CPM - Programa de Certificação de Pessoal de Caldeiraria Caldeiraria Matemática Elementar
Matemática Elementar - Caldeiraria SENI - ES, 997 Trabalho realizado em parceria SENI / CST (Companhia Siderúrgica de Tubarão) Coordenação Geral Supervisão Elaboração provação Editoração Francisco Lordes (SENI) Marcos Drews Morgado Horta (CST) Paulo Sérgio Teles Braga (SENI) Rosalvo Marcos Trazzi (CST) Evandro rmini de Pauli (SENI) Fernando Saulo Uliana (SENI) José Geraldo de Carvalho (CST) José Ramon Martinez Pontes (CST) Tarcilio Deorce da Rocha (CST) Wenceslau de Oliveira (CST) Ricardo José da Silva (SENI) SENI - Serviço Nacional de prendizagem Industrial DE - Divisão de ssistência às Empresas Departamento Regional do Espírito Santo v. Nossa Senhora da Penha, 053 Bairro Santa Luíza - Vitória - ES. CEP 9045-40 - Caixa Postal 683 Telefone: (7) 335-055 Telefax: (7) 37-907 CST - Companhia Siderúrgica de Tubarão HD - Divisão de Desenvolvimento de Recursos Humanos V. Brigadeiro Eduardo Gomes, n 930, Jardim Limoeiro - Serra - ES. CEP 963-970 Telefone: (7) 3348-333
Sumário Números Inteiros...04 Números Naturais...04 Operações Fundamentais com Números Naturais...04 Números Naturais - Exercícios...06 Frações...0 Números Racionais...0 Números Mistos...4 Extração de Inteiros...4 Transformação de Números Mistos em Frações Impróprias...5 Simplificação de Frações...6 Redução de Frações ao mesmo Denominador...6 Comparação de Frações...8 Frações - Exercícios... Números Decimais...33 Conceito e Leitura...33 Operações com Números Decimais...35 Números Decimais - Exercícios...38 Números Inteiros Relativos...43 Números Opostos ou Simétricos...43 Operações com Números Inteiros...44 Expressões com Números Inteiros...46 Exercícios com Números Inteiros...48 Medidas de Ângulos...49 Operações com Medidas de Ângulos...50 Exercícios - Medidas de Ângulos......5 Triângulos...6 Classificações dos Triângulos...6 Elementos Notáveis de um Triângulo...66 Teorema...68 Exercícios - Triângulos...69 Quadrilátero...7 Paralelogramo...76 Trapézio...8 Polígonos Convexos...84 Nomes dos Polígonos...85 Circunferência...87
Números Inteiros Números Naturais Desde os tempos mais remotos, o homem sentiu a necessidade de verificar quantos elementos figuravam em um conjunto. ntes que soubessem contar, os pastores verificavam se alguma ovelha de seus rebanhos se havia extraviado, fazendo corresponder a cada uma delas uma pedrinha que colocavam na bolsa. Na volta do rebanho, a última ovelha devia corresponder à última pedrinha. Tinham assim, a noção dos números naturais, embora não lhes dessem nomes nem os representassem por símbolos. Nos dias de hoje, em lugar das pedrinhas, utilizam-se, em todo o mundo, os símbolos: 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O conjunto dos números naturais é representado pela letra IN e escreve-se: IN = {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} Operações Fundamentais Com Números Naturais dição É a operação que permite determinar o número de elementos da união de dois ou mais conjuntos:.004 577 parcelas + 4.597 total ou soma Subtração É a operação que permite determinar a diferença entre dois números naturais: 837 Minuendo - 58 Subtraendo 679 Resto ou diferença CST 4 Companhia Siderúrgica de Tubarão
Multiplicação multiplicação é muitas vezes definida como uma adição de parcelas iguais: Exemplo: + + = 3 (três parcelas iguais a ) 38 Multiplicando x 3 Multiplicador 43 + 76_ 8763 Produto Fatores tenção: Qualquer número natural multiplicado por zero é zero. Exemplo: 4 0 = 0 Divisão É a operação que permite determinar o quociente entre dois números. divisão é a operação inversa da multiplicação. Exemplo: 8 4 = 7 7 4 = 8 Termos da Divisão: Dividendo 405 8 Divisor - 40 506 Quociente 05-48 03 Resto tenção: Quando o dividendo é múltiplo do divisor, dizemos que a divisão é exata. Exemplo: 6 8 = Quando o dividendo não é múltiplo do divisor, diz-se que a divisão é aproximada ou inexata. Exemplo: 6 5 = 3 (resto = ) Numa divisão, em números naturais, o divisor tem de ser sempre diferente de zero, isto é, não existe divisão por zero no conjunto de números naturais (IN). SENI Departamwennto Regional do Espírito Santo 5
Números Naturais - Exercícios ) Complete as sucessões numéricas seguintes: Exemplo: 5, 0, 5, 0, 5, 30, 35 a) 7, 4,,...,...,...,... b) 9, 8, 7,...,...,...,... c),, 33,...,...,...,... d), 4, 36,...,...,...,... e) 5, 30, 45,...,...,...,... ) Resolva: a) 4 + 577 + +.004 = b) 85 + + 43 + 8 + 7.305 = c) 7.85 + 47 +.368 + 864 = 3) Escreva as denominações dos termos e do resultado da adição: 63... + 3... 944... 4) Complete as sucessões numéricas seguintes: Exemplo: 50, 46, 4, 38, 34, 30, 6,... a) 50, 45,...,...,...,...,... b) 50, 44,...,...,...,...,... c) 80, 7,...,...,...,...,... d) 08, 96,...,...,...,...,... 5) Efetue as subtrações: a) 96-74 = b) 937-89 = c) 4.800 -.934 = d) 00.30-97.574 = e).30.00-875.037 = CST 6 Compaanhia Siderúrgica de Tubarão
6) Em uma subtração, o subtraendo é 65 e o resto é 48. Qual é o minuendo? 7) Qual é o número que somado a 647 é igual a.06? 8) De 94.78 subtraia 6.574. Tire a prova. 9) Efetue mentalmente: a) 7 = b) 80 = c) 8 0 = d) 7 0 = e).705 0 = f) 9 00 = g) 8 00 = h) 365 00 = i) 5 000 = j) 000 = k) 70 00 = l) 3.800 000 = 0) Complete: a) Um produto é sempre uma adição de... iguais. b) O produto de vários fatores é zero, quando pelo menos um de seus fatores for... SENI Departamento Regional do Espírito santo 7
) Complete: a) 4 5 0 = b) 6 0 9 = c) 0 5 8 = d)... 8 = 0 e) 7 9... = 0 f)... 4 8 = 0 ) Escreva os termos da divisão:... 07 5... 07...... 3) Efetue: a) 80 4 = b) 408 4 = c) 560 8 = d).08 6 = 4) O número 9 está contido em 3.663... vezes. 5) rme, efetue e verifique a exatidão das operações através de uma prova. a) 8.750 + 3 +.046 = b) 37.600-8.935 = c).09 45 = d) 9.37 84 = e) 3.85 08 = f) 68.704 74 = g).49 87 = h) 4.056 68 = CST 8 Companhia Siderúrgica de Tubarão
6) Resolva as situações problemas: a) Um reservatório contém 400 litros de água e efetuamos, sucessivamente, as seguintes operações: retiramos 70 litros colocamos 38 litros retiramos 93 litros colocamos 0 litros colocamos 8 litros Qual a quantidade de água que ficou no reservatório? b) Em uma escola estudam.90 alunos distribuídos igualmente em 3 períodos: manhã, tarde e noite. Pergunta-se: Quantos alunos estudam em cada período? Quantos alunos estudam em cada sala, por período, se há 6 salas de aula? SENI Departamento Regional do Espírito Santo 9
