Razão Razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo número. a b. a : b

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1 Razão Razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo número. Em uma razão a b temos que: antecedente a : b ou a b A razão a b é lida como a está para b. a b consequente Proporção Chamamos de proporção a igualdade de duas ou mais razões. a b c d Em uma proporção é comum nomear seus termos. Propriedade Temos ainda que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, ou seja, a c a.d c.b b d. Calcule x proporção x 3 x. 4 x 3 x (x 3) 4x x 4x x 4x x 4 Propriedade A proporção continua válida se somarmos ou subtrairmos os antecedentes e consequentes. a c a c a c b d b d b d

2 . Calcule x e y na proporção x y sabendo-se que x + y = x y 4 x y 36 x y x y x y x 4 x 6 4 y 4 y 0 Grandezas diretamente proporcionais Duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais quando aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. ou Duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais quando diminuindo uma delas, a outra diminui na mesma proporção. 3. Uma construtora asfaltou uma estrada de 36 km em 4 dias. Quantos dias seriam necessários para a mesma empresa, sob as mesmas condições, asfaltar uma estrada de 4 km? Grandezas inversamente proporcionais Duas ou mais grandezas são inversamente proporcionais quando aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção. ou Duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais quando diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. 4. Em duas horas três torneiras completamente abertas enchem um tanque. Quanto tempo demorará cinco torneiras para encher o mesmo tanque?

3 3 Divisão em partes diretamente proporcionais Para dividir um número K em partes diretamente proporcionais a x, x e x 3 : divida K pela soma x + x + x 3 ; Multiplique o quociente da divisão por x, por x e por x 3.. Divida 80 em partes diretamente proporcionais a, 3 e 4. Divisão em partes diretamente propocionais Para dividir um número K em partes inversamente proporcionais a x, x e x 3, basta dividi-lo em partes proporcionais aos inversos de x, x e x 3, ou seja, dividir K proporcionalmente a 6. Divida 9 em partes inversamente proporcionais a, 3 e 4., e x x x 3. Razões especiais Velocidade Densidade demográfica Escala 7. Um pequeno avião a jato gasta sete horas a menos do que um avião a hélice para ir de São Paulo até Boa Vista. O avião a jato voa a uma velocidade média de 660 km/h, enquanto o avião a hélice voa em média a 7 km/h. Qual é a distância entre São Paulo e Boa Vista? a) 3000 km b) 3600 km c) 3800 km d) 4000 km e) 3300 km Avião Tempo Velocidade A jato x km/h A helice x 7 km/h

4 4 Como se trata da mesma distância para os dois aviões, temos: d 660 x 7 d 7 x d 660(x 7) d 7x d 660x d 7x Somando as duas equações: 0 38x x x 38 x Como x representa o tempo que o avião a hélice leva para fazer a viagem, concluimos: d 7 x d 7 d 7. d 3300km 8. Dois amigos, Lucas e Pedro, seguiam o leito de uma ferrovia e começaram a atravessar uma ponte estreita na qual havia espaço apenas para o trem. No momento em que completavam do percurso da ponte, ouviram o trem que se aproxima por trás deles. Lucas começou a correr de encontro ao trem, saindo da ponte praticamente no instante em que o trem entrava. Pedro, que correu no sentido oposto ao sentido de Lucas, conseguiu sair da ponte praticamente no instante em que o trem saía. Sendo km/h a velocidade que Lucas e Pedro correram, assinale a alternativa que contém a velocidade do trem. a) 60 km/h b) 37, km/h c) 7 km/h d) 30 km/h e) 67, km/h A imagem abaixo ilustra a posição de Lucas e Pedro no momento que percebem o trem. Lucas e Pedro na mesma velocidade deslocam-se em sentidos opostos. Assim, devem deslocar-se a mesma distância do ponto inicial.

