MÓDULO 21. Equações. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA

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3 Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA Equações. (ITA) Suponhamos que p e q são catetos de um triângulo retângulo e h, a altura relativa à hipotenusa dele. Nestas condições, podemos afirmar que a equação: p + = 0 h q MÓDULO ( é o conjunto dos números reais) a) não admite raízes reais. b) admite uma raiz da forma m, em que m e m > 0. c) admite sempre raízes reais. d) admite uma raiz da forma m, m, m > 0. e) nada se pode afirmar. 4 8 = 4.. = = h p q h pq. (ITA) O conjunto de todos os valores de, ;, tais que as soluções da equação 4 (em ) tg = 0 são todas reais, é a) ; 0 b) ; c) ; d) 0; e) ; A equação tg = 0 só admite raízes reais se a equação y 4 48 y + tg = 0, na qual y =, só admitir raízes reais e positivas. Assim sendo, = ( 4 48) 4.. tg 0 e tg 0 tg e tg 0 Resposta: D 0 tg 0, pois ; a 8h 4(a h) = = = h ah ah ah a Como h a h 0, tem-se 0, pois a, h * +, logo a equação admite sempre raízes reais. Resposta: C

4 . Determine a soma e o produto das raízes inteiras da equação ( + ) ( + ) ( + 4) ( + 6) = 0 observe que. 6 =. 4 e que zero não é raiz da equação. ( + ) ( + ) ( + 4) ( + 6) = 0 ( ) ( ) = 0 ( + + 8)( + + 7) = 0 Fazendo-se + = y, tem-se (y + 8) (y + 7) = 0 y + 5y 54 = 0 y = 7 ou y = + = 7 ou + = 7 + = 0 ou + + = 0 =, = 4, = + 09 ou = 09 A soma das raízes inteiras é 7 e o produto é. 4. Dois operários, A e B, trabalham um mesmo número de dias. Se A trabalhasse dois dias a mais e B trabalhasse três dias a menos, A teria ganho R$ 08,00 e B teria ganho R$ 7,00. Por outro lado, se A trabalhasse três dias a menos e B dois dias a mais, juntos teriam ganho R$ 0,00. Quanto ga nhou cada um e quantos dias tra - balha ram? sendo a e b o ganho de cada um e d o número de dias trabalhados, a b tem-se: e os ganhos diários de A e B, respectiva mente. d d Assim sendo, (d ) + (d + ) = 0 a (d + ) 08 (d + ) = 08 = d d a b (d ) 7 (d ) = 7 = d d b a b d d 7 08 a 8b. a +. b = 0 + = 5 b a b a a 8 Fazendo =, tem-se + = 5 b = 0, pois 0 = ou = a a 9 Desta forma, = ou =. b b 4 Dividindo-se a primeira pela segunda equação, temos: a (d + ) d 08 (d + ) a =. = b 7 (d ) b (d ) d 9 4 Portanto (d + ) (d + ) 9. = ou. = (d ) (d ) 4 (d + ) 9 (d + ) = ou = (d ) 4 (d ) d = 7 ou d = (impossível) Para d = 7, tem-se = 7 a 7 7 a = 84 e = b = 6 7 b Resposta: A ganhou R$ 84,00, B ganhou R$ 6,00 e trabalharam 7 dias.

5 MÓDULO Equações. A soma e o produto das raízes reais da equação 6 + = 0 são, respectivamente: 0 a) e 0 b) e 4 c) 0 e 8 d) e 0 e) 4 e 6 Fazendo = y, tem-se y 0 e = y 0 = y 7. substituindo na equação, tem-se 6 y + = 0 y 7y + 6 = 0, para y ± 7 y 7 observando que y = é solução, tem-se, por fatoração: y y + y y 6y + 6 = 0 y (y ) + y(y ) 6(y ) = 0 (y )(y + y 6) = 0 y =, y = ou y = (não serve) Assim sendo = ou = = 4 ou = 7 = ± ou = ± 7 A soma das raízes é + ( ) ( 7) = 0 e o produto é. ( ). 7. ( 7) = 8 Resposta: C. (ITA) a) Mostre que o número real = é raiz da equação + 4 = 0 b) Conclua de (a) que é um número racional. a) P() = + 4 = b) ) P() = ( ( P() = ( ) + 5 ) 4 5 )() +. 4 P() = P() = P() = 0 é raiz de P é raiz da equação + 4 = 0 = ( ). ( + + 4) ) + 4 = 0 ( ). ( + + 4) = 0 = 0 ou = 0 ) = ou = , ± 5 i + 4 = 5 5 4) A única raiz real da equação + 4 = 0 é. 5) se e é raiz de + 4 = 0, então = e, portanto, é racional.

