FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA II

3ª edição FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA II

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA II

SOMESB Sociedade Mantenedora de Educação Superior da Bahia S/C Ltda. Presidente Gervásio Meneses de Oliveira Vice-Presidente William Oliveira Superintendente Administrativo e Financeiro Samuel Soares Superintendente de Ensino, Pesquisa e Etensão Germano Tabacof Superintendente de Desenvolvimento e Planejamento Acadêmico Pedro Daltro Gusmão da Silva FTC-EAD Faculdade de Tecnologia e Ciências Ensino a Distância Diretor Geral Reinaldo de Oliveira Borba Diretor Acadêmico Roberto Frederico Merh Diretor de Tecnologia Jean Carlo Nerone Diretor Administrativo e Financeiro André Portnoi Gerente Acadêmico Ronaldo Costa Gerente de Ensino Jane Freire Gerente de Suporte Tecnológico Luís Carlos Nogueira Abbehusen Coord. de Softwares e Sistemas Romulo Augusto Merh Coord. de Telecomunicações e Hardware Osmane Chaves Coord. de Produção de Material Didático João Jacomel EQUIPE DE ELABORAÇÃO / PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO Produção Acadêmica Autor Adriano Pedreira Cattai Rui de Jesus Santos Gerente de Ensino Jane Freire Supervisão Ana Paula Amorim Coordenador de Curso Geciara da Silva Carvalho Revisão Final Adriano Pedreira Cattai Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento. Produção Técnica Edição em L A T E X ε Adriano Pedreira Cattai Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento. Revisão de Teto Carlos Magno Coordenação João Jacomel Equipe Técnica Aleandre Ribeiro, Cefas Gomes, Clauder Filho, Delmara Brito, Diego Doria Aragão, Diego Maia, Fábio Gonçalves, Francisco França Júnior, Hermínio Filho, Israel Dantas, Lucas do Vale, Marcio Serafim, Mariucha Ponte, Ruberval Fonseca e Tatiana Coutinho. Copright c FTC-EAD Todos os direitos reservados e protegidos pela lei 9.60 de 9/0/98. É proibida a reprodução total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorização prévia, por escrito, da FTC-EAD - Faculdade de Tecnologia e Ciências - Ensino a distância. www.ead.ftc.br

Sumário Funções Afim, Quadráticas, Eponenciais e Logarítmicas 6 Funções Afins e Quadráticas 6 Definições Elementares 6. Função Par............................................................................... 7. Função Ímpar............................................................................ 7.3 Função Crescente........................................................................ 8.4 Função Decrescente...................................................................... 8.5 Função Sobrejetora....................................................................... 8.6 Função Injetora........................................................................... 8.7 Função Bijetora........................................................................... 9.8 Função Inversa........................................................................... 9.9 Função Periódica......................................................................... 9.0 Eercícios Propostos..................................................................... 0 A Função Afim. O Gráfico da Função Afim................................................................ 3. Sinal de uma Função Afim................................................................ 5.3 A Inversa da Função Afim................................................................ 6.4 Apêndice : Modelagem Matemática...................................................... 7.5 Apêndice : Crescimento e Decrescimento............................................... 7.6 Eercícios Propostos..................................................................... 8 A Função Quadrática 0.7 A Função Quadrática......................................................................8 Raízes de uma Função Quadrática........................................................9 Etremo de uma Função Quadrática.......................................................0 Sinal de uma Função Quadrática......................................................... 3. Aplicações............................................................................... 4. Eercícios Propostos..................................................................... 5 Funções Eponenciais e Logarítmicas 8 Função Eponencial 8. Apresentação............................................................................ 8. Potências................................................................................ 9.. Potência de Epoente Natural........................................................ 9.. Propriedades das Potências.......................................................... 9.3 Equações Eponenciais.................................................................. 3.4 A Função Eponencial.................................................................... 3.4. Representação Gráfica............................................................... 3.5 Inequações Eponenciais................................................................. 33.6 Aplicações............................................................................... 34.7 Eercícios Propostos..................................................................... 35 3

