Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa Apontamentos Cálculo II 1. Extremante local de uma função escalar f: Ponto do domínio de f cuja imagem é não superior ou não inferior às imagens de todos os pontos pertencentes a uma vizinhança sua. 2. Extremo local de uma função escalar f: Imagem de um ponto do domínio de f não superior ou não inferior às imagens de todos os pontos pertencentes a uma vizinhança deste ponto. 3. Extremante global de uma função escalar f: Ponto do domínio de f cuja imagem é não superior ou não inferior às imagens de todos os pontos do domínio de f. 4. Extremo global de uma função escalar f: Imagem de um ponto do domínio de f não superior ou não inferior às imagens de todos os pontos do domínio de f. 5. Minimizante de uma função escalar f: Ponto do domínio de f cuja imagem é não superior às imagens de todos os pontos pertencentes a uma vizinhança sua (local) ou ao domínio de f (global)., - 6. Mínimo de uma função escalar f: Imagem de um ponto do domínio de f não superior às imagens de todos os pontos pertencentes a uma vizinhança do ponto (local) ou ao domínio de f (global)., - 7. Maximizante de uma função escalar f: Ponto do domínio de f cuja imagem é não inferior às imagens de todos os pontos pertencentes a uma vizinhança sua (local) ou ao domínio de f (global). 1
, - 8. Máximo de uma função escalar f: Imagem de um ponto do domínio de f não inferior às imagens de todos os pontos pertencentes a uma vizinhança do ponto (local) ou ao domínio de f (global)., - 9. Minimizante (maximizante) único de uma função escalar f: Ponto do domínio de f cuja imagem é inferior (superior) às imagens de todos os outros pontos pertencentes a uma vizinhança sua (se for local) ou ao domínio de f (se for global)., - 10. Mínimo (máximo) estrito de uma função escalar f: Imagem de um ponto do domínio de f inferior (superior) às imagens de todos os outros pontos pertencentes a uma vizinhança do ponto (se for local) ou ao domínio de f (se for global)., - 11. Localidade e globalidade de pontos extremantes e extremos: Extremante global: Extremo global: Extremante local: Extremo local: 2
12. Pontos extremantes locais e trajectórias de aproximação a pontos: Um ponto é extremante local de uma função se e só se também o for segundo qualquer trajectória de aproximação. 13. Ponto de sela de uma função escalar f: Ponto que é minimizante de f segundo pelo menos uma trajectória de aproximação e maximizante de f segundo pelo menos outra. 14. Ponto de estacionaridade de uma função f: Ponto do domínio de f que anula a sua matriz Jacobiana, ou seja, em que f tem todas as derivadas parciais de 1ª ordem nulas., - { 15. Ponto de estacionaridade de uma função f de em : Ponto do domínio de f que anula o seu vector gradiente, ou seja, em que f tem as derivadas parciais de 1ª ordem em ordem a x e a y nulas., - { 16. Teorema de Bolzano Cauchy : f contínua em, - * +; * + -, -, 3
17. Corolário do Teorema de Bolzano Cauchy : Qualquer função escalar de variável real de classe num intervalo, -, cuja primeira derivada tem sinais contrários em a e b, tem pelo menos um ponto de estacionaridade em -,. 18. Teorema de Rolle: compacto f contínua em A int f diferenciável em int 19. Corolário do Teorema de Rolle: Qualquer função escalar diferenciável tem um ponto de estacionaridade no interior de um sub-conjunto compacto do seu domínio, desde que seja constante na fronteira deste conjunto. 20. Funções escalares diferenciáveis, pontos extremantes e pontos de estacionaridade: Se uma função escalar for diferenciável, qualquer ponto extremante que tenha, se tiver algum, é também ponto de estacionaridade. Mas nem todos os seus pontos de estacionaridade são necessariamente seus pontos extremantes. f diferenciável 21. Classificação de um ponto de estacionaridade de uma função de em de classe quanto à extremidade com base nas derivadas da função (p ordem da primeira derivada que não se anula em ): 4 : é minimizante local : é maximizante local : não é extremante
