1 Equações do 2º grau 2 Toda equação na forma ax + bx + c = 0, com a 0, pode ser resolvida aplicando-se uma fórmula geral chamada fórmula de Bhaskara. 2 b ± b 4 a c 2 b ± x =, onde = b 4 a c, daí temos : x = 2a 2a se > 0, a equação terá duas raízes reais diferentes Soluções da equação: se = 0, a equação terá duas raízes reais iguais se < 0, a equação não terá raízes reais As equações podem ser completas ou incompletas: Ex: x 2 8x 14 = 0 a = 1, b = 8, c = 14 2x 2 + 8 = 0 a = 2, b = 0, c = 8 x 2 + 9x = 0 a = 1, b = 9, c = 0 3x 2 = 0 a = 3, b = 0, c = 0 Obs: Podemos encontrar a equação do 2º grau que tenha as raízes x e x usando a forma abaixo: Forma de soma e produto: x 2 Sx + P = 0. onde: a = 1, S = x`+ x`` (com o sinal trocado) e P = x`. x`` (com o mesmo sinal). Obs: Podemos solucionar uma equação do 2º grau usando também esta forma de soma e produto. Para isso, devemos encontrar dois números que tenham como produto o valor de P. Assim teremos: se P > 0 S será dada pela soma dos números encontrados; se P < 0 S será dado pela subtração dos números encontrados. Ex: Para resolver as equações abaixo, teremos: - soma das raízes = 5 - soma das raízes = 5 x² 5x + 6 = x² + 5x 6 = 0 0 - produto das raízes = 6 - produto das raízes = 6 Dois números cujo produto seja 6 1 x 6 ou 2 x 3. Como o produto é positivo temos a soma das raízes dada pela soma dos números encontrados, assim: 1 + 6 = 7 e 2 + 3 = 5, portanto, as raízes são 2 e 3. Dois números cujo produto seja 6 1 x 6 ou 2 x 3. Como o produto é negativo temos a soma das raízes dada pela diferença dos números encontrados, assim: 6 1 = 5 e 3 2 = 1. Assim as raízes seriam 1 e 6 e, como a soma é negativa, a maior raiz tem que ser negativa, portanto, as raízes são 1 e 6.
2 Exercícios 1- (CETRO 2015) Assinale a alternativa que apresenta as raízes da equação 10x 2 + 30x 40 = 0. (A) x = 1 e x = 4 (B) x = 1 e x = 4 (C) x = 1 e x = 4 (D) A equação não tem raízes reais. Δ < 0 (E) x = 8 e x = 2 2- (FCC 2015) A diferença das idades de dois irmãos é de 3 anos. O quadrado da idade do mais novo somado ao dobro da idade do mais velho é 41 anos. Desta maneira é possível determinar que a soma das idades dos dois irmãos é igual a: (A) 17 (B) 27 (C) 11 (D) 13 (E) 21 3- (FUNDATEC 2015) Sendo que a e b são as raízes da equação x 2 2x 15 = 0, o valor da expressão: (a 3) (b 3) é: (A) 15 (B) 12 (C) 8 (D) 8 (E) 12 4- (DOM CINTRA 2016) As raízes da equação: 4 x 2 + x 1= 0 são: (A) 3/8 e 2 (B) 1/4 e 4 (C) 3/4 e 1 (D) 2/5 e 2 (E) 1/5 e 3 5- (VUNESP 2017) Em um terreno retangular, a medida do lado maior tem 1 metro a mais que a medida do lado menor. Se a área desse terreno é de 182 metros quadrados, então é correto afirmar que o seu perímetro, em metros, é igual a: (A) 54 (B) 55 (C) 56 (D) 57 (E) 58 3 3 Torneiras e Ralos - Equações Fracionárias Equação fracionária é uma equação em que pelo menos um dos membros contém uma parcela em que a variável aparece no denominador. Exemplo: Um tanque recebe água por duas torneiras e por um ralo a água do tanque é escoada. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 3 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 4 horas e o ralo estando o tanque cheio consegue esvaziá-lo em 6 horas. Estando o tanque vazio e abrindo as duas torneiras e o ralo simultaneamente, em quanto tempo o tanque estará cheio? Resposta: 2h 24 min Exercícios 6- (FCC 2007) Trabalhando ininterruptamente, dois técnicos judiciários arquivaram um lote de processos em 4 horas. Se, sozinho, um deles realizasse essa tarefa em 9 horas de trabalho ininterrupto, o esperado é que o outro fosse capaz de realizá- la sozinho se trabalhasse ininterruptamente por um período de:
