REVISTA DE ESTATÍSTICA 8ª PAGINA NADOS VIVOS: ANÁLISE E ESTIMAÇÃO LIVE BIRTHS: ANALYSIS AND ESTIMATION Auora: Teresa Bago d Uva -Gabinee de Esudos e Conjunura do Insiuo Nacional de Esaísica Resumo: O objecivo dese esudo é a obenção de esimaivas para o número de nados vivos (de cada um dos sexos) ocorrido por mês em Porugal. A impossibilidade de quanificar o fenómeno da naalidade oporunamene, devido ao araso na disponibilidade dos dados, parece não deixar alernaiva à previsão. Serão experimenados alguns méodos de previsão, uilizando modelos dinâmicos univariados (nomeadamene modelos ARIMA e modelos esruurais). Poseriormene, será esudada a influência de algumas variáveis exógenas aravés da consrução de um modelo economérico. Espera-se que ese modelo economérico supere os modelos univariados no que diz respeio à qualidade de ajusameno das séries, por er em cona ouras influências para além dos valores passados das variáveis e, como objecivo principal, forneça melhores previsões. Palavras chave: Naalidade, Modelos ARIMA, Modelos Esruurais, Filro de Kalman, Modelos Economéricos. Absrac: The aim of his sudy is o esimae monhly live birhs in Porugal (per sex). The delay in daa availabiliy makes us hink ha hey have o be forecased. Therefore, here will be ried some forecasing mehods making use of univariae models like ARIMA and Srucural models. To sudy he influence of some exogenous variables, we will build an economeric model. This is expeced o provide beer resuls since we ake ino accoun informaion oher han jus he pas values of he dependen variable. Key-words: Naaliy, ARIMA Models, Srucural Models, Kalman Filer, Economeric Models.
. Inrodução O objecivo dese esudo é a obenção de esimaivas para o número de nados vivos (de cada um dos sexos) ocorrido por mês em Porugal. E porquê a necessidade de esimar valores que são conhecidos com precisão, por ser o regiso de odos os nascimenos obrigaório? Essa necessidade surge devido ao araso que ocorre no apurameno dos dados. Geralmene, é só em Maio de cada ano que se oma como definiivo o nível de nascimenos com vida do ano anerior. No enano, esse valor é soliciado logo no fim do ano 3 quando os dados disponíveis são manifesamene insuficienes (mesmo aqueles meses para os quais já exise alguma informação, esão subavaliados). A impossibilidade de quanificar o fenómeno da naalidade, oporunamene, parece não deixar alernaiva à previsão. As previsões do número de nascimenos são geralmene, feias em ermos de axas de naalidade (ou de fecundidade) e não em valores absoluos (Shryock e ouros,976). Porém, os úlimos não podem ser deduzidos das primeiras pois iso implicaria o conhecimeno da população residene (ou da população feminina em idade féril) do período em quesão. Serão experimenados alguns méodos de previsão, uilizando modelos dinâmicos univariados (nomeadamene modelos ARIMA e modelos esruurais). Poseriormene, será esudada a influência de algumas variáveis exógenas aravés da consrução de um modelo economérico. Espera-se que ese modelo economérico supere os modelos univariados no que diz respeio à qualidade de ajusameno das séries, por er em cona ouras influências para além dos valores passados das variáveis e, como objecivo principal, forneça melhores previsões. Essas esimaivas são necessárias para o cálculo das esimaivas mensais da população residene, por sexos, que são obidas aravés da equação de concordância: P P N - O SM, - onde P, N, O e SM são, respecivamene, a população, os nados vivos, os óbios e o saldo migraório do período (Shryock e ouros,976). Os dados referenes ao número de nados vivos provêm dos verbees do seu regiso. Esse regiso deve ser feio no prazo de um mês (é-o, por vezes, mais arde) na conservaória civil respeciva. Arasos nas conservaórias levam a que os verbees demorem algum empo a chegar ao INE, onde, por sua vez, o seu raameno e análise não são imediaos, pelo que as esaísicas demográficas respecivas só esão disponíveis cerca de 4 meses depois do mês a que dizem respeio, assumindo, enão, um carácer provisório, por ser significaivo o número de regisos feio muio depois do prazo esabelecido. 3 Ou seja, quando as esimaivas da população residene são procuradas para alguns esudos, nomeadamene, o Inquério ao Emprego. VOLUME 3
REVISTA DE ESTATÍSTICA 83ª PAGINA. Enquadrameno Geral.. A evolução da naalidade em Porugal desde 886 O fenómeno da naalidade em Porugal, a parir de 886, foi caracerizado por algumas oscilações bruscas alernadas com períodos de relaiva esabilidade, aé meados da década de 6, endo, a parir daí, sofrido um quebra que, aé ao ano de 995, foi inerrompida apenas nos dois anos seguines à revolução de 974. Desde 965, excepuando os anos de 975 e 976, o número de nados vivos, no nosso país, diminuiu, aé que, em 996, se deu um inesperado aumeno,94% que se repeiu no ano seguine,44%. Gráfico : Nados vivos e axa de naalidade em Porugal no período de 886 a 997 Nados vivos 5 9 5 975 4 5 99 996 3 5 886 98 93 95 974 996 Nados vivos Taxa de Naalidade Fone: INE Anuários Demográficos, Esaísicas Demográficas e Séries de Esimaivas Provisórias. O aumeno exraordinário no número dos nados vivos regisados em 9 (seguido de uma diminuição em 9 para um nível ainda elevado) pode ser explicado pela inrodução, nesse ano, da obrigaoriedade do regiso civil (Carrilho, 99). Ao número de crianças nascidas nesse ano pode esar erradamene acrescenada uma parcela referene àquelas que, endo nascido nos anos aneriores, e por não ser obrigaório, não foram regisadas oporunamene. As baixas significaivas observadas nos anos de 98 e 99, que se seguiram à diminuição devida à guerra e a um fore suro emigraório, reflecem os efeios da gripe pneumónica (Carrilho, 99), que erá provocado a more de muios jovens em idade de procriar. Segundo Rosa (996), a baixa dos nascimenos desde a década de 6 deve-se à esruura populacional e ao nível de fecundidade: na década de 6, houve uma diminuição do peso das mulheres em idade féril na população; nas duas décadas seguines, o nível de fecundidade ambém foi imporane. A auora apresena como jusificações para o declínio da fecundidade a aleração do calendário (o reardar da