5 O tempo que Pedro leva para deslocar-se um quinto da ponte é igual ao tempo que o trem leva para percorrer toda a ponte. Logo, a velocidade do trêm é cinco vezes a velocidade de Pedro, ou seja, x km/h = 7 km/h. 9. A densidade demográfica de uma região é a razão entre o número de habitantes e sua área. Qual a área, em m²,de uma determinada região que possui população de.00 habitantes e uma densidade demográfica igual a 7 hab/km²? a) 300 m² b) m² c) 3.0² m² d) 3.0 m² Temos a seguinte infromação: número de habitantes densidade demográfica área Assim, 00 habitantes 7 hab/km² área 00 7.(área) 00 área 7 área 300km² área m² 8 área 3.0 m² 0. Um edifício tem 30m de altura. Essa medida foi representada no projeto por cm. Qual foi a escala usada nesse projeto? a) : 0 b) :00 c) :0 d) :00 cm 0,m 30m 30m 00

6 6 Regra de Três Simples A regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvem grandezas direta ou inversamente proporcionais. Este processo consiste dos seguintes passos. Reunir em uma coluna as grandezas de igual espécie e com a mesma unidade de medida. Analisar as grandezas e classifica-las como direta ou inversamente proporcionais. Obter a proporção correspondente e solucioná-la.. Uma fotografia tem 0 cm de largura por cm de comprimento. Queremos ampliá-la proporcionalmente de modo que seu comprimento tenha 8 cm, qual deve ser a largura nesse caso?. Um trem rodando a velocidade média de 4 km/h, vai de uma cidade a outra em 8 horas. Em quantas horas percorreria o mesmo trajeto se rodasse à velocidade média de 60 km/h? Regra de Três Composta A regra de três composta é um processo prático utilizado na resolução de problemas que envolvem mais de duas grandezas, inversa ou diretamente proporcionais. Este processo consiste dos seguintes passos. Reunir em uma coluna as grandezas de igual espécie e com a mesma unidade de medida. Analisar as grandezas duas a duas, (em relação à que possui a incógnita), afim de verificar se são direta ou inversamente proporcionais. Obter a proporção correspondente e solucioná-la.

7 7 3. Trabalhando 8 horas por dia, 3 trabalhadores constroem um muro de 40m de comprimento em dias. Se o número de horas de trabalho diário for reduzido para 6 horas e o número de trabalhadores aumentado para, qual o comprimento de um muro de mesma altura que eles construirão em dias. 4. Se 30 funcionários recolhem 70 caixas de morango em 8 horas, quantos funcionários de mesmo rendimento serão necessários para recolher 080 caixas em 6 horas? Regra de Sociedade A Regra de Sociedade é uma aplicação direta da divisão em partes proporcionais. Nessa regra usualmente dividimos os lucros ou dividendos de uma sociedade proporcionalmente a outras grandezas, entre elas capital investido e tempo de investimento.. Uma sociedade realizada entre duas pessoas teve investimentos de R$.000,00 e R$.000,00 e que após determinado tempo obteve-se um lucro de R$ ,00, qual será a parte de cada sócio de acordo com os investimentos? 6. Aline e Juliana montaram uma sociedade. Aline investiu R$.00,00 durante 8 meses. Juliana investiu R$ 3.000,00 durante meses. Sabendo que o lucro obtido foi de R$ 4.000,00, quanto cabe a cada sócia?

8 8 Exercícios Propostos. Uma prefeitura distribuiu 00 cestas de natal entre os seus 00 funcionários. A razão que representa o numero de cestas de natal em relação ao numero de funcionários, é equivalente a a) b) c) d) A razão entre as idades de Pedro e Carlos é P/C. Se acrescentarmos 6 unidades na idade de Pedro e 9 unidades na idade de Carlos, a razão entre a idade dos dois permanece a mesma. O valor dessa razão é: a) b) c) d) Em uma empresa, funcionários resolveram dividir a confecção de N cartazes na razão inversa de seus tempos de serviço. Qual a razão entre o número de cartazes que caberão ao que tem 0 meses e aquele que tem 4 anos de serviço, nessa ordem, é? a) b) c) d) Considere o quadrado ABCD. Os pontos E, F, G, H são os pontos médios dos respectivos lados desse quadrado. Se I, J, K, L também são pontos médios dos respectivos lados do quadrado EFGH, então a razão entre a área do quadrado IJKL e do quadrado ABCD é: a) b) c) d) A razão entre as áreas do retângulo e do triângulo é a) 4 b) 4 c) d) e)