Fundamentos da Matemática II Função Logarítmica 36.8 Apresentação............................................................................ 36.9 Logaritmos: Definição e Propriedades.................................................... 37.9. Propriedades........................................................................ 38.0 Equações Logarítmicas................................................................... 39. A Função Logarítmica.................................................................... 40. Gráfico da Função Logarítmica........................................................... 4.3 Inequações Logarítmicas................................................................. 4.4 Eercícios Propostos..................................................................... 4 Funções Trigonométricas e Outras Elementares 43 Funções Trigonométricas 44 Trigonometria 44 3. Relações Trigonométricas Fundamentais................................................. 44 3. Arcos Côngruos.......................................................................... 47 Funções Trigonométricas 48 3.3 As Funções Seno e Cosseno............................................................. 48 3.4 Outras Funções Trigonométricas.......................................................... 50 3.5 Eercícios Propostos..................................................................... 5 Outras Funções Elementares 53 Outras Funções Elementares 53 4. Apresentação............................................................................ 53 4. Função Potência......................................................................... 53 4.3 Funções Definidas por mais de uma Sentença............................................ 54 4.4 Função Modular.......................................................................... 55 4.5 Função Polinomial........................................................................ 56 4.6 Função Recíproca........................................................................ 57 4.7 Eercícios Propostos..................................................................... 59 Atividade Orientada 60 5. Etapa................................................................................... 60 5. Etapa................................................................................... 6 5.3 Etapa 3................................................................................... 6 4

Apresentação de Disciplina Caro aluno, Damos-lhe boas vindas ao curso de Fundamentos de Matemática II. Ao colocarmos este material à disposição de educadores e de alunos que se preparam para o magistério, é nossa intenção destacar alguns dos temas usualmente vistos no ensino médio, a eemplo das funções elementares: afim, quadrática, eponencial e logarítmica. Buscamos, tanto quanto possível, ilustrá-los mediante eemplos e interessantes aplicações que, sem dúvida alguma, tornarão mais instigantes e agradáveis de estudá-los. Conforme verá, adotamos uma abordagem bem simples e elementar. Evitamos o emprego de fórmulas, mesmo nas demonstrações, preferindo, ao invés disso, um constante apelo ao raciocínio lógico-dedutivo na obtenção de nossos resultados. Ao longo do teto, inserimos questões para refleão. Sugerimos que pare, ao encontrá-las em sua leitura, e as considere com bastante atenção. Incluímos, também, eercícios resolvidos e atividades complementares, bem como, no final deste trabalho, um bloco de atividades orientadas como parte de sua de avaliação individual. E, é claro, registramos nossa gratidão, ainda que previamente, por quaisquer observações ou comentários sobre o trabalho, para que possamos aprimorá-lo continuamente. Uma boa leitura, portanto, e boa sorte na carreira que escolheu. Prof. Rui Santos 5

Fundamentos da Matemática II Funções Afim, Quadráticas, Eponenciais e Logarítmicas Funções Afins e Quadráticas Definições Elementares Na disciplina Fundamentos de Matemática I, a definição de uma função real a uma variável foi apresentada da seguinte forma: Uma função real é um objeto matemático que, a cada número de um subconjunto A dos números reais, associa um único número f () de um subconjunto B dos números reais. Em outras palavras: f : A B é função A,! B; = f (). O conjunto A é chamado de domínio da função f ; o conjunto dos números reais contido em B que estão associados por f é chamado o conjunto imagem (ou simplesmente, a imagem) de f ; e o conjunto B é chamado de contradomínio da função. As seguintes notações foram estabelecidas:. f : A B para dizer que se trata da função real cujo domínio é o conjunto A.. f () para dizermos que f associa o número f () B ao número A. 3. Dom(f ) representa o domínio de f, e CD(f ) o contra-domínio. 4. Im(f ) representa a imagem de A, e se C A, indicaremos por f (C) o conjunto dos números f (), com C, que é chamado de imagem de C. Neste primeiro tema, detalharemos duas funções especiais, a saber: a Função Afim e a Função Quadrática. Antes disto, vejamos as seguintes definições: 6