idade ao primeiro filho leva a que cada mulher enha menos filhos) e a nupcialidade. Noa, no enano, que esas não são suficienes pois, nas décadas de 6 e 7, a fecundidade ornou-se mais precoce (só a parir de 8 começou a ser reardada), por ouro lado, é cada vez mais significaiva a proporção de nascimenos fora do casameno, o que desliga a naalidade cada vez mais da nupcialidade. O fenómeno sofre, porano, influência de facores económicos e sociais ainda não idenificados. Os anos de 975 e 976 marcaram, como já foi referido, uma inerrupção na endência decrescene do número de nados vivos. Esse acréscimo er-se-á devido à anecipação de casamenos e de nascimenos na sequência de perspecivas favoráveis em que se raduziram os aumenos de ordenados de 974, 975 e 976 (Baraa,985) e ao reorno de porugueses das ex-colónias (Carrilho, 99). Se observarmos, no gráfico, os acréscimos da axa de naalidade e número de nados vivos para os dois anos seguines à revolução, noaremos que ambos foram significaivos mas que o primeiro não foi ão imporane. Iso leva-nos a concluir que o aumeno dos nados vivos foi, em pare, devido ao aumeno da população (provocado pelo referido reorno) mas não só, uma vez que ambém aumenou o número de nascimenos por cada mil habianes. Enão, houve, ambém, um maior desejo de procriar que o argumeno de Baraa jusifica. Carrilho e Peixoo (993) desacam, como facores explicaivos da queda da fecundidade, enre 98 e 99: o reardar do casameno e, consequenemene, da idade ao nascimeno do primeiro filho; a difusão dos méodos conracepivos; a dificuldade dos jovens no acesso à habiação e emprego; o prolongameno da escolaridade obrigaória; o maior grau de insrução e acividade profissional da mulher; a afirmação social e profissional do casal. Também aqui fica a ideia de que a naalidade em de ser enquadrada no conexo socio-económico... A sazonalidade nos nados vivos A análise gráfica da série dos nados vivos mensais, sugere uma divisão desa Nados vivos (^3) 9Gráfico : Nados vivos mensais em Porugal para o período de 966 a 997. 5 7 jan/66 jan/7 jan/74 jan/78 jan/8 jan/86 jan/76 jan/94 Fone: INE Anuários Demográficos e Esaísicas Demográficas. Nados vivos em dois períodos: aquele que vai de 966 (ano a parir do qual exisem dados) aé cerca de 975 e o período desde enão aé agora. VOLUME 3
REVISTA DE ESTATÍSTICA 85ª PAGINA No primeiro período, não idenificamos movimenos esriamene sazonais. Ao conrário, no segundo, observamos um padrão de sazonalidade dos nados vivos que é marcado por níveis mais elevados nos meses de Maio e Julho e mais baixos no mês de Fevereiro. O faco de o aparecimeno de sazonalidade nos nados vivos er coincidido com a generalização dos méodos aniconcepcionais indica que esa será o reflexo do planeameno familiar. O fenómeno da sazonalidade esará, enão, possivelmene, associado às preferências dos fuuros pais quano ao mês em que aconecerá o nascimeno e, não ano, a condições naurais..3. A relação de masculinidade dos nados vivos Chama-se relação de masculinidade à nascença ao número de nascimenos masculinos por cada cem nascimenos femininos: nº de nados vivos de sexo masculino Relação de masculinidade à nascença. nº de nados vivos de sexo feminino Ese rácio é superior a para quase odos os países para os quais exisem dados, siuando-se, para a maioria desses países, enre 4 e 7 (Shryock,976). Esa relação é, por vezes, referida com uma consane demográfica igual a 5, devendo, segundo alguns auores, a observação de desvios acenuados indiciar fala de qualidade dos dados (Nazareh,996;Pressa,97). Refere Nazareh, "nos países com boa qualidade de dados a relação de masculinidade dos nascimenos anda à vola de 5, desde que se excluam as variações aleaórias sempre possíveis. A exisência de desvios acenuados em relação a ese valor médio não pode ser senão a consequência de erros observados, nomeadamene, omissões mais acenuadas num sexo do que nouro". Se considerássemos o rácio acima definido consane e igual a 5, seríamos levados a concluir, pela observação dos seus valores desde o fim do século passado, que o regiso dos nados vivos no nosso país é muio deficiene, pois esse valor foi sempre ulrapassado pela relação de masculinidade das crianças regisadas, à excepção dos anos de 9 a 93 e 98 em que foi ligeiramene inferior. Julgamos que essa conclusão seria errada (pode dizer-se que exise qualidade deses dados pelo menos desde a década de 98) pelo que essa "consane" não esá de acordo com a realidade observada em Porugal. A média dos valores observados no período de 886 a 997 foi de 6,6 e no período de 98 aé 997 de 6,5. Quano a ese período, exise credibilidade das esaísicas dos nascimenos, pelo que julgamos que fará mais senido omar, pelo menos para o nosso país, como valor médio o de 6,5. Quano a considerá-lo consane, exise evidência de que isso pode não ser muio correco (ainda em 996 nasceram 8 rapazes para cada raparigas).
.4. A amosra Exisem dados mensais de nados vivos por sexo disponíveis a parir de 967 mas os regisos exisenes aé cerca do fim da década de 97 carecem de credibilidade pelo que consideraremos como início da amosra o mês de Janeiro de 98. Os dados de que necessiamos esão disponíveis para o período aé ao mês de Novembro de 998, sendo os dese ano, ainda, provisórios. Porém, acrediamos que os números referenes aos meses do primeiro semesre não sofrerão mais alerações, razão pela qual os omaremos como definiivos. A amosra que uilizaremos para a esimação dos modelos de previsão é consiuída pelas séries mensais de nados vivos masculinos e femininos ocorridos em Porugal (e cujos progeniores são residenes no nosso país) para o período de Janeiro de 98 a Junho de 998. Consideraremos, a parir de agora, H M HM nº de nados vivos de sexo masculino no período, nº de nados vivos de sexo feminino no período, H M, e, ainda, a relação de masculinidade à nascença: RMN H. M 3. Modelização ARIMA 3.. O processo inegrado miso sazonal: SARIMA( p,d,q)( P,D,Q) S X diz-se um processo miso inegrado sazonal quando: φ p S d S D S ( B) ( B )( - B) ( - B ) X θ q ( B) Θ Q ( B ) ε Φ, S em que o polinómio auoregressivo, φ p ( B) Φ P ( B ) S médias móveis, θ ( B) Θ ( B ) q Q, é esacionário e o polinómio de, é inverível (ou seja, as suas raízes, em módulo, enconram-se fora do círculo uniário); ε é um ruído branco 4. 4 i B X X -i. S é o período da componene cíclica da série, que será igual a no nosso caso. ε :, ±,, K diz-se ruído branco quando é formado por Um processo esacionário { } ± E ε µ, uma sucessão de variáveis aleaórias com a mesma disribuição, média consane [ ] ε variância consane [ ] k e ouros,993). V ε σ e covariância nula, γ para odo o ineiro (Mureira ε k VOLUME 3
REVISTA DE ESTATÍSTICA 87ª PAGINA O modelo acima, designado abreviadamene por ( p,d,q) (P, D,Q) S um processo não esacionário. Tomando, SARIMA é Y d S D ( B) ( B ) X, Temos o correspondene processo miso sazonal esacionário, habiualmene ARMA p,q (P,Q), definido por: designado por ( ) S φ p S S ( B) ( B ) Y θ q ( B) ΘQ ( B ) ε Φ. 3.. Meodologia Box-Jenkins 5 Box e Jenkins, em 97, propuseram uma meodologia de análise de uma série cronológica que em por objecivo a obenção de um modelo SARIMA que a descreva e, consequenemene, seja capaz de prever o seu comporameno fuuro.essa meodologia divide-se em rês eapas e é, usualmene, esquemaizada da seguine forma: Meodologia de Box-Jenkins Eapa : Idenificação Escolha de um modelo Eapa : Esimação Esimação dos parâmeros do modelo Eapa 3: Avaliação do diagnósico Adequação do modelo escolhido Uilização do modelo na previsão Sim Modelo saisfaório Não A eapa da idenificação corresponde à escolha de um modelo SARIMA que, aparenemene, descreva a série em esudo e divide-se em: I - Esacionarização da série e II - Selecção de um modelo ARMA. 5 Apresenamos um breve resumo desa meodologia, para maior desenvolvimeno ver Box e ouros (994) e Mureira e ouros (993).
