Sinais e Sistemas Unidade 2 Conceitos de Matemática de Variável Complexa Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. rech.cassiano@gmail.com Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. rcbeltrame@gmail.com
Conteúdo da unidade Introdução Propriedades dos números complexos Operações com números complexos Aula 01 Fundamentos axiomáticos Funções de variável complexa Funções harmônicas complexas Resíduos e pólos Aula 02 Aula 03 2
Aula 01 Introdução Conjuntos numéricos Definição formal de números complexos Representação gráfica Propriedades dos números complexos Igualdade de números complexos Números reais e números imaginários puros Conjugado complexo Operações com números complexos Adição, subtração, multiplicação e divisão Valor absoluto Fundamentos axiomáticos Igualdade, soma e produto Leis: fechamento, comutativa, associativa e distributiva 3
Introdução Conjuntos numéricos Números Naturais (N) N = { 1, 2, 3,... } Números Inteiros (Z) Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Números Racionais (Q) Forma a/b { 1/2, 1/3,... } e Dízimas periódicas { 0,9999... } Números Irracionais (I) Não expressos como a/b { π = 3,1415..., e = 2,7183... } Números Reais (Z) União dos Racionais com Irracionais 4
Introdução Conjuntos numéricos 5
Introdução Um número complexo possui a forma a + bj,, onde a e b são números reais e j é a unidade imaginária e possui a propriedade j² = 1. Seja a variável complexa z = a + bj Parte real de z a = Re { z } Parte imaginária de z b =Im{ z } Representação como par ordenado: z = (a, b) 6
Introdução Representação gráfica Plano complexo Diagrama de Argand Plano z 7
Introdução Forma retangular z a bj ab, a b r cos θ r sen θ z Forma polar r θ 2 2 r z a b θ atan ba 8
Propriedades Igualdade Seja z 1 = a + bj e z 2 = c + dj z 1 = z 2 se e somente se a = c e b = d Números reais como subconjunto dos números complexos Seja z = a + bj, com b = 0 Ex: 0 + 0j = 0; 3 + 0j = 3 Número imaginário puro Seja z = a + bj, com a = 0 z = a + bj = 0 + bj = bj Conjugado complexo Seja z = a + bj Seu conjugado será z* = a bj 9
Operações Adição Sejam z 1 = a + bj e z 2 = c + dj z 1 + z 2 = (a + bj) + (c + dj) = a + bj + c + dj = (a + c) + (b + d)j Subtração Sejam z 1 = a + bj e z 2 = c + dj z 1 z 2 = (a + bj) (c + dj) = a + bj c dj = (a c) + (b d)j 10
Operações Multiplicação Sejam z 1 = a + bj e z 2 = c + dj z 1 z 2 = (a + bj)(c + dj) = ac + adj + bcj + bdj² = (ac bd) + (ad + bc)j OBS: j² = 1 Divisão Sejam z 1 = a + bj e z 2 = c + dj z1 a bj c dj ac adj bcj bdj ac bd bc ad 2 2 2 2 2 2 2 j z c dj c dj c d j c d c d 2 2 11
Operações Valor absoluto Seja z = a + bj Seu valor absolutoé definido como Ex: 2 2 4 2j 4 2 20 2 2 z a bj a b Propriedades 1) 2) z1z2 z1 z2 z z 1 z z 1 2 2, se z 0 2 3) 4) z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 Desigualdade triangular 12
Fundamentos axiomáticos Redefinição das propriedades Variável complexa como par ordenado z = a + bj = (a, b) 1) Igualdade (a, b) = (c, d) se e somente se a = c e b = d 2) Soma (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 3) Produto (a, b)(c, d) = (ac bd, ad + bc) m(a, b) = (ma, mb) 13
Fundamentos axiomáticos Observações a + bj = (a, b) (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) j = 1j = (0, 1) j² = (0, 1)(0, 1) = ( 1, 0) ( 1, 0) Equivalente ao número real 1 (1, 0) Equivalente ao número real 1 (0, 0) Equivalente ao número real 0 14
Fundamentos axiomáticos Leis axiomáticas Se z 1, z 2 e z 3 pertencem a um conjunto S de números complexos, então: 1) z 1 + z 2 e z 1 z 2 pertencem a S Lei do fechamento 2) z 1 + z 2 = z 2 + z 1 3) z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 4) z 1 z 2 = z 2 z 1 5) z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 ) z 3 6) z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 Lei comutativa da adição Lei associativa da adição Lei comutativa da multiplicação Lei associativa da multiplicação Lei distributiva 15
Fundamentos axiomáticos Leis axiomáticas 7) z 1 + 0 = 0 + z 1 = z 1 0 Identidade com relação à adição 8) 1 z 1 = z 1 1 = z 1 9) Para qualquer z 1 existe um único z tal que z + z 1 = 0 z inversa de z 1 com relação àadição ( z 1 ) 10) Para qualquer z existe um único z tal que z 1 z = zz 1 = 1 1 0 1 Identidade com relação à multipl. z inversa de z 1 com relação à multiplicação (1/z 1 ) Corpo: : qualquer conjunto S cujos membros satisfazem às leis axiomáticas 16
Ferramentas de auxílio Comandos MATLAB help complex z = 10 + 20j z = 10 + 20i r = abs (z) theta = angle (z) a = real (a) b = imag (z) z1 = conj (z) plot (z) % Exibe todos os comandos para números complexos % Definição do número complexo % Cálculo do módulo % Cálculo do argumento (rad) % Extrai a parte real de z % Extrai a parte imaginária de z % Calcula o conjugado de z (z1 = 10 20j) % Plotagem no plano complexo 17
Ferramentas de auxílio Comandos calculadora HP MODE: RPN, Degrees, Rectangular ou Polar z = 10 + 20j % Número complexo desejado (retangular) z = 22.36 63.43º % (polar) Forma retangular ( ) 10 SPC 20 ENTER % Definição do número complexo (10., 20. ) % Exibição na forma de par ordenado Forma polar ( ) 22.36 ALFA 6 63.43 ENTER % Definição do número complexo (22.36 < 63.43) Salvando na memória ALFA z STO % Salva na memória Manipulação z CMLPX % Menu para manipulação de números complexos 18
Exercícios de revisão Sejam z 1 = 3 + 2j e z 2 = 7 j a) Calcular z 1 + z 2 e z 1 z 2 b) Calcular z 1 z 2 e z 1 /z 2 c) Obter a forma polar de z 1 e z 2 d) Representar no plano complexo z 1 e z 2 e) Representar no plano complexo z 1 + z 2 e z 1 z 2 19
Bibliografia [1] MURRAY, R. S. Variáveis complexas. São Paulo: McGraw Hill do Brasil, 1973. [2] BROWN, J.W.; CHURCHILL R. V. Complex variables and applications. New York: McGraw Hill, 1996. 20