Frações Números Racionais Consideremos a operação 4 5 =? onde o dividendo não é múltiplo do divisor. Vemos que não é possível determinar o quociente dessa divisão no conjunto dos números naturais porque não há nenhum número que multiplicando por 5 seja igual a 4. partir dessa dificuldade, o homem sentiu a necessidade de criar um outro conjunto que permite efetuar a operação de divisão, quando o dividendo não fosse múltiplo do divisor. Criou-se, então, o conjunto dos Números Racionais. Número racional é todo aquele que é escrito na forma a b onde a e b são números inteiros e b é diferente de zero. São exemplos de números racionais: 3 4 0 36,,,,, 5 3 5 4 8 seguir, estudaremos o conjunto dos números racionais fracionários, também chamados de frações. Conceito de Fração: Se dividirmos uma unidade em partes iguais e tomarmos algumas dessas partes, poderemos representar essa operação por uma fração. Veja: figura foi dividida em três partes iguais. Tomamos duas partes. Representamos, então, assim: 3 E lemos: dois terços. O número que fica embaixo e indica em quantas partes o inteiro foi dividido, chama-se DENOMINDOR. _ CST 0 Companhia Siderúrgica de Tubarão
O número que fica sobre o traço e indica quantas partes iguais foram consideradas do inteiro, chama-se NUMERDOR. Leitura e Classificações das Frações Numa fração, lê-se, em primeiro lugar, o numerador e, em seguida, o denominador. a) Quando o denominador é um número natural entre e 9, a sua leitura é feita do seguinte modo: - um meio 3 - um terço 4 - um quarto 5 - um quinto 6 - um sexto 7 - um sétimo 8 - um oitavo 9 - um nono b) Quando o denominador é 0, 00 ou 000, a sua leitura é feita usando-se as palavras décimo(s), centésimo(s) ou milésimo(s). 0 - um décimo 7 00 - sete centésimos 0 000 - vinte milésimos c) Quando o denominador é maior que 0 (e não é potência de 0), lê-se o número acompanhado da palavra "avos". 5 - um quinze avos 3 9 - três vinte e nove avos 3 85 - treze oitenta e cinco avos SENI Departamento Regional do Espírito Santo
Frações Ordinárias e Frações Decimais s frações cujos denominadores são os números 0, 00, 000 (potências de 0) são chamadas Frações Decimais. s outras são chamadas Frações Ordinárias. Exemplos: 3 5 0 3 00 000 são frações decimais 8 5 0 7 4 são frações ordinárias Frações Próprias Observe as frações abaixo: 3 Essas frações são menores do que a unidade. São chamadas Frações Próprias. Nas frações próprias, o numerador é menor do que o denominador. Frações Impróprias Observe as frações abaixo: 7 4 4 3 Essas frações são maiores que o inteiro, portanto são Frações Impróprias. Nas frações impróprias, o numerador é igual ou maior que o denominador. CST Companhia Siderúrgica de Tubarão
Frações parentes Observe: /6 ou inteiros 3/3 ou inteiro s frações acima representam inteiros. Elas são chamadas Frações parentes. Nas frações aparentes, o numerador é sempre múltiplo do denominador, isto é, o numerador é divisível pelo denominador. Uma fração aparente é também imprópria, mas nem toda fração imprópria é aparente. Frações Equivalentes/Classe de Equivalência. Observe as figuras: 3 4 6 6 9 s frações 4 6, e representam o mesmo valor, porém 3 6 9 seus termos são números diferentes. Estas frações são denominadas Frações Equivalentes. Para obtermos uma fração equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número (diferente de zero). SENI Departamento Regional do Espírito Santo 3
Exemplo: 5 0 é igual a, pois x 5 5 5x 5 = 0 5 8 6 é igual a, pois 8 3 7 3 = 6 7 O conjunto de frações equivalentes a uma certa fração chama-se CLSSE DE EQUIVLÊNCI. Exemplo: Classe de equivalência de =, 3 4 4, 5 6 6, 8, 0, Κ Números Mistos São os números mistos formados por uma parte inteira e uma fração própria. inteiro Representamos assim: E lemos: um inteiro e um meio Extração De Inteiros É o processo de transformação de fração imprópria em número misto. Observe a figura: Podemos representar essa fração de duas maneiras: 4 ou 5 4 CST 4 Companhia Siderúrgica de Tubarão
Para transformar 5 4 em número misto, ou seja, para verificar quantas vezes 4 4 cabe em 5 4, procede-se assim: 5 4 4 É só dividir o numerador pelo denominador. O quociente será a parte inteira. O resto será o numerador e conserva-se o mesmo denominador. Transformação de Números Mistos em Frações Impróprias. Observe o exemplo e a ilustração: Transformar 4 em fração imprópria. Solução: Consiste em transformar em quartos e juntar com o outro quarto. 4 4 + = 5 + 4 4 4 4 ou 5 4 4 Resumidamente, procede-se assim: Multiplica-se a parte inteira pelo denominador e adiciona-se o numerador ao produto obtido, mantendo-se o denominador. 4 = ( 4+ ) 4 = 5 4 SENI Departamento Regional do Espírito Santo 5
Simplificação de Frações Simplificar uma fração significa transforma-la numa fração equivalente com os termos respectivamente menores. Para isso, divide-se o numerador e o denominador por um mesmo número natural (diferente de 0 e de ). Exemplo: 8 Simplificar 6 8 4 = = = 6 8 4 Quando uma fração não pode mais ser simplificada, diz-se que ela é IRREDUTÍVEL ou que está na sua forma mais simples. Nesse caso, o numerador e o denominador são primos entre si. Redução de Frações ao mesmo Denominador Reduzir duas ou mais frações ao mesmo denominador significa obter frações equivalentes às apresentadas e que tenham todas o mesmo número para denominador. Exemplo: s frações, 3 e 3 4 respectivamente. são equivalentes a 6, 8 e 9 Para reduzirmos duas ou mais frações ao mesmo denominador, seguimos os seguintes passos: º - Calcula-se o m.m.c. dos denominadores das frações que será o menor denominador comum. º - Divide-se o m.m.c. encontrado pelos denominadores das frações dadas. 3º - Multiplica-se o quociente encontrado em cada divisão pelo numerador da respectiva fração. O produto encontrado é o novo numerador. CST 6 Companhia Siderúrgica de Tubarão
Exemplo: Reduzir ao menor denominador comum as frações:, 3 4, 7 6 Solução: º - m.m.c. (, 4, 6) = é o denominador., 4, 6,, 3,, 3 3,, º - = 6 4 = 3 6 = 3º - 6 = 6 3 3 = 9 7 = 4 Portanto: 6 9, 4, é a resposta. SENI Departamento Regional do Espírito Santo 7