3 (A) 6 h (B) 6 h 10 min (C) 6 h 54 min (D) 7 h 12 min (E) 8 h e meia 7- (ESAF 2009) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas, ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá? (A) 12 horas (B) 30 horas (C) 20 horas (D) 24 horas (E) 16 horas 8- (UFPR 2013) Um tanque é abastecido por duas torneiras. Utilizada sozinha, a primeira torneira enche o tanque em 4 horas. Já a segunda torneira enche o tanque em 2 horas, quando utilizada sozinha. Se utilizadas juntas, as duas torneiras encherão o tanque: (A) em menos de 1/2 h (B) entre 1/2 h e 1 h (C) entre 1 h e 2 h (D) entre 2 h e 3 h (E) em mais de 3 h 9- (CGGT 2013) Dois agentes de administração realizam juntos um trabalho em 3 horas. Um deles, sozinho, consegue realizá-lo em 5 horas. O outro, então, para realizar sozinho o mesmo trabalho, levaria, em horas, o seguinte tempo: (A) 7 (B) 7,5 (C) 8 (D) 8,5 10- (FUNDATEC 2015) Três ralos oferecem vazão a uma piscina, esvaziando-a em 3 horas. Considerando que todos os ralos oferecem a mesma vazão e que um dos ralos está entupido (sem vazão alguma), o tempo gasto para esvaziar a piscina será de: (A) 4 horas e 30 minutos (B) 4 horas e 25 minutos (C) 4 horas e 20 minutos (D) 4 horas e 15 minutos (E) 4 horas e 10 minutos 11- (IMPARH 2015) Mariana e Luan estão pintando uma casa. Se Mariana e Luan não interrompessem o trabalho, eles terminariam o serviço em 20 horas. Se Luan interrompesse o seu trabalho no momento em que a pintura estivesse pela metade, então a casa inteira seria concluída em 30 horas. Sabendo que Mariana e Luan pintam a uma taxa constante, em quanto tempo Luan levaria para pintar sozinho a casa inteira? (A) 50 (B) 60 (C) 25 (D) 40 RAZÕES E PROPORÇÕES Razão: Sendo a e b dois números racionais, com b 0, denomina-se razão entre a e b ou razão de a para b o quociente a ou a : b (a é o antecedente e b é o consequente). b Obs: Quando queremos expressar a razão entre duas grandezas de mesma espécie, devemos exprimi-las na mesma unidade.
4 Proporção: Chama-se proporção a igualdade entre duas razões. Assim, as razões a : b = c : d ou a c = b d a e d são os extremos e b 18 5 30 ( lemos : a está para b assim como c está para d ) e c são os meios. 3 e formam uma proporção, isto é, 3 18 =. 5 30 Algumas propriedades são importantes e úteis na solução de problemas: o produto dos meios é igual ao produtos dos extremos podemos alternar os meios ou os extremos a soma (ou a diferença) dos antecedentes está para a soma (ou a diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente Grandezas Proporcionais: - Duas grandezas são diretamente proporcionais quando aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma razão da primeira. Ex: quantidade e preço. - Duas grandezas são inversamente proporcionais quando aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira. Ex: velocidade e tempo. Exercício 12- (FCC BB 2011) Relativamente aos tempos de serviço de dois funcionários do Banco do Brasil, sabe-se que sua soma é 5 anos e 10 meses e que estão entre si na razão 3/2. Nessas condições, a diferença positiva entre os tempos de serviço desses funcionários é de: (A) 2 anos e 8 meses (B) 2 anos e 6 meses (C) 2 anos e 3 meses (D) 1 ano e 5 meses (E) 1 ano e 2 meses 13- (CESGRANRIO BB - 2012) Numa pesquisa sobre acesso à internet, três em cada