6 . Dois recipientes iguais de 0 litros de capacidade cada um contêm um total de 0 litros de álcool. O primeiro recipiente é completado até a borda com água e com a mistura obtida se completa o segundo recipiente. litros desta mistura são então devolvidos ao primeiro recipiente. O segundo recipiente fica com litros de álcool a menos que o primeiro. Quantos litros de álcool tinha inicialmente cada recipiente? A tabela mostra o que está ocorrendo com a quantidade de álcool: Inicialmente passou l de mistura ficou passou l para o primeiro ficou recipiente I. 0 0 ( (0 ) + 0 ) recipiente II 0 (0 ) + 0 (0 ) (0 ) + 0 (0 ) Assim: 0 (0 ) + (0 ) = (0 ) +. +, pois o primeiro tem litros de álcool a mais que o segundo = = 0 = 0 ou = Resposta: os recipientes tinham 0 l e 0 l de álcool. 4

7 4. Em certo instante um relógio marca minutos a menos do que deveria marcar, no entanto anda adiantado. Se adiantasse meio minuto a mais por dia do que adianta, e estivesse marcando minutos a menos do que seria correto, marcaria a hora certa um dia antes do que marca. Quantos minutos por dia adianta esse relógio? se o relógio adianta minutos por dia, marcaria a hora certa em dias. se o relógio adianta + minutos por dia, marcaria a hora certa em dias. + Como neste caso marcaria a hora certa um dia antes, temos: 6 = = + + ( + ).( ) = 6 + = 0 = ou = o valor negativo não faz sentido, pois o enunciado diz que o relógio adianta. Respostas: o relógio adianta 0,5 minuto por dia. MÓDULO Equações. Resolver, em R, a equação ( ) + ( + ) = 4 ( + ). ( ) + ( + ) Fazendo-se y = = +, tem-se: (y ) + (y + ) = 4 y y 6y + y 8 + y + 6y + y + 8 = 4 y y 8y = 0 y = 0, y = ou y = + = 0, + = ou + = =, = ou = 4 Respostas V = { 4,, }. Determine o conjunto solução, em, da equação ( + ).( + ).( + 8).( + ) = 4. Multiplicando os fatores centrais e os fatores do etremo e obser - vando que zero não é raiz da equação, temos: ( + ).( + ).( + 8).( + ) = 4 ( ).( + + 4) = 4 4 Dividindo cada fator por e fazendo = = y temos: = 4 (y + 4).(y + ) = 4 y = 5 ou y = Assim, + = 5 ou + = = 0 ou = = ou = ou = 4 ou = Respostas:,, 4, 6 5

8 . Encontre uma equação do segundo grau com coe - ficientes racionais que possui uma raiz igual a 5 7. seja + p + q = 0 a equação procurada. se 5 7 é raiz dessa equação, então ( 5 7) + p( 5 7) + q = 0 (64 7p + q) + (p 4). 5 = 0. Como p e q são racionais, (64 7p + q) e (p 4) também são racionais e, portanto, iguais a zero. 64 7p + q = 0 p = 4 e q = 4 p 4 = 0 e a equação procurada é = 0 Respostas: = 0. d a) o trem levaria horas para ir de A até B. v b) à distância percorrida antes do primeiro trem parar foi 6v km, pois o trem circulou por 6 horas. o trecho final mede (d-6v) km d 6v 5d 0v e para percorre o trem levou = horas. 6v 6v 5 c) o primeiro trem levou, portanto, 5d 0v d = + horas para ir de A a B. 6v v d) o segundo trem percorreu (6v + 50) km antes de parar e levou 6v + 50 horas para percorrer esta distância. o trecho v restante, de (d-6v-50) km, foi percorrido em d 6v 50 6v 5 = 5d 0v 750 6v e) o segundo trem levou, portanto, 6v d 0v 750 d + + = + horas para ir v 6v v de A a B. Assim, temos: 5d 0v d = + 6v v 6v d 0v 750 d + + = + v 6v v 48v + 5d 0v = 6d + 6v 6v v + 5d 0v 750 = 6d + 9v MÓDULO 4 Equações d = v v = 50 e d = 600 d = 9v + 50 Respostas: A distância entre A e B é 600 km.. Um trem parte da estação A em direção a estação B às h, com velocidade constante. As 9h chegou a um ponto da estrada onde havia caído uma barreira e foi obrigado a ficar parado por duas horas. Para recuperar o tempo perdido, o maquinista percorre o trecho restante a uma velocidade 0% maior, mas, apesar disso, chegou uma hora atrasado. No dia seguinte outro trem que se dirigia de A para B, com a mesma velocidade inicial do primeiro, teve que parar 50 km além do que o ponto onde o pri meiro parou. Também ficou parado por duas horas e tam bém aumentou a velocidade em 0%, mas mesmo assim chegou uma hora e meia atrasado. Determine a distância entre A e B. sendo d a distância, em quilômetros, entre as duas estações e v, em quilômetros por hora, a velocidade inicial do trem e lembrando 0 6v que v + 0%.v = v. v = temos:

9 . De um porto fluvial partem ao mesmo tempo e rio abaio uma balsa e um bote. O bote navega com auílio de remadores e com velocidade constante em relação às águas do rio. A balsa esta a deriva e segue na velocidade da correnteza, que também é constante. O bote, depois de percorrer 96 km rio abaio, volta e chega no porto 4 horas depois da partida. Em seu caminho de volta o bote encontra a balsa a 4 km do porto. Qual a velocidade do bote e da correnteza? sejam e as velocidades do bote em relação da água e da correnteza do rio o bote navegou durante + = 4 horas até + retornar ao porto. Até o encontro com a balsa, o bote havia navegado durante + = + Dessa última equação, fazendo = temos: = + = = ( ) +. ( + ) = ( + ). ( ) 7 = 0 = 7, pois 0. Assim, = 7. e, da equação = 4 temos: = 4 + = Dois ciclistas pedalam em uma mesma direção por uma pista circular de 80 m de raio. Um deles faz uma volta completa 8s mais rápido que o segundo. Qual a velo - cidade, em metros por segundo, de cada um, se o tempo entre dois encontros consecutivos deles é de 70 segundos? em metros, o comprimento da pista é de..80 = 560. se as velocidades de cada ciclista, em metros por segundo, for respectiva - mente, v e v, com v > v, então os tempos, em segundos, para cada um dar uma volta completa na pista são e, portanto = 8. entre um encontro e o encontro seguinte o ciclista mais rápido dá uma volta a mais na pista. Como um se distancia do outro a uma velocidade (v v ), então (v v ). 70 = 560 v v = 8 Desta forma v = 8 v v v v = 8 v v + 8 v 560 = 0 v = 8 + v Assim, v + 8v 560 = 0 560(v v ) = 8. v. v v v = (8 + v v ) = 8. (8 + v ). v v = 8 + v 8± (8) 4. ( 560 ) 8± 48 v = = v = 0, pois v > 0. Desta forma v = 8. Respostas: As velocidades dos ciclistas são 8 e 0, metros por segundo. 560 v e 560 v =, portanto, = 4. Respostas: 4 km/h e km/h. 7

10 eercícios-tarefa MóDulo. Resolver, em, a equação ( + ).( ) = 9.. Um carteiro que se dirige sem parar do ponto A ao ponto C passando pelo ponto B, caminha de A à B com velocidade de,5 km/h e de B para C com velocidade de 4 km/h. Para conseguir retornar de C para A no mesmo tempo, pelo mesmo caminho, deve desenvolver,75 km/h em todo o trajeto. Se, no entanto, ao retornar com a velocidade indicada ao ponto B, se detêm nesse ponto por 4 minutos, para regressar ao ponto A no tempo previsto deverá percorrer o trecho de B à A com velocidade de 4 km/h. Calcule as distâncias entre os pontos A, B e C. MóDulo. (ITA-adaptado) A respeito da equação = 8, podemos dizer que a) ± 70 são raízes. b) a única raiz é =. c) a única raiz é = + 0. d) tem duas raízes reais distintas. e) tem raízes reais iguais.. Duas torneiras são utilizadas para encher uma piscina. Estando totalmente vazia, abre-se a primeira torneira por um terço do tempo que a segunda torneira seria capaz de encher a piscina sozinha. Fecha-se a primeira torneira e abre-se a segunda torneira por um terço do tempo resolução dos eercícios-tarefa MóDulo ) Dividindo cada fator por e fazendo + = y temos: ( + ).( + 5 ) = = 9 (y ).(y + 5) = 9 y = 6 ou y = 4 + = 6 ou + = 4 necessário para a primeira torneira encher a piscina sozinha. Dessa forma, foram preenchidos da pis - 8 cina. Calcular o tempo necessário para cada tor neira en - cher a piscina sozinha, sabendo-se que, juntas, enchemna em horas e 6 minutos. MóDulo. (ITA) Uma empresa possui 000 carros, sendo uma parte com motor a gasolina e o restante com motor fle (que funciona com álcool e com gasolina). Numa determinada época, neste conjunto de 000 carros, 6% dos carros com motor a gasolina e 6% dos carros com motor fle sofrem conversão para também funcionar com gás GNV. Sabendo-se que, após esta conversão, 556 dos 000 carros desta empresa são bicombustíveis, podese afirmar que o número de carros tricombustíveis é igual a a) 46. b) 5. c) 60. d) 68. e)84.. Resolver, em, a equação ( + ) + ( ) = ( ). Resolver, em, a equação (6 ) 4 + (8 ) 4 = 6. MóDulo 4. Segundo o previsto um trem deve passar o trecho AB de 0 km a uma velocidade constante. A primeira vez que faz este trajeto, o trem percorre a metade do trecho nessa velocidade, para por minutos e, para chegar no horário previsto, percorre a outra metade a uma velocidade 0 km/h superior. Na segunda vez, o trem para na metade do caminho por 5 minutos. A que velocidade deve per - correr a segunda metade para chegar no horário previsto?. Resolver, em, a equação.( + ).( ).( + ) = = 0 ou 4 + = =, =, = ou = + Resposta: 7 + 7,,, + 8