Comparação de Frações Comparar duas frações significa estabelecer uma relação de igualdade ou desigualdade entre elas. Frações com o mesmo Denominador Observe: 5 8 3 8 8 Percebe-se que : 5 8 > 3 8 > 8 Então: Se duas ou mais frações tem o mesmo denominador, a maior é a que tem maior numerador. Frações com o Mesmo Numerador Observe: 3 6 3 8 3 4 Percebemos que: Então: 3 6 < 3 8 < 3 4 Se duas ou mais frações tem o mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador. CST 8 Companhia Siderúrgica de Tubarão
Frações com os Numeradores e Denominadores Diferentes Observe: 3 3 4 Para fazer a comparação de frações com numeradores e denominadores diferentes, reduzem-se as frações ao mesmo denominador. Exemplo: = 8 3,, 4 3 3,, 3,, 3 = 6,, 3 = 9 4 Já aprendemos que comparando frações com denominadores iguais a maior fração é a que tem o maior numerador. Daí, 9 > 8 > 6 Então: 3 4 > 3 > Senai Departamento Regional do Espírito Santo 9
dição e Subtração de Frações soma ou diferença de duas frações é uma outra fração, obtida a partir do estudo dos seguintes "casos": º s Frações tem o mesmo Denominador. dicionam-se ou subtraem-se os numeradores e repete-se o denominador.. Exemplo: 5 + = 5 + 5 = 3 5 6 7 4 = 7 6 4 7 = 7 º s Frações tem Denominadores diferentes. Reduzem-se as frações ao mesmo denominador e procede-se como no º caso. Exemplo: + 3 = 8 + 9 = 7 3, 4 3 4 3, 3, 3, 3º Números Mistos. Transformam-se os números mistos em frações impróprias e procede-se como nos º e º casos. Exemplo: + + + 3 4 x x 7 + 5 = 8 + 5 = 43 = 3 7 3 4 tenção: Nas operações com frações, é conveniente simplificar e extrair os inteiros do resultado sempre que possível. CST 0 Companhia Siderúrgica de Tubarão
Multiplicação de Frações multiplicação de duas ou mais frações é igual a uma outra fração, obtida da seguinte forma: O numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores. Numa multiplicação de frações, costuma-se simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador antes de efetua-la. Exemplo: 3/ = = 3/ 5 5 5 6/ 5/ 0 // 3/ 6 / 9/ 3 8 = = = 3 3 3 Divisão de Frações Ordinárias O quociente da divisão de duas frações é uma outra fração obtida da seguinte forma: Multiplica-se a primeira pela fração inversa da segunda. Para isso, exige-se: 3º - Transformar os números mistos em frações impróprias. 4º - Transformar os números inteiros em frações aparentes. 5º - Simplificar. 6º - Multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si. 7º - Extrair os inteiros. Exemplo: 3 4 5 3 7 = = = 7 4 5 0 0 8 4 33 3 3 = = 4 33 // 4 3/ = = 4 3 4 SENI Departamento Regional do Espírito Santo
tenção: Quando houver símbolo de polegada ou de outra unidade em ambos os termos da fração, esse símbolo deve ser cancelado. Exemplo: 3" 4" 3" = = 4 4 4" 3 6 Partes Fracionárias de um Número Observe: 3 de 5 = 3/ 5 5 // = Para determinar partes fracionárias de um número, devemos multiplicar a parte fracionária pelo número dado. 0 Frações - Exercícios ) Observando o desenho, escreva o que se pede: a) O inteiro foi dividido em... partes iguais. b) s partes sombreadas representam... partes desse inteiro. c) fração representada é:... d) O termo da fração que indica em quantas partes o inteiro foi dividido é o... e) O termo da fração que indica quantas dessas partes foram tomadas é o... ) Escreva as frações representadas pelos desenhos: a) c) b) d) CST Companhia Siderúrgica de Tubarão
3) Represente com desenho as seguintes frações: 7 8 3 9 5 4 4) Complete com a palavra correta: a) Frações próprias são frações cujo numerador é... que o denominador. b) Frações próprias representam quantidades... que a unidade. c) Frações impróprias são frações cujo numerador é... que o denominador. d) Frações impróprias representam quantidades... que a unidade. 5) Numa pizzaria, Luís comeu de uma pizza e Camila comeu 4 da mesma pizza. a) Quem comeu mais?... b) Quanto sobrou da pizza?... 6) ssinale V (VERDDEIRO) ou F (FLSO): a) ( ) Toda fração imprópria é maior do que. b) ( ) Toda fração imprópria pode ser representada por um número misto. c) ( ) 3 é uma fração. d) ( ) 3 é uma fração. SENI Departamento Regional do Espírito Santo 3
7) Faça a leitura de cada uma das frações seguintes: a) b) c) d) 3 4... 5 8...... 5 00... 8) Classificar as frações seguintes em própria, imprópria ou aparente: a) b) c) d) e) 3... 5... 8 4... 5... 4 6... 9) Circule as frações equivalentes a: a) = 0 3 5 8 6 5 5 4 0 0 5 b) 6 = 8 7 30 7 5 9 35 7 CST 4 Companhia Siderúrgica de Tubarão
0) Identifique as funções com o nº correspondente abaixo:. fração ordinária. fração decimal 7 359 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 000 6 35 ) Transforme os números mistos em frações impróprias: a) 7 9 = b) 3 = c) 5 7 3 = d) 8 = e) 3 4 = ) Extraia os inteiros das frações: a) b) c) d) e) 7 5 = 38 7 = 87 4 = 5 3 = 4 9 = 3) Simplifique as frações, tornando-as irredutíveis: a) b) c) d) e) 4 6 = 6 5 = 8 4 = 4 8 = 9 36 = SENI Departamento Regional do Espírito Santo 5
4) Reduza as frações ao mesmo denominador: a) b) c) d) e) 5, = 4 6 3, = 8 6 3 6, = 5 8 5, 3 6, = 3 6 4, 3 6, 5 = 5) Compare as frações, escrevendo-as em ordem crescente: a) b) c) 3 4, 0 4, 4, 4 ; 3 3 6, 3 3 0, 3,, ; 3 0, 8, 3 5, 8, 5 ; d) 5 6 5,,, 8 6 ; 5 6) Compare as frações apresentadas em cada item, escrevendo, entre elas, os sinais < ou > ou = : a) 5 4 5 b) 3 7 3 c) 5 4 3 d) 6 4 7 5 e) 3 9 9 f) 5 6 g) 3 4 5 4 h) 7 5 i) 7 3 5 j) 7 0 35 CST 6 Companhia Siderúrgica de Tubarão
7) Descubra e escreva qual é a maior fração: a) 3 5 ou b) 3 ou 9 c) 3 4 5 ou d) 6 6 0 ou 3 6 8) Circule as frações menores do que um inteiro: 3 9 8 8 7 4 9 5 9) Observe as figuras e escreva as frações representadas: Complete: Essas frações representam o mesmo valor, porém seus termos são números diferentes. Essas frações são denominadas... 0) Numere a ª coluna de acordo com a fração equivalente na ª: ( ) 3 ( ) ( ) 7 8 ( a ) 8 3 ( b ) 5 40 ( c ) 6 64 ( ) 4 ( ) 5 8 ( d ) 6 9 ( e ) 8 6 SENI Departamento Regional do Espírito Santo 7
) Torne as frações irredutíveis: a) b) c) d) e) f) 4 3 = 00 8 = 5 = 4 3 = 48 64 = 5 00 = ) Circule as frações irredutíveis: 4 7 8,,,,,, 3 6 5 3 8 4 8 3) Determine a soma: a) 5 6 + 3 7 6 + 6 b) 4 3 + 5 + c) 3 7 8 + 6 + 5 3 4) Efetue as adições e simplifique o resultado quando possível: a) + + 3 = 4 b) c) 3 + 6 + 5 = 8 5 3 + 4 + = d) + 3 + 4 = CST 8 Companhia Siderúrgica de Tubarão