. Função Par Dizemos que uma função f : ( c, c) R é uma função par, se f ( ) = f (), ( c, c). = f() Um eemplo bem simples de função par é f () =. Seu gráfico é eibido ao lado. De fato, o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo. Ou ainda: a a f( a ) = f( a) f ( ) = ( ) = = f ().. Função Ímpar Dizemos que uma função f : ( c, c) R é uma função ímpar, se f ( ) = f (), ( c, c) A função g() = 3 é um eemplo de função ímpar, pois, g( ) = ( ) 3 = 3 = g(). Nota. Uma função pode não satisfazer uma destas duas definições. De fato, seja a função definida por h() =. Assim, h( ) = ( ) = h() h( ) = + = h() ßÞ ÐÞ Ð ß Nota. Qualquer função com domínio simétrico em relação à origem pode ser escrita como soma de uma função par com uma função ímpar: f I () f () + f ( ) f () f ( ) f () = f P () + f I () = +, f P () em que a função f P () é uma função par e f I () é uma função ímpar. Verifique! f P () = = Se considerarmos a função h() =, eibida acima, então, ou seja, h() = f P () + f I (). f I () = ( ) = = + + =, 7

Fundamentos da Matemática II.3 Função Crescente Uma função f é crescente se a, b Dom(f ), a < b, então f (a) < f (b). f(b) f( a) f() a b.4 Função Decrescente Uma função f é decrescente se a, b Dom(f ), a < b, então f (a) > f (b). f( a) f() f(b) a b.5 Função Sobrejetora Uma função é sobrejetora quando todo o contradomínio possui um elemento correspondente em seu domínio, isto é, o conjunto imagem e o contradomínio são coincidentes. Em símbolos, se f : A B, então: B, A; = f ()..6 Função Injetora Uma função f : A B é injetora se, e somente se, elementos distintos no domínio possuem, como imagem, elementos distintos no contradomínio. Em símbolos:, A,, f ( ) f ( ). Nota 3. Uma outra maneira de eibir esta mesma condição é a através da sua contra-positiva, ou seja, f ( ) = f ( ) =. 8

= f() Esta epressão afirma que cada elemento da imagem da função f provém de um único elemento do seu domínio. Uma maneira visual de interpretar este fato é pelo chamado teste da linha horizontal. Se a linha interceptar o gráfico da função em mais de um ponto, então eistem pontos distintos no domínio tal que suas imagens são iguais..7 Função Bijetora Uma função é bijetora se é, simultaneamente, injetora e sobrejetora. Deiamos a representação simbólica deste conceito como eercício..8 Função Inversa Este é um conceito aplicável somente às funções bijetoras. Seja f : A B uma função bijetora, ou seja, para cada B, eiste eatamente um valor A tal que = f (). Assim, podemos definir uma função g : B A tal que = g(). A função g definida desta maneira é chamada função inversa de f, a qual denotaremos por f. Em outras palavras: f : B A = f () a = b B b A a A a a b b B f : A B a b = f (a) f : B A b a = f (b).9 Função Periódica Dizemos que uma função f é periódica se eiste um número real p 0 tal que f ( + p) = f () para todo Dom(f ). O menor número p que satisfaz f ( + p) = f () é chmado de período da função f. O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento p. 9