A primeira sub-eapa desina-se a, caso seja necessário, ransformar a série de modo a esabilizar a variância, neuralizar a endência e suprimir movimenos esriamene sazonais, ou seja, orná-la esacionária. Segue-se a selecção de um modelo ARMA aravés da comparação das funções auocorrelação (FAC) e auocorrelação parcial (FACP) esimadas com os figurinos eóricos dessas funções para diferenes modelos 6. Na segunda eapa, procede-se à esimação dos parâmeros do modelo idenificado. O modelo esimado é submeido a uma avaliação do diagnósico em ermos da sua qualidade esaísica (análise da qualidade esaísica das esimaivas sob deerminados criérios) e da sua qualidade de ajusameno, ou seja, da sua adequação à série esudada (aravés de eses de hipóeses aos respecivos resíduos). A não saisfação dos criérios de avaliação do diagnósico por um modelo implica a sua rejeição. Tal como sugerido pelo algorimo que descreve a meodologia, à rejeição de um modelo deverá seguir-se a escolha de ouro (nauralmene orienada pela esimação e avaliação do/s aneriores). Caso conrário, é permiida a sua uilização na previsão. No caso de o esudo da série levar a considerar aceiáveis vários modelos, deverá ser seleccionado um deles com base em criérios de qualidade de ajusameno e previsão. A avaliação da qualidade de previsão poderá ser feia aravés da simulação para um período para o qual são conhecidos os verdadeiros valores da série. 6 Seja { X } um processo esacionário, em-se a sua função auocorrelação (FAC): ( X X ) cov, τ ρ τ. Var( X ) Considere-se o modelo de regressão de X sobre k dos seus valores passados, k,, : X φ X φ X K φ X ε, k k kk k em que ε é um ruído branco de média nula. O coeficiene φ kk, função de k, designa-se por auocorrelação parcial (FACP). É possível o processo de idenificação de modelos ARMA aravés da comparação referida pois as suas funções auocorrelação e auocorrelação parcial possuem caracerísicas próprias. VOLUME 3
REVISTA DE ESTATÍSTICA 89ª PAGINA 3.3. Nados vivos e sua relação de masculinidade 75 Gráfico 5: Nados vivos masculinos e femininos e sua relação de masculinidade para o período de Janeiro de 98 a Junho de 998. % nados Vivs 6 45 H M 3 jan/8 jan/8 jan/84 jan/86 jan/88 jan/9 jan/9 jan/94 jan/96 jan/98 H M RMN Fone: INE Anuários Demográficos e Esaísicas Demográficas. RMN 6,5 Como já foi referido, preendemos prever o número de nascimenos de cada sexo. Por se raarem de duas séries diferenes, em princípio, deveriam ser "raadas" independenemene mas o seu comporameno, aparenemene e como seria de esperar, é semelhane. Pela análise gráfica da série da relação de masculinidade à nascença, fica a ideia de que a sua variação em orno da consane 6,5 (valor médio da variável no período considerado) não em um comporameno sisemáico, ou seja, de que consiui um ruído branco. Será, enão, de esar a veracidade da hipóese de que a relação de masculinidade dos nados vivos é um ruído branco. Para isso, calcule-se a função de auocorrelação da série para os primeiros 4 desfasamenos 7 : Gráfico 6: FAC esimada de RMN. 4 8 9-3 6 9 5 8 4,5,6 7 As bandas apresenadas são : para os rês primeiros lags, para os dois seguines e N N para os resanes, sendo Nnº de observações, Mureira e ouros (993). N
Como vemos, exise correlação significaiva enre os valores da série e alguns valores desfasados, pelo que a variável não pode ser considerada um ruído branco. Iso pode denunciar um comporameno diferene das séries de nascimenos dos dois sexos, jusificando-se, porano, que comecemos por raá-las em separado, podendo esperar-se a escolha de dois modelos disinos. 8 Como podemos ver pela represenação gráfica das séries (gráfico 5), esas não são esacionárias pois êm uma endência decrescene e apresenam movimenos sazonais. Apesar de não idenificarmos claramene um padrão de sazonalidade, pode dizer-se que os meses nos quais se observam os valores mais elevados são Maio e Julho, sendo os mais baixos observados no mês de Fevereiro. Um dos facores que provoca a sazonalidade dos nascimenos pode ser o número de dias de cada mês. É legíimo pensar que nos meses mais longos ocorrem mais nascimenos, podendo argumenar-se a favor com os "casos" dos meses já referidos. Porém, ese não será o único facor deerminane da sazonalidade (por exemplo, em Agoso, nascem sempre menos crianças do que em Julho e ambos os meses êm 3 dias). Podemos corrigir as séries do efeio do número de dias do mês, omando, em vez do número de nados vivos, o número de nascimenos com vida por dia. Consideremos as variáveis: HPD MPD com Dias H Dias M Dias nº de dias, nº de nados, nº de nados vivos desexo masculino por dia no período, vivos desexo feminino por dia no período, do período (mês). O mês de Fevereiro já não é o que apresena os valores mais baixos em odos os anos (sendo os mínimos anuais aingidos, por vezes, em Novembro e Março). O pico de Julho parece jusificar-se pelo faco de ese mês er 3 dias, pois já não aconece nas variáveis corrigidas, surgindo o mês de Seembro como um daqueles em que aconecem mais nascimenos com vida por dia. Não é, agora, ão claro um padrão de sazonalidade. Com visa à obenção do melhor modelo de previsão para os nados vivos aplicaremos à série HMPD 9 a meodologia Box-Jenkins. 3.5. Modelização da série do oal de nados vivos A análise da série de relação de masculinidade à nascença jusificou que se começasse por raar as duas variáveis que relaciona em separado. Porém, essa análise 8 Foi o que fizemos endo chegado a dois modelos muio parecidos. Comparámos os resulados obidos aravés da simulação da previsão para períodos passados, e concluímos que não há vanagem em esimar um modelo para cada sexo. Opámos, enão, por esimar apenas um modelo e fazer previsões para o número oal de nados vivos que será reparido por sexos segundo a relação de masculinidade de 6,5. 9 Foi ambém modelizada a série HM mas os resulados obidos com as série corrigida foram melhores. VOLUME 3