5) Quanto falta a cada fração para completar a unidade? Exemplo: 5 8 5 3 = 8 8 8 8 a ) c ) 4 5 3 b) 3 6 d) 7 64 6) Efetue as subtrações indicadas: a) b) c) 5 3 = 0 0 7 5 = 9 9 8 = 5 7 d) 3 4 3 = e) 5 3 = 8 7) Resolva: a) b) c) d) 5 x 3 5 x 4 = x 9 4 7 x 7 = 5 3 x 7 0 x 5 = 3 x 4 x = 5 e) 3 5 x 3 6 x 5 = SENI Departamento Regional do Espírito Santo 9
8) Qual o comprimento resultante da emenda de 6 barras em sentido longitudinal medindo cada uma 5 3? 4 9) Calcule: a) 3 = b) 3 3 = 5 c) 4 3 5 = d) 6 3 5 = e) 5 6 5 = f) 3 7 = g) h) i) j) 3 = 0 5 4 5 7 3 de 3 = de 350 = de 930 = CST 30 Companhia Siderúrgica de Tubarão
30) Leia com atenção os problemas e resolva: a) Um carro percorre 8 Km com litro de gasolina. Quantos quilômetros percorrerá com 0 litros? b) Um vendedor tinha 4.850 parafusos e vendeu 3 5 deles. Ele quer colocar o restante, igualmente em 0 caixas. Quanto deve colocar em cada caixa? 6 c) Coloquei de minhas ferramentas em uma caixa, 4 em outra caixa e o restante deixei fora das caixas. Pergunta-se: Que parte de ferramentas ficou fora das caixas? SENI Departamento Regional do Espírito Santo 3
d) João encheu o tanque do seu carro. Gastou 5 da gasolina para trabalhar e 5 para passear no final de semana. Quanto sobrou da gasolina no tanque? e) Numa oficina havia 40 veículos, 4 eram caminhões. Quantos caminhões havia na oficina? f) Em uma caixa, os lápis estão assim distribuídos: correspondem aos lápis vermelhos, 5 são lápis azuis e são pretos. Que fração corresponde ao total de lápis 4 na caixa? CST 3 Companhia Siderúrgica de Tubarão
Números Decimais Conceito e Leitura Já estudamos que uma fração é decimal, quando o seu denominador é o número 0 ou potência de 0. Exemplos: 5 Lê-se cinco décimos 0 45 Lê-se quarenta e cinco milésimos 000 s frações decimais podem ser representadas através de uma notação decimal que é mais conhecida por "número decimal". Exemplos: 0 = 0, Lê-se um décimo = 00, Lê-se um centésimo 00 000 = 000, Lê-se um milésimo Essa representação decimal de um número fracionário obedece ao princípio da numeração decimal que diz: "Um algarismo escrito à direita de outro representa unidades dez vezes menores que as desse outro....milhão Centena Dezena Unidade Simples Décimo Centésimo Milésimo...... 000 00 0 0, 0,0 0,00... Em um número decimal: Os algarismos escritos à esquerda da vírgula constituem a parte inteira. Os algarismos que ficam à direita da vírgula constituem a parte decimal. Exemplo: Parte inteira,63 Parte decimal Lê-se doze inteiros e sessenta e três centésimos. SENI Departamento Regional do Espírito Santo 33
Para fazer a leitura de um número decimal, procede-se da seguinte maneira: - Enuncia-se a parte inteira, quando existe. - Enuncia-se o número formado pelos algarismos da parte decimal, acrescentando o nome da ordem do último algarismo. Exemplos: a) 0,438 - Lê-se: quatrocentos e trinta e oito milésimos. b) 3,5 - Lê-se: três inteiros e vinte cinco centésimos. c) 47,3 - Lê-se: quarenta e sete inteiros e três décimos. Observações: - O número decimal não muda de valor se acrescentarmos ou suprimirmos zeros à direita do último algarismo. Exemplo: 0,5 = 0,50 = 0,500 - Todo número natural pode ser escrito na forma de número decimal, colocando-se a vírgula após o último algarismo e zero (s) a sua direita. Exemplo: 34 = 34,000 5 = 5,00 Transformação de Fração Decimal em Número Decimal Para escrever qualquer número fracionário decimal, na forma de "Número Decimal", escreve-se o numerador da fração com tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador. Exemplos: a) 5 0 = 5, b) 43 = 0, 043 000 c) 35 = 0, 35 e) 000 343 00 = 3, 43 Transformação de Número Decimal em Fração Decimal Para se transformar um número decimal numa fração decimal, escrevem-se no numerador os algarismos desse número e no denominador a potência de 0 correspondente à quantidade de ordens (casas) decimais. CST 34 Companhia Siderúrgica de Tubarão
Exemplos: 34 a) 034, = b) 50, = 50 00 00 c) 00, = d) 057, = 00 057 000 Operações com Números Decimais dição e Subtração Para adicionar ou subtrair dois números decimais, escreve-se um abaixo do outro, de tal modo que as vírgulas se correspondam (numa mesma coluna) e adicionam-se ou subtraem-se como se fossem números naturais. Observações: Costuma-se completar as ordens decimais com zeros à direita do último algarismo. Exemplos: a) 3,97 + 47,50 = 5,47 3,970 + 47,50 5,47 b) 4,5 -,73 =,778 4,50 -,73,778 SENI Departamento Regional do Espírito Santo 35
No caso de adição de três ou mais parcelas, procede-se da mesma forma que na de duas parcelas. Exemplos: 4,30 5,00 + 7,38 6,648 Multiplicação Para multiplicar números decimais, procede-se da seguinte forma: º Multiplicam-se os números decimais, como se fossem naturais; º No produto, coloca-se a vírgula contando-se da direita para a esquerda, um número de ordens decimais igual à soma das ordens decimais dos fatores. Exemplo: 0,0 x, = 0,0 3 ordens decimais x, + ordem decimal 004 + 00 0,044 4 ordens decimais Para multiplicar um número decimal por 0, 00, 000..., deslocase a vírgula para a direita tantas ordens quantos forem os zeros do multiplicador. Exemplos: a),35 0 = 3,5 b) 43, 00 = 430 c) 0,345 000 = 34,5 Para multiplicar três ou mais fatores, multiplicam-se os dois primeiros; o resultado obtido multiplica-se pelo terceiro e assim por diante até o último fator. Exemplo: 0, 0,5 0, = 0,04 CST 36 Companhia Siderúrgica de Tubarão
Divisão Para efetuarmos a divisão entre números decimais procedemos do seguinte modo: ) igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor acrescentando zeros; ) eliminamos as vírgulas; 3) efetuamos a divisão entre os números naturais obtidos. tenção: Se a divisão não for exata, para continua-la colocamos um zero à direita do novo dividendo e acrescenta-se uma vírgula no quociente. º Exemplo: 3,97,3 =,7 3,97,30 670,7 0000 º Exemplo: 47,76 4 =,99 47,76 4,00 3 7,99 6 00 Para dividir um número decimal por 0, 00 ou 000..., deslocase a vírgula no dividendo para a esquerda tantas ordens quantos forem os zeros do divisor. Exemplos: a) Dividir 47,35 por 0, basta deslocar a vírgula uma ordem para esquerda. 47,35 0 = 4,735 b) Dividir 58,4 por 00, basta deslocar a vírgula duas ordens para a esquerda. 58,4 00 = 0,584 Quando a divisão de dois números decimais não é exata, o resto é da mesma ordem decimal do dividendo original. Exemplo: 39,76 0,7 = 56,08 resto 0,004 39,76 0,700 4 56,08 07 060 0,004 SENI Departamento Regional do Espírito Santo 37