quatro homens e duas em cada três mulheres responderam que acessam a rede diariamente. A razão entre o número de mulheres e de homens participantes dessa pesquisa é, nessa ordem, igual a 1/2. Que fração do total de entrevistados corresponde àqueles que responderam que acessam a rede todos os dias? (A) 5/7 (B) 8/11 (C) 13/18 (D) 17/24 (E) 25/36 14- (CESGRANRIO TÉCNICO BANCÁRIO - 2013) Os comprimentos de uma mesa e de uma bancada são, respectivamente, iguais a 204 centímetros e 7,5 metros. A razão entre o comprimento da mesa e o comprimento da bancada, quando ambos são escritos em uma mesma unidade, é: (A) 17/625 (B) 5/136 (C) 68/125 (D) 34/125 (E) 136/5 15- (FGV A. BANCÁRIO 2014) Três grandezas A, B e C, são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional ao quadrado de C. Quando B = 6 e C = 3 tem-se A = 1. Quando A = 3 e C = 2, o valor de B é:
5 (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8 16- (FUNDATEC 2015) Em uma pesquisa envolvendo 240 jovens que utilizam automóvel ou ônibus para o deslocamento de casa até o trabalho, verificou-se que a razão entre o número de jovens que utiliza carro e o que utiliza ônibus é de três para sete. Nessa situação, qual a quantidade de jovens que utiliza ônibus? (A) 72 (B) 108 (C) 168 (D) 176 (E) 184 17- (FCC 2016) A máquina A enche um tonel em 6 minutos. A máquina B enche um tonel idêntico em 9 minutos. Iniciando o trabalho simultaneamente, porém de forma independente, as máquinas A e B enchem, no total, 100 desses tonéis. Da quantidade de tonéis enchidos, a máquina A foi responsável por: (A) 60 (B) 66 (C) 63 (D) 69 (E) 58 18- (IESES 2017) Sendo a = 1 e b = 2 a razão inversa de a para b é igual a: (A) 2 (B) 1,5 (C) 0,5 (D) 1 19- (IESES 2017) Um ônibus com velocidade de 90 km/h percorre certa distância em 4 horas. Quanto tempo será necessário para esse ônibus percorrer a mesma distância com a velocidade de 110 km/h? (A) 2,85 horas (B) 3,27 horas (C) 4,25 horas (D) 2,43 horas 20- (IESES 2017) Qual das razões a seguir NÃO É igual 6/3? (A) 14/7 (B) 8/4 (C) 16/6 (D) 46/23 21- (IESES 2017) A razão de 3 para 12 é igual a: (A) 1/2 (B) 1/6 (C) 1/8 (D) 1/4 22- (VUNESP 2017) Em determinada região, para cada 90 pessoas que contraíram uma doença e sobreviveram, 8 contraíram a mesma doença e morreram em decorrência dela. Se considerarmos 4 mil mortes decorridas por aquela doença, então é verdade que o número total de pessoas que a contraíram seria de: (A) 45.000 (B) 46.000 (C) 47.000 (D) 48.000 (E) 49.000 23- (AOCP 2017) Comumente, representamos dados estatísticos em um sectograma (gráfico de pizza). Tal representação conta com um círculo dividido em partes proporcionais ao valor total. Se certa pesquisa foi feita com 540 pessoas, sendo 135 homens, a fração do círculo que representa as mulheres é: (A) 3/4 (B) 1/8 (C) 135/100 (D) 1/3 (E) 2/5 Divisão Proporcional Exercícios
6 24- (CESGRANRIO - CASA DA MOEDA - 2012) A prefeitura de certa cidade dividiu uma verba de R$ 11.250,00 entre três escolas, M, N e P, em valores proporcionais ao número de alunos de cada uma. A escola M possui 320 alunos, a escola N possui 450 alunos, e a escola P possui 480 alunos. Qual foi a quantia, em reais, destinada à escola N? (A) 2.880 (B) 3.600 (C) 3.750 (D) 4.050 (E) 4.320 25- (CETRO - 2012) Quatro agentes de apoio à saúde sob a supervisão de um farmacêutico dividem a tarefa de controle de medicamentos em partes inversamente proporcionais ao tempo de serviço. Se para esta tarefa são dispensadas 154 