (2003, p. 1) salienta que muitos matemáticos usaram estas séries para calcular resultados nunca alcançados. Como exemplo Laplace usou-as para provar a estabilidade do sistema solar. As pesquisas de séries infinitas procuram investigar se determinada série é convergente ou divergente. Nesse sentido, o objetivo deste trabalho é verificar se a série harmônica, que é uma série infinita, é uma série convergente ou divergente. O nome harmônica vem da semelhança com a proporcionalidade do
comprimento de onda sonoras. Estas séries têm grandes aplicações na música e são objetos de nosso estudo. O trabalho utilizará um dos testes presentes na literatura para provar se a série harmônica é ou não divergente, para isso fará uma breve revisão bibliográfica, onde será possível compreender as principais características e propriedades dessas séries. 2. SÉRIES HARMÔNICAS. Segundo Garbi (2010, p. 252-255) Euler fez uma célebre descoberta envolvendo a série harmônica (dos inversos dos números naturais). Seja a série geométrica Se In I< 1, tal soma converge para. Euler tomou n como o inverso de um primo qualquer e obteve A série harmônica é provavelmente um das mais famosas séries em matemática (Thomas, 2003, p. 35) e seu enésimo termo é dado por (1/n), onde n compreende os números inteiros e positivos maiores ou iguais a um. Segundo Ávila (1995 p. 55-56) [...] a série harmônica, também a mais simples dentre as séries divergentes com termo geral tendendo a zero. Aliás, para algum aluno iniciante e inexperiente em séries infinitas é levado a crer que a série deva ser convergente, e não divergente. Afinal, os termos estão decrescendo pra zero após uma soma muito grande deles, contudo é necessário uma análise mais cuidadosa. Existem algumas séries harmônicas especiais, por exemplo, a Série Harmônica Alternada que é definida por: De acordo com Thomas (2003, p. 34) o teste da Integral pode ser usado para resolver as questões de convergência de qualquer série com forma ), sendo p uma constante real. Tais séries são chamadas de p-séries. A p-série com p=1 é a série harmônica.
O teste da p-série mostra que a série harmônica é divergente por um triz; se aumentarmos p para 1, 000000001, por exemplo, a série converge. A lentidão com a qual as somas parciais da série harmônica se aproximam do infinito é muito impressionante. De acordo com ÁVILA (1995, p. 56) O raciocínio usado nessa demonstração e ensinado nos cursos de Cálculo consiste em agrupar os termos das séries, de forma que a soma em cada grupo supere ½. Assim, Em vista disso, concluímos que a série diverge. Sabendo que a série diverge, procuramos usar essa propriedade em uma de suas aplicações, como veremos na seção seguinte. 3. APLICAÇÕES DAS SÉRIES HARMÔNICAS Uma das grandes aplicações das séries harmônicas é na música. Segundo Anderle (2001, p. 1-2) O som emitido por um instrumento musical é resultado de uma vibração. A série harmônica é resultado dos sons geradores e mais as notas agudas. Se tomarmos como exemplo a corda de um violão notaremos que além de vibrar em toda a sua extensão, também vibra em sua metade, em sua terça parte, em sua quarta parte e quinta parte, etc. produzindo sons cada vez mais agudos. A vibração da corda pode ser definida como ciclos ou Hertz. [...] A série harmônica é fisicamente infinita, e suas primeiras 16 notas surgem ao subdividir uma corda vibrante (experiência de Pitágoras) em 2 3 4 5 6 7 8 9 10 partes iguais. Podemos observar o que Anderle descreveu por meio da Figura1.
Figura 1- Subdivisão de harmônicos Fonte: http://pt.scribd.com/doc/56289539/apostila-acustica-eletrica-em-audio A Figura 1 mostra que cada nota omitida (ou também frequência fundamental) por um instrumento ou objeto excita outros harmônicos, que originam a série harmônica de frequências. Segundo Thomas (2003, p. 35) Os termos da série harmônica correspondem aos nós em uma corda vibrando que produzem múltiplos da frequência fundamental. Por exemplo, 1/2 produz o harmônico que é o dobro da frequência fundamental, 1/3 produz uma frequência que é 3 vezes a frequência fundamental e assim por diante. A frequência fundamental é a nota ou a altura do som mais baixa que ouvimos quando uma corda é tangida. Assim, podemos verificar na Figura 2, as notas musicais atreladas aos termos da série harmônica. Figura 2- Exemplo de uma série harmônica - nota dó como som fundamental Fonte: http://www.estacaomusical.com.br/aprendendomusica/17/serie-harmonica Segundo Bartz (2010) A quantidade de harmônicos de um som fundamental é infinita. Quanto mais afastados do som fundamental, menos audíveis e consonantes os harmônicos vão ficando com relação à nota principal. Os intervalos entre os harmônicos também se tornam menores. A série harmônica nos permite observar os intervalos consonantes e dissonantes com relação a uma nota específica.
Como a série diverge no infinito, então no infinito os harmônicos tendem a se tornar inaudíveis. 4. CONCLUSÃO Foi possível com este trabalho concluir que as séries infinitas harmônicas são séries divergentes, e que, uma de suas aplicações está relacionada às notas musicais. A pesquisa com séries ainda está em contínuo movimento, existem estudos recentes principalmente na área da música, prova de que grandes matemáticos como Euler terão sempre seus trabalhos lembrados pela grande importância que tiveram. Um exemplo disso é trabalho realizado por Castro (2012) que propõe a fusão de duas grandes artes a música e a pintura, utiliza do conceito de séries harmônicas para estabelecer uma cor para cada nota musical. 5. REFERÊNCIAS ANDERLE, D. Série Harmônica, 2001. Disponível em:< http://www.dirsom.com.br/index_htm_files/serie%20harmonica.pdf>. Acesso em: 25 set 2012. ÁVILA, G. As Séries Infinitas. In: Revista do Professor de Matemática nº 30. SBM. São Paulo, 1996. ÁVILA, G. A Série Harmônica e a fórmula de Euler MacLaurin. Disponível em: <http://matematicauniversitaria.ime.usp.br/conteudo/n19/n19_artigo05.pdf>. Acesso em: 21 set 2012. BARTZ, G. Série Harmônica, 2010. Disponível em: < http://www.estacaomusical.com.br/aprendendomusica/17/serie-harmonica> Acesso em: 29 set 2012. CASTRO, D. S. Cores Harmônicas. Disponível em: < http://culturadigital.br/dacio/2012/07/02/cores-harmonicas/> Acesso em: 29 set 2012. GARBI, G. G. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. 5. ed., São Paulo: Editora Livraria da Física, 2010. THOMAS, G. B. Cálculo, volume 2, 10. ed., São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2003.