REVISTA DE ESTATÍSTICA 9ª PAGINA levou a que se opasse por ajusar às duas séries um modelo SARIMA (,, )(,, ), cujos parâmeros esimados não diferem muio. Nese caso, será que se jusifica a esimação de dois modelos diferenes, endo sido verificado que o comporameno das duas séries é semelhane? Já vimos que exise uma relação enre as duas séries que, apesar de não ser consane, varia pouco em orno de um valor médio de 6,5 nascimenos masculinos por cada nascimenos femininos. Em alernaiva à consrução de modelos diferenes para os nascimenos de sexos diferenes, poderíamos esimar um só modelo para o número oal de nascimenos. As esimaivas obidas para esse oal seriam, poseriormene, reparidas omando a relação de masculinidade à nascença igual ao valor médio referido. 3.5.. O modelo esimado Ajusando um modelo SARIMA (,, )(,, ) à série dos nados vivos (considerando o inervalo de esimação de Janeiro de 98 a Junho de 998), obiveram-se as seguines esimaivas: ( - B)( B ) HMPD (,3986B)(,998B ) ε, onde ε é um ruído branco. θ 6,6 δ 69,86 Também aqui, a esimaiva do parâmero do facor sazonal de médias móveis não se afasa muio de mas, de novo aravés de um ese de hipóeses, concluímos que diferem significaivamene, porano, o respecivo polinómio é inverível. 4. Modelização esruural 4.. Inrodução Os modelos esruurais de séries cronológicas foram desenvolvidos por Andrew Harvey, em 984 e 985, e, ao conrário dos modelos SARIMA, descrevem a série cronológica direcamene em ermos das suas componenes radicionais: a endência, o ciclo, a sazonalidade e, ainda, a componene residual. Harvey (997) apresena duas grandes objecções à abordagem ARIMA: a primeira diz respeio à meodologia de selecção de um modelo esando a segunda relacionada com a própria classe de modelos. Quano à primeira objecção, o auor defende que o procedimeno não funciona. No seu livro, Box e Jenkins (976), referiram que os méodos proposos se desinavam a modelos simples para grandes amosras. De faco, com cenenas de AR, observações, é possível idenificar aravés do correlograma de uma série um ( )
ARMA mas o mesmo não se pode dizer de modelos mais complexos, e para amosras mais pequenas. Harvey noa que, mesmo reconhecendo a função auocorrelação eórica de, por exemplo, um processo ARMA ( 3,), é quase impossível alguém idenificá-lo aravés da função auocorrelação esimada. ou MA ( ), ou mesmo um (, ) Por ouro lado, defende que, se a série não é esacionária, sendo, por isso, a análise baseada nas suas diferenças, a selecção de um modelo inadequado pode er consequências graves ao nível da previsão. Na sua opinião, a uilização de criérios como o AIC (Akaike Informaion Crierion) para ulrapassar as dificuldades na selecção de um modelo raz poucos benefícios, podendo, aé, ser prejudicial. A segunda objecção em relação à modelização ARIMA diz respeio à classe de modelos. O auor não concorda com a opinião de alguns esudiosos, segundo a qual exise um eorema que diz que odas as séries são geradas por um processo daquele ipo, basando procurar para enconrar o correco. Aquela classe compreende muio modelos que não êm uma inerpreação clara (e cujas funções de previsão podem er propriedades indesejáveis) que podem ser os escolhidos, dadas as dificuldades na selecção. A perspeciva radicional da análise de séries cronológicas pressupõe que o conjuno de observações que consiui a série é o resulado da ineracção de componenes elemenares como a endência, ciclo e sazonalidade. A componene residual, ou aleaória, é consiuída por movimenos irregulares, não previsíveis, ou seja, inclui udo o que não é sisemáico. Esa abordagem é a chamada modelização de componenes, ou análise de decomposição e assume que as componenes são deerminísicas. Uma vez que uma endência deerminísica é muio resriiva, a solução óbvia é orná- -la mais flexível, deixando os parâmeros do nível e do declive variar ao longo do empo (Harvey,997). Num modelo esruural, assume-se que eses parâmeros são passeios aleaórios o que leva a uma endência aleaória em que o nível e o declive podem evoluir ao longo do empo. As previsões desse modelo dão mais imporância às observações mais recenes, quano mais depressa o nível e o declive mudam, mais são desprezadas as observações passadas. A endência deerminísica é o caso limie em que os hiperparâmeros que permiem que as suas componenes (nível e declive) variem são iguais a zero. À endência e componene irregular podem ser acrescenadas ouras componenes como o ciclo e a sazonalidade que são aleaórias (podendo, ambém, no limie, ornar--se deerminísicas). Os ineressados podem enconrar a apresenação dos modelos de decomposição em Mureira e ouros (993). Um processo esocásico { X :,,, 3,K } ± ± ± diz-se um passeio aleaório quando, para cada, ±, ±, ± 3,K, se em X X - ε, em que ε é um ruído branco. Eses hiperparâmeros são as variâncias das perurbações aleaórias das componenes. Iso ornar-se-á mais claro com a formalização do modelo que apresenaremos de seguida. VOLUME 3
REVISTA DE ESTATÍSTICA 93ª PAGINA Os efeios sazonais dizem respeio ao longo prazo, pois o padrão sazonal é projecado indefinidamene no fuuro, devendo ser a esimaiva do úlimo, no fim da série, uma vez que eses padrões podem variar ao longo do empo. Ora, é iso que faz o modelo esruural, ao admiir a aleaoriedade da componene sazonal. Na opinião de Harvey (997), a formalização da sazonalidade de forma deerminísica, aravés de variáveis "dummy", não é aconselhável pois aconecem, frequenemene, alerações nos padrões sazonais das séries. O argumeno de alguns economerisas de que os efeios sazonais devem ser considerados esacionários, pois o "Inverno não pode ornar-se Verão", é refuado pelo auor, que refere que exisem muios exemplos em que eses efeios variam. O modelo esruural é formalizado em ermos das suas componenes, que êm uma inerpreação direca. Em ermos economéricos convencionais, pode pensar-se num modelo de regressão em que as variáveis explicaivas são funções do empo e em que os parâmeros variam com o empo (Harvey, 993) As previsões num modelo esruural são consruídas auomaicamene pelo filro de Kalman, processo de esimação recursiva, ópimo no senido clássico de minimização do erro quadráico médio. A endência é exraída por um algorimo de alisameno e os parâmeros que deerminam a sua evolução são esimados pelo méodo da máxima verosimilhança, usando, de novo, o filro de Kalman. A análise radicional de séries cronológicas saliena o papel da diferenciação na consrução de modelos de séries não esacionárias; apesar de os modelos esruurais poderem ser represenados em diferenças, nem sempre é necessário fazê-lo para ober um modelo adequado, podendo eses ser represenados em níveis, o que orna a sua inerpreação mais clara. A modelização esruural pode ser implemenada aravés do package STAMP 3. Não sendo necessário conhecer o filro de Kalman para usar ese package, o uilizador comum pode concenrar-se apenas na selecção de um modelo adequado e sua inerpreação (Harvey,997). 4.. Formalização do modelo O modelo é formalizado do seguine modo: y µ γ ψ ν ε, com ε ~ wn, ( σ ). Α equação acima relaciona as observações da variável dependene com as componenes esruurais, respecivamene, a endência, a sazonalidade, o ciclo, uma componene auoregressiva de primeira ordem e a componene irregular. Α primeira parcela corresponde à endência que, por sua vez, é formalizada aravés das duas equações: ε 3 A úlima versão do STAMP (Srucural Time Series Analyser, Modeller and Predicor) foi consruída em 995 por Siem Koopman, Andrew Harvey.