22. Classificação de um ponto de estacionaridade de uma função de classe quanto à extremidade com base na matriz Hesseana: definida positiva: é minimizante local definida negativa: é maximizante local indefinida: é ponto de sela semi-definida positiva:, se for extremante, é minimizante local semi-definida negativa:, se for extremante, é maximizante local nula:, se for extremante, pode ser minimizante ou maximizante local 23. Pontos de estacionaridade com matriz Hesseana semi-definida positiva (semidefinida negativa) (nula) e trajectórias de aproximação a pontos: Se um ponto de estacionaridade tiver matriz Hesseana semi-definida positiva (semi-definida negativa) (nula), pode ser um minimizante (maximizante) (minimizante ou maximizante) local. Mas, para isso, é preciso que o seja segundo qualquer trajectória de aproximação. Se houver alguma trajectória de aproximação em que o ponto não seja minimizante (não seja maximizante) (não seja minimizante nem maximizante, ou seja minimizante, sendo maximizante noutra direcção), então não é um ponto extremante. 24. Direcção singular de uma função escalar f num ponto de estacionaridade: Vector de segundo o qual o diferencial de 2ª ordem (ou derivada direccional de 2ª ordem, se f for de classe ) de f no ponto de estacionaridade é nulo. * + { } 25. Classificação de um ponto de estacionaridade de uma função de classe, com matriz Hesseana semi-definida positiva (negativa), com base nos diferenciais de ordem superior à segunda (p ordem do primeiro diferencial, ou derivada direccional, que não se anula em segundo um sub-conjunto de direcções singulares, U): : Nada se pode concluir : Nada se pode concluir : x* não é extremante : não é extremante 5
26. Classificação de um ponto de estacionaridade de uma função de classe, com matriz Hesseana nula, com base nos diferenciais de ordem superior à segunda (p ordem do primeiro diferencial, ou derivada direccional, que não se anula em segundo um conjunto de direcções, U): Se a matriz Hesseana for nula num ponto de estacionaridade, então o diferencial de ordem 2 no ponto é nulo segundo qualquer vector de, pelo que a ordem de referência para a classificação do ponto deixa de ser a 2ª, como acontece quando o estudo é baseado na matriz Hesseana. A nova ordem de referência passa a ser a primeira em que o diferencial no ponto não se anula em todas as direcções. Se esta ordem for ímpar, o ponto não é extremante. Se for par, o método de classificação é análogo ao empregue quando a matriz Hesseana é o ponto de partida para a classificação do ponto. Caso o diferencial desta ordem no ponto seja positivo (negativo) em todas as direcções, o ponto é minimizante (maximizante) local. Se for positivo numas direcções e negativo noutras, o ponto é de sela. Se for positivo (negativo) numas direcções e nulo noutras, é necessário calcular os diferenciais de ordem superior no ponto e seguir as mesmas regras aplicadas a um ponto de estacionaridade com matriz Hesseana semi-definida positiva (negativa). 27. Convexidade de funções e globalidade de pontos extremantes: Se uma função for diferenciável e convexa (côncava), um ponto é minimizante (maximizante) global se e só se for um ponto de estacionaridade. Logo, qualquer minimizante (maximizante) local é global. 28. Convexidade estrita de funções e globalidade de pontos extremantes: Se uma função for diferenciável e estritamente convexa (côncava), um ponto é minimizante (maximizante) global único se e só se for um ponto de estacionaridade. Logo, qualquer minimizante (maximizante) local é global único. 29. Limites de uma função e globalidade de pontos extremantes: Se houver pelo menos uma trajectória no domínio de uma função ao longo da qual as imagens tendem para, então a função não tem minimizantes (maximizantes) globais, pelo que qualquer minimizante (maximizante) local que tenha não é global. 30. Teorema do Envelope em optimização livre: f diferenciável * + * + ( ) é extremante de f, para o vector de parâmetros 6
( ) * + ( ) 31. Teorema do Envelope em optimização livre aplicado a uma função com 2 variáveis de decisão e 1 parâmetro: f diferenciável * + ( ) é extremante de f, para o parâmetro ( ) ( ) 32. Teorema do Envelope em optimização livre, variação de parâmetros de uma função e variação dos seus extremos: O Teorema do Envelope em optimização livre é útil na medida em que permite que, se um parâmetro de uma função variar, não seja preciso voltar a resolver um problema de optimização para conhecer os seus novos extremos. Quando um parâmetro varia infinitesimalmente, a variação destes extremos é igual à variação da função, avaliada nos pontos extremantes originais. 7