9 9 6. A idade de João está para a idade de Pedro, assim como 3 está para 4. Qual a idade de Pedro, se João tem anos? a) 9 anos b) 6 anos c) anos d) 4 anos 7. Um avô deixa em testamento R$ ,00 que deve ser dividido em partes proporcionais às idades de seus únicos netos. Sabendo que seus netos Lucas e Jonas têm respectivamente anos e 9 anos, qual a diferença entre as duas quantias recebidas? a) R$.000,00 b) R$.000,00 c) R$ 6.000,00 d) R$ 8.000,00 8. Em ab c 34, a é diretamente proporcional a e inversamente proporcional a ; b é diretamente proporcional a, e c é inversamente proporcional a desses números é: a) 4 b) 8 c) 80 d) 3 4. O menor 9. Três veículos A, B e C percorrem, respectivamente, as distâncias de km, km e, km. Se o veículo A gastou o dobro do tempo do veículo C e o veículo B a metade do tempo do veículo A, então, comparando suas velocidades tem-se que a) VA = VB < VC b) VA > VB = VC c) VA < VB < VC d) VA > VB > VC e) VA = VB > VC 0. Um automóvel percorreu 0 km em dois trechos com velocidades constantes em cada um deles, gastando ao todo duas horas e meia. Se no primeiro trecho, ele percorreu uma distância equivalente a dois terços da distância percorrida no segundo trecho e o tempo gasto para percorrer esses dois trechos foram iguais, então a diferença de velocidades nesses dois trechos é a) 4 km/h b) 0 km/h c) 8 km/h d) km/h e) 7 km/h. A área do município de Rio Maria é de aproximadamente 4. km² e a população estimada do IBGE para 0, de aproximadamente habitantes. A densidade demográfica (razão entre o número de habitantes e a área municipal) aproximada de Rio Maria é de a) 4,6 habitantes por km² b) 4,3 habitantes por km² c) 4, habitantes por km² d) 4,0 habitantes por km². Ricardo esteve em um lançamento imobiliário onde a maquete, referente aos terrenos, obedecia a uma escala de :00. Ricardo se interessou por um terreno de esquina, conforme mostra a figura da maquete. A área, em metros quadrados, desse terreno é de a) 300 b) 7 c) 0 d) e) 600

10 0 3. Para elaborar um desenho gráfico, Hélio utiliza uma escala em que 0, cm do desenho corresponde a 0, km no comprimento real. Se a figura real a ser representada nesse desenho é de um quadrado com a área de 600 m², é correto afirmar que, no desenho, essa figura terá os lados cuja medida, em centímetro, é igual a a) 0, b) 0, c) 0,4 d) 0,3 e) 0, 4. Cerca de 8 milhões de brasileiros vivem na região coberta pela Floresta Amazônica em quase 800 mil km² de área. Segundo este levantamento, a densidade demográfica da região coberta pela Floresta Amazônica em habitantes por km², é de a) 00 b) 0 c) d) 0, e) 0,0. Em um mapa, uma estrada de 38km é representada por uma linha de 9cm. A escala utilizada neste mapa é de: a) b) c) d) e) Num trabalho de laboratório, o professor pediu para que seus alunos montassem uma maquete representando a quadra de esporte da escola, que tem 6 m de comprimento por 4 m de largura. Que medidas de comprimento e largura, em cm, respectivamente, o aluno utilizará na construção da maquete, sendo que ela deverá ser construída na escala de :00? a) 7 e 3 b) 7 e 3 c) 3 e 7 d) 8 e e) 30 e Para percorrer a distância entre as cidades de São João dos Patos e Povoado Tabarôa (Paraibano/MA), a uma certa velocidade média v, um carro levou t minutos. Se aumentarmos essa velocidade média v em %, então o tempo que o carro levará para percorrer a distância entre São João dos Patos e o Povoado Tabarôa reduzir-se-á em: a) 0% b) % c) 0% d) % e) 3% 8. Para ir de casa ao trabalho, de porta a porta, Elis percorre de bicicleta metros a uma velocidade média de 300 metros por minuto. Se esse mesmo percurso fosse efetuado utilizando-se uma moto a uma velocidade média de 30 quilômetros por hora, levaria a menos que de bicicleta a) 4 min 48 s b) 4 min 8 s c) min 8 s d) 6 min 8 s e) 7 min s