µ β µ β - - β - η, comη ~ wn ζ, com ζ ~ wn(, σ ), ζ (, σ ) η e onde β é o declive da endência perurbações aleaórias do nível, η, e do declive, µ. A componene irregular, ε, as ζ, admiem-se não correlacionadas enre si. A componene declive pode, quando apropriado, ser reirada do modelo ou, ainda, ser definida como um processo auoregressivo de primeira ordem, chamando-se endência amorecida: (, σ ) e < ρ. β ρ β β - ζ, com ζ ~ wn ζ β < A sazonalidade pode ser definida na forma radicional: ( σ ) s γ - j ω, com ω ~ wn, ω j γ onde s é o período da sazonalidade da série, ou enão na forma rigonomérica: [ s / ] γ γ, j onde cada j, γ j, é gerado por:, γ γ j, j, cos λ senλ senλ cosλ γ γ * j,- j,- ω ω j, j, [ s/ ], j, K,,, K,T, πj sendo λ j a frequência, em radianos, e as perurbações aleaórias, s ω j, eω j,, ruídos brancos não correlacionados enre si, de média nula e desvio padrão comum σ ω. A especificação esaísica do ciclo, ψ é dada por: ψ ψ ρ ψ cosλc - senλ c senλ c cosλ c ψ ψ - - κ κ,, K,T, onde e λ π são, respecivamene, o facor de amorecimeno e a < ρ ψ c frequência do ciclo, em radianos; κ si, de média nula e variância comum eκ são ruídos brancos não correlacionados enre σ κ. O período do ciclo é igual a A componene auoregressiva é definida da seguine forma: (, σ ) e < ρ. ν ρνν - ξ, com ξ ~ wn ξ ν < π. λ c VOLUME 3
REVISTA DE ESTATÍSTICA 95ª PAGINA As perurbações aleaórias de cada componene são não correlacionadas enre si. As variâncias das perurbações aleaórias das componenes, junamene com as frequências e facores de amorecimeno dos ciclos (e declive) e os coeficienes da componene auoregressiva consiuem os hiperparâmeros dos modelos esruurais. Cada uma das componenes do modelo orna-se deerminísica caso o hiperparâmero que permie que varie seja igual a zero. Se admiirmos a normalidade das perurbações do modelo, eses hiperparâmeros podem ser esimados pelo méodo da máxima verosimilhança, o que pode ser feio no domínio empo, aravés do filro de Kalman, ou no domínio frequência. Feia esa esimação, uiliza-se o modelo no espaço de esados para fazer previsões e consruir esimadores das suas componenes não observáveis. 4.3. Modelos em espaço de esados O raameno esaísico dos modelos esruurais baseia-se na sua represenação em ermos de espaço de esados, por forma a que a esimação das suas componenes possa ser feia com o filro de Kalman. De seguida, apresenaremos uma formalização simples desa represenação. Seja y,,, K, um sisema dinâmico que evolui ao longo do empo e que pode, por hipóese, em cada momeno, ser caracerizado pelos valores de m variáveis (as quais podem não ser direcamene observáveis). Esas m variáveis, designadas por variáveis de esado, podem formalizar-se no seguine vecor: α [ α α K α ] T, m que dá, para cada, o esado do processo. A equação das observações, ou de medida: y Z α ε,,, KT, igual a onde Z é um vecor ( m) e ε um ruído branco de média nula e variância σ h, relaciona as observações, y, e o vecor de esados, α. A equação de ransição: α Tα - π caraceriza a evolução no empo do vecor de esados, ainda que ese possa não ser direcamene observável. Na equação acima em-se T, mariz ( m m), e π vecor aleaório ( ) V σ Q π. Os elemenos de π são ruídos m com [ ] ( m m ) brancos que se admiem não correlacionados enre si nem com ε.
VOLUME 3 O conjuno das equações das observações e de ransição define um modelo em espaço de esados. A represenação acima admie que as marizes Z e T podem variar com o empo. Porém, no caso dos modelos esruurais, elas são invarianes com, omandose, enão, no seu lugar, Z e T. 4.3.. Modelos esruurais em espaço de esados A represenação de modelos esruurais em espaço de esados é quase imediaa. Considere-se, por exemplo, o chamado modelo esruural básico que inclui as componenes endência, sazonalidade e residual: s j - j - - -,,,, y ω γ γ ζ β β η β µ µ ε γ µ com e,, ω ζ η ε ruídos brancos de média nula, não correlacionados enre si e cujas variâncias são, respecivamene,.,,, ω ε η ε σ σ σ σ A represenação em espaço de esados do modelo esruural básico, para o caso paricular de dados rimesrais, é: [ ] { - - - T, Z y π ω ζ η α α ε α γ γ γ β µ 444 4 3 44 4 3 4 4 3 4 4 O vecor de esados inclui o número mínimo de componenes necessário para caracerizar o processo no momeno : nível, endência e as rês mais recenes esimaivas para os facores sazonais.
REVISTA DE ESTATÍSTICA 97ª PAGINA 4.4. Esimação recursiva e o filro de Kalman O filro de Kalman desempenha o mesmo papel para os modelos de séries cronológicas em espaço de esados que os méodos de mínimos quadrados para os modelos de regressão (Koopman e ouros, 995). Num modelo em espaço de esados, o vecor de esados é essencial para a caracerização do sisema pelo que, sendo ese, normalmene, desconhecido, é necessário esimá-lo; iso pode ser feio aravés do méodo de esimação recursiva chamado filro de Kalman, que é ópimo no senido de proporcionar os esimadores de menor erro quadráico médio (EQM). De seguida, expliciaremos a sua forma para os modelos acima definidos apresenada em Cosa (995) 4. 4.4.. O filro de Kalman Admiamos conhecidos os hiperparâmeros do modelo. Sejam, em -: a, o esimador (ou esimaiva) de menor EQM de informação disponível aé -, inclusive, e σ P, a mariz do erro quadráico médio desse esimador. α, baseado na P Dados a e σ, emos as equações de previsão: a P - - Ta TP - - e T T Q, em que a é o esimador (previsor) de menor EQM de α em - de mariz de P covariâncias σ. A previsão ópima, ou seja, de menor EQM, de y em - é: ŷ Za. Conhecido y, procede-se à acualização das esimaivas do vecor de esados e respeciva mariz do erro quadráico médio, aravés das equações de acualização: a P a K e e ( I K Z) P, 4 Exisem formas mais gerais, por exemplo, para o caso de inrodução no modelo de variáveis explicaivas e de inervenção que ambém é possível na modelização esruural mas que não foi, aqui, considerado. Uma forma mais geral, pode ser enconrada em Koopman e ouros (995), Harvey(993).