horas por mês, e os tempos de serviço são 2, 3, 4 e 5 anos, então o agente que tem menos tempo de serviço dedica: (A) 60 horas por mês para esta tarefa (B) 55 horas por mês para esta tarefa (C) 45 horas por mês para esta tarefa (D) 40 horas por mês para esta tarefa 26- (FGV A. BANCÁRIO 2014) Francisco não tinha herdeiros diretos e assim, no ano de 2003, no dia do seu aniversário, fez seu testamento. Nesse testamento declarava que o saldo total da caderneta de poupança que possuía deveria ser dividido entre seus três sobrinhos em partes proporcionais às idades que tivessem no dia de sua morte. No dia em que estava redigindo o testamento, seus sobrinhos tinham 12, 18 e 20 anos. Francisco morreu em 2013, curiosamente, no dia do seu aniversário e, nesse dia, sua caderneta de poupança tinha exatamente R$ 300.000,00. Feita a divisão de acordo com o testamento, o sobrinho mais jovem recebeu: (A) R$ 72.000,00 (B) R$ 82.500,00 (C) R$ 94.000,00 (D) R$ 112.500,00 (E) R$ 120.000,00 27- (CESGRANRIO BB 2015) Aldo, Baldo e Caldo resolvem fazer um bolão para um concurso da Mega-Sena. Aldo contribui com 12 bilhetes, Baldo, com 15 bilhetes e Caldo, com 9 bilhetes. Eles combinaram que, se um dos bilhetes do bolão fosse sorteado, o prêmio seria dividido entre os três proporcionalmente à quantidade de bilhetes com que cada um contribuiu. Caldo também fez uma aposta fora do bolão e, na data do sorteio, houve 2 bilhetes ganhadores, sendo um deles o da aposta individual de Caldo, e o outro, um dos bilhetes do bolão. Qual a razão entre a quantia total que Caldo recebeu e a quantia que Baldo recebeu? (A) 0,8 (B) 1,5 (C) 2 (D) 2,5 (E) 3 28- (UFPE 2015) Três amigos, X, Y e Z, são sócios em uma empresa. X, Y e Z contribuíram com, respectivamente, R$ 60.000,00, R$ 80.000,00 e R$ 70.000,00 para a montagem da empresa. Além disso, X, Y e Z trabalham, respectivamente, 8 horas, 5 horas e 6 horas, diariamente, na empresa. O lucro da empresa é dividido entre os três, em partes proporcionais ao valor investido para a montagem da empresa e ao número de horas diárias trabalhadas por cada um deles. Se, em certa ocasião, coube a X o valor de R$ 9.600,00 na divisão do lucro, qual foi o valor total do lucro? (A) R$ 30.000,00 (B) R$ 29.000,00 (C) R$ 28.000,00 (D) R$ 27.000,00 (E) R$ 26.000,00 29- (FCC 2016) Uma herança de R$ 82.000,00 será repartida de modo inversamente proporcional às idades, em anos completos, dos três herdeiros. As idades dos herdeiros são: 2, 3 e x anos.
7 Sabe-se que os números que correspondem às idades dos herdeiros são números primos entre si (o maior divisor comum dos três números é o número 1) e que foi R$ 42.000,00 a parte da herança que o herdeiro com 2 anos recebeu. A partir dessas informações o valor de x é igual a: (A) 7 (B) 5 (C) 11 (D) 1 (E) 13 30- (DOM CINTRA 2016) Abel e Márcio são sócios de uma empresa e dividem, proporcionalmente ao investimento de cada um, o lucro de R$ 20.000,00 obtido de uma venda. Abel investiu R$ 50.000,00 enquanto Márcio investiu R$ 30.000,00. Os valores recebidos por Abel e Márcio como participação no lucro da venda serão respectivamente: (A) R$ 11.000,00 e R$ 9.000,00 (B) R$ 11.500,00 e R$ 8.500,00 (C) R$ 12.500,00 e R$ 7.500,00 (D) R$ 13.500,00 e R$ 6.500,00 (E) R$ 14.000,00 e R$ 6.000,00
8 Gabarito Questões 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Respostas C D E C A D E C B A D E C D E Questões 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Respostas C A A B C D E A D A B E E A C