11 9. Uma ponte foi construída em 90 dias, trabalhando-se 6 horas por dia. Se a carga horária fosse aumentada para 8 horas por dia, essa ponte seria construída em: a) 6 dias b) 6, dias c) 67, dias d) 0 dias 0. Uma grande colônia de férias iniciou suas atividades com 600 jovens, tendo mantimentos para alimentá-los por 30 dias. Entretanto, após dias, chegou um grupo de 400 jovens, com o mesmo apetite dos anteriores. Então, os mantimentos restantes deverão durar por um número de dias igual a a) b) 3 c) 4 d) e) 6. Um carro de fórmula, deslocando-se a uma velocidade média de 00Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 40km/h? a) 3 horas e 0 minutos b) 3 horas e 36 minutos c) horas e 30 minutos d) horas e 0 minutos. Clara gastou horas de trabalho, sem pausa, para digitar três quintos do total de páginas de um texto. Então, quanto tempo de trabalho ininterrupto falta para ela terminar de digitar o texto? a) hora e 33 minutos b) hora e meia c) hora e 0 minutos d) hora e 0 minutos e) hora 3. Seis torneiras ligadas simultaneamente, enchem, em 7 minutos, com água uma caixa cúbica de arestas medindo,8 m. Se fossem 8 torneiras ligadas simultaneamente, o tempo necessário para encher essa caixa seria: a) menor que 0 minutos b) maior que 0 minutos e menor que minutos c) maior que minutos e menor que minutos d) maior que minutos 4. Uma equipe de 0 operários de mesma produtividade recebeu do engenheiro a tarefa de construir um muro em dias trabalhando 8 horas por dia. 0 dias após do início da obra operários foram demitidos e a obra teve de ser tocada pelos operários restantes. Para que a tarefa seja realizada no prazo previsto a jornada diária de trabalho dos operários restantes deve ser alterada para: a) horas b) 7 horas c) 6 horas d) horas e) 0 horas. Numa metalúrgica, 7 máquinas, trabalhando horas por dia produzem 6300 peças. Se fossem 8 máquinas, trabalhando 0 horas por dia, seriam produzidas: a) 00 peças b) 800 peças c) 6000 peças d) 60 peças 6. O reservatório de agua de determinada localidade sertaneja possui agua suficiente para abastecer 0 famílias por um período de 40 dias. Apos dias, 0 famílias se mudaram em busca de melhores condições de vida. A agua restante no reservatório será suficiente para abastecer as famílias restante por: a) dias b) 3 dias c) dias d) mais de 40 dias

12 7. Se 3 pedreiros constroem um muro de 4 m de extensão em 6 dias, em quantos dias 0 pedreiros construíram um muro de 00 m de extensão e de mesma altura que o outro, trabalhando no mesmo ritmo? a) 0 b) 6 c) 8 d) 30. Em uma sociedade, os dois sócios tiveram um lucro de R$ 9.000,00. Os capitais aplicados pelos sócios foram respectivamente R$ 0.000,00 e R$.000,00. O lucro de cada sócio foi: a) R$ 3.000,00 e R$ 6.000,00 b) R$ 3.00,00 e R$.00,00 c) R$ 4.0,00 e R$ 4.70,00 d) R$ 4.000,00 e R$.000,00 8. Uma empresa concordatária, ao fazer levantamento do total de dívidas verificou que devia um total de R$ ,00, dos quais, R$ ,00 devia a fornecedores, R$ ,00 a funcionários e o restante se referia a impostos governamentais. A massa falida poderá ser vendida por R$ ,00, que deverão ser distribuídos proporcionalmente junto aos credores da empresa. Assim sendo, as quantias que deverão ser destinadas a fornecedores, funcionários e governo, serão, respectivamente, em R$: a) ,00 ; ,00 e ,00 b) ,00; ,00 e ,00 c).0.000,00 ; ,00 e ,00 d) ,00 ; ,00 e 33.30,00 e) ,00 ; ,00 e ,00 9. Três amigos montaram uma empresa e se tornaram sócios. Alberto investiu R$ 0.000,00, Benevides investiu R$.000,00 e Carvalho investiu R$ R$.000,00. Combinaram que todo lucro seria dividido em partes diretamente proporcionais às quantias investidas e todo prejuízo seria dividido em partes inversamente proporcionais às quantias investidas. Se a empresa, num dado mês deu prejuízo de R$.30,00, a parte desse prejuízo que cabe a Carvalho é: a) R$ 70,00 b) R$ 680,00 c) R$ 600,00 d) R$ 80,00 e) R$ 400,00 Gabarito a b a c c b c a a a b d b b b c c a c d c c b e c d a e c d