11 ) se e y são as distâncias entre A e B e entre B e C, respectivamente. os tempos gastos de ida, em horas, y foram e, respectivamente e o tempo previsto,5 4 de retorno, também em horas, é de. Desta + y y forma, como os tempos são iguais, = +,75,5 4 o tempo real gasto na volta, também em horas foi + y y 4 = + +.,75, Assim, + y y = +,75,5 4 + y y 4 = + +,75, y y = y 4y 4 = y = y 6 + 6y = 6y = 7y = 4 Resposta: De A para B temos 4 km e de B para C temos 6 km. MóDulo = 4 e y = 6 + y,75 ) Fazendo 4 = y, tem-se (I) y + y 6 = 8 y 6 = 8 y y 6 = 4 6y + y y 7y + 0 = 0 y = 5 ou y = somente y = 5 satisfaz a equação (I). Assim, 4 = = 0, cujas raízes são reais distintas, pois = ( 4) 4.. ( 5) = 96 > 0 e 4 ± 4 5 = = ou = 6 Resposta: D ) seja v o volume da piscina, p o tempo necessário para a ạ encher sozinha a piscina e s o tempo neces - sário para a ạ encher sozinha a piscina. v ) A primeira enche por hora, a segunda enche p v por hora e lembrando que s s p + = p s = p s 8 s ) Fazendo p =, temos + = = 0 = ou = s p ) Para =, tem-se = s = p p + = = p = 9 e s = 6 p 8 p 8 s p 4) Para =, tem-se = s = p = = p p 8 p 8 p = 6 e s = 9 Resposta: sozinhas, as torneiras levam 6 horas e 9 horas para encher a piscina. MóDulo 8 h e 6 min = + hora = hora, temos: 5 5 s v p v. +. =. v p s 8 v v v + = p s 8 5 ) se, entre os 000 carros da empresa, têm motor a gasolina e 000 possuem motor fle, temos: (00 6)%. (000 ) + 6% = , ,6 = 556 0,8 = 84 = 00 Portanto, o número de carros tricombustíveis é 6 6%. (000 00) =. 700 = 5 00 Resposta: B ) Como ( + ) + ( ) = = [( + ) + ( )].[( +) ( + )( ) + ( ) ] = = ( )( ) = 9

12 = ( )( + ), temos que: ( + ) + ( ) = ( ) ( )( + ) = ( ) = 0 ou + = 6 =, = ou = outra solução Fazendo = y = y + da equação, resulta (y + ) + (y ) = y y + 6y + y y 6y + y 8 y = 0 y 8y = 0 y(y + )(y ) = 0 y = 0 = y = = y = = Resposta: V = { ; ; } (6 ) + (8 ) ) Fazendo y = = 7 temos: (6 ) 4 + (8 ) 4 = 6 (y ) 4 + (y + ) 4 = 6 (y y + ) + (y + y + ) = 6 y 4 + 4y + 4y + y 4y + y 4 + 4y + + 4y + y 4y = 6 y 4 + 6y 7 = 0 y = 7 ou y = Como, temos (7 ) = = 0 = 6 ou = 8. Respostas: {6; 8} MóDulo 4 ) seja v a velocidade que o trem deveria desen - volver em todo o percurso e v a velocidade desenvol - vida na segunda metade do percurso, na segunda pas sagem. o tempo previsto para essa segunda meta de, em horas, é. =. v v Desta forma, 0.(v + 0) = 0 v v = 0 v 60 (600 v ).(v + 0) = 600v (600 5v ).v = 600v v + 0v 000 = 0 (0 v ).v = 0.v v = 40 e v = 60 Resposta: 60 km/h ). ( + ). ( ). ( + ) = 4 ( + ). ( + + ) = 4 Fazendo y = + temos: ( + ). ( + ) = 4 y. (y ) = 4 y y 4 = 0 y = 4 ou y = 6. Assim, + = 4 ou + = ou + 6 = 0 = ou =, pois é real. Respostas: { ; } 0