Fundamentos da Matemática II 6 Na disciplina Fundamentros da Matemática III, veremos que as funções f () = sen() e g() = cos() são funções periódicas de período π. A figura ao lado ilustra o gráfico de uma função periódica de período 4. -6-6.0 Eercícios Propostos.. Para que valor de, f () = + é igual a 6? e 0?.. Verifique que a correspondência entre os valores e = f (), dados pelos conjuntos abaio, não definem uma função. (a) R = {(, ) Z Z; + = 4} (c) R 3 =(, ) Z Z; 9 + 4 = (b) R = {(, ) N Z; = 0} (d) R 4 = {(, ) N Z; = 0}.3. Eiba os domínios das seguintes funções: (a) f () = 3 + (d) f () = (b) f () = (c) f () =.4. Decida se cada função é par, ímpar ou nem par e nem ímpar. (e) f () = 4 5 (f) f () = (a) f () = 5 (b) f () = (c) f () = 3 (d) f () = 5.5. Mostre que as funções abaio não são nem pares e nem ímpares, e epresse-as como uma soma de uma função par com uma função ímpar. (a) g() = (b) h() = +.6. Dada uma função qualquer f : [ a, a] R, mostre que: (a) a função g definida por g() = f () + f ( ) é uma função par; (b) função h definida por h() = f () f ( ) é uma função ímpar..7. Suponha f e g duas funções dadas. Então, definem-se as seguintes funções: (f ± g)() = f () ± g(), (f g)() = f () g() ef = g() f () (g() 0). g() Considere agora, que f () = e g() = 6. Determine: 0 (i) (a) (f + g)(); (b) (f g)(); (c)f g() (ii) os domínios das funções do item (i)

.8. Ao analisar a função real f definida por f () = + 4, podemos afirmar que f é injetora? Justifique a resposta. Gabarito Questão... 34 e Questão..3. (a) R. (b) R {0}. (c) { R; }. (d) { R; < }. (e) R {±}. (f) { R; 5}. Questão..4. (a) Par. (b) Par. (c) Ímpar. (d) Par. Questão..7. (i.a) +Ô6. (i.b)ô( ) (6 ). (i.c)õ 6. (ii.a) { R; 4}. (ii.b) { R; 4 ou 4}. (ii.c) { R; < 4 ou < 4}. Questão..8. Não, pois f () = f ( 6) = 0. A Função Afim Chama-se função afim a toda função f : R R definida por f () = a + b, em que a e b são números reais. Lembra-se de algo além deste conceito? Talvez se recorde que os coeficientes "a"e "b"são comumente, e nesta ordem, chamados coeficientes angular e linear. E das condições de crescimento e decrescimento desta função, sua inversa e condições de eistência, e outras propriedades e aplicações? Revisitaremos este e outros temas aqui - em parte porque vale a pena preencher possíveis lacunas ou, eventualmente, corrigir uma ou outra imperfeição que assimilamos ao longo de nosso percurso; além disso, este, afinal é o objeto de seu trabalho como educador. Começaremos com uma situação bem típica, como escolher uma operadora de telefonia. Suponha - e isto não é mais que uma suposição - que as operadoras Telemar e Embratel lançaram ao mercado os seguintes produtos: TELEMAR Aparelho Assinatura mensal R$ 430, 00 R$ 70, 00 EMBRATEL Aparelho Assinatura mensal R$ 690, 00 R$ 50, 00 Qual destas opções é mais vantajosa? Como resposta, eperimente descrever cada um desses planos em termos de uma epressão que forneça o montante pago em função do tempo de assinatura. Você sabia? A este trabalho, que busca uma epressão conveniente para a descrição de uma determinada situação, chamamos modelagem matemática. E isto, em campos tão diversos quanto a Medicina, a Engenharia de Tráfego, otimização, etc., tem sido um campo bem fértil para pesquisas. Você deve ter obtido epressões do tipo: f (t) = 70t+430 e g(t) = 50t+690, respectivamente. É possível que não se sinta seguro quanto a como se obtiveram estas epressões; neste caso, queira consultar o Apêndice, Modelagem matemática. Apresentamos ali, um passo a passo com eplicações um pouco mais detalhadas sobre esse eemplo específico. Aliás, incluiremos, sempre que necessário, uma seção, ou apêndice, com pormenores adicionais sobre certos cálculos, conceitos, etc. Sinta-se à vontade para consultá-los.

Fundamentos da Matemática II Eaminemos a primeira epressão. Observe que o coeficiente linear, 430, corresponde, precisamente, ao valor inicialmente pago, antes sequer do primeiro mês de contrato. Em termos mais genéricos, isto nos fornece uma interessante interpretação para o coeficiente linear numa função afim. Ele corresponde ao valor da função f (t) avaliado em t = 0. Quanto ao coeficiente angular, suponhamos que após uma longa pechincha, o gerente da empresa de telefonia concorda em alterar sua proposta, concedendo um coeficiente angular realmente promocional. Imagine, então, que a nossa nova função é: f (t) = 50t + 430. Compare-a com a anterior, f (t) = 70t + 430. O que acha que muda no decorrer do contrato? Obviamente, a taa de crescimento de nosso montante é menor. E isto nos leva a uma óbvia, mas fundamental, conclusão: O coeficiente angular, numa função afim, é o único fator que determina o seu crescimento ou decrescimento. Nos eemplos que acabamos de ver, ambas as funções f (t) = 70t + 430 e f (t) = 50t + 430, em que ambos os coeficientes angulares são positivos, são crescentes, porém, observe que a velocidade ou taa de crescimento mudou. No apêndice, Crescimento e Decrescimento, ilustramos com mais detalhes a influência do coeficiente angular sobre a taa de crescimento ou decrescimento de uma função afim. Queira consultá-lo, se necessário. A propósito, o que você supõe que acontece se o coeficiente angular for negativo ou nulo? Agora é a sua vez! O movimento de um ponto sobre um eio chama-se uniforme quando ele percorre espaços iguais em tempos iguais. Sua velocidade é, por definição, o espaço percorrido na unidade de tempo. Formule estas definições matematicamente, e obtenha eplicitamente a posição f (t) do ponto em termos de uma função de t e do ponto de partida. Uma corrida de tái custa m reais por km rodado, mais uma taa fia de n reais, chamada bandeirada. Formule, matematicamente, o custo de uma corrida como função do número de quilômetros percorridos. Um pouco de história Foi por volta de.360 d.c. que um matemático parisiense chamado Nicole Oresme teve um pensamento brilhante:

por que não traçar uma figura que representasse a maneira pela qual as coisas variam? Ali estava um primeiro esboço do que conhecemos hoje como representação gráfica de funções. Este processo era conhecido, então, como a latitude das formas. Oresme usava os termos latitude e longitude dum modo equivalente à ordenada e à abscissa, e sua representação gráfica assemelhava-se à nossa geometria analítica. Naturalmente, seu uso de coordenadas retangulares, ou cartesianas, não era novo, mas a sua representação gráfica de uma quantidade variável, sim.. O Gráfico da Função Afim Oresme sabia, já em.360 d.c., que a latitude das formas, ou gráfico, de uma função afim era uma reta. Aliás, não apenas o gráfico de uma função afim é uma reta, mas, reciprocamente, a toda reta no plano corresponde uma, e apenas uma, função. O gráfico da função f () = a + b é uma reta. Prova: Suponhamos inicialmente que o gráfico não seja uma reta, ou seja, eistem três pontos A, B e C distintos dois a dois, do gráfico de f que não estão alinhados, conforme figura. Sejam (, ), (, ) e ( 3, 3 ), respectivamente, as coordenadas cartesianas destes pontos. Nestas condições, temos = a + b = a + b 3 = a 3 + b Subtraindo membro a membro, obtemos: 3 = a( 3 ) 3 = = a. = a( 3 ) 3 3 B A D C E 3 Observe que 3 = CE 3 BE = tg β e = BD AD = tg α. e, então tg β = tg α, ou seja, devemos ter α = β e, portanto, os pontos A, B e C estão necessariamente alinhados. Isso conclui a nossa prova. Transcrevemos, agora, um resultado fundamental da Geometria Plana que, aplicado ao nosso trabalho, simplifica, em muito, a representação de uma função. Dados dois pontos distintos no plano, P e P eiste uma única reta que os contém. Temos, portanto, que dada uma função afim f () bastam dois pontos (, f ( )) e (, f ( )) para representá-la graficamente. Naturalmente, podemos tomar uma seqüência de pontos, construindo uma tabela e enumerando infinitos valores,, 3,..., p,..., e suas respectivas imagens. É claro, porém, 3

Fundamentos da Matemática II que segundo o resultado acima, todos estes, não importa quais deles tomemos, estarão sobre a mesma reta. Uma dica = a + b Lembre-se do que já dissemos sobre o coeficiente linear b: ele indica o valor da função f () avaliado em = 0. ( 0,b) Isto equivale a dizer que o gráfico de f () = a + b passa pelo ponto (0, b). a b (, ) Queremos, agora, chamar a atenção para o inverso deste processo; isto é, dado um gráfico - neste caso, uma reta no plano - o nosso trabalho será obter a função afim correspondente. Isto tem numerosas e interessantes aplicações. O eemplo seguinte ilustra este fato. Sabe-se, com base em observações, que o peso de uma criança, na faia de zero a seis meses, varia linearmente, isto é, o gráfico da função peso P(t) é uma reta. Suponha que aos dois e aos cinco meses a criança apresenta o quadro ao lado: Mês Peso 4.450 g 5 6.700 g P (peso em gramas) 6.700 P saber, Note que isto corresponde a dois pontos no plano, a P (, 4.450) e P (5, 6.700). 4.450 P 3 5 t (meses) Se uma reta é bem determinada por dois de seus pontos, obviamente, deve ser possível, com os dados que temos, P e P, obter a epressão f (t) = at + b, que representa a função. Observe como podemos fazê-lo. Da seguinte identificação = f (t) = at + b, escrevemos: 4.450 = a + b 6.700 = a 5 + b resultando no seguinte sistema de equações: a + b = 4.450 5a + b = 6.700 Observe que os valores a determinar, desta vez, são os coeficientes angular e linear da função. Ao resolvêlo, você terá obtido a epressão que fornece o peso ideal duma criança, em função de sua idade t e seu peso ao nascer, que é: f (t) = 750t +.950. Há, de fato, inúmeras outras situações que podem ser modeladas em termos de funções afins. Aliás, todo e qualquer evento que apresente variação uniforme em função do tempo ou de qualquer outro 4

parâmetro pode ser epresso mediante uma epressão do tipo f () = a + b. Veremos mais outras aplicações oportunamente. Até agora recapitulamos a definição de função afim. Vimos as implicações de seus coeficientes angular e linear sobre o valor inicial da função, bem como seu crescimento e decrescimento. Consideramos algumas situações que envolvem modelagem matemática em termos destas funções e, por fim, relembramos interessantes aspectos sobre como representá-la graficamente e, reciprocamente, como obter sua epressão a partir de seu gráfico. Naturalmente, não esgotamos todo este tópico. Mas esta introdução ao assunto deve servir como um bom ponto de partida para aplicações e conceitos adicionais.. Sinal de uma Função Afim Nos parágrafos anteriores, eaminamos o gráfico de uma função afim. Deste eame, obtemos informações importantes sobre o seu sinal, isto é, quanto aos intervalos em que a função é positiva, negativa ou nula. Em primeiro lugar, vimos que a raiz de uma função do primeiro grau f () = a + b, que corresponde ao valor de que anula a função, é dado pela solução da equação a + b = 0, e corresponde a: = b a. Para qualquer diferente deste valor, temos que a função ou é positiva ou é negativa, conforme o crescimento ou decrescimento da função. Considere o eemplo a seguir, em que temos uma função crescente. Seja f () = 6 uma função cuja raiz é, evidentemente, = 3. Seu gráfico eibimos ao lado. Note como, para valores maiores do que = 3, o gráfico da função se encontra acima do eio-, portanto, a função é positiva. Reciprocamente, para valores menores que 3, a função é negativa. 3-6 -6 O gráfico ao lado representa desta vez, uma função decrescente: f () = +6; note como isto afeta a distribuição de sinais da função. 3 Temos que, para valores maiores do que 3 a função é, desta vez, negativa. Isto naturalmente decorre de esta ser uma função decrescente. 5

Fundamentos da Matemática II O estudo do sinal de uma função afim de modo algum eige sua representação gráfica. O conhecimento da raiz da função, e do efeito do sinal do coeficiente angular sobre seu crescimento ou decrescimento é o bastante. Applet JAVA AVA Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, o gráfico de uma função afim..3 A Inversa da Função Afim No Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) de Fundamentos de Matemática I, no capítulo sobre funções, vimos um fato fundamental sobre funções bijetoras: elas, e apenas elas, possuem inversa. Conforme deve lembrar, funções bijetoras são aquelas que estabelecem uma correspondência biunívoca entre seu domínio e seu contra-domínio. uma função afim, desde que, naturalmente, não seja constante. Observe como é este o caso de O modo como obtemos a inversa de uma função afim = f () pode ser descrito como a seguir. Seja = a + b. Desejamos, em primeiro lugar, escrever em função de. Isto corresponde a isolar a variável no primeiro membro, e pode ser feito assim: a + b = a = b = b = a a b a. Obtivemos, aqui, uma nova função () dada pela epressão: () = a b a. Não é comum escrever como função de. É meramente uma questão de costume entre nós. Portanto, uma vez obtida a inversa de uma função, intercambiamos as variáveis e, de modo a termos como função de, como se costuma escrever. Assim, escrevemos a inversa em sua forma final: () = a b a. Evidentemente, não convém decorar esta epressão. Ao contrário, em cada caso, basta que se façam as manipulações algébricas necessárias, como ilustramos abaio: Seja a função f () = + 4. Para obter sua inversa, isolamos a variável, no primeiro membro, assim: + 4 = = 4 = 4. donde 6 =.

Efetuando, por fim, a substituição sugerida, obtém-se: que é a função inversa desejada. =,.4 Apêndice : Modelagem Matemática Consideremos o caso das operadoras de telefonia, proposto inicialmente em nosso roteiro. Naquele eemplo, ambas as operadoras cobram um valor inicial pela aquisição do aparelho, de R$ 430, 00 (Telemar) e R$ 690, 00 (Embratel). O montante pago, no decorrer do contrato é, evidentemente, uma função do tempo de assinatura. E, no caso das duas operadoras, varia conforme a tabela a seguir, onde indicamos os valores até o terceiro mês; observe que, em cada coluna, na segunda linha, o valor indicado entre parênteses corresponde precisamente ao que foi pago no mês precedente. Observe também o modo como agrupamos e reescrevemos estes valores, na terceira linha. Queremos, com isso, tornar evidente a epressão genérica que indica o valor da função Montante num tempo t qualquer. TELEMAR Compra do aparelho mês mês 3 mês 430 430 + 70 (430 + 70) + 70 (430 + 70 + 70) + 70 430 70 + 430 70 + 430 70 3 + 430 Pare um pouco e pense em como completaria a tabela com os valores do 4 e do 5 mês. Qual seria o valor obtido para o mês? Se você percebeu que, em cada mês, há um valor fio (430), se observou que o valor da assinatura mensal (70) é, em cada mês, multiplicado pelo correspondente tempo de assinatura t e, por fim, se notou como esses valores são somados para se obter o montante respectivo, concordará com a epressão que obtivemos para a nossa função: f (t) = 70t + 430. Faremos o mesmo para a operadora Embratel. Observe cuidadosamente a tabela e compare as duas epressões obtidas. EMBRATEL Compra do aparelho mês mês 3 mês 690 690 + 50 (690 + 50) + 50 (690 + 50 + 50) + 50 690 50 + 690 50 + 690 50 3 + 690 f (t) = 50t + 690..5 Apêndice : Crescimento e Decrescimento Em nosso roteiro, comparamos as duas epressões: f (t) = 70t + 430 e f (t) = 50t + 430 7

Fundamentos da Matemática II e afirmamos que a velocidade ou taa de crescimento ou decrescimento da primeira, em função do tempo, é maior. Embora pareça evidente, vamos, inicialmente, ilustrar este fato de um modo bem simples. Considere a tabela abaio, em que registramos os valores correspondentes à primeira e à segunda epressão. f (t) = 70t + 430 t = 0 t = t = t = 3 t = 4 430 500 570 640 70 f (t) = 50t + 430 t = 0 t = t = t = 3 t = 4 430 480 530 580 630 Comparando mês a mês os valores calculados em cada epressão, vemos, conforme ilustrado na tabela ao lado, que a sua diferença aumenta em função do tempo. Isto parece confirmar a nossa suposição de que o coeficiente angular é o que determina a taa ou, noutras palavras, o modo de crescimento ou decrescimento de uma função afim. Nos casos que eaminamos aqui, em que o coeficiente angular é positivo, ambas as funções são crescentes. t f (t) f (t) 0 0 0 40 3 60 4 80 Agora é a sua vez! Preencha numa tabela seguinte, os valores correspondentes à função, f (t) = 50t + 430, em que mantivemos o coeficiente linear, mas tornamos o coeficiente angular negativo. Por fim, eperimente representar as três funções que eaminamos aqui num mesmo sistema de coordenadas. Em resumo, os dados e informações obtidos ilustram e confirmam um resultado que vimos diversas vezes no ensino médio: enquanto o coeficiente linear b, numa função afim f () = a + b, indica o valor inicial da função, avaliado em = 0, o coeficiente angular determina o seu crescimento ou decrescimento, isto é, a função será crescente, decrescente ou constante conforme a seja positivo, negativo ou nulo, respectivamente..6 Eercícios Propostos.9. Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções f, g, h, p : R R dadas por: f () =, g() = 4, h() = e p() =..0. Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções f, g, h, p : R R dadas por: f () =, g() = 4, h() = e p() =... Construir o gráfico cartesiano das funções de R em R dadas por: (a) = (b) = + (c) = 3 + (d) = 3 (e) = 3 4 (f) = + (g) = + 3 (h) = 4 3.. Resolver analítica e graficamente os sistemas de equações: 8

(a) + = 5 = = 4 (b)3 + 3 = 4 (c) 5 = 9 7 + 4 = 0 (d)4 + 5 = 6 + 7 = 4 (e) + = + 4 = 3 (f) + 5 = 0 3 = 0.3. Obter a equação da reta que passa pelos pontos (a) (, ) e (3, ) (b) (, 3) e (3, 5) (c) (, ) e (, ) (d) (3, ) e (, 3).4. Obter a equação da reta que passa pelo ponto: (a) (, 4) e tem coeficiente angular igual a 3; (b) ( 3, ) e tem coeficiente angular igual a ; (c) (, ) e tem coeficiente linear igual a 4; (d) (, 3) e tem coeficiente angular igual a..5. Especificar, para cada uma das funções abaio, se é crescente ou decrescente em R. (a) = + 5 (b) = + (c) = 3.6. Das alternativas abaio, está correta apenas: (a) Uma função constante é ao mesmo tempo crescente e decrescente; (b) Se uma função afim não é crescente, então ela é decrescente. (c) Se uma função afim não é decrescente, então ela é crescente. (d) Se o conjunto das raízes de uma função constante não é vazio, então é infinito..7. Estudar os sinais das funções, ou seja, para que valores de a função é positiva, negativa ou nula: (a) = + 3 (b) = 3 + (c) = 4 (d) = 5 +.8. Dada a função f () = 5, é correto dizer que: (a) f não tem raiz, pois o coeficiente de é negativo; (b) Seu gráfico intersecta o eio 0 no ponto (, 0); (c) Esta função é decrescente; (d) Sua inversa é f () = 5..9. Para que valores de R a função f () = 3 3 é negativa?.0. Determine m de modo que o gráfico da função f () = + 4m + 5, intercepte o eio- no ponto de abscissa 3... A unidade de um certo produto fabricado por uma indústria tem custo unitário de R$, 00 e sua produção tem um custo fio de R$ 300, 00, devido a taas de transporte. Qual o custo de 00 unidades desse produto?.. Construa o gráfico da função: f () = 3 +, se, se <.3. Paulo resolveu montar uma fábrica de bolsas. Calculou que teria uma despesa de R$ 4.000, 00 com aluguel, manutenção, máquinas, etc., e que o preço de custo de cada bolsa seria R$ 00, 00. Resolveu, então, fiar o preço em R$ 50, 00, para a venda de cada bolsa. Determine: (a) O menor número de bolsas que Paulo deve fabricar para não ter prejuízo 9