T T onde P Z [ ZP Z h] K e e y - ŷ - são, respecivamene, o chamado ganho de Kalman e o erro de previsão a um passo, ou inovação. O conjuno das equações de previsão e acualização consiui o filro de Kalman. 4.4.. Previsão O esimador, ou esimaiva, de menor erro quadráico médio do vecor de esados em Th, no momeno T (ou seja, T e h são, respecivamene, a origem e o horizone de previsão) é: a T h T Ta T h T, h,, K, endo-se, no seu erro de previsão, P T h T TPT h T T T Q, h,, K. Daqui se obém o previsor das observações, y : h ŷ T h T Za T h T de variância, T [ ] ( ZP Z h) V ŷ T h T T h T, σ. 4.4.3. Alisameno e decomposição Quando, para além do objecivo da previsão, exise ambém o de decomposição da série, endo em visa a obenção das melhores esimaivas possíveis das componenes, procede-se ao alisameno em que se esima cada vecor de esados endo em cona, não só as observações passadas, como na filragem, mas a informação de oda a amosra. Por ser o nosso objecivo principal a previsão, apresenamos, apenas, uma formalização simples dese procedimeno. O alisameno consise na aplicação dos princípios da esimação recursiva em ordem inversa à das observações, endo como valores iniciais as esimaivas a T e P T obidas pelo filro de Kalman. As equações de alisameno são: a P T T a P P P T ( a T Ta ) e T ( P P ) P, T com P P T P, T -, T -, K,. VOLUME 3
REVISTA DE ESTATÍSTICA 99ª PAGINA 4.5. Ajusameno dos modelos esruurais Ainda que diferene da primeira fase de idenificação da modelização ARIMA, na modelização esruural, há que fazer uma análise da série em esudo por forma a escolher qual o modelo esruural que será mais adequado, ou seja, que componenes devem ser incluídas e se algumas devem ser consideradas, à parida, deerminísicas. Há que er em cona, ambém, a evenual necessidade de efecuar alguma ransformação não linear sobre a série de modo a garanir a adequação da formalização adiiva do modelo. O filro de Kalman assume o conhecimeno dos hiperparâmeros, que devem ser, previamene, esimados. Usualmene, são-no aravés de méodos de máxima verosimilhança em que se supõe a normalidade das perurbações aleaórias das componenes 5. Após ese processo de esimação, donde poderão resular esimaivas nulas para as variâncias das perurbações, o que indicará que as respecivas componenes são deerminísicas, a série será filrada uma úlima vez. Desa filragem, resularão os erros de previsão (resíduos) a parir dos quais serão calculadas as esaísicas a uilizar na avaliação do modelo ajusado bem como a esimaiva do esado final, que coném a informação necessária para efecuar previsões. Após a esimação do modelo, pode proceder-se a uma avaliação de diagnósico, aravés de eses à normalidade dos resíduos, heerocedasicidade e aleaoriedade bem como algumas esaísicas indicadoras da qualidade de ajusameno. Os eses e indicadores de qualidade de ajusameno uilizados para os modelos esruurais (e fornecidos pelo STAMP) são os comummene uilizados. 6 4.6. Um modelo para a série dos nados vivos 7 Com o mesmo objecivo que nos guiou na secção anerior, o de ober boas previsões para o número de nascimenos de ambos os sexos ocorridos por mês, experimenaremos a modelização esruural descria arás. Tesaremos se, para a nossa série, é verdade o que Harvey defende, ou seja, que modelização esruural conduz a melhores prediores do que os alcançados com a modelização ARIMA. 5 Para uma consula dos méodos uilizados pelo STAMP, veja-se Koopman e ouros (995). 6 Ver Koopman e ouros (995) e Cosa (995). 7 Tendo concluído que não há vanagem em esimar dois modelos diferenes para os dois sexos, esimaremos apenas um modelo para o oal de nados vivos; omaremos esa série corrigida do número de dias do mês ambém por havermos consaado a vanagem de fazê-lo.
VOLUME 3 4.6.. O modelo esimado A modelização esruural da série dos nados vivos conduziu-nos ao seguine modelo: ( ), 8,9, wn ~ com, HMPD ε σ ε ε ν γ µ em que a endência e as componenes sazonal e auoregressiva de primeira ordem são definidas, respecivamene, por: ( ) ( ) ( ).,8, wn ~,com,5755,335,, wn ~,com 3,67,, wn ~ com, - j - j - ξ ω η σ ξ ξ ν ν σ ω ω γ γ σ η η µ µ Em espaço de esados, emos: [ ] { - - - -,5755, Z HMPD Tˆ π ξ ω ε α α ε α ν γ γ γ γ µ M 4444444 4 3 444444 4 L L M L L L L 3 M 444 4 3 4 44 4 L
REVISTA DE ESTATÍSTICA ª PAGINA A esimaiva para o esado final, a parir do qual serão calculadas as previsões é: a Jun / 98 36,7 6,963 5,7,8867 6,9 3, 8,556 4,47 6,797,56 5,3,736,9956 O úlimo padrão de sazonalidade esimado e que será projecado no fuuro é: Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho -8,556-3, -6,9 -,8867 5,7 6,963 Julho Agoso Seembro Ouubro Novembro Dezembro,4 -,736 5,3,56-6,797-4,47 5. Modelo Economérico A influência de vários facores sócio-económicos sobre o fenómeno da naalidade em sido referida por vários auores. O objecivo desa secção é a consrução de um modelo economérico que ponha em evidência a influência de alguns desses facores e que permia a melhoria das previsões em relação aos modelos univariados esudados arás. Os modelos univariados já mosraram ser capazes de fornecer boas previsões mas sobreudo de variáveis "bem comporadas", ou seja, sem inversões de endência como a ocorrida com o número de nados vivos em Porugal no ano de 996. É de esperar que um modelo que faça depender uma variável apenas das suas observações passadas preveja de acordo com a endência verificada aé enão. Acrediamos que a conjunura económica do país influi, ao nível do casal, no desejo de er ou não er filhos o que, ao nível do país, irá reflecir-se no número dos nascimenos. O fenómeno da nupcialidade surge, nauralmene, associado ao da naalidade. O declínio da nupcialidade (e o araso da idade ao primeiro casameno) foi acompanhado pelo aumeno da idade com que as mulheres êm o seu primeiro filho (diminuindo o
