UFMG/ICEx/DCC DCC Matemática Discreta Lista de Exercícios 5: Soluções Teoria dos Conjuntos Ciências Exatas & Engenharias 2 o Semestre de 206. Escreva uma negação para a seguinte afirmação: conjuntos A, se A R então A Z. O que é verdadeira: a afirmação ou sua negação? Justifique a sua resposta. Negação: um conjunto A tal que A R e A Z. A negação é verdadeira. Por exemplo, seja A = {x R 0 < x < 2}. Então A R mas A Z, já que, por exemplo, 2 A. 2. Sejam os seguintes conjuntos: A = {m Z m = 2i, para algum inteiro i} B = {n Z n = 3j + 2, para algum inteiro j} Prove se A = B. Tem-se que A B. Por exemplo, A, já que a = 2, mas B. Se fosse um elemento de B, então teríamos = 3j + 2, para algum inteiro j, o que daria: 3j + 2 = 3j = j = 3 o que não é um número inteiro, ou seja, B. Assim, existe um elemento em A que não está em B. Conseqüentemente, A B. 3. Seja A = {, 2, 3}, B = {u, v} e C = {m, n}. Liste os elementos do conjunto A (B C). A (B C) = {(, (u, m)), (2, (u, m)), (3, (u, m)), (, (u, n)), (2, (u, n)), (3, (u, n)), (, (v, m)), (2, (v, m)), (3, (v, m)), (, (v, n)), (2, (v, n)), (3, (v, n))} 4. Prove que para todos os conjuntos A e B, B A = B A c. Prova que B A B A c : Suponha x B A. Pela definição de diferença de conjuntos, x B e x A. Pela definição de complemento, x B e x A c. Pela definição de intersecção x B A c. Assim, pela definição de subconjunto, B A B A c.
Prova que B A c B A: Suponha x B A c. Pela definição de intersecção, x B e x A c. Pela definição de complemento, x B e x A. Pela definição de diferença de conjuntos, x B e x A. Assim, pela definição de subconjunto, B A c B A. Como B A B A c e B A c B A temos que B A = B A c. 5. Prove por indução matemática que para todo inteiro n e todos os conjuntos A, A 2,..., A n e B, Prova (por indução matemática): (A B) (A 2 B)... (A n B) = (A A 2... A n ) B (a) Passo base: Para n =, a fórmula é expressa como A B = A B, que é claramente verdadeira. Logo, o passo base é verdadeiro. (b) Passo indutivo: se a fórmula é verdadeira para n = k, k então deve ser verdadeira para n = k+. Hipótese indutiva: Deve-se mostrar que: (A B) (A 2 B)... (A k B) = (A A 2... A k ) B (A B) (A 2 B)... (A k+ B) = (A A 2... A k+ ) B Tem-se que: Que pode ser reescrito como: (A B) (A 2 B)... (A k+ B) Pela hipótese indutiva temos: [(A B) (A 2 B)... (A k B)] (A k+ B) = [(A A 2... A k ) B] (A k+ B) Pela propriedade de diferença, ou seja, (X Z) (Y Z) = (X Y ) Z, para conjuntos X, Y e Z, tem-se que: (A A 2... A k A k+ ) B 6. Prove que para todos os conjuntos A, B e C, (A B) (B C) = A B. A expressão (A B) (B C) pode ser expressa como (A B c ) (B C c ) c Representação alternativa para diferença (A B c ) (B c C) De Morgan ((A B c ) B c ) ((A B c ) C) Distributividade (A (B c B c )) (A (B c C)) Associatividade (A B c ) (A (B c C)) Lei da interseção (A B c ) (A (C B c )) Comutatividade (A B c ) ((A C) B c ) Associatividade (B c A) (B c (A C)) Comutatividade B c (A (A C)) Distributividade B c A Absorção A B c Comutatividade A B Representação alternativa para diferença 2
7. Dados dois conjuntos A e B, defina a diferença simétrica de A e B, representada por A B, como A B = (A B) (B A) Prove se A B = B A. Sejam A e B conjuntos quaisquer. Pela definição de, mostrar que A B = B A é equivalente a mostrar que (A B) (B A) = (B A) (A B) Esta igualdade é obtida diretamente da comutatividade da. 8. Prove se para todos os conjuntos A, B e C, (A B) e (C B) são necessariamente disjuntos. Não, ou seja, (A B) (C B). Sejam os conjuntos A = {, 2}, B = {3} e C = {, 4}. Tem-se que A B = {, 2}. Tem-se que C B = {, 4}. No entanto, (A B) (C B) = {}, ou seja, a intersecção não é um conjunto vazio. 9. Sejam os conjuntos A = {} e B = {u, v}. Determine o conjunto potência de A B, i.e., P(A B). 