Números Decimais - Exercícios ) Escreva com algarismos, os seguintes números decimais: a) Um inteiro e três décimos... b) Oito milésimos... c) Quatrocentos e cinqüenta e nove milésimos... d) Dezoito inteiros e cinco milésimos... e) Vinte cinco inteiros e trinta e sete milésimos... ) Represente em forma de números decimais: a) 97 centésimos = b) 8 inteiros e 5 milésimos = c) inteiros e 3 centésimos = d) 475 milésimos = 3) Observe os números decimais e complete com os sinais: > < = a),789..., b) 3,78... 3,780 c) 4,37... 43,7 d) 4,05... 4,09 e) 8,7... 8,5 4) Escreva em forma de número decimal as seguintes frações decimais: a) b) 36 00 =... 5 000 =... c) 3 8 0 =... CST 38 Companhia Siderúrgica de Tubarão
5) Escreva na forma de fração decimal: a) 0,5 =... f) 8,7 =... b) 0,07 =... g) 64,0 =... c) 0,08 =... h) 347,8 =... d) 0,48 =... i) 0, =... e),3 =... j) 0,0 =... 6) rme e efetue as adições: a) 0,8 + 6,4 = b),9 + 4 + 5,43 = c) 6 + 0,68 +,53 = d) 9, +,68 + 3,06 = 7) rme e efetue as subtrações: a) 36,45 -, = b) 4,8 -,49 = c) 9 -,685 = d) 76,3 -,546 = 8) rme, efetue: a) 650,5 3,8 = b) 48,4 = c) 0,60 0, = d) 6,433 + +,6 = e) 9 -,5 = 9) Resolva: a) 36,4 + 6,83 +,308 = b) 93,50 -,063 = c) 67403 6,9 = d) 04,35 48 = SENI Departamento Regional do Espírito Santo 39
0) tenção! Efetue sempre antes o que estiver dentro dos parênteses: a) (0,8-0,3) + 0,5 = b) (,86 - ) + 0,9 = c) (5 -,46) +,68 = d) (,68 + 3,) -,03 = e) (0,8-0,5) + (6,5 x 3) = f) 0,4 - (0, 0,35) = ) rme e efetue as operações: a) 0,47 + 5,9 + 48,3 = b) 6,68 5,986 = c) 5,73 6,8 = d) 4,8 6, = ) Calcule: a) 0,0789 00 = b) 0,7 0 = c) 0,6 00 = d) 8,974 000 = 3) Torne: a) 3,85 dez vezes maior = b) 4,6 dez vezes menor = c) 0,53 dez vezes maior = d) 49, cem vezes menor = e),75 mil vezes maior = 4) Resolva o problema: Jorge pintou um carro em dias. Sabendo-se que ele pintou 0,4 do carro no º dia, quanto ele pintou no º dia? CST 40 Companhia Siderúrgica de Tubarão
5) Relacione os elementos por igualdade: a) 3 0 3 0 3 00 3 00 b) 0,3 3,0 3, 0,3 Observe os elementos dos conjuntos acima e marque as sentenças que são verdadeiras: a) Nenhum elemento do conjunto é maior do que. b) Todos os elementos de são maiores que zero. c) Nenhum elemento de B é menor que. d) Todos os elementos de B são menores que 0. 6) a) 8 0 8 000 8 00 8 00 8 000 b) 0,8 8,00 8,0 0,08 8, a) Relacione os elementos dos conjuntos e B e escreva verdadeiro ou falso. - Nenhum elemento do conjunto é maior do que. - Todos os elementos de B são maiores que zero. 3- Nenhum elemento de B é menor do que. 4- Todos os elementos de são maiores que 0. SENI Departamento Regional do Espírito Santo 4
7) rme e efetue as operações abaixo: a) 3 0,05 = b) 6,5 38 = c) 6,38 +,953 + 5,08 = d) 7,308-4,69 = e) 63,50 4,9 = 8) Calcule os quocientes abaixo com duas casas decimais: a),4 0, = b) 5,85 0,003 = c) 0,3 0,008 = d) 48,6 0,6 = CST 4 Companhia Siderúrgica de Tubarão
Números Inteiros Relativos No estudo das operações com números naturais, você aprendeu que a subtração não pode ser efetuada quando o minuendo é menor do que o subtraendo. 5-9 =? - =? 3-8 =? Para que a subtração seja sempre possível foi criado o conjunto dos números inteiros negativos. -, -, - 3, - 4,... Esses números negativos, reunidos com zero e com os números inteiros positivos, formam o conjunto dos números inteiros relativos, cujo conjunto é representado por Z. Z = {... - 3, -, -, 0, +, +, + 3,...} a) Conjunto dos números inteiros não negativos. Z + = { 0, +, +, + 3,...} b) Conjunto dos números inteiros negativos. Z - = { 0, -, -, - 3,...} O número zero (0) não é negativo nem positivo Números Opostos ou Simétricos Observe: O oposto de + é - O oposto de + é - O oposto de +3 é -3 Β Β Β Β Β Β Β Β Β O oposto de +4 é -4... -4-3 - - 0 + + +3 +4... RET NUMERD Na reta numerada, os números opostos estão a uma mesma distância do zero. Observação: O oposto de zero é o próprio zero. SENI Departamento Regional do Espirito Santo 43
Valor bsoluto Valor absoluto de um número inteiro relativo é o número natural que o representa, sem o sinal. EXEMPLOS: Indicação: O valor absoluto de + 5 é 5 +5 = 5 O valor absoluto de - 5 é 5 5 = 5 O valor absoluto de - 8 é 8 8 = 8 O valor absoluto de zero é zero Verifique: ) -3 está à esquerda de + -3 < + Então, -3 é menor que + ) + está à direita de -3 + > -3 Então + é maior que -3 OUTROS EXEMPLOS: a) - < + b) 0 > -4 c) - > -3 Operações com Números Inteiros Relativos adição ) dição de números positivos Observe os exemplos: a) ( + ) + ( +5 ) = +7 b) ( + ) + ( +4 ) = +5 c) ( +6 ) + ( +3 ) = +9 Verificando os resultados anteriores, podemos concluir que: soma de dois números positivos é um número positivo. CST 44 Companhia Siderurgica de Tubarão
) dição de números negativos Observe os exemplos: a) ( - ) + ( -3 ) = -5 b) ( - ) + ( - ) = - c) ( -7 ) + ( - ) = -9 Verificando os resultados acima, podemos concluir que: soma de dois números negativos é um número negativo. 3) dição de números com sinais diferentes Observe os exemplos: a) ( +6 ) + ( - ) = +5 b) ( + ) + ( -5 ) = -3 c) ( -0) + ( +3) = -7 Observe que o resultado da adição tem o mesmo sinal que o número de maior valor absoluto. Conclusão: soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se os valores absolutos dando-se o sinal do número que tiver maior valor absoluto. Subtração operação de subtração é uma operação inversa da adição. EXEMPLOS: a) (+8) - (+4) = (+8) + (-4) = +4 b) (-6) - (+9) = (-6) + (-9) = -5 c) (+5) - (- ) = (+5) + (+) = +7 Conclusão: Para subtrairmos dois números relativos, basta que adicionemos ao primeiro o simétrico do segundo. SENI Departamento Reional do Espirito Santo 45