número de filhos que cada mulher em ao longo da sua vida) e, consequenemene, o decréscimo do número oal de nascimenos. Porém, aene-se no faco de que o aumeno da axa brua de naalidade no ano de 996 não foi precedido por um aumeno da axa brua de nupcialidade, ao conrário, esa sofreu um acréscimo apenas no ano seguine 8. Gráfico 8: Taxas bruas de naalidade e de nupcialidade e idades médias da mulher ao primeiro filho e ao primeir o casameno, em Porugal, de 98 a 997. Idade (anos) 6 8 5 4 3 98 98 984 986 988 99 99 994 996 6 Idade média ao º filho Taxa Brua de Naalidade Fone: INE Séries de Esimaivas Provisórias. Idade média ao º casameno Taxa Brua de Nupcialidade Não podemos encarar o número de casamenos como único facor deerminane do número dos nascimenos pois a proporção deses que ocorrem fora dos casamenos é, hoje em dia e cada vez mais, muio significaiva. No ano de 997, o número de crianças nascidas cujos pais não eram casados represenou 9,5% do oal de nascimenos, no nosso país. Gráfico 9: Proporção de nados vivos fora do casameno, em Porugal de 98 a 997 % 5% % 5% 98 983 986 989 99 995 Proporção de nados vivos fora do casameno Fone: INE Esimaivas Demográficas. 8 número decasamenos celebrados Taxa Brua de Nupcialidade, (Pressa, 97). População média VOLUME 3
REVISTA DE ESTATÍSTICA 3ª PAGINA Porano, não haverá, enre os dois fenómenos, a relação de causalidade que, porvenura, já exisiu mas não é de excluir a hipóese de que esão correlacionados por sofrerem influências comuns. É legíimo pensar que, num dado momeno, uma boa siuação económica e expecaivas de prosperidade de um país podem levar a que haja mais casais a oparem pelo casameno e, ambém, mais casais a decidirem er um filho. O número de nascimenos ocorridos num período pode ser considerado função da esruura da população, em paricular do número de mulheres em idade de procriar (considera-se, habiualmene, como idades féreis das mulheres as que vão dos 5 aos 49 anos). A ser assim, observaríamos variações deses dois valores no mesmo senido. A hipóese de que a evolução desfavorável da esruura da população, no senido referido acima, provocou o declínio do fenómeno em esudo desde a década de oiena aé ao ano de 995 pode ser facilmene refuada pela observação do gráfico seguine. Gráfico : Mulheres com idades compreendidas enre os 5 e os 49 anos e nados vivos anuais, em Porugal, de 98 a 997 Nados vivos (^3) Mulheres (^3) 6 6 8 4 6 98 98 984 986 988 99 99 994 996 56 5 48 44 4 Nados vivos Mulheres em idade féril Fone: INE Esaísicas Demográficas e Séries de Esimaivas Provisórias. Ao conrário, a população feminina suscepível de procriar em vindo a aumenar. Não fará, porano, senido fazer depender desa variável a que preendemos explicar. Na fase de consrução do modelo economérico explicaivo do número de nados vivos mensais, esudaremos a influência de dois indicadores económicos passíveis de reflecir a conjunura económica que, por sua vez, será relevane na decisão de er um filho: o índice de produção indusrial da indúsria ransformadora e o valor das vendas de gasolina. Em relação a esas variáveis, omaremos os seus desfasamenos de nove e mais meses, de modo a que represenem, para cada mês, o período em que as decisões de er os filhos aí nascidos foram omadas. Será, ambém, em conformidade com o que foi dio acerca da possível correlação enre os fenómenos da naalidade e da nupcialidade, esudada a
significância do número de casamenos celebrados cerca de nove meses anes na explicação do número de nascimenos ocorridos num dado período. Mais uma vez, não esqueceremos a influência que o número de dias de um mês pode er sobre os nascimenos ali ocorridos que, desa feia, será esudada direcamene. A sazonalidade será modelizada aravés de variáveis "dummy" mensais. Apesar da inclusão no modelo de ouras variáveis explicaivas, não desprezaremos a possível influência dos valores passados da própria variável dependene pelo que incluiremos, ambém, alguns seus desfasamenos. 5.. O Modelo 5... As variáveis do modelo A esimação de vários modelos alernaivos com mais ou menos desfasamenos das variáveis explicaivas, mais ou menos observações passadas da variável dependene levou à escolha de um modelo com as seguines variáveis: - Variável dependene HM número de nados vivos no período (em primeiras diferenças). - Variáveis explicaivas HM variável dependene desfasada de i períodos, i, 9, -i Transf -i índice de produção indusrial da indúsria ransformadora em primeiras diferenças e desfasado de i períodos, i 9,, Gasoli -9 valor das vendas de gasolina em primeiras diferenças e desfasado de nove meses, Dias número de dias do período (mês), em primeiras diferenças, S variável que oma o valor para os primeiros seis meses de cada ano e zero para os resanes, M i variável "dummy" mensal que oma o valor para o mês i e zero para os resanes, i 5,6,8,9,. Foram, inicialmene, incluídas variáveis explicaivas referenes aos casamenos (desfasamenos de nove a doze meses do número de casamenos em primeiras diferenças). Conudo, obiveram-se, para odas, coeficienes esaisicamene nulos o que diou a sua exclusão do modelo. VOLUME 3
REVISTA DE ESTATÍSTICA 5ª PAGINA Daí, concluímos que não emos no número de casamenos um indicador avançado para o número de nascimenos; confirma-se a ideia de que a naalidade, hoje em dia, já não é influenciada pela nupcialidade. 5... O modelo esimado O modelo esimado para a amosra aé Junho de 998 é o seguine (enre parêneses enconram-se as esaísicas das esimaivas dos parâmeros): HM 5,3,786 HM - -9 ( 5,896) ( 5,377) ( 3,94) ( 3,93) 5 6 8 ( 4,769) ( 6,3) ( 3,534) (,779) ( 5,59) 364,M ( 3,68) ε,64 HM 5,8 Transf 7,97 Transf -,3943 Gasoli-9 56,9 Dias 437,S ( 3,97) (,47) ( 9,96) ( 7,566) cuj 6, M 99,9M 53,7M 93,M 53,8M os coeficiene de deerminação e coeficiene de deerminação ajusado são, respecivamene: R,9 e R ajusado,895. Aravés dos habiuais eses efecuados aos resíduos do modelo esimado consaámos a ausência de heerocedasicidade (p-value do ese de Whie é igual a,55) e a normalidade dos erros (p-value do ese de Jarque-Bera é igual a,68) 9. Quano à auocorrelação, é significaiva nos desfasamenos 4 a 6, a um nível de significância de 5% mas não o é se omarmos aquele nível a %. Tenámos corrigir ese problema aravés da inclusão de mais alguns desfasamenos das variáveis exógenas e endógena mas sem sucesso. Apesar da inrodução das variáveis explicaivas, coninuam a er muia imporância os desfasamenos da variável dependene, o número de dias do mês e as "dummies sazonais". Os coeficienes esimados das variáveis indicadoras da conjunura económica são significaivos, o que mosra que essa conjunura influencia o número de nascimenos que ocorrem cerca de nove meses depois. Os seus sinais esão de acordo com o que seria de esperar. Uma expansão da economia reflecida em variações posiivas daqueles indicadores explicará, em pare, um aumeno das inenções de procriar que, por sua vez, fará com que ocorram mais nascimenos nove meses depois. A sazonalidade dos nados vivos é deerminada pelo número de dias de cada mês e, ambém, por facores não idenificados que, julgamos, se prendem com as preferências dos fuuros pais quano ao mês de nascimeno das crianças e cujo efeio é considerado aravés das "dummies". 