0. Determine P(P(P({ }))). A B = {(, u), (, v)} P(A B) = {, {(, u)}, {(, v)}, {(, u), (, v)}} O conjunto potência do conjunto { } tem os dois elementos (2 = 2) abaixo, i.e., o conjunto vazio e um subconjunto que tem um elemento que é o conjunto vazio. P({ }) = {, { }} 2 O conjunto potência do conjunto potência do conjunto { } tem os quatro elementos (2 2 = 4) abaixo: o conjunto vazio e elementos formados a partir do conjunto {, { }}, ou seja, um subconjunto formado pelo primeiro elemento, um subconjunto formado pelo segundo elemento e um subconjunto com os dois elementos. P(P({ }) = {, { }, {{ }}, {, { }}} 2 3 4 O conjunto P(P(P({ }))) tem os 6 elementos (2 4 = 4) abaixo: o conjunto vazio e 5 elementos formados a partir do conjunto {, { }, {{ }}, {, { }}}. Esses 5 elementos são obtidos da seguinte forma: 2 3 4 quatro subconjuntos unitários, cada um formado a partir dos conjuntos, 2, 3 e 4 acima; seis subconjuntos de cardinalidade dois, cada um formado a partir dos conjuntos [ e 2], [ e 3], [ e 4], [2 e 3], [2 e 4], [3 e 4]; quatro subconjuntos de cardinalidade três, cada um formado a partir dos conjuntos [, 2 e 3], [, 2 e 4], [, 3 e 4], [2, 3 e 4]; um subconjunto de cardinalidade quatro com os quatro conjuntos [, 2, 3 e 4]; 2 3
P(P(P({ }))) = {, { }, {{ }}, {{{ }}}, {{, { }}}, 2 3 4 5 {, { }}, {, {{ }}}, {, {, { }}}, 6 7 8 {{ }, {{ }}}, {{ }, {, { }}}, 9 0 {{{ }}, {, { }}}, {, { }, {{ }}}, {, { }, {, { }}}, 2 3 {, {{ }}, {, { }}}, 4 {{ }, {{ }}, {, { }}}, 5 {, { }, {{ }}, {, { }}}} 6. Seja A = {x, y}. Determine: (a) A P(A) O conjunto P(A) = {, {x}, {y}, {x, y}}. Assim, devemos identificar os elementos em comum de A e P(A). Basicamente, o algoritmo a ser seguido é avaliar, para cada elemento de A, se ele também pertence ao conjunto P(A). Por exemplo, temos que x A. A questão é x P(A)? Para respondermos a essa pergunta, devemos comparar x a cada elemento de P(A). Ou seja,. x? = 2. x? = {x} 3. x? = {y} 4. x? = {x, y} Claramente, a resposta é falsa para todas as linhas já que em cada caso estamos comparando um elemento a um conjunto, inclusive na linha 2 (o elemento x não é igual ao conjunto {x}). Logo, a interseção dos conjuntos A e P(A) tem como resultado o conjunto vazio, i.e., A P(A) =. (b) (P(A) A) A P(A) A = {, {x}, {y}, {x, y}} {x, y} = {, {x}, {y}, {x, y}} Assim, temos: (P(A) A) A = {, {x}, {y}, {x, y}} {x, y} = (c) P({P(A) {{x}}} ) P({P(A) {{x}}} ) = P({{, {x}, {y}, {x, y}} {{x}}} ) = P({{, {y}, {x, y}}} ) = P({{, {y}, {x, y}}}) = {, {, {y}, {x, y}}} 4
2. Prove que A (B C) = (A B) (A C) usando apenas as propriedades de conjuntos (sem usar diagrama de Venn). (Lembre-se que dados dois conjuntos A e B, A = B sse A B e B A, ou seja, a prova deve ser feita em duas partes.) A prova deve ser dividida em duas partes: (a) A (B C) (A B) (A C). Suponha que exista um elemento x contido no conjunto resultante de A (B C). Pela definição da união temos duas possibilidades: (a) x A, ou (b) x (B C), i.e., x B e x C. Deve-se provar que x está contido no conjunto resultante de (A B) (A C). Para x estar contido nesse conjunto resultante, x (A B) e x (A C). No primeiro caso, se x A então x estará na interseção dos dois termos, i.e., caso (a) acima. Se x A, x deve pertencer simultaneamente a B e a C para estar na interseção dos dois termos, i.e., caso (b) acima. Assim, se x é um elemento presente no conjunto resultante de A (B C) então x estará presente no conjunto resultante de (A B) (A C). (b) (A B) (A C) A (B C). Suponha que exista um elemento x contido no conjunto resultante de (A B) (A C). Pela definição de interseção temos que: (a) x A ou x B, e (b) x A ou x C. Isto significa que x pertence a A ou x pertence simultaneamente a B e a C. Deve-se provar que x está contido no conjunto resultante de A (B C). Para x estar contido nesse conjunto resultante, x A ou x (B C). Mas essas duas condições representam exatamente a hipótese feita. 3. Simplifique as seguintes expressões usando apenas as propriedades de conjuntos: (a) ((A (B C)) (A B)) (B C c ) (((A B) (A C)) (A B c )) (B C c ) ((A B c ) (A B)) ((A B c ) (A C))) (B C c ) (A (A B c C)) (B C c ) A (B C c ) (b) (A (A B)) (B (A B)) ((A A) (A B)) ((B A) (B B)) (A B) (B A) A B c B A c 4. Sejam os conjuntos A, B e C. Sabe-se que A B e os conjuntos B e C são disjuntos, mas A e C têm elementos em comum. Esboce, se for possível, o diagrama de Venn desses conjuntos. Prova (por contradição): Suponha que sim, que é possível fazer esse diagrama. Suponha que x é o elemento em comum dos conjuntos A e C. Sabe-se que A B. Assim, o elemento x deve também pertencer a B. Logo, B e C também devem ter um elemento em comum, o que contradiz a afirmação que esses conjuntos são disjuntos. Consequentemente, não existe tal diagrama de Venn. 5