Expressões com Números Inteiros Relativos Lembre-se que os sinais de associação são eliminados, obedecendo à seguinte ordem: º - Parênteses ( ) º - Colchetes [ ] 3º - Chaves { } EXEMPLOS ) +0 - (-4 + 6) +0 - (+) +0 - = +8 ) (+7 -) + (-3 + -5) (+6) + (-7) +6-7 = - 3) 0 + [-3 + - (- +6)] 0 + [-3 + - (+4)] 0 + [-3 + -4] 0 + [-6] 0-6 = +4 Multiplicação Consideremos os seguintes casos: ) Multiplicação de dois números positivos: a) (+5). (+) = +0 ( + ). ( + ) = + b) (+3). (+7) = + ( - ). ( - ) = + ( + ). ( - ) = - ( - ). ( + ) = - Conclusão: O produto de dois números positivos é um número positivo. ) Multiplicação de dois números negativos: a) (-3). (-5) = +5 b) (-8). (-) = +6 c) (-7). (-) = +7 Conclusão: O produto de dois números negativos é um número positivo. CST 46 Companhia Siderurgica de Tubarão
3) Multiplicação de dois números de sinais diferentes: a) (+3). (-) = -6 b) (-5). (+4) = -0 c) (+6). (-5) = -30 d) (-). (+7) = -7 Conclusão: O produto de dois números inteiros de sinais diferentes é um número negativo. Multiplicação com mais de dois números Relativos Multiplicamos o primeiro número pelo segundo. O produto obtido pelo terceiro e, assim, sucessivamente, até o último fator. EXEMPLOS a) (+3). (-). (+5) (-6). (+5) = -30 b) (-5). (+4). (-9) (-0). (-9) = +80 Divisão Você sabe que a divisão é a operação inversa da multiplicação. Observe: a) (+) (+4) = (+3) porque (+3). (+4) = + b) (-) ( -4) = (+3) porque (+3). (-4 ) = - c) (+) ( -4) = (-3 ) porque (-3 ). (-4 ) = + d) (- ) (+4) = (-3 ) porque (-3). (+4) = - SENI Departamento Regiona l do Espirito Santo 47
Divisão ( + ) ( + ) = + ( - ) ( - ) = + ( + ) ( - ) = - ( - ) ( + ) = - Observações: ) divisão nem sempre é possível em Z (+9) (- ) = ( Z ) Lê-se: não pertence. ) O zero nunca pode ser divisor (+5) 0 é impossível (- ) 0 é impossível Exercícios - Números Inteiros Relativos Calcule: a) ( +5 ) + ( -3 ) - ( + ) + ( - ) = b) 0 + { 5 -( -3 +) } = c) 3 - { + [ 5 - (+3 - + ) ] } = d) ( +5-3 ) ( - +3 ) = e) ( -6-8 ). ( +3. -4 ) = CST 48 Companhia Siderurgica detubarão
Medidas de ângulos Um ângulo pode ser medido de um instrumento chamado transferidor e que tem do grau como unidade. O ângulo ÔB da figura mede 40 graus. Indicação: m (ÔB) = 40º unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e segunda. grau tem 60 minutos (indicação: º = 60 ) minuto tem 60 segundos (indicação: = 60 ) Simbolicamente: Um ângulo de 5 graus e 40 minutos é indicado por 5º 40 Um ângulo de graus, 0 minutos e 45 segundos é indicado por º 0 45. SENI Departamento Regional do Espírito Santo 49
Exercícios ) Escreva as medidas em graus dos ângulos indicados pelo transferidor: a) m (ÔB) = b) m (ÔB) = c) m (ÔB) = d) m (ÔB) = a) m (ÔB) = b) m (ÔB) = c) m (ÔB) = d) m (ÔB) = Operações com medidas de ângulos dição ) Observe os exemplos: 7º 5 0 + 30º 0 40 7º 5 0 + 30º 0 40 47º 35 50 ) 3º 40 + 30º 45 3º 40 + 30º 45 43º 85 + º 5 44º 5 CST 50 Companhia Siderúrgica de Tubarão
Exercícios ) Calcule as somas: a) 49º + 65º = b) º 5 + 40º 3 = c) 8º + 5º 40 = d) 5º 40 + 6º 50 = e) 3º 35 + º 45 = f) 35º 0 50 + 0º 5 0 = g) 3º 45 50 + 3º 0 40 = h) 3º 4 9 + 37º 0 40 = Subtração Observe os exemplos: ) 58º 40-7º 0 ) 80º - 4º 30 58º 40-7º 0 4º 30 79º 60-4º 30 37º 30 Exercícios ) Calcule as diferenças: a) 4º - 7º = b) 48º 50 = 7º 0 = c) º 35-3º 5 = d) 30º - 8º 0 = a) 90º - 54º 0 = b) 0º - 50º 0 = c) 5º 30 = 0º 50 = d) 39º - 0º 5 = SENI Departamento Regional do Espírito Santo 5
Multiplicação de um ângulo por um número Observe os exemplos: ) ) 7º 5 x 4º 0 x 3 7º 5 x 34º 30 4º 0 x 3 7º 60 º 73º Nota: Não há multiplicação entre ângulos. 90º x 90º =? Exercícios ) Calcule os produtos: a) 5º 0 x 3 = b) 44º 0 x = c) 35º 0 x 4 = d) 6º 0 x 3 = a) 8º 30 x = b) º 40 x 3 = c) 5º 30 x 3 = d) 4º 0 x 5 = Divisão de um ângulo por um número Observe os exemplos: 36º 30 3 39º 0 4 36º 30 3 0 0 º 0 39º 0 4 3º 80 9º 50 00 00 Nota: Não há divisão entre ângulos. 90º 0º =? CST 5 Companhia Siderúrgica de Tubarão
Exercícios ) Calcule os quocientes: a) 48º 0 4 = b) 45º 30 3 = c) 75º 50 5 = a) 55º = b) 90º 4 = c) º 40 5 = ) Calcule: a) 3 de 45º = a) 3 4 de 48º 0 = b) 5 7 de 84º = b) 3 de 5º 0 = Ângulos Congruentes Dois ângulos são Congruentes se as suas medidas são iguais. B C O 30º O 30º D Indicação: ÔB (significa: ÔB é congruente a CÔD) SENI Departamento Regional do Espírito Santo 53
Bissetriz de um ângulo Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes. O M B Se ÔM MÔB, então OM é bissetriz de ÔB. Exercícios ) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OM é bissetriz do ângulo dado. a) b) O 4X + 5º 37º M M 3X X + 0º O B B CST 54 Companhia Siderúrgica de Tubarão
) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OC é bissetriz do ângulo dado. a) b) O 3X 5X - 0º M x - 5º B O C B 35º Ângulos Reto, gudo e Obtuso Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com suas medidas: Ângulo reto é aquele cuja medida é 90º. Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que 90º. Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90º. ÂNGULO RETO ÂNGULO GUDO ÂNGULO OBTUSO SENI Departamento Regional do Esípírito Santo 55
Retas Perpendiculares Quando duas retas se interceptam formando ângulos retos, dizemos que elas são perpendiculares. Indicação: r s Significa: r perpendicular a s. Ângulos Complementares Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º. m (ÔB) + m (BÔC) = m (ÔC) B O Exemplos: 65º e 5º são ângulos complementares, porque 65º + 5º = 90º 40º e 50º são ângulos complementares, porque 40º + 50º = 90º C CST 56 Compoanhia Siderúrgica de Tubarão
Exercícios: ) Resolva as equações abaixo, onde a incógnita x é um ângulo (medido em graus): a) x = 90º b) 4x + 0º = 90º c) 5x - 0º = º + x d) x = (90º - x) e) 4 (x + 3º) = 0º f) (3x - 0º) + 50º = 90º g) 3 (x + º) = (x + 7º) h) x + (x + º) = 4º + 3 (x + º) ) Observe o exemplo abaixo e resolva as seguintes questões: Calcular a medida de um ângulo cuja medida é igual ao dobro do seu complemento. Solução: Medida do ângulo = x Medida do complemento do ângulo = 90º - x x = ( 90º - x ) Resolvendo a equação: x x x + x 3x x = (90º - x) = 80º - x = 80º = 80º = 60º Resposta: 60º a) medida de um ângulo é igual à medida de seu complemento. Quanto mede esse ângulo? b) medida de um é a metade da medida do seu complemento. Calcule a medida desse ângulo. SENI Departamento Regional do Espírito Santo 57
c) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual ao triplo de seu complemento. d) diferença entre o dobro da medida de um ângulo e o seu complemento é 45º. Calcule a medida desse ângulo. e) terça partes do complemento de um ângulo mede 0º. Qual a medida do ângulo? f) Dois ângulos complementares têm suas medidas expressas em graus por 3x + 5º e 4x - 5º. Quanto medem esses ângulos? Ângulos Suplementares Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 80º. m (ÔB) + m (BÔC) = 80º B O C Exemplos: 50º e 30º são ângulos suplementares, porque 50º + 30º = 80º 5º e 55º são ângulos suplementares, porque 5º + 55º = 80º CST 58 Companhia Siderúrgica de Tubarão
Exercícios: ) Determine x, sabendo que os ângulos são suplementares: a) x - 40º 3x - 0º ) Calcule x: a) x 5x - 4º 3x x - º 3) quarta parte da medida de um ângulo mede 30º. Calcule a medida do seu suplemento. 4) medida de um ângulo é igual à medida de seu suplemento. Calcule esse ângulo. 5) Calcule a medida de um ângulo que é igual ao triplo de seu suplemento. SENI Departamento regional do Espírito Santo 59
6) O dobro da medida de um ângulo é igual à medida do suplemento desse ângulo. Calcule a medida do ângulo. 7) O triplo da medida de um ângulo mais a medida do suplemento desse ângulo é 50º 8) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual a 3 do seu suplemento. 9) soma do complemento com o suplemento de um ângulo é 0º. Quanto mede o ângulo? Ângulos opostos pelo vértice Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois a dois, opostos pelo vértice. Na figura: â e c são opostos pelo vértice. m e n são opostos pelo vértice. m c a n CST 60 Companhia Siderúrgica de Tubarão
Triângulos Conceito Triângulo é um polígono de três lados. B C Na figura acima: Os pontos, B e C são os vértices do triângulo. Os segmentos B, BC e C são os lados do triângulo. Os ângulos, B e C são ângulos internos do triângulos. Indicamos um triângulo de vértices, B e C por BC. SENI Departamento Regional do Éspírito Santo 6
Ângulo Externo Ângulo externo é o ângulo suplementar do ângulo interno. m C B Na figura acima m é um ângulo externo. Perímetro O perímetro de um triângulo é igual à soma das medidas dos seus lados. Perímetro BC = B + C + BC Classificação dos Triângulos Quanto aos lados os triângulos se classificam em: Equilátero quando tem os três lados congruentes. Isósceles quando tem dois lados congruentes. Escaleno quando não tem lados congruentes. B C B C C B EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCLENO 6 Companhia Siderúrgica de Tubarão CST
Quanto aos ângulos os triângulos se classificam em: cutângulo quando tem três ângulos agudos Retângulo quando tem um ângulo reto. Obtusângulo quando tem um ângulo obtuso. R R R S T S T S T CUTÂNGULO RETÂNGULO OBTUSÂNGULO Em um triângulo retângulo os lados que formam o ângulo reto chamam-se catetos e o lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa. Cateto Hipotenusa B C Cateto SENI Departamento Regional do Espírito Santo 63
Exercícios: ) Determine o comprimento do lado BC, sabendo-se que o perímetro do BC é 48cm. x 5 C x B ) O perímetro do triângulo é 34 cm. Determine o comprimento do menor lado. R x x + 7 S x + 3 T 3) Classifique o triângulo de acordo com as medidas dos ângulos: 80º 00º 60º 40º 35º 45º B C C B B C CST 64 Companhia Siderúrgica de Tubarão
4) Observe a figura e responda: B C a) Que nome recebe o lado BC? b) Que nome recebem os lados B e C? 5) Que nome recebe o maior lado de um triângulo retângulo? Condição de existência de um Triângulo Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois lados. Exemplo: Seja o triângulo: 4 cm cm B 3 cm C SENI Departamento Regional do Espírito Santo 65
Vamos comparar a medida de cada lado com a soma das medidas dos outros dois. ssim: < 3 + 4 ou < 7 < 3 + 4 ou < 7 < 3 + 4 ou < 7 Para verificar a citada propriedade, procure construir um triângulo com as seguintes medidas: 7 cm, 4 cm e cm. 4 cm cm 7 cm B É impossível, não? Logo não existe o triângulo cujos lados medem 7cm, 4cm e cm. Elementos notáveis de um triângulo Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. R R baricentro mediana S M T S T Todo triângulo tem três medianas que se encontram em um ponto chamado baricentro. CST 66 Companhia Siderúrgica de Tubarão
Bissetriz de um triângulo é o segmento da bissetriz de um ângulo interno que tem por extremidades o vértice desse ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto. R R incentro bissetriz S P T S T Todo triângulo tem três bissetrizes que se encontram em um ponto interior chamado incentro. ltura de um triângulo é o segmento da perpendicular traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu prolongamento. R R R altura altura ortocentro S T S T S T Todo triângulo tem três alturas que se encontram em um ponto chamado ortocentro. SENI Departamento Regional do Espírito Santo 67
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Observe os triângulos e as medidas dos ângulos internos. B B 80º 60º 40º 60º C 30º C 80º + 40º + 60º = 80º 30º + 60º + 90º = 80º Note que: m ( ) + m ( B ) + m ( C ) = 80º Vamos à demonstração desse teorema. Teorema Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 80º. Prova: consideremos um triângulo BC. Vamos provar que m ( ) + m ( B ) + m ( C ) = 80º ^ ^ ^ s B C CST 68 Companhia Siderúrgica de Tubarão
a ) Pelo vértice, traçamos a reta s paralela ao lado BC. m ( ) + m ( ) + m ( ) = 80º Note que: m ( ) m ( B ) (alternos internos) m ( ) m ( C ) (alternos internos) 3 b ) Temos que: c ) Substituindo e 3 em, temos: m ( ) + m ( B ) + m ( C ) = 80º Exercícios: ) Calcular x no triângulo abaixo: B 80º x 30º C SENI Departamento Regional do Espírito Santo 69
) Calcular x no triângulo abaixo: R 5x 45º 4x T S 3) Calcular x no triângulo abaixo: P 5x - 50º x + 0º x R Q 4) Determine a medida dos ângulos x, y e z. a) x y B 60º 45º C CST 70 Companhia Siderúrgica de Tubarão
b) x 35º B 05º z C D y 50º E c) y 30º B 55º x 40º C D d) SENI Departamento Regional do Espírito Santo 7
Quadrilátero Conceito Quadrilátero é um polígono de quatro lados. No quadrilátero ao lado, destacamos: vértice:, B, C, D lados: B, BC, CD e D ângulos internos:, B, C e D lados opostos: B e CD, D e BC D ângulos opostos: e C, B e D B C Lembre-se de que um quadrilátero é convexo quando qualquer segmento com extremidades no quadrilátero está contido nele. B B C C Quadrilátero convexo D Quadrilátero não-convexo D Estudaremos apenas os quadriláteros convexos. CST 7 Companhia Siderúrgica de Tubarão