9 Os eses referidos enconram-se descrios em Greene (993). Para esar a auocorrelação, uilizámos o ese de Breusch-Godfrey (Greene, 993). 9-9
6. Comparação dos resulados dos vários modelos Ao longo das rês secções aneriores, experimenámos ouros anos méodos de previsão diferenes com visa a verificar se algum deles se desacava significaivamene. Comparemos, agora, os resulados obidos, para os anos de 997 e 998. As previsões são muio parecidas, odos os modelos produziram o mesmo padrão de sazonalidade. Nados vivos 6 96 86 76 jan/97 abr/97 jul/97 ou/97 jan/98 abr/98 jul/98 ou/98 M HM M HM M3 HM HM É muio difícil disinguir enre as previsões dos modelos SARIMA e esruural para o ano de 997, sendo que as do modelo economérico diferem apenas, e não muio significaivamene, para os meses de Junho a Dezembro. Quano ao ano de 998, a ideia com que ficamos pela análise do gráfico acima é que são os modelos esruural e economérico que quase se equivalem, não sendo, conudo, as previsões do SARIMA muio diferenes das fornecidas por aqueles. Qualquer um dos modelos eria previso, no fim de 996, um aumeno para o ano seguine mais significaivo do que o que aconeceu e, para o ano de 998, a reoma da endência decrescene (em 997 nasceram vivas 933 crianças, mais do que o previso para o ano seguine) que não erá aconecido realmene. As previsões para 997 do modelo SARIMA e do esruural, como já dissemos, não diferem muio, sendo as dese ligeiramene melhores para o oal e para o sexo masculino e piores para o sexo feminino. O modelo economérico, para aquele ano, desaca-se pela negaiva em odos os aspecos: erro oal e erro quadráico médio para os dois sexos e oal. Para o primeiro semesre de 998, os dois primeiros modelos quase não diferem em ermos de erro quadráico médio; porém, o esruural comeeu um erro oal menor (o que significa que os desvios mensais se anulam). VOLUME 3
REVISTA DE ESTATÍSTICA 7ª PAGINA Tabela 5: Erros das previsões dos vários modelos para o ano de 997 e º Semesre de 998. 997 Modelo Modelo Modelo 3 H M HM H M HM H M HM Toal 58 656 55 65 3 7 58 533 54 95 3 484 59 55 49 4 6 Erro -69-69 -788-496 -55-55 - 73-595 - 668 EQM 5 4 98 4 5 43 998 Toal 57 377 53 86 39 58 73 54 6 785 58 84 54 5 66 º Sem. 8 498 6 75 55 5 8 777 7 4 55 79 8 83 7 56 55 879 Erro 44 75 66 6-87 75 6-9 -3 EQM 7 43 3 63 5 3 38 33 56 O erceiro modelo desaca-se, aqui, pela posiiva, dos aneriores. O nosso objecivo principal é a previsão e o desejo, ao consruir um modelo economérico em que emos em cona, para além das observações passadas da variável em esudo, ouras variáveis explicaivas, era o de que ese viesse a ser um melhor predior do que os aneriores. Tendo em cona os resulados analisados acima, isso não é o caso do modelo a que chegámos. Conudo, o faco de, em relação a um período mais recene, o úlimo modelo er superado os ouros deveria levar-nos a opar por escolhê-lo para efecuar as nossas previsões. Comparemos, ainda, as previsões para o período de Jul/98 a Dez/99 Gráfico 36: Previsões segundo os vários modelos e dados provisórios para o período de Julho de 998 a Dezembro de 999 Nados vivos 6 96 86 HM MHM M3HM MHM 76 jul/98 ou/98 jan/99 abr/99 jul/99 ou/99 M HM M HM M3 HM HM
Os resulados fornecidos pelo úlimo modelo quase igualam os alcançados aravés da meodologia ARIMA o que denoa a indiferença na escolha de um deles. Por seu urno, o modelo esruural prevê que o nível dos nascimenos se siue mais acima, o que, de faco, erá aconecido. 7. Um méodo alernaivo de obenção de esimaivas do número de nados vivos Nas secções aneriores, descrevemos várias enaivas de enconrar um modelo que forneça boas previsões para o número de nados vivos de cada sexo ocorridos por mês. A opção pela previsão desses valores referenes a meses passados quando ainda não exisem dados disponíveis pareceu-nos não er alernaiva. Conudo, essa alernaiva exise e passa, não por modelos de previsão algo complicados e, podemos dizê-lo agora, pouco fiáveis, mas por um méodo muio simples de obenção de esimaivas. 7.. As esimaivas do Insiuo de Genéica Médica para os nados vivos anuais O Insiuo de Genéica Médica Jacino de Magalhães (IGM) é responsável pelo rasreio efecuado aos recém-nascidos com visa ao diagnósico precoce de doenças que podem ser eviadas se deecadas nos primeiros dias de vida. Esse rasreio é feio aravés do chamado "ese do pezinho" aé cerca de oio dias após o nascimeno da criança. Não sendo obrigaório, em-se verificado que a axa de coberura dese ese é basane elevada: em 996, foram rasreadas 874 das 43 crianças nascidas no nosso país, 98,637%; no ano seguine, esudaram-se 396 de um oal de 933, 98,639%. Já há uns anos, no IGM, noou-se que a axa de coberura inha vindo a aumenar, siuando-se, enão, em valores muio elevados. Chegou-se a um nível em aquela axa varia pouco de ano para ano pois, por um lado, não se espera que decresça e, por ouro, não pode aumenar muio mais por se siuar pero dos %. Esa consaação levou a que, naquele insiuo, começassem a ser calculadas, no fim de cada ano, por esarem imediaamene disponíveis os números do rasreio, esimaivas para o número de nascimenos com vida ocorridos nesse ano cujos valores oficiais, como sabemos, não assumem um carácer definiivo anes de meados do ano seguine. Sendo, HM HM E n n número de crianças nascidas e esudadas no ano n e número de crianças nascidas no ano n, VOLUME 3