Filipe Rodrigues de S Moreira Graduando em Engenharia Mecânica Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) Agosto 006 Congruências Lineares Introdução A idéia de se estudar congruências lineares pode vir a facilitar (e muito) a vida de um estudante, na hora de resolver questões de Teoria dos Números e até Polinômios Esse assunto merece uma atenção especial, pois em geral os livros que estão no mercado, mostram do que se trata, porém vão logo para uma abordagem mais abrangente e acabam saindo do foco de um aluno que não se interessa pelo assunto como estudo puro e sim está apenas buscando, alternativamente, outra ferramenta para resolver questões de vestibulares mais rebuscados como IME e ITA Esse artigo tem por objetivo atender a necessidade de bons alunos que não se interessam por Olimpíadas de Matemática (puro e simplesmente), mas querem descobrir novos métodos para tornar simples questões difíceis, que à priori eigiriam muito raciocínio e genialidade Definição da palavra e notação Dizemos que dois números inteiros são congruentes, em relação a algum outro, quando deiam o mesmo resto na divisão por esse outro, ou seja, diz-se que a é congruente a b módulo m quanto tanto a quanto b deiam o mesmo resto na divisão por m Veja a notação usual: a b (mod m) Aplicando!!!! (mod ), pois é o resto da divisão de por 7 (mod ), pois 7 e deiam o mesmo resto na divisão por (mod 7), pois é o resto da divisão de por 7 8 (mod ), pois é o resto da divisão de 8 por Veja esse último eemplosabe-se que 8 = +, mas por que não escrevermos que 8 = 8? Sendo assim, o resto da divisão de 8 por poderia ser -8 De fato, na divisão Euclidiana, isso não é permitido, pois se trata do menor resto positivo, porém, podemos trabalhar com restos negativos na teoria de congruência, ou seja, é possível escrever que 8 8 (mod ) Acredite! isso vai tornar a sua vida muito mais tranqüila na hora de resolver questões de teoria dos números Eercícios propostos P Resolva as congruências abaio: a) (mod ) b) (mod ) c) 7 (mod8) d) 8 (mod) e) 8 (mod 6) f) 7 (mod) Algumas propriedades de congruências P -) Sejam dois números inteiros tais que a b (mod m) e outros dois inteiros tais que c d (mod m) Assim, a ± c b ± d (mod m)
Prova: Se a b (mod m) então a = k m + b (com k Z ) e se c d (mod m) então c = t m + d (com t Z ) Logo temos que ( a ± c) = ( k ± t) m + ( b ± d ), logo a ± c b ± d (mod m) P -) Sejam dois números inteiros tais que a b (mod m) e outros dois inteiros tais que c d (mod m) Assim, a c b d (mod m) Prova: Se a b (mod m) então a = k m + b (com k Z ) e se c d (mod m) então múltiplo de m c = t m + d (com t Z ) Logo temos que a c = k t m + k m d + t m b + b d, logo a c b d (mod m) P -) Sejam dois números inteiros tais que a b (mod m) Logo sendo r outro número inteiro tem-se que a ± r b ± r (mod m) Prova: Se a b (mod m) então a = k m + b, com k Z Logo temos que a ± r = k m + b ± ), logo a ± r b ± r (mod m) ( ) ( r P -) Sejam dois números inteiros tais que a b (mod m) Logo sendo r outro número inteiro tem-se que a r b r (mod m) Prova: Se a b (mod m) então a = k m + b, com k Z Logo temos que a r = k m r + b r, logo a r b r (mod m) P -) Sejam dois números inteiros tais que a b (mod m) Seja n um número natural logo, a n n b (mod m) Prova (eercício): Esse o resultado da propriedade P e indução finita Veja que essas propriedades vão ajudar muito na hora da resolução de questões mais elaboradas, pois a partir de agora será possível substituir números grandes, pelos seus restos na divisão em questão 006 Por eemplo: Calcular o resto da divisão de 006 por 006 006 Pela propriedade P, 006 = (mod), logo o resto da divisão de por é Veja a série de eemplos abaio e aprenda a aplicar essa teoria: 006 00 00 E) Calcular o resto da divisão de ( 006 + 00 ) por 006 006
( 006 006 00 00 006 00 00 00 + 00 ) ( + ( ) ) Como 6 = (mod), 00 0 0 006 podemos escrever = ( ) () = Logo ( 006 00 00 + 00 ) deia resto na divisão por Observação: Veja que a vantagem dessa teoria é a possibilidade da substituição das bases pelos seus restos na divisão desejada Nesse caso, 006 foi substituído por e 00 o foi por (-) que são seus respectivos restos na divisão por E) Calcular o resto da divisão de + 7 + + por + 7 + + ( ) + ( ) + () + () = 0 (mod) 007 007 E) Calcular o resto da divisão de N = + 007 + 007 + + 006 007 + 007 por Vamos resolver essa questão por partes Tome os primeiros termos 0 007 007 + 007 + 007 + 007 + 007 007 + 007 + ( ) 007 + ( ) 0 (mod) Esse raciocínio se repete para cada grupo de cinco números consecutivos, contando a 007 partir dos números da forma k +, k Z, assim, todas as parcelas até 00 vão se anular na congruência módulo Faltam então as duas últimas parcelas Logo: 007 N 006 007 + 007 007 + 0 + ( ) (mod) E) Determinar qual é o algarismo das unidades na representação decimal do número 007 007 007 N = ( 006 + 00007 ) Determinar o algarismo das unidades de um número qualquer é o mesmo que determinar o resto na divisão por 0, pois qualquer número inteiro N pode ser escrito sob a forma N = 0k + b, com k e b inteiros Logo, fazendo congruência módulo 0: 007 007 007 007 00 007 007 007 007 N = ( 006 + 00007 ) (6 + (7 ) 7) (6 ) (6 ) Vamos estudar as potências de 6 na divisão por 0 0 6 (mod0) 6 6 (mod0) 6 6 6 (mod0) começa a repetir Logo qualquer potência (n > 0) de 6 deia resto 6 na divisão por 0 Assim: 007 007 007 N (6 ) (6 ) (mod 0) Logo o algarismo das unidades de N é E) Determinar qual é o algarismo das unidades na representação decimal do número 77777 N = ( + ) + ( + 77777 ) Fazendo congruência módulo 0 007
888 8888 N (( ) + ) + ( ) + (7 ) () 0 + (0) ( ) 6666 6666 7)) (8 + ) + ( + 7) Logo o algarismo das unidades de N é Teorema útil: Teorema de Fermat Sejam a um número natural e p um número primo tais que mdc (a, p) = Com essas condições pode-se afirmar que a p ( mod p) Prova: Tomemos o conjunto A = { a, a, a, a,, ( p ) a} Lema: Todos os elementos de A são incongruentes entre si (módulo p), dois a dois Provando o lema: Suponha que eistam dois elementos distintos de A tais que sejam congruentes entre si na divisão por p Logo ka ta 0 ( mod p) k t 0 ( mod p), pois se tem que o mdc (a, p) = Assim, k t ( mod p), mas como são menores que p, temos que k = t, mas isso é absurdo, pois por hipótese k t Logo A tem (p ) elementos e todos são incongruentes entre si na divisão por p, temos que em A eistem todos os possíveis restos (diferentes de zero) na divisão por p Pela propriedade P, a multiplicação de todos os elementos de A é congruente à multiplicação de todos os restos, respectivos, na congruência módulo p a aaa ( p ) a ( p ) (mod p) a p ( ( p )) ( p ) (mod p) como ( p ) é primo com p, podemos cancelar os termos comuns de ambos os lados da congruência e assim: a p (mod p) Corolário: Sejam a um número natural e p um número primo a p a (mod p) Prova (eercício): É resultado direto do Teorema de Fermat Sugestão: Abra em dois casos: º) a é primo com p º) a é um inteiro qualquer múltiplo de p E6) (IME) Prove que os inteiros k e k têm o mesmo algarismo das unidades Veja que qualquer número pode ser escrito na forma = 0 t + b Se e k têm o mesmo algarismo das unidades então são da forma k = 0 t + b e k = 0m + b, logo a diferença entre eles é da forma k k = 0( m t), múltiplo de 0 Assim sendo, provar que ambos tem o mesmo algarismo das unidades é equivalente a provar que a diferença k k é múltiplo de 0 Basta então provarmos que essa diferença é múltiplo de e de, simultaneamente int eiros con secutivos Fatorando: k k = k( k ) = k( k )( k + ) = ( k ) k( k + ) ( k + ) Na fatoração aparece o produto de dois inteiros consecutivos, logo um deles é par e assim o produto é par, portanto, múltiplo de Veja que é primo e k é inteiro, logo pelo corolário do teorema de Fermat, k k (mod), logo k k 0 (mod), portanto, essa diferença é múltiplo de
Visto é a diferença k k é par e é múltiplo de, logo ela é múltiplo de 0 cqd Aplicação de congruências a Polinômios Assim como a idéia de se associar a divisão euclidiana à notação em módulo é real e útil com números inteiros, podemos também utilizá-la para polinômios, veja alguns eemplos: E P( = 0 (mod + ) pois fatorando, tem-se que = ( )( + ), ou seja, deia resto zero na divisão por + E P( = (mod ), pois dividindo por tem-se resto E6) Calcular o resto da divisão de P( = + por Temos que 0 (mod ), logo somando em ambos os lados da congruência chega-se que (mod ) P ( = + ( ) + + Logo o resto da divisão de P( por é + 0 8 7 E7) Calcular o resto da divisão de P( = por Temos que 0 (mod ), logo somando (- em ambos os lados da congruência chega-se que (mod ) = = = = 0 8 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( ( ( ) ( ) ( ( Logo o resto da divisão de P( por é Obs: Veja que a vantagem da congruência é poder substituir as potências grandes de por outros termos que são eatamente o resto da divisão dessa potência pelo módulo em questão 888 777 E8) (IME) Provar que P( = + + é divisível pelo polinômio D( = 8 7 + + 0 Sabemos que = ( )( módulo temos que que 0 (mod 0 0(mod 8 0 potências de, no polinômio original pelo número 7 8 7 8 + + ), logo escrevendo na notação de 7 + + ) ou ainda podemos escrever + + ) Assim, podemos substituir todas as
P ( = 888 777 + + = 0 8 0 88 0 ( ) ( ) + ( ) + 8 8 + + 0 (mod + + ) Logo, P ( é divisível por D( Aplicação de congruência em fatoração de polinômios Assim como essa ferramenta poderosa pode ser útil para determinar resto de divisões entre polinômios, podemos utilizá-la para determinar fatores de alguns polinômios que se quer obter a fatoração Na verdade essa parte da teoria está atrelada à n outra, denominada raízes da unidade Seja o polinômio P ( ) = Resolvendo a n kπ equação = 0, chega-se que = cis, ou seja, essas raízes representam n números compleos que compõem os vértices de um n-ágono regular inscrito numa circunferência de raio unitário, logo se pode dizer que essas raízes são potências do n n n compleo, mostrado acima Veja a fatoração: = ( )( + + ) Com base nesse resultado chega-se que n n n 0 (mod ( + + + )), logo n n n (mod ( + + )) Essa congruência pode ser muito útil em muitos problemas de fatoração, veja um eemplo: E) Fatorar q ( ) = + Vamos fazer a congruência de 0 (mod ), logo se chega que Com isso q ( ) = + no módulo (mod ) q ( ) = + + + (mod ), mas como + é fator de, concluímos que se tivéssemos feito congruência módulo +, a congruência teria dado zero, assim, + é um fator de q ( ) Fazendo então a divisão longa entre os polinômios q ( ) e +, chega-se que o resto é zero e o produto entre o divisor e o quociente já é a forma fatorada desse polinômio q ( ) = + Logo: + = ( + )( + ) 7 E0) Fatorar q ( ) = + Vamos fazer a congruência de Com 0 (mod ) isso, logo se chega que 7 q ( ) = + no módulo (mod ) 7 q( = + + + (mod ), mas como + é fator de, concluímos que se tivéssemos feito congruência módulo +, a congruência teria dado zero, assim, + é um fator de q ( ) Fazendo então a divisão longa entre os polinômios q ( ) e +, chega-se que o resto é zero e o produto entre o divisor e o quociente já é 7 a forma fatorada desse polinômio q ( ) = + Logo: 7 + = ( + )( + ) Eercícios propostos
P) Mostre que n+ + n+ é divisível por 7, para todo n P) Mostre que 6! deia resto 6! na divisão por 7 P) Achar o resto da divisão de: a) 0 + 6 por 7 000 00 b) + por 6 888 c) 00 000 + 8 por 07 7 7 P) Achar o resto da divisão por do produto 78 67 8 78 P6) Achar o algarismo das unidades do inteiro: 000 a) 007 006 b) 007 + 006 888 c) 00 000 + 8 007 007 007 007 P7) Calcular o resto da divisão de + + + + 0 por P8) Calcular o resto da divisão do número ( + + ) por 7 *P) Calcular os dois últimos algarismos do número não negativo k = ( n+ k), em que n é um inteiro 0 P0) Mostre que é divisível por 00 P) a) O número 678( 0)()()()() está escrito na base Qual o resto da divisão desse número por 7 N = 67(0)()()()()()(6)(7) está escrito na base 8 b) O número ( ) 8 Sabe-se que N tem 007 algarismos Determine o resto da divisão de N por 8 c) Determine um critério de divisibilidade por 7 de um número escrito na base 8 d) Demonstre que os critérios de divisibilidade por, e 8 de um número na base 0 P) Prove que, pra todo inteiro n: 6 a) n 6n é divisível por (n > 0); b) n n + n é divisível por 0; P) Mostre que se um número ímpar é quadrado perfeito então ele pode ser escrito como soma de dois quadrados P) Sejam a, b, c três números consecutivos Mostre que o cubo do maior não pode ser escrito como soma dos cubos dos menores P) Fatorar: a) q ( ) = +
7 6 b) q ( ) = + 8 7 c) q ( ) = + 0 7 d) q ( ) = + e) q 8 7 ( ) = 007 + 006 00 006 + P6) Prove que o polinômio ( a+ b+ c) a b c é divisível pelo polinômio ( a+ b+ c) a b c P7) (IME) que o produto N = ( a b)( a c)( a d)( b c)( b d)( c d) é múltiplo de, para quaisquer inteiros a, b, c, d