Diagonal O segmento que une dois vértices não consecutivos é chamado diagonal. D Na figura, C e BD são diagonais. C B Exercícios ) Observe o quadrilátero e responda: a ) Quais são os lados? b ) Quais são os vértices? c ) Quais são os ângulos internos? d ) Quais são as diagonais indicadas? M P N O ) Considere o quadrilátero BCD. a ) Nomeie os dois pares de lados opostos. B b ) Nomeie os dois pares de ângulos opostos. C D SENI Departamento Regional do Espírito Santo 73
3) O perímetro de um quadrilátero mede 4cm. Quanto mede cada lado se as medidas são representadas por x, x +, 3x + e x - 4? Soma dos ângulos internos de um quadrilátero BCD é um quadrilátero convexo e a diagonal C o divide em dois triângulos. Veja: B D C soma dos ângulos internos dos dois triângulos é a soma dos ângulos internos do quadrilátero. Logo: soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 80º + 80º = 360º CST 74 Companhia Siderúrgica de Tubarão
Exercícios: ) Na figura abaixo, calcular o valor de n. D x C x B ) Na figura abaixo, calcular o valor de n. a) b) E F E F 0º 0º 30º G 60º x H G x H 3) Calcule o valor de x nos seguintes quadriláteros: a) b) E F R S 6x 5x 60º G 3x 4x H T U 5x SENI Departamento Regional do Espírito Santo 75
4) Calcule as medidas dos ângulos indicados com letras: a) b) N 0º x R E 30º z y F 30º 95º 0º x M S G H 5) Calcule x na figura: 80º x 40º 0º x + 0º 6) Calcule os ângulos internos de um quadrilátero sabendo que eles medem x, x, x e 3 x. Paralelogramos Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. C Na figura, temos: B C CD BD B D CST 76 Companhia Siderúrgica de Tubarão
Tipos de Paralelogramos Retângulo - Possui quatro ângulos retos. Losango - Possui os quatro lados congruentes. Quadrado - Possui os quatro lados congruentes e os ângulos retos. Retângulos Losango Quadrado Note que: Todo quadrado é um losango. Todo quadrado é um retângulo. Teorema: Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes. Prova: Seja o paralelogramo BCD. Vamos provar que C e B D ^ ^ C B 3^ 4^ D a ) Tracemos a diagonal BD e consideremos os triângulos BD e CDB. SENI Departamento Regional do Espírito Santo 77
b ) Temos: 4 (alternos internos) BD BD (comum) 3 (alternos internos). L.. BD CDB Então, os ângulos correspondentes são congruentes, ou seja: C. 4 3 + 4 + 3 Logo: B D Exercícios: ) Determinar as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo: B y x 50º z D C CST 78 Companhia Siderúrgica de Tubarão
) Determinar as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo: P Q 3x - 0º x - 50º R S 3) Observe a figura e calcule as medidas de x, y, z e w. 0º 70º x w z y 70º 0º 4) Baseado nos resultados do exercício anterior, responda: Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes? 5) Calcule os ângulos indicados nos paralelogramos seguintes: a) b) B C P Q 60º 4º D S R 6) Calcule os valor de x nos paralelogramos abaixo: SENI Departamento Regional do Espírito Santo 79
a) b) R S R S x + 70º 3x - 0º x + 0º x + 8º T U T U 7) Calcule os valor de x nos paralelogramos abaixo: a) b) R S R S 3x x + 5º 5x + 0º T U T U 7) Calcule os valor de x, y e z nos losangos abaixo: a) b) R R S x U S y x + 80º z U 5x x + 0º T T CST 80 Companhia Siderúrgica de Tubarão
Trapézio Trapézio é o quadrilátero que possui dois lados paralelos (que são chamados de base). base menor B altura Na figura, temos: B CD C base maior D distância entre as bases chama-se altura. Tipos de Trapézio Isósceles - Os lados não-paralelos são congruentes. Retângulo - Tem dois ângulos retos. Escaleno - Os lados não-paralelos não são congruentes. E F E F E F Trapézio Isósceles Trapézio Retângulo Trapézio Escaleno G H G H G H Exercícios: ) Num trapézio, como são chamados os lados paralelos? SENI Departamento Regional do Espírito Santo 8
) Calcule o valor de x nas figuras: a) b) R S R S x x x x x 30º T U T U 3) Calcule o valor de x nas figuras: a) b) R S R S x x x + 30º 0º T U T U 4) Responda: a) Quantos lados possui um quadrilátero? b) Quantos vértices possui um quadrilátero? c) Quantas diagonais possui um quadrilátero? 5) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um quadrilátero? CST 8 Companhia Siderúrgica de Tubarão
6) Calcule o valor de x nos seguintes quadriláteros: a) b) F E F E x x 0º 50º 60º 50º x 70º G H G H c) d) E F E F x x 3x x G x x H G x 3x H 7) Calcule o valor de x nos quadriláteros: a) b) B E F 3x x 05º C x D 0º 80º H x G SENI Departamento Regional do Espírito Santo 83
Polígonos Convexos Polígonos Polígono é um conjunto de segmentos consecutivos não colineares no qual os extremos do primeiro e do último coincidem. Exemplos: Polígonos convexos Polígonos não-convexos ssim como já vimos para os quadriláteros, dizemos que um polígono é convexo quando qualquer segmento com extremidades no polígono está contido nele. CST 84 Companhia Siderúrgica de Tubarão
Elementos de um Polígono Observe o polígono BCDE:, B, C, D, E são os vértices., B, C, D, E são os ângulos internos. B, BC, CD, DE, E são os lados. lado B vértice C E D Nomes dos Polígonos Segundo o número de lados, os polígonos recebem nomes especiais: nome nº de lados triângulo... 3 quadrilátero... 4 pentágono... 5 hexágono... 6 heptágono... 7 octógono... 8 eneágono... 9 decágono... 0 undecágono... dodecágono... pentadecágono... 5 icoságono... 0 O número de lados de um polígono é igual ao número de vértices. SENI Departamento Regional do Espírito Santo 85
Exercícios ) Quais são os polígonos convexos? a) b) c) ) Responda: a) Quantos lados tem um hexágono? b) Quantos lados tem um undecágono? c) Quantos lados tem um polígono de 5 vértices? d) Quantos vértices tem um polígono de 9 lados? 3) Como se chama um polígono de: a) 5 lados? b) lados? c) 7 vértices? d) 0 vértices? Soma dos ângulos internos de um polígono convexo traçar as diagonais que partem de um mesmo vértice de um polígono, nós o dividimos em triângulos, cujo número de triângulos é sempre o número de lados menos dois. Veja: B D 4 lados triângulos C CST 86 Companhia Siderúrgica de Tubarão
Circunferência e Círculo Circunferência Circunferência é o conjunto de pontos de um plano, equidistantes de um ponto do plano chamado centro. Qualquer segmento com uma extremidade no centro e a outra em um ponto da circunferência chamado de raio. 0 raio Na figura: O é o centro da circunferência. O e o raio. Indicação: C (O, r) (significa: circunferência de centro O e raio r) SENI Departamento